CC BY
7_______ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА________________
2010 Математика. Механика. Информатика Вып.2(2)
МАТЕМАТИКА
УДК 512.54
Конечные группы ранга инцидентности 4
Я. Д. Половицкий
Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; (342) 236-82-83
Описываются конечные группы ранга инцидентности 4.
Ключевые слова: группа; инцидентность.
циден
Определение 1. Множество попарно неинцидентных истинных подгрупп группы назовем 1-множеством.
Определение 2. 1-множество группы G, состоящее из наибольшего числа ее подгрупп, назовем 1-базисом группы G.
Определение 3. Рангом инцидентности (1-рангом) группы G называется число подгрупп в 1-базисе G.
Это определение 1-ранга введено автором в работе [1].
В работе [2] получено полное описание групп 1-рангов 1, 2 и 3. Там же описаны бесконечные группы любых конечных 1-рангов. Приведем основные результаты из [2], относящиеся к конечным группам.
Теорема 1. Конечными группами I-рангов, не превосходящих 3, являются группы следующих типов и только они:
1) 1-ранга 1 - циклические р-группы;
2) 1-ранга 2 - циклические группы порядков pqn;
3) 1-ранга 3 - циклические группы порядков pqr и p2qn (п > 3), группа Клейна и группа кватернионов.
В настоящей работе получено описание конечных групп 1-ранга 4.
В работе полупрямое произведение обозначается значком X. Прямое произведение
© Я. Д. Половицкий, 2010
циклических подгрупп порядков пь ..., пк называется группой типа пг^.^пк..
Запись А ^ В означает, что подгруппы А и В инцидентны.
В работе нам понадобятся две известные теоремы.
Теорема 2 (см. [3]). Группа G тогда и только тогда покрываема тремя подгруппами, когда существует подгруппа N < G такая, что G/N - четверная группа Клейна.
Теорема Греко (см. [3]). Конечная группа тогда и только тогда покрываема четырьмя подгруппами, когда она обладает инвариантной подгруппой N с фактор-группой G/N одного из следующих типов:
1) симметрическая группа третьей степени;
2) нециклическая группа восьмого порядка, отличная от группы кватернионов;
3) нециклическая группа девятого порядка;
4) группа восемнадцатого порядка со следующими определяющими соотношения-
3 3 2 1111
ми: а =Ь =с =1; аЬ=Ьа; сас" =а" ; сЬс- =Ь" .
§ 1. Некоторые утверждения об Ьрангах
Из определения 1-ранга нетрудно получить
Утверждение 1. Любая группа 1-ранга г имеет не более г
a) максимальных подгрупп;
b) подгрупп одного и того же порядка;
c) подгрупп простых порядков;
ф подгрупп в любом классе сопряженных подгрупп (т.е. |с1 Н| — г для любой H<G);
е) простых делителей порядка (т.е. |^)|— Г).
Утверждение 2. 1-ранг любой подгруппы и фактор-группы не превосходит 1-ранга группы.
Доказательство. Для подгрупп это очевидно. Докажем для фактор-групп.
Если Gl/N,..., Gs/N - некоторое I-множество G/N, то G1/N и GJ/N неинцидентны (при 1Фj), и потому Gl, ..., Gs - 1-множество группы G. Так как 8 не превосходит 1-ранга г группы G (по определению 1-ранга), то и I-ранг G/N не превосходит г. Утверждение доказано.
Утверждение 3. Любая конечная нециклическая группа 1-ранга г является объединением не более чем г истинных подгрупп.
Справедливость этого утверждения следует из свойства а) из утверждения 1.
Утверждение 4. В элементарной абелевой группе G порядка рп (п>2) число подгрупп
рП -1 т ”
порядка р равно ------. 1-ранг такой группы
Р -1
не меньше этого числа и не меньше (р+1).
Доказательство. В группе G фМ) элементов порядка р. В одну подгруппу порядка р входит (р-1) таких элементов. Значит, подгрупп порядка р в G ровно
£—1 = (рп-1 + рп-2 +... + р + 1) >(р+1). Так как Р-1
они составляют 1-множество, то утверждение доказано.
Следствие. В группе типа рхр всего (р+1) подгрупп порядка р и ее 1-ранг равен (р+1).
Лемма 1. Если G=<a>x<Ь>, а2=1,Ь4=1, то 1-ранг G равен 4.
Доказательство. В группе G три подгруппы порядка 2 - это <а>, <Ь2>, <аЬ2>; две подгруппы порядка 4: <аЬ>=<аЬ-1> и <Ь>,причем последние содержат <Ь2>. Нетрудно видеть, что 1-ранг группы G равен 4. Лемма доказана.
Лемма 2. Группа диэдра порядка 8 имеет 1-ранг 5.
Доказательство. Известно, что Б8=<а> Л,<Ь>, где а4=1, Ь2=1, Ь-1аЬ=а-1. Найдем в Б8 порядки всех элементов, не равных 1.
Имеем: а2е 2(Б8), следовательно, Н=<а2>х<Ь>
- элементарная абелева группа порядка 4. В ней три подгруппы порядка 2: <а2>, <Ь>, <а2Ь>. Далее, аЬ=Ьа-1, (аЬ)2=аЬаЬ=Ьа-1аЬ=Ь2=1. Откуда (а-1 Ь)2= а-1 Ь а-1 Ь= а-1 (аЬ)Ь=Ь2=1. Имеем еще две подгруппы порядка 2: <аЬ> и <а-
1Ь>. Всего их пять.
