Конечные разрешимые группы с одним условием для пересечений неинцидентных подгрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

_____ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА______________

2011 Математика. Механика. Информатика. Вып. 2(6)

УДК 512.54

Конечные разрешимые группы с одним условием для пересечений неинцидентных подгрупп

Я.Д. Половицкий

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; (342)236-82-83

В работе получено полное описание конечных разрешимых групп, в которых порядок пересечения любой пары неинцидентных подгрупп делит квадрат простого числа. Основной результат работы — теорема 5.

Ключевые слова: группа; подгруппа; пересечение; неинцидентный.

1. Некоторые вспомогательные утверждения

В работе знак □ означает конец доказательства.

Определение 1. Группа называется К-группой (или группой с К-условием), если порядок пересечения любых двух ее неинцидентных подгрупп делит квадрат некоторого простого числа (эти числа могут быть и различными) или любые две ее подгруппы инцидентны.

Отметим, что К-группами являются все группы с условием инцидентности (это, как известно, циклические р-группы или квазициклические р-группы) и Гр2-группы (^-группы изучены в [1]), но не всякая К-группа является Гр2-группой, ибо в последних число р фиксированное.

Очевидно, что К-условие переносится на подгруппы и фактор-группы.

Определение 2. Группу, являющуюся прямым произведением циклических групп порядков РьР2,... ,Рв1 назовем группой типа р1 х р2 х ... х р3.

Лемма 1. Конечная группа О имеет единственную максимальную подгруппу тоО

р-группа.

Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Пусть

©Я.Д. Половицкий, 2011

М — единственная максимальная подгруппа группы О и д £ О \ М . Если (д) = О, то в силу условия теоремы (д) £ М, что противоречит выбору д. Значит, (д) = О. Если бы О

жала бы по крайней мере две максимальные подгруппы (различных простых индексов). Значит, О — р-группа. □

Лемма 2. Любая группа порядка рс,рсг или рс2(р, с, г — различные простые числа) является К-группой.

Справедливость этого утверждения очевидна.

О

N < О и ^ | не делит р2 ни для какого простого р. Тогда G/N — примарная циклическая или квазициклическая д-группа (возможно, и с = р)-

Доказательство. Если A/N и B/N

— две неинцидентные подгруппы группы О/N, то А ш В неинцидентны и, в силу К-условпя, |АПВ| | р2. Но (АПВ) э N, а тогда ^| | р2, вопреки условию. 3начит, G/N — группа с условием инцидентности, т.е. примарная циклическая или квазициклическая д_группа. □

О

группа, N < О и О/^ не является примар-ной циклической группой, то ^ | | р2 для р

О

ется К-группой тогда и только тогда, когда О

2 3 4

порядка р2,р3 или р .

Доказательство. Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Пусть О

ли у нее лишь одна максимальная подгруп-О

О

подгруппы М1 и М2. Тогда, как известно (см. [2]), |О : М,| = р(г = 1,2), и потому |О : (М1 П М2)| < р2. Так как М1 П М2 = М,, то

|О :(М1 П М2)| = р2. (1)

В силу К-условия |М1 П М2| | р2 (ибо М, ||

|О| | р4. ' □

Следствие. Всякая р-подгруппа конечной К-группы либо циклическая, либо

2 3 4

нециклическая порядка р2,р3 ми р4.

Легко убедиться в справедливости следующего предложения.

Лемма 5. Если N < О и в N нет истинных (^-допустимых подгрупп для некоторой ^ < О, то для любого х £ О в N нет и ^-допустимых подгрупп.

О

па, N < О и для некоторой силовской д-подгруппы группы О в N нет истинных (^-допустимых подгрупп, то и для любой другой силовской д-подгруппы ^1 группы О в N нет истинных ^-допустимых подгрупп.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы Силова и леммы 5.

Определение 3. Условие "любые две неинцидентные подгруппы группы пересекаются по 1" назовем у-условием.

Группы с этим условием рассмотрены в работе [3]. Приведем основной результат из [3], относящийся к конечным V-группам.

О

гда и только тогда выполняется у-условие, О

пов:

I. Циклическая р-группа.

II. Циклическая группа порядка pq.

III. Группа типа р х p.

IV. G = PXQ — группа Фробениуса, где P

p х p p

лическая группа простого порядка q P — минимальная нормальная подгруппа груп-G

G

группа, N < G и |N| = р2, то G/N — группа одного из типов I ГУ теоремы 1.

G/N

— группа с v-условием, и потому из теоремы 1 вытекает справедливость данного следствия.

Следствие 2. Всякая конечная группа с v-условием разрешима.