Мы видим, что циклическая подгруппа порядка 4 в Б8 только одна - это <а>. Еще подгруппы порядка 4: <а2>*<аЬ>=<а2>* <а-
1Ь> (так как а-1 =а3) и Н. Других истинных подгрупп в Б8 нет. Отсюда следует, что все подгруппы порядка 2 составляют 1-базис Б8. Значит, 1-ранг Б8 равен 5. Лемма доказана.
Следствие. Если группа Греко типа 2 имеет 1-ранг 4, то G/N - типа 2^4.
Доказательство. Если G/N = Б8, то в силу леммы 2 и утверждения 2 1-ранг G не меньше 5. Если G/N - типа 2^2x2, то 1-ранг G в силу утверждений 2 и 4 не меньше 7. Значит, G/N - типа 2x4. Следствие доказано.
В работе [1] доказана
Теорема 3. Ранг инцидентности циклической группы G порядка pmqn при т — п равен т+1.
Из нее нетрудно получить
Следствие. Бипримарные циклические группы 1-ранга 4 - это группы порядков p3qn (п > 3), и только они.
Лемма 3. Пусть в конечной группе G существует неинвариантная погруппа Р I-ранга к, имеющая Ьбазис М из всех к изоорд-ных подгрупп группы Р, порождающий Р.Тогда в G существует ^множество из (к+1) изоордных подгрупп, содержащее М.
Доказательство. Рассмотрим с1 Р. Пусть М={Р1, ...,Рк} и Р=< Р1, ...,Рк >. Существует Рх Ф Р, так как Р неинвариантна в G, и поэтому существует 1: Р1х ^ Р (иначе Рх=<Р1х, .,Ркх>=<Р1, .,Рк>=Р, ибо |Р х|=|^|, а в М - все изоордные подгруппы группы Р). Тогда РхФР (|=1,...,к). Поэтому {Р1, .,Рк, Р1х } - I-множество (оно состоит из изоордных подгрупп). Лемма доказана.
Следствие 1. Если Р - неинвариантная подгруппа группы G, имеющая тип 2x2 или Q8, то в G существует I-множество из четырех подгрупп порядка 2 (для типа 2x2) или из четырех подгрупп порядка 4 (для Q8).
Следствие 2. Если в G содержится неинвариантная подгруппа типа 3x3, то в G существует ^множество из пяти подгрупп порядка 3 (так как в группе типа 3x3 - четыре таких подгруппы) и !-ранг G не меньше пяти.
§ 2. Ранг инцидентности группы типа Р"ХР
Теорема 4. Все нециклические подгруппы группы G типа рп х р инцидентны и содержат ее нижний слой G1.
Доказательство. Очевидно, |G1|=p2. Пусть Н - нециклическая подгруппа группы G. Нижний слой Н1 подгруппы Н имеет порядок р8, где 8 > 2. Но Н1 — G1. Значит, |Н1| — р2. Если |Н1 |=p, то Н - циклическая, в противоречии с условием. Поэтому |Н1|=p2 и Н1= G1. Этим доказано, что Н з G1.
Пусть теперь В - другая нециклическая подгруппа группы G. По доказанному, В з G1. По условию G=<a> х <Ь>, где |a|=pn, |Ь|=p.
п-1
Тогда G1=< ар > х <Ь>.
Имеем Н/G1 и ВЮ1 - подгруппы группы
G/Gl.
Далее,
п-1 п-1
G/Gl=<a> х <Ь>/< ар > х <Ь> = <а>/< ар >. Докажем последний изоморфизм.
Так как
п-1
G==<a> х <Ь>=<а> • G1=<a> • (< аР > х <Ь>), то по теореме об изоморфизме G/Gl=<a> • Gl/Gl = <а>/<а> п Gl=<a>/<a> п
рП-1 рП -1
(< ар > х <Ь>)=<а>/< ар > - циклическая р-группа, т. е. G/G1 - группа с условием инцидентности. Поэтому из Н > G1 и В > G1 следует, что Н^ ^ В/ G1, откуда Н< В. Теорема доказана.
По аналогии с понятием ранга инцидентности можно ввести понятие циклического (нециклического) ранга инцидентности.
Следствие. Нециклический ранг инцидентности группы типа pn х p равен 1.
Чтобы найти ранг инцидентности группы типа pn х p, установим сначала, сколько элементов порядка pm в такой группе (1<т — п).
Пусть G=<a> х <Ь>, |a|=pn, |Ь|=p. Если |g|=pm и в=а8Ь, то g = 1. Но
е’МаУф^Ца8)1’, откуда |gp|=|(as)p|, т. е. У=|а8| и потому |а8|= pm.
В группе <а> элементов порядка pm столько, сколько существует первообразных
- это фт- pm"1).
Все элементы порядка pm из группы <а> можно умножить на любой элемент из <Ь>, их в <Ь> ровно р. Получим все элементы порядка pm группы G. Доказана
Лемма 4. В группе типа pn х p при любом m, таком, что К” — п, элементов порядка pm всего р(pm- pm"1)= pm(р-1).
Следствие. Циклических подгрупп порядка p2 в группе G=<a> х <Ь> типа p2 х p ровно р.
Доказательство. Пусть <с> и <d> -подгруппы порядка p2 группы G. Так как с=а8Ь, (s,p)=1, то с^а8)13 и < сp> з < а^. Далее ср =(ар)8, dр = (ар)1. Значит, <с> п <d>=<aр>. Следовательно, любые две подгруппы порядка p2 группы G имеют общую подгруппу <ар> порядка р.
В любой циклической подгруппе порядка p2 группы G содержится (р2-р) элемен-22 тов порядка p , а всего элементов порядка p в
G, по лемме 4, р2(р-1).
Следовательно, так как общих элементов порядка p2 такие подгруппы иметь не могут (иначе они совпадут), то в G всего р 2(р -1)
р(р -1)
= р
циклических подгрупп поряд-
ка р2. Следствие доказано.
Теорема 5. В группе типа p2 х p всего р циклических подгрупп порядка p2 и (р+1) подгруппа порядка р.
Справедливость этого утверждения вытекает из следствия леммы 4 и следствия утверждения 4.
Лемма 5. В группе типа pn х p циклических подгрупп порядка рт при 2 — т — п ровно р.
Доказательство. Из леммы 4 следует, что элементов порядка рт в G будет рт(р-
1). В каждую циклическую подгруппу порядка рт их входит рт-1 (р-1). Так как элемент порядка рт не может войти в две такие подгруппы порядка рт (ибо он их порождает), то число циклических подгрупп порядка рт в G рав-
р т(р -1) но р т-1(р -1)
р . Лемма доказана.
Теорема 6. В группе G=<a>х <Ь> типа pn х p все циклические подгруппы порядка рт (при п > т > 2) пересекаются по подгруппе
рп-т+1
<ар > порядка р”
Доказательство. Пусть |<c>|=pm,
1 1 п-т
с=а Ь8. Тогда |а |=pm. Так как <ар > - единственная подгруппа порядка рт группы <а>,
то: ак=( аР )\
Поэтому cp=akpЬsp=( ар у31, где (t,p)=1. Значит, <cp>=< арП т+' >. Теорема доказана.
Следствие 1. В группе типа pn х p (G =<а> х <Ь>) пересечение любых цикличе-
т-1
ских подгрупп порядка рк (п > к > 2) содержится в <ар>.
Следствие 2. Любая отличная от <а> циклическая подгруппа порядка рт группы типа pn х p при 1<т — п пересекается с <а> по своей максимальной подгруппе.
Итак, в лемме 5 и теореме 4 мы показали, что в группе G=<a> х <Ь> типа pn х p имеются следующие истинные подгруппы (и только они):
1) р+1 подгруппа порядка р;
2) р циклических подгрупп каждого из порядков р2,., рп;
3) (п-1) нециклических подгрупп (типов р х р, р2 х р,., рп-1 х р) - все они инцидентны.
Оценим ранг инцидентности рассматриваемой группы.
Отметим, что из следствия 2 теоремы 6 вытекает: в любой циклической подгруппе ^> группы G все истинные подгруппы - некоторые подгруппы из <а> (так как в конечной циклической группе подгруппа каждого порядка единственна). Поэтому, если ^> ^ <а> и <g> инцидентна с какой-то циклической подгруппой <Ь> ,то <Ь> ^ <а>.
Заметим также, что любая подгруппа 8 из <а> порядка р8 содержится во всех циклических подгруппах группы G порядка рт, где т>8. Это утверждение вытекает из следствия
1 теоремы 6.
Учитывая это, возьмем в G все циклические подгруппы порядка рп (их р), порядка
рп-1 (кроме <а^) - их (р-1), рп-2 (кроме < аР >)
2 рП-2
- их (р-1), ., порядка р (кроме < аР >) - их
РП-1
(р-1) и порядка р (кроме <а >) - их р. В силу сделанного выше замечания получим I-множество. Оно содержит
Р + (р-1) • (п - 2) + Р = Р • п - п + 2 подгрупп. Покажем, что ранг инцидентности группы G равен этому числу.
Сначала докажем, что в группе G=<a> х <Ь> типа pn х p любое Ьмножествор не может состоять больше чем из t=p•n-n+2 подгрупп. Для этого найдем число всех истинных циклических подгрупп группы G. Из отмеченного в пунктах 1) и 2) следует, что в G всего р•(n-1)+(p+1)=p•n+1 циклических подгрупп, отличных от 1. Но в <а> ровно п отличных от 1 подгрупп (порядков pn, pn"1,..., p) и они все инцидентны. Значит, в р может войти не более одной из них. Поэтому число подгрупп в р не больше (p•n+1)-(n-1)=p•n-n+2=t.
Но выше мы построили ^множество из такого числа циклических подгрупп. Если к ним добавить хотя бы одну нециклическую подгруппу типа рт х р, то придется убрать не менее чем р циклических подгрупп и получим ^множество из меньшего числа подгрупп. Значит, выше мы нашли Ьбазис G. Нетрудно видеть, что для G он единственен. Этим доказана
Теорема 7. Группа типа pn х p имеет ранг инцидентности p•n-n+2.