G

G = P X Q, где P — р-группа, Q — груп-

P

G

Доказательство. Пусть существует Pi < G : 1 < Pi < P. Так как |Q| непростой, то существует Q1 : 1 < Q1 < Q. Имеем: (Pi X Q) П (P X Q1) = P1X Q1 — непримарная группа, вопреки К-условию.. □

Следствие. Если при условиях леммы 6 подгруппа Р К-группы G абелева, то Р Q2

Q2

ка из Q.

Доказательство. Действительно,

Q2 P2 < P

G2 = P X Q2 G2

антпых подгрупп нет. □

G

NQ

— q-подгруппа группы G и q ^ n(N). Тогда

|Q| I q3-

Доказательство. Пусть |Q| > q4. Тогда 3Q1 < Q, |Q1| = q3. В силу К-условия |Q П (N X Q1)| = |Q11 | q2. Противоречие показывает, что |Q| | q3. □

N

G

для любого q ^ n(N) порядок силовской q-G q3

О

Б < О, N — Б-допустимая подгруппа порядка п группы О и (|Б|, п) = 1. Если в N су-

||

то |Б| — простое число, а |^| | р2.

| Б|

стой. Тогда ЗБ1 : Б1 < Б, |Б1| = с — простое число. Имеем: (N1 X Б) П ^ X Б1) = N1 X Б1

— непримарная группа, вопреки К-условию. Значит, Б — группа простого порядка. Из N П (N1 X Б) = N1 и К-условия следует, что

К| | р2. " " □

Следствие. Если N — инвариантная циклическая р-подгруппа непростого порядка К-группы О, то любая р;-подгруппа группы О имеет простой порядок, а ^ | | р3.

Действительно, первое утверждение вытекает из леммы 8. Если ^| = р, то, взяв в лемме 8 в качестве N1 максимальную подгруппу ^уппы Р, получаем, что | р2, а

тогда ^ | | р3. □

Лемма 9. Пусть Р — инвариантная р-подгруппа конечной К-группы О, ф — некоторая д-подгруппа группы О (с = р). Если Р

Р1 Р2 Р

имеют тривиальное пересечение и |ф| = с-

Доказательство. Подгруппы Р1 X ф и Р2XQ неинцидентны и (Р1 XQ)П(P2XQ) = (Р^1 ПР2) Xф. В силу К-уеловия (Р^1 ПР2) = 1. В силу леммы 8 |ф| = с- П

Следствие. Если при условиях лем-| Р| = р3

р2

2. Некоторые классы конечных К-групп, имеющих инвариантную силовскую q-пoдгpyппy

Теорема 2. Конечная нильпотентная

группа является К-группой тогда и только

тогда, когда О — группа одного из типов:

I. Нециклическая группа, порядок кото-р4

р2с

III. Циклическая группа порядка рс,рсг

3

IV. Циклическая р-группа.

О

то по лемме 4 она либо циклическая (т.е. ти-

О

Возможны случаи:

О

Р

Тогда О = Р х Б, где Б — р;-группа и |Р| > р2. Если Р1 — максимальная подгруп-Р1

| | Б| | = с | Р1 | = р 2 | Р : Р1 | = р

то |Р| | р3 и |О| — либо р2с (в этом случае

0 р 3 с | Р| = р3

Р р 2

Р

О

р3с, т.е. одна из групп типа III.

О

имеют простые порядки.

Тогда из леммы 3 легко получается, |О| = рс ми |О| = рсг т0 есть О — группа типа III.

Необходимость доказана. Достаточность для всех типов групп

р3с

(см. также лемму 2). В циклической группе порядка р3с все пепримарпые подгруппы инцидентны, и потому она К-группа. □

Следствие. Конечная непримарная нильпотентная К-группа абелева.

Теорема 3. Пусть конечная нениль-О

Р

О/Р с = р О

является К-группой тогда и только тогда, О

I. О = Р X ф, |ф| = с, |Р| = рк,к = 2, 3, 4,

Р

допустимую подгруппу и порядок любой та-

р2 | Р| = р2

любые две различные (^-допустимые под-р2 Р

||

II. О = Р X ф, |ф| | с3> ф цикли-Р

||

О | Р| | р4

1 <ф1 < ф И Р содержит хотя бы одну

истинную ^-допустимую подгруппу, то порядок такой подгруппы делит р2 и |ф11 = с Любые две различные ^-допустимые под-р2 Р

ществуют) пересекаются по единице.

III. О = Р X ф, ф — типа с х с Р — груп-р х р

истинных (^-допустимых подгрупп.

В группах типов 1-Ш полупрямое произведение не может заменяться прямым.

Замечание. Из определения групп Р

| Р | р2 р 3

Необходимость. Пусть О — К-группа, Р < О и О/Р — д-группа. Тогда по теореме Шура

О = Р X ф, (2)

| | О По лемме 7 | ф | | с3) а по следствию леммы 4

| Р| | р4

Возможны 2 случая:

1. Р имеет истинную (^-допустимую подгруппу.