Следствие 1. Ранг инцидентности
группы типа p2 х p равен 2-р-2+2=2-р.
Следствие 2. Ранг инцидентности
группы G типа p3 х p равен 3ф-3+2=3ф-1.
Следствие 3. Ранг инцидентности
группы типа pn х p равен ее циклическому рангу инцидентности (так как в такой группе мы нашли Ьбазис, состоящий только из циклических подгрупп).
§ 3. Некоторые свойства непримарных групп, связанные с 1-рангом
Лемма 6. Пусть Р - силовская р-подгруппа непримарной группы G. Если Р неинвариантна в G, то |с1 Р| > 3 (1) и Ьранг G не меньше (|с1 Р|+1) > 4.
Доказательство. Так как Р неинвариантна в G, то |с1 Р|=8 Ф 1. Поэтому Р^(Р)|=8. Если (1) не выполняется, то 8=2 и р^(Р)|=2. Тогда ^Р) < G как подгруппа индекса 2. Но Р - характеристическая подгруппа группы N(P). Следовательно, Р < G, т. е. 8=1, вопреки условию.
Если с1 Р={Р1,.,Рк} и Q - силовская q-подгруппа, то Р1,.,Рк, Q неинцидентны и поэтому Ьранг G не меньше |с1 Р|+1. Лемма доказана.
Следствие 1. Если группа G содержит две неинвариантные силовские подгруппы Р и Q по разным простым числам, то I-ранг G не меньше 6.
Доказательство. По лемме 6 |с1 Р| > 3, |с1 Q| > 3. Но {с1 Р, с1 Q} - I-множество, так как (|Рх|,^у|)=1 для любых х, у е G.
Следовательно, Ьранг G не меньше 6. Следствие доказано.
Следствие 2. В непримарной группе I-ранга не большего 5 может быть не более одной неинвариантной силовской р-группы.
Следствие 3. Пусть Р - инвариантная силовская р-подгруппа непримарной группы G !-ранга к и в G существует неинвариантная
силовская q-подгруппа Q. Тогда I-ранг P не превосходит (k-3).
Доказательство. По лемме 6 Q имеет не менее трех сопряженных неинцидентных подгрупп. Так как P и подгруппы Qx неинцидентны, то I-ранг Р не больше (k-3).
Следствие 4. Если периодическая группа G I-ранга 4 имеет инвариантную силов-скую р-подгруппу Р и неинвариантную си-ловскую q-подгруппу Q, то P - циклическая или квазициклическая р-группа (ибо I-ранг Р по следствию 3 не превосходит 4-3=1, т. е. равен 1).
Следствие 5. I-ранг конечной непримар-ной ненильпотентной группы не меньше 4.
Справедливость этого утверждения вытекает непосредственно из леммы 6.
Лемма 7. Если Р - силовская р-подгруппа конечной группы G, то |G:N(P)| не делится на р, т. е. |cl P| не делится на р.
Следствие 1. Если Р - неинвариантная силовская 3-подгруппа группы G, то |clP| — 4.
Доказательство. В силу леммы 6 |clP| — 3. Если |clP|=3, то получаем противоречие с леммой 10, так как Р - 3-группа. Значит, |clP| — 4. Следствие доказано.
Следствие 2. I-ранг конечной непримарной группы, содержащей неинвариантную силовскую 3-подгруппу, не меньше 5.
§ 4. Конечные абелевы группы
I-ранга 4
Теорема 8. Конечная абелева 2-группа
I-ранга 4 - это группа типа 2^4, и только она.
Доказательство. Пусть G - такая группа. Так как она абелева, то G=GiX G2X... Gs, где Gj - циклические и s — 2 (иначе нижний слой будет элементарной абелевой группой порядка 2n, n — 3, а такая группа имеет I-ранг, больший четырех).
Если s=1, то G - циклическая; следовательно, ее I-ранг равен 1.
Если s=2, то G=G1 х G2. Возможны случаи:
1. В Gj содержатся отличные от единицы элементы только второго порядка.
Тогда G-типа 2х2 и I-ранг G равен 3, в противоречие с условием.
2. Порядок G1 или G2 делится на 4.
Если G - не типа 2х4, то в ней найдется
подгруппа типа 2х8 или 4х4. I-ранг группы 2х8, в силу следствия 2 теоремы 11, равен 3-2-1=5, что противоречит условию.
Пусть G - типа 4x4. Элементов порядка
2 в ней три (они все содержатся в ее нижнем слое типа 2x2). Значит, из 16 элементов этой группы 12 - четвертого порядка. В одну подгруппу порядка 4 входит два элемента порядка 4. Поэтому в G - шесть подгрупп порядка 4. Очевидно, это Ьбазис G, и поэтому Ьранг G равен 6, в противоречие с условием.
Значит, G - типа 2x4. То, что она имеет Ьранг 4, вытекает из следствия 1 теоремы 7. Теорема доказана.
Лемма 8. Нижний слой абелевой 3-группы G Ьранга 4 имеет либо тип 3x 3, либо тип 3.
Доказательство. Рассмотрим группу типа 3x3x3. В такой группе все отличные от единицы элементы имеют порядок 3. Так как в подгруппу порядка 3 входит два элемента порядка 3, то в нашей группе 26/2=13 подгрупп порядка 3. Значит, Ьранг такой группы не меньше 13. Поэтому нижний слой группы G - типа 3x3 или типа 3. Лемма доказана.
Теорема 9. Абелева 3-группа имеет Ьранг 4 тогда и только тогда, когда G - группа типа 3x3. Доказательство.
Необходимость. В силу леммы 8 для 3-группы G I- ранга 4 возможны лишь 2 случая:
1. G=Cзnx С3т, где | С3п|=3п, | С3т |=3т. Если п>1 или т>1, то подгруппа С^ С32 имеет в силу следствия 1 теоремы 11 Ьранг
2-3=6. Значит, п=1, т=1 и G=C3x С3 - группа типа 3x3.
2. G=<a> - циклическая 3-группа.Ее I-ранг равен 1, вопреки условиию.
Итак, G - группа типа 3x3.
Достаточность. Группа G типа 3x3 в силу следствия утверждения 4 имеет Ьранг 4. Теорема доказана.
Лемма 9. Если абелева р-группа G имеет Ьранг 4, то G - 3-группа или группа типа 2x4.
Действительно, циклической такая группа быть не может (ибо тогда ее Ьранг равен 1). Значит, в G есть подгруппа типа рxр I-ранга (р+1)— 4, и потому р — 3. Если р=2, то по теореме 8 G - типа 2x4. Лемма доказана.
Теорема 10. Конечная абелева группа G имеет Ьранг 4 тогда и только тогда, когда G -группа одного из следующих видов:
1. Циклическая порядка p3qn (п > 3);
2. Циклическая порядка p2qr;
3. Группа типа 2x4;
4. Группа типа 3x3;
5. Группа типа 2x2xpn, рф 2.
Необходимость. В силу утверждения 1 имеем: |ж (О)| — 4. Возможны случаи:
I. О - циклическая группа.
а) Если ж ^)=1, то О - р-группа, и ее I-ранг равен 1 - противоречит условию.
б) Если ж^)=2, то по теореме 1 из [1] (п > 3) - группа вида 1 из теоремы 10.
в) Пусть ж ^)=3, т. е. О^а дРгу . Если два из чисел а , р или у не меньше
двух (например, а и р), то О содержит I-
22
множество из пяти подгрупп порядков p , д , pq, pг,qг и ее Ьранг не меньше 5 - в противоречие с условием.
Значит, либо О^^г, либо О^дг. В последнем случае О имеет Ьранг 3. Значит, О^^г - группа вида 2 из теоремы 10.
г) Если ж^)=4, то p1p2p3p4І|G| и в О есть ^множество из шести подгрупп порядков p1pj (1Ф j), 1, j=1, 4, в противоречие с условием.
II. О - нециклическая.
Возможны случаи:
а) О - р-группа.
По лемме 9 или О - типа 2 х 4 (т.е. группа вида 3 из теоремы 10), или О - 3-группа, а тогда по теореме 9 О - группа типа 3 х 3, т. е. группа вида 4 из теоремы 10.
б) О - непримарная группа.
Тогда О=Р1 х ... хР8 - прямое произведение силовских p1 - подгрупп по разным р. Так как | ж (О)| — 4, то 8 — 4. Группа О нециклическая, и поэтому хотя бы одна Р1 (например, Р1) нециклическая. Но Ьранг Р1 не более трех, и поэтому Р1, как видно из описания абелевых р-групп Ьранга, не большего 3 -типа 2 х 2.
Пусть |Р2| = рп, п > 2. Тогда в О есть подгруппа типа 2 х 2 х рп. Ее Ьранг не меньше 4 (ибо подгруппы порядков 2, 2, 2, рп - I-множество). Если 8>2, то добавив к этому множеству Р3, получим противоречие с тем, что Ьранг О равен 4. Значит, 8=2 и О=<а1> х <а2> х Р2, |ах|=|а2|=2, | Р2|= рп. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть О - группа типа
2 х 2 х рп. В ней три подгруппы порядка 2, по одной - порядков p, p2,..., pn"1, pn и 4р, 4р2,..., 4pn"1 (те и другие попарно инцидентны) и по три - порядков 2pk (к — п).
Нетрудно видеть, что Ьбазис О состоит из четырех подгрупп, т. е. Ьранг О равен 4. Ьранг 4 имеют и группы типов 2х 4, 3х 3, циклические группы порядка p3qn (п > 4) - по теореме 1 из [1] и циклические группы поряд-
ка p2qг, как нетрудно проверить. Теорема доказана.
Следствие. Примарные абелевы группы Ьранга 4 - это группы типов 2 х 4 и 3 х 3, и только они.
§ 5. Конечные неабелевы р-группы 1-ранга 4, покрываемые тремя подгруппами
Пусть р-группа О покрывается тремя подгруппами. Тогда, как известно (см. теорему 2), в О существует такая нормальная подгруппа N что - группа Клейна. Так как О
- р-группа, то р=2, т. е. О - 2-группа.