Тогда |Р| > р2 и то лемме 8 |ф| = с,

а при |Р | > р3 порядок любой истинной Q-

р2

силу леммы 9 любые такие различные под-р2

они неинцидентны).

Если Р неабелева, то 2(Р) < Р и 2(Р) < О, т.е. Р удовлетворяет условию | Р| > р3 О

типа I из теоремы 3.

2. Р не имеет истинных (^-допустимых подгрупп.

Р

ОО

Р

Под случаи:

| Р| > р3

Тогда по лемме 3 ф = О/Р — циклическая группа. Из лемм 8 и 9 следуют утверждения о ^-допустимых подгруппах групО О | |

(Ь) |Р| | р2.

Покажем, что ф — абелева группа. Пусть 2(ф) — центр группы (^. Если бы

2 (ф) = ф, (3)

то подгруппа (Р X 2(ф)) < О и непри-марна. По лемме 3 О/Р2(ф) — циклическая д-группа, а тогда Рф/Р2(ф) =

ф(Р2(ф))/Р2(ф) = ф/ф П Р2(ф) =

ф/2(ф) — циклическая группа, и потому ф абелева, вопреки предположению (3). Значит, ф — абелева группа.

Если ф циклическая, то из лемм 8 и 9 получается, что О — группа типа II.

Пусть ф — нециклическая группа. Ес-| Р| = р2 Р р х р

а по следствию теоремы 1 ф — группа типа с х с О

| Р| = р

|ф| = с3- Тогда, так как (^ нециклическая, то ф = ф1 х ф2, где |ф1| =

с, |ф2| = с2 и 3^3 : ф3 < ф2, |ф3| = с-

Имеем:(Р X (ф1 х ф3)) П (Р X £2) = Р X ф3

— непримарное пересечение неинцидентных подгрупп, вопреки К-условию. Значит, случай |ф| = с3 для нециклической группы (^ невозможен. Так как |ф| | с3, то отсюда следует, что ф — типа с х с- Поэтому О — группа | Р| = р Необходимость доказана.

Достаточность.

О

Если |Р| = р2, то |О| = р2с и по лем-

| Р| > р3 О

подгрупп порядка р3с и порядки примарных

22 р2 с2

Б1 Б2

группы Б имеют непримарное пересечение,™ (Б1 П Б2) э фх, и из О = Р X фх (ибо |ф| = |фх| ) следует, что Б1 = Р1 X фх, Б2 = Р2 X фх . Значит, Р1 и Р2 — истинные фх-допустимые подгруппы группы Р. Тогда из

Р

типе 1( справедливого, очевидно, и для фх-допустимых подгрупп) следует, что либо

Р1 С Р2, (4)

Б1 Б2

(Р1 П Р2) = 1, (5)

а тогда Б1ПБ2 = (Р1 ПР2)фх = фх и |фх| = с. Р1 Р2 р

О

ляется К-группой.

О

Как и выше, получаем, что непримар-пых подгрупп, порядки которых делятся на

3 р3

О

Б1 , Б2

группы с непримарным пересечением. По условию групп типа II тогда | Б11 = | Б21 = р2с и(Б1 ПБ2) = РоXфо,где|фо| = спфо < фх. Тогда Б1 = Р1 X фо,Б2 = Р2 X фо и Р1 и Р2 фо-допустимы. Из условий для групп типа II,

Р1

и Р2 инцидентны, либо (Р1 П Р2) = 1. Как

Б1 Б2

выполняется К-условие.

О

|О| = р2с2

рс2

Б1 Б2 р2с

содержат N. Так как О/^ — элементарная абелева д-подгруппа порядка с2) т0 Бl/N П Б2^ = N/N и |Б1 П Б2| = ^| | р2. О

| О| = рс2

лемме 2. □

Из теоремы 3 мы получим теорему 4, в которой будут найдены все возможные подтипы полученных там К-групп типов I и II.

Теорема 4. Бипримарная ненильпо-тентная группа О, имеющая инвариантную силовскую р-подгруппу Р, тогда и только тогда является К-группой, когда О — группа одного из следующих типов (все приведенные в них полупрямые произведения не могут быть прямыми произведениями).

1.1. О = Р X ф, |ф| = с Р — неабелева

р3 Р

(^-допустимой подгруппы Н порядка р2 и Н содержит все (^-допустимые подгруппы порядка р группы Р (в том числе и 2(Р)).

1.2. О = Р X ф, |ф| = с Р — неабелева группа порядка р4. Если |2(Р)| = р2, то 2(Р) — единственная (^-допустимая под-

р2 О

рР

такая существует, содержится в 2(Р).Если

|2(Р)| = р, то в Р не более одной Q-

р2

держит 2 (Р).

1.3. О = Р X ф, |ф| = с Р — абелева

р3 р4

являющаяся элементарной абелевой, ниж-Р1 Р р2

является единственной (^-допустимой под-р2 Р

1.4. О = Р X ф, |ф| = с Р — элементарная абелева группа порядка р3, Р = Н х А, где |Н| = р2, |А| = р, Н и А — единственные истинные (^-допустимые подгруппы группы Р

1.5 . О = РXQ, |ф| = с Р — элементарная

р4 Р

не менее двух (^-допустимых подгрупп, все

2

р2

ются по 1.

1.6 . О = РXф, |ф| = с Р — любая группа

23 р2 | | р3

11.1 .О = Р X ф, |ф| | с3, цикличе-

| | Р | Р| | р4

подгруппы ф1 < ф Р не имеет ИСТИННЫХ ^1-допустимых подгрупп.

II.2. О = Р X ^ ф — циклическая

с3 Р

тарная абелева группа, являющаяся мини-| | О | Р| | р4 | Р| > р3

ную ^-допустимую подгруппу для некоторой ф1 : 1 < ф1 < ф, причем |ф1| = с; порядки всех таких ^-допустимых подгрупп Р р2

ные ^-допустимые подгруппы порядка р2 попарно пересекаются по 1.

III. О = Р X ф, (^ — типа с х с, Р — группа

р х р

нормальная подгруппа группы О.

Необходимость. Пусть группа О, удовлетворяющая условиям теоремы, является К-группой. Тогда в силу теоремы 3 ( ! — группа одного из типов I, II или III. Последний тип входит и в список групп в теореме 4. О

Рассмотрим все возможные подслучаи для Р.

1.1 Р — неабелева группа.

| Р | р 3 р 4

тим, что 2(Р) < О, и потому 2(Р) — (^-допустимая подгруппа.

1.1.1. |Р| = р3.

2(Р) р

и (^-допустима. Если Н < Р и |Н | = р2,

то Н < Р (как максимальная подгруппа р-группы) и потому Н Э 2(Р) (ибо Н П 2(Р) = 1

Н Н1

различные (^-допустимые подгруппы порядка р2 группы Р, то (Н П Н1) Э 2(Р), т.е. Н П Н1 = 1, вопреки определению групп Р

Н р 2

А

р 2(Р) 2(Р) х А

р2

единственности, 2(Р) х А = Н, т.е. Н Э А. О

1.1.2. |Р| = р4.

a) Пусть |2(Р)| = р2. Предположим, О

па Б порядка р2, отличная от 2(Р). По

2(Р) П Н = 1 2(Р)Н = 2(Р) х Н = О |2(Р) х Н| = р4). Так как Н абелева, то и О

2(Р)

единственная (^-допустимая подгруппа по-р2 Р

Ар 2(Р) (2(Р) х А))

р3

А С 2(Р) О

группа типа 1.2.

b) Пусть |2(Р)| = р. Тогда всякая (^-

Н р 2

2(Р) Н х 2(Р)

р3 Н О

Н1 р2

Н1 ПН = 2(Р) = 1, в противоречие с опреде-

О

р2

О

Случай 1.1 рассмотрен. Получили два типа таких групп — 1.1 и 1.2.

Р

Возможны под случаи:

Р

| Р| = р О

групп типа II, т.е. одна из групп типа 11.1 порядка рст, где т < 3. Если |Р| > р2, то | Р| р2 р3

О

Р

| Р| > р2 | Р| = р2 О

| Р| > р3

Р1 Р

ся характеристической подгруппой группы

Р Р1

чаи:

а)Р = Рь ||

| Р1 | | р 2 Р

| Р1 | = р 2 Н

Р

р2 Н П Р1 = 1

Н<Р Р1 Р1

ственная Q-дoпycтимaя подгруппа порядка р2 Р О

Р) Р = Рь Р

| Р| = р | Р| = р2

| О| = р2с О

| Р| > р3 Н

р2 Р реме Машке Р = Н х А, где А — (^-

Н

О

ЗН1 : 1 < Н1 < Н и Н1 — (^-допустима, то (Н1 х А) — (^-допустима, отлична от Н и пересечение (Н X ф) П (Н1 х А) X ф = Н1 X ф непримарно, вопреки К-условию. Значит, Н

О

| Р| = р3

Р

Н | Н| = р2

Н

ственная (^-допустимая подгруппа порядка р2 Р

Ар Р = А х Н Р

р

Р

р2

НО

А1 А2

порядка р, то (А1 х А2) — Q-дoпycтимaя по-р2 А1 х А2 = Н

Н

допустимых подгрупп. Значит, Р = Н х А, где |Н| = р2, |А| = р, Н и А — единственные истинные Q-дoпycтимыe подгруппы группы РО

| Р| = р4 Р

Ар

по теореме Машке Р = А х В, гДе В — (^-

3

р3

в группах типа I нет. Значит, все истинные

Р

р4 р2

Р

па I, не является минимальной нормальной О

вытекает из теоремы Машке. Любые две из них в группе типа I пересекаются по едини-О

Рассмотрение пункта Р) и всего пункта 1 (т.е. групп типа I) закончено.