При исследовании таких групп нам понадобятся следующие известные утверждения (здесь Q2n - обобщенная группа кватернионов, Б2п - группа диэдра, 8Б2п - полудиэдральная группа):
Лемма 10 (см., напр. [4]).
1. Q2n/Z = Б2п-1.
2. В группе Б2п элементов второго порядка (2п-1+1) (п > 3).
3. 8Б2п^ = Б2п-1, (п > 4).
4. Центр каждой из групп Q2n, Б2п, 8Б2п имеет порядок 2.
Следствие 1. I-ранг группы Б2п при п>3 не меньше (2п-1+1) >5. Таких групп I-ранга 4 нет.
Вытекает из п. 2 и определения Ьранга
Следствие 2. Ьранг группы Q2n при п > 4 не меньше (2п-2+1). Таких групп I-ранга 4 нет.
Доказательство. Если Q2n или Б2п (п > 4) - группа Ьранга 4, то в силу п. 1 и 2 имеем 4 > 2п-2+1, т. е. 2п-2 — 3. Следовательно, п=3, а у нас п > 4. При п=3 Б2п = Б8 и по лемме
2 имеем Ьранг 5. Следствие доказано.
Лемма 11. Пусть О - неабелева группа порядка 16, у которой не более четырех элементов порядка 2, а остальные неединичные -порядка 4. Тогда Ьранг О не меньше 6.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что в О не менее 16-5=11 элементов порядка 4. В каждую подгруппу порядка 4 входит два таких элемента. Поэтому в О должно быть четное число таких элементов, т.е. не менее 12, и 12:2=6 подгрупп порядка 4. Это ^множество, и потому Ьранг не меньше 6. Лемма доказана.
Лемма 12. Ранг инцидентности модулярной группы МрП (п > 3) , где рп Ф 8 , равен р(п -1) - п + 3.
Доказательство. Обозначим группу М п через Р. По определению
P =<а >Л<Ь >, где ар = 1, Ьр = 1 и
Ь-1аЬ = а'+рп 2.
Известно (см., например, [4], с.154), что в этой группе ровно p максимальных подгрупп: С =< ар >х< Ь > и < аЫ >, где
p
] = 0,1,...,р-1, и все они содержат < а >. Подгруппа С - это группа типа рп 2 х р , и по теореме 7 ее Ьранг равен г = р(п - 2) - (п - 2) + 2 = р(п - 2) - п + 4, причем единственный Ьбазис группы С состоит из всех ее циклических подгрупп, кроме истинных подгрупп группы < ар > (в частности, < ар > входит в С). Если к нему добавить все подгруппы < аЫ >, кроме < аЬ0 >=< а >, то получим, очевидно, I-множество О из
г + (р-1) = р(п - 2) - п + 4+(р-1) = р(п-1) - п + 3 подгрупп. Покажем, что это будет Ьбазис Р.
Пусть р - любое ^множество группы Р. Тогда из подгрупп, содержащихся в р максимальных подгруппах < аЫ > группы Р, в него войдут не более р подгрупп, а из С - не более г подгрупп, т. е. р состоит не более
чем из (г + р) подгрупп. Если в р будет ровно (г + р) подгрупп, то в р войдет, как отмечено выше, и < ар > из С, и некоторые подгруппы из < а >, а они инцидентны. Значит, р состоит не более чем из г + (р -1) подгрупп. Но ^множество из такого числа подгрупп мы построили выше - это О. Значит, О - Ьбазис Р и Ьранг Р равен г + (р - 7) = р(п -1) - п + 3 . Лемма доказана.
Следствие 1. Ранг инцидентности группы М16 равен 5.
Замечание. Если рп = 8, то, как нетрудно видеть, М8 = D8, а Ьранг группы D8
найден в лемме 2.
Следствие 2. Существуют конечные р-группы любого ранга инцидентности, кроме 2.
Доказательство. Рассмотрим группы М2п,п > 4. В силу леммы 12 их Яранги равны
2(п -1) - п + 3 = (п + 1), а это - любые целые числа, начиная с 5. Существование групп ран-
гов инцидентности 1 и 3 видно из теоремы 1, а Ьранга 4 - из леммы 1. Следствие доказано.
Пусть конечная неабелева 2-группа О имеет Ьранг 4. Возможны случаи:
1. В О существует единственная подгруппа порядка 2.
Тогда, как известно (см. [5]), О - циклическая или Q2n, п > 3 (обобщенная группа кватернионов).
Так как О неабелева, то О = Q2n. В силу следствия 2 леммы 10 групп Ьранга 4 в случае
1 нет.
2. В О не менее двух подгрупп порядка 2.
Одна из них обязана содержаться в ее
центре Z, и потому в О существует подгруппа А типа 2x2. Так как О неабелева, то О Ф А.
Заметим, что в О не могут все неединичные элементы иметь порядок 2 - иначе она была бы абелевой.
Далее, для любого g е О |О:С^)| — 4 (так как Ьранг О - 3 или 4), т. е. либо |О:С^)|=2, либо |О:ОД|=4.