О

Если Р не имеет ИСТИННЫХ ^1-допустимых подгрупп для любой истинной подгруппы ф1 группы ф, то О — группа ти-

О

па 11.2 или порядка р2с из типа 1.6.

Достаточность доказана в теореме 3 для всех типов 1-Ш. □

Следствие. Все группы типа I из теоремы 3 — это объединение групп типов 1.1-

1.5, а типа II — групп типов Н.1 11.2 с

некоторыми группами типа 1.6 (в который входят группы порядка р2с и типа I, и типа II).

3. Конечные разрешимые ненильпотентные К-группы

О

вестно (см. [2]), она содержит минимальную нормальную подгруппу N, являющуюся элементарной абелевой р-группой. Если N циклическая, то ^| = р, если нециклическая — то в силу следствия теоремы 1

N | р4. (6)

В обоих случаях выполняется (6).

Отметим, что N = О, ибо О — неабелева группа. Возможны 2 случая: 1.О/^ примарна; II. О/^ непримарна.

I. О/^ — q-гpynna.

О

она непримарна, и потому с = р- Этот слу-

О

— группа одного из типов I, II или III.

ll.О/N — непримарная группа.

Тогда в силу следствия леммы 3 N | делит р2. Пусть N1/^ — минимальная нор-

мальная подгруппа группы О/^. Она является элементарной абелевой д-группой. Отметим, что N1 < О. Если N1 = О, то, так ОО условию теоремы 3, а такие К-группы там описаны.

Пусть N1 = О. Возможны 2 подслу-с = р с = р

дый из них.

11.1. с = р.

Тогда N1 — непримарная группа, и в силу леммы 3 О/^ — циклическая г-группа. Так как О/^ непримарная, то г = с-

Пусть ф — силовская д-подгруппа группы N1. Тогда

N1 = N X ф (7)

и по теореме Фраттини

О = N1 ■ N(ф)= N ■ N(ф). (8)

Так как — элементарная абелева д-

группа, то из (7) следует, что ф — элементарная абелева д-группа.

Для г возможны 2 вариантам = р и г = р. Рассмотрим каждый из них.

11.1.1. г = р.

Тогда (|^|, г) = 1, и по теореме Шура

О = N1 X Я, (9)

Где я — силовская г-подгруппа группы О. Так как (^|, |Я|) = 1, то из (8) следует, что

^ (ф)| делится на | Я |, и потом у в N (ф) со-

О

Ее можно взять в (9) вместо Я, и потому мы можем считать, что

Я С N(ф). (10)

Пусть в Я найдется истинная подгруппа Я1. Тогда

(N1 X Я1) П ^ X Я) = N X Я1 (11)

непримарная группа. Так как подгруппы, стоящие слева в (11), неинцидентны, то получаем противоречие с К-условием. Значит, |Я| = г.

Из (7) и (9), учитывая (10), получаем:

О = ^ X ф) X Я = N X (ф X Я). (12)

Далее, |^ X ф) П (ф X Я)| = |ф| | с2 в силу К-условия, т.е. ф — либо типа с х с, либо порядка с (ибо ф элементарная абелева).

Так как в О/^ силовская д-подгруппа является минимальной нормальной подгруппой и ввиду (12) О/^ = ф X Я, то в ф нет истинных Ы-допустимых подгрупп.

Если |ф| = с2, то по лемме 8 в N нет истинных (^-допустимых подгрупп. Получаем

Тип IV. О = N X (ф X Я) где N — ми-

О

и либо N типа р х р, либо ^ | = р ф — под-с с х с | Я| = г

(р, с, г — различные простые числа), и в ф нет истинных И-допустимых подгрупп. Если |ф| = с2, ТО в N нет истинных (^-допустимых подгрупп.

Проверим, будет ли группа типа IV К-группой.

О

является К-группой.

|О| = рсг

это следует из леммы 2. Рассмотрим осталь-||

|О| | р2с2г, то все примарные пересече-

О

Н1 Н2

| | | |

О и N | |Нг|, то Нг > N (г = 1,2), ибо N — единственная силовская р-подгруппа О

ления групп типа IV О/^ = ф X Я и в ф нет истинных И-допустимых подгрупп, то О/^

— группа типа IV из теоремы 1 и в силу

^емы 1 Н1//У П H2/N = N/N5 и потому

|Н1 П Н2| = |N | | р2. Дальнейшее рассмотре-||

а) с2 | |О|.

Тогда из определения групп типа IV О сг

р2сг рсг

N нет истинных (^-допустимых подгрупп, то

О рс2

22 рс2г с2г

сг

О

группа.

| О| = р2сг

Так как N — минимальная нормаль-ОО

рсг

р2с ми р2г содержат N, и, как показано перед пунктом а), имеют примарные пересече-

ния, и потому О — К-группа. □

Продолжим изучение К-групп. Рассмотрим второй случай.

11.1.2. г = р.

Тогда |О| = рас^- Пусть Р — силовская р-подгруппа группы О. Тогда Р Э N и

О/М = N1^ X Р/^ (13)

N1 = N X ф, (14)

где в силу (13) Р/^ = О/Nl — циклическая группа, а ф — силовская д-подгруппа групО р2 | | О| р2 | | Р|

Р < ^и ф < О, то О — группа одного из типов, описанных в теореме 3. Значит, можно считать, что

ф $ О (15)

и

Р $ О. (16)

Из (14) и того, что N1 < О, по теореме

Фраттини получаем

О = NlN (ф) = NN (ф), (17)

отсюда ввиду (15) следует, что

N С N(ф). (18)

Р

Р

Так как N — элементарная абелева группа и N С Р, то

N | = р. (19)

Пусть ф — циклическая группа. Тогда в О все силовские подгруппы циклические, а тоО

— полупрямое произведение силовских подгрупп Р и ф, т.е. либо О = Р X ф, либо О = ф X Р, в противоречие с (15) и (16). Значит, ф — нециклическая группа. В силу (15) ф $ О. Так как р2 | |О|, а в силу (19) ^| = р, то из (17) следует, что

р | ^(ф)|. (20)

Но N < О, и потому N содержится в лю-

О

как Р — циклическая, то N — единственная рО

следует, что N С N(ф), в противоречие с (18)-"

Этим показано, что случай а) при условиях (16) и (15) невозможен.

Р

Так как О/^ — непримарная группа, то в силу следствия леммы 3 ^| | р2. Далее,

N(ф) = ф X Р1, (21)

Р1

Р1 С N, (22)

в противном случае из (17) следовало бы, что О/^ — д-группа, в противоречие с условием пункта II. Мы уже отмечали, что рассматриваем случай

N1 = N X ф = О. (23)

Из (17) и (21) получаем:

О = NN(ф) = N(ф X Р1). (24)

Рассмотрим пересечение истинных (в силу (23), (16) и (21)) подгрупп N1 и N(ф) О

^ X ф) П (ф X Р1)= ф^ П Р1). (25)

В силу (18), (21) и (22) пересекающиеся подгруппы, стоящие в левой части (25), неинци-||

что |ф| | с2 и

N П Р1 = 1. (26)

Из (24) и (26) вытекает:

О = N X (ф X Р1). (27)

| Р1 | > р Р1

Р2

^ Xф)XP2)П(фXP1) = фР2 — непримарная группа, в противоречие с К-условием. Зна-| Р1 | = р

Так как силовская д-подгруппа фN/N группы О/N не имеет истинных р-допустимых подгрупп для любой подгруппы порядка р из О/^ и О/^ = ф X Р1(в ф Р1

допустимых подгрупп.

Если |N| = р2 и |ф| = с2, то, применяя к подгруппе N X ф лемму 6, получаем, что в N нет истинных (^-допустимых подгрупп.

Получаем следующий тип К-групп. Тип V. О = N X (ф X Р1), N — минимальная нормальная подгруппа группы О и является группой типа р х р или порядка р, ф — типа с х с или порядка с ф $ О, |Р1 = р, ^ X Р1) $ О, в ф Р1

Если |ф| = с2) т° в N нет истинных (^-допустимых подгрупп.

Проверим, будет ли группа этого типа К-группой.

О

||

Доказательство. Так как |О| | р3с2,

то пересечение неинцидентных примар-ных подгрупп удовлетворяют К-условию.

О

О/^ = ф X Р1, и в О/N все истинные подгруппы примарны. Пусть Б — произвольная

О

Возможны 2 случая:

1.Б П N = 1.

Тогда = £/(£ П N) = Б —

непримарная подгруппа группы О/^. Но в О/^ таких истинных подгрупп нет, и потому = О/М, т.е. Б ^ О/М и либо |Б| = рс,

либо

|Б| = рс2. (28)

Но в О/^ нет истинных подгрупп порядка рс, и потому в Б нет истинных непримарных подгрупп, и пересечение Б с любой подгруп-О

таких пересечений выполняется К-условие.