Возьмем в О любой элемент Ь е О^ порядка большего двух. Если |О:С(Ь)|=4, |Ь|=2к, к > 2, то |О:С(<Ь>)|=4, и потому |с1<Ь>|=4. Если к этим четырем подгруппам добавить А, то получим ^множество из пяти подгрупп (А с <Ь> невозможно, так как в <Ь> - единственная подгруппа порядка 2, и <Ь> ^ А, так как |Ь|>2). Значит, |О:С^)|=2 для любого gе О^, ^|Ф 2.
Пусть ^|=2 и g £ Z. Так как в О хотя бы одна подгруппа порядка 2 содержится в Z, то |с1 ^>| — 3, т. е. |с1 ^>|— 2 (О - 2-группа).
Итак, для любого элемента g е О^ |О:С^)|=2. Тогда С^) < О, как подгруппа индекса 2 и О/С^) - группа порядка 2.
Поэтому для любого се О имеем с2 с С^). Это выполняется для любого g е О. Но п C(g) = Z - центр О. Поэтому с2 е Z и
gеG
О^ - элементарная абелева 2-группа. Так как ее Ьранг не больше 4, то О^ - типа 2x2. Отметим, что О с Z, так как О^ абелева.
Рассмотрим теперь возможные подслу-чаи для Z.
2.1.2 - нециклическая группа.
Тогда она - типа 2x2 или 2x4 (в силу теоремы 10). Отметим, что элементов порядка 2к, к > 3 в О нет - иначе существует Z<g> -абелева нециклическая 2-группа Ьранга 3 или
4 и содержит элемент порядка 8, а таких I-групп нет - в силу теорем 1 и 10.
Рассмотрим каждый из указанных в п.2.1 типов для Z.
2.1.1. 2- типа 2*2. Если g ^Z, то Z<g>
- абелева 2-группа порядка, большего 4, нециклическая и не типа 2x2. Тогда Z<g> - типа 2x4, т. е. У=4.
По доказанному выше, О^ - группа типа 2x2. Поэтому |О|=16. По лемме 11 Ьранг О больше 4. Противоречие.
Случай 2.1.1. невозможен.
2.1.2. 2 - типа 2*4. Если существует g <х Z, тогда Z<g> абелева нециклическая группа порядка большего 8, а таких среди групп Ьранга, не большего 4, нет.
Случай 2.1.2. невозможен.
Итак, случай 2.1. невозможен.
2.2. 2 - циклическая группа.
Пусть ^|=2\ Если t > 3, то произведение А7 - абелева группа, причем Z <х А. Тогда |А2| > 8, (так как |А|=4 и |А п 2|=2). А7 - нециклическая, а тогда Ьранг О больше 4. Значит, t— 2, т.е. либо ^|=2, либо ^|=4 (в последнем случае Z и А неинцидентны).
2.2.1. |2| =2. Так как |О/г|=4, то |О|=8. Тогда О - группа диэдра (так как в ней больше одной подгруппы порядка 2), а ее Ьранг равен 5 (по лемме 2).
Случай 2.2.1. невозможен.
2.2.2. 121=4. Тогда |О|=16 (так как |О^|=4). Так как О неабелева, то порядки ее элементов не больше 8.
Рассмотрим 2 подслучая:
1. В О нет элементов порядка 8. Тогда по лемме 11 Ьранг О не меньше 6.
Этот случай невозможен.
2. В О существует элемент порядка 8. Тогда (см. [5]) О - либо обобщенная группа кватернионов Q24, либо полудиэдральная 8Б16, либо модулярная М16.
Q24 быть не может, так как в О более одной подгруппы порядка 2.
Б24 содержит Б8, а Ьранг последней равен
5 (по лемме 2), и поэтому О не изоморфна Б24.
Если О = 8Б16, то (см [4], упр.17.22) О^ = Б8, а у нас |О^|=4.
Наконец, пусть О = М16. Тогда в силу следствия леммы 12 ее ранг равен 5.
Из доказанного получаем:
Теорема 11. Конечных неабелевых р-групп Ьранга 4, покрываемых тремя подгруппами (в частности, р-групп Греко типа 2), не существует.
§ 6. Конечные неабелевы группы 1-ранга 4
Пусть О - конечная группа Ьранга 4. Тогда в ней не более четырех максимальных подгрупп. Возможны 3 случая.
I. О - группа с одной или двумя максимальными подгруппами.
Такие группы известны - они циклические, а у нас О неабелева. Случай I невозможен.
II. О - группа с тремя максимальными подгруппами. Подслучаи:
II. 1 О=М1 и М2 и М3.
3
II. 2 О Фи М1. Тогда О циклическая, а у
2=1
нас О неабелева.
Случай П.2 невозможен.
III. О - группа с четырьмя максимальными подгруппами. Подслучаи:
4
III. 1 О Ф и М1; тогда О - циклическая,
2=1
вопреки условию.
4
III. 2 О= и М1. Тогда О - одна из групп
i=l
типов 1 -4 теоремы Греко.
Итак, надо рассматривать только случаи П.1 и III.2, т. е. когда О покрывается тремя или четырьмя подгруппами. Случай П.1 частично изложен в §5 и будет рассмотрен ниже (перед теоремой 13).
Случай III. 2
1. О есть объединение четырех подгрупп.
1.1. О - группа Греко типа 1 или 4.
Тогда существует N ^ О, что |О/^ делится на 2 и 3. Следовательно, |О| делится на
2 и 3.