2. Бг П N = 1(г = 1,2); г<9е Б1, £2 — <9ве различные истинные непримарные подгруп-

О

Пусть Н = Б1 П ^2.

Н

Тогда Н = N. Возможны 2 подслу-

чая:

а) Н > N.

Тогда 51и 52— две истинные подгруппы группы О/^ Они, как отмече-

||

держат Н/^ и с | |H/N|, то и

S2/N — д-подгруппы. Так как они различны, содержатся в единственной силовской д-подгруппе фN/N группы О/N и эта силовская д-подгруппа элементарная абелева, то либо (а тогда Б1 < Б2), либо

П £2^ = Но последнее невозможно, ибо Н/^ С (Б^^ П ).

Значит, для Б! и £2 К-условие в этом пункте выполняется (они оказались инцидентными).

Ь) (Н П N) < N.

Тогда N| = р2 и |Н П N| = р. Так как Б1 П Б2 = Н Э N, то, например, Б1 П N = (Н П Л) < N,1.6. |Б1 П N| = р.

Если с2 | |Б1 |, то подгруппа (Б! П N) р-го порядка инвариантна в Б! и потому фх-допустима относительно некоторой силовО

в N1 = N Xф, а это в силу леммы 5 противоречит определению группы типа V. Значит, |Б1| = ср“) ГДе а < 3. Поэтому

|^^| = ^/^ П Б1)| = сра-1. (29)

Так как в G/N нет истинных непримарных подгрупп, то либо |SlN/N| = с(и тогда из

(29) следует, что а = 1 и |Б| = рс), либо

= О/N и

О = Б^. (30)

Но Б! содержит истинную непримарную подгруппу Н, и потому |Б11 = рс- Значит, имеет место (30). Но так как ^ П Б1) < Б1 и (N П Б1) < N (N — абелева группа), то из

(30) следует, что ^ П Б1) < О, в противоречие с тем, что N — минимальная нормаль-

О

невозможен.

2.2.Н^примарная группа.

| О| | р3с2

|Н | = р3 К-условие для пары 61 и Б может

Н

подгруппа группы О, и потому Н > N. Значит, Б1 и Б2 содержат N. Так как Б1 и Б2 непримарны и содержат Н, то ^1/^ и £2/N

— истинные непримарные подгруппы группы О/^, а таких в О/^ пет. Значит, равен-| Н| = р3 О

групиой. □

Рассмотрение случая II. 1 закончено.

11.2. с = р.

Тогда N1/^ является р-группой и потому N1 — р-группа. Очевидпо, р2 | |Nl|. Возможны 2 случая.

11.2.1. N > р3.

Тогда по лемме 3 О/Nl — д-группа (с = р)) и N1 — инвариантная силовская рО

саны в теореме 3.

11.2.2. N1 = р2.

Тогда |N| = р. По следствию теоремы 1 либо О/^ — примарная группа, либо является группой Фробепиуса, либо цикли-сг

Если О/Nl — примарная группа, то к

О

там описаны.

Пусть О/^ — непримарная группа порядка т. Если (т,р) = 1, то, так как О разрешима, она содержит холловскую подгруппу Б порядка т.

Так как N1 и N — Б-допустимые под-т

противоречие с непримарностью О/^.

Значит, р | т. Пусть P/Nl — силовская р-подгруппа группы О/Nl. Возможны

2 случая.

1.Р < О.

Тогда к О/^ применимо следствие теоремы 1, и потому, так как эта группа непримарна, то она бипримарна, и (О/^)/(Р/^) = О/Р — примарная групО

Р$О

Тогда по теореме 1

О/^ = А/^ X P/Nl - (31)

группа Фробепиуса, где А/^ — г-группа порядка г или типа г х г, Р/^ — группа пор

Я

группы О. Тогда Я < А и

А = N1 X Я. (32)

Так как А < О, то из (32) и теоремы Фробе-ниуса следует, что

О = AN (Я). (33)

Пусть Т = А П N (Я). Групп а О/А в

р

получаем, что

О/А ^ N(Я)/Т - (34)

р

' а) N (Я) = О.

Тогда Я < О и О/Я — р-группа, и к О

Ь) N (Я) = О.

Тогда в силу (33) А С N (Я). Так как N(Я)/Т — циклическая р-группа (в силу (34)), то существует р-элемент Ь е N (Я) \ Т такой, что N (Я) = Т (Ь). ОтТ < А

иолучаем

О = АТ (Ь) = А(Ь) = (NlXЯ)(Ь) = Nl(ЯX(Ь))

(35)

(мы также использовали и то, что Ь е N (Я)). Рассмотрим пересечение

(N1 X Я) П (Я X (Ь)) = Я X (N1 П (Ь)). (36)

а) Если Я X (Ь) = О, то О/Я — р-группа, О

Р) Пусть Я X (Ь) = О.

Тогда в силу (35)

N1 е Я X (Ь). (37)

Если Ь е (N1 X Я), то из (35) получаем, что О = ^Я, в противоречие с непримарностью О/^. Значит,

(Я X (Ь)) С (N1 X Я). (38)

Из (37) и (38) вытекает, что подгруппы N1 X ЯиЯ X (Ь) неинцидентны, а тогда из (36) и К-условия следует, что N1 П (Ь) = 1. Отсюда и из (35) О = N X (Я X (Ь)).

Если ^ X (Ь)) Э N1, то, так как N Э N имели бы: N = N X ((Ь)П ^) = N в противоречие с выбором N1. Значит, N С N X (Ь). Так как N < О и N < то ^ X (Ь)) С Из доказанного следует,

ЧТО

^ X (Я X (Ь))) П (N1 X Я) = N X Я (39)

— непримарная группа и пересекающиеся подгруппы, стоящие в левой части равенства (39), неинцидентны. Поэтому (39) противо-О

чай Р) невозможен.

Итак, в случае II.2 новых типов К-групп нет.

Из теорем 2 и 4 и результатов, полученных выше в пунктах I и II при изучении конечных разрешимых ненильпотент-ных групп, вытекает следующая теорема, дающая полное описание конечных разрешимых К-групп.

Теорема 5. Конечная разрешимая О

тогда, когда она — группа одного из следующих типов:

1.1—1-5,11.1,11.2 или III из теоремы 4;

IV. О = N X (ф X Я), где N — типа р х р р

Оф

с х с с | Я| = г р, с, г

ф

| ф| = с2

N пет истинных (^-допустимых подгрупп.

| ф| = с

ноф X Я = ф х Я или N X ф = N х ф. Если ^| = р, то возможно О = N х (ф X Я) или О = ^ х ф) X Я.

V. О = N X (ф X Р1), где N — тир х р р

нимальной нормальной подгруппой группы О, ф — типа с х с или порядка с ф ^ О, |Р1| = р, N X Р1 ^ О, в ф нет Р1

|ф| = с2) ТО В N нет истинных (^-допустимых подгрупп.

р2, р3

или р4.

VII. Циклическая р-группа.

VIII. Любая группа порядка рс,рсг или р2с IX. Группа порядка р3с с инвариантной циклической силовской р-подгруппой.

Примечание.Тип 1.6 из теоремы 4 и тип II из теоремы 2 вошли в типы VIII и IX. Для более удобного обозрения получившихся типов групп мы допустили некоторые их пересечения. Так, тип VIII для неабелевых групп пересекается с типами 11.1 и III.

Определение 4. Группа, в которой все отличные от единицы пересечения пар неинцидентных подгрупп имеют простые порядки, назовем К0-группой.

Очевидно, Ко-групиы являются К-группами, и потому из описания К-групп

Ко

Ко О

||

О | О| | р3

2. Если N < О и ^| непростой, то О/^

— группа с условием инцидентности, т.е. примарная циклическая группа.

3. Если N < О и N| простой, то О/^ является у-группой (описание таких групп приведено в теореме 1).

Учитывая это, из теорем 4 и 5 (удобнее даже — из теорем 3 и 5) можно получить

Ко

Теорема 6. Конечная разрешимая О Ко

ко тогда, когда она — группа одного из следующих типов:

1. О = Р X ф, |ф| = с Р — неабелева р-группа порядка р3, 2(Р) — единственная ис-

Р

О

2. О = Р X ф, ф — циклическая группа,

|ф| | с2; Р — элементарная абелева р-группа, являющаяся минимальной нормальной подО | Р| р2 р3

Если |О| = р3с2 и ф1 < ф, |ф1| = ^вР ф1

3. Всякая группа порядка рс, рсг ми р2с

4. Циклическая р-группа.

5. Любая нециклическая группа порядка 23

р2 р3

Список литературы

1. Половицкий, Я.Д.. Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа п// Вести. Перм. ун-та. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4(4). С. 8 - 17.

2. Холл М.. Теория групп. М.:11. I. 1962

3.Волочков А.А., Половицкий Я.Д.. Группы с условием инцидентности для подгрупп с нетривиальным пересечением //Современные проблемы математики и информатики: сб. ст. Ярославль, 2001. Вып. 4. С. 13 - 17.

A finite soluble groups with one condition for intersections of their nonincidence subgroups.

Ya. D. Polovitsky

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st. 15 alg@psu.ru; (342)236-82-83

The finite solvable groups, in which the order of intersection of any two nonincidence subgroups is divider of square of prime number are described in this paper. The main result of this work is the theorem 5.

Key words: group; subgroup; intersection; nonincidence.