Пусть Р2 - силовская 2-подгруппа группы О и Q - силовская 3-подгруппа группы О. Если Q неинвариантна в О, то по следствию 2 леммы 3 Ьранг О не менее 5, в противоречие с условием. Значит, Q ^ О. Отметим, что Р2 неинвариантна в О, либо |О/^ равен 6 или 18, т.е. делится на 2 и РЖК - силовская 2-подгруппа группы О/^ а это есть группа 83 или группа порядка 18 из теоремы Греко и в таких группах силовские 2-подгруппы неинвариантны. По следствию 3 леммы 6 подгруппа Q циклическая.
Так как |с1 Р2| > 3, то {с1 Р2^} - I-множество из четырех подгрупп. Но Ьранг О равен 4, и поэтому в О нет силовских p-подгрупп при р Ф 2 и р Ф 3.
Значит, О = QЛP2, ^|=3п и Р2 неинвариантна в О, причем Ьранг Р2 не больше 3.
Пусть Р2 нециклическая. Тогда Р2 -группа типа 2x2 или изоморфна Q8 - Ьранга 3 и по следствию 1 леммы 3 в О найдется I-множество из четырех подгрупп порядка 2 или 4. Добавив к ним Q, получим ^множество из пяти подгрупп, а I- ранг О равен 4. Значит, Р2 - циклическая группа.
Далее, |О^(Р2)|=3. Так как Q=<a>, то а3 с N^2).
Подгруппа <а3> х Р2=Ь имеет порядок 6. Если п>1, то Ь Ф О и в О существует I-множество, состоящее из { с1 Р2} - три подгруппы, Ь и Q (Q <х Ь, так как ^|>3), - в противоречие с тем, что I-ранг О равен 4.
Значит, п=1. Получаем
Тип 1. О=<а>Х<Ь>, а3=1, Ь2 =1, Ь-1аЬ=а-1.
Только такие группы получаются в случае 1.1. Доказана
Теорема 12. Если конечная неабелева группа Греко О типа 1 или 4 имеет Ьранг 4, то
О=<а>Х<Ь>, а3=1, Ь2” =1, Ь-1аЬ=а-1.
§ 7. Конечные неабелевы группы Г реко типа 3 1-ранга 4
1.2. О - группа Греко типа 3.
Такая группа имеет фактор-группу О/М типа 3x3. Поэтому |О| делится на 3. Пусть |О| делится еще на q, отличное от 3, и Р3 - силов-ская 3-подгруппа группы О. Так как G/N=P3N/N = Р3/Н п Р3 - типа 3x3, т. е. имеет I-ранг 4, то Ьранг Р3 равен 4. Но, добавив к I-базису из 4 подгрупп группы Р3 подгруппу Q -силовскую q-подгрупу по q Ф 3, получим противоречие с тем, что Ьранг О равен 4.
Значит, Ьгруппа Греко ранга 4 типа 3 всегда примарна, т. е. является 3-группой (ибо О^ - 3-группа).
Изучим неабелевы 3-группы Греко типа
3, имеющие Ьранг 4. Пусть О - такая группа.
Возможны два случая:
1.2.1. В О - единственная подгруппа порядка 3.
Тогда, как известно (см., напр. [5]), О -циклическая группа. Получили противоречие (ибо О неабелева).
Случай 1.2.1 невозможен.
1.2.2. В О существует более одной подгруппы порядка 3.
Так как хотя бы одна подгруппа 3-го порядка содержится в Z , то в О существует
подгруппа 8 типа 3x3, а в ней - четыре подгруппы порядка 3. Это - все подгруппы порядка 3 группы О, ибо Ьранг О равен 4.
Возможны подслучаи:
a) В О все неединичные элементы порядка 3.
Из сказанного выше следует, что в О\8 нет элементов порядка 3, т. е. О=8 - абелева группа, вопреки условию.
Случай а) невозможен.
b) В О существует элемент порядка 3п,
п > 2.
Тогда в О существует циклическая подгруппа порядка 9. Пусть С - любая такая подгруппа.
Если С с Z, то в О возьмем подгруппу В порядка 3, не содержащуюся в С (в силу условия 1.2.2 такая найдется). Тогда <С, В> = СxB
- типа 9x3, а ее Ьранг в силу следствия 1 теоремы 7 равен 6, что невозможно.
Значит, С ^ Z. Если в Z найдется подгруппа В третьего порядка, не содержащаяся в С, то <С, В> = СxB- типа 9x3, что, как и выше, приводит к противоречию. Поэтому (Сп Z) - единственная подгруппа третьего порядка группы Z.
Докажем, что С < О. Предположим противное. Тогда, так как Ьранг О равен 4, то в силу пункта ф утверждения 1 имеем |с1С| — 4. Но О - 3-группа, и потому получаем: |с1С|=3. Все три подгруппы 9-го порядка из с1С, как показано выше, содержит одну и ту же подгруппу третьего порядка - их пересечение с Z. Если теперь к с1С добавить остальные три подгруппы 3-го порядка из 8 (не содержащиеся в Z), то получим ^множество из шести подгрупп, в противоречие с тем, что Ьранг группы О равен 4. Значит, С < О.
Пусть А - подгруппа третьего порядка из
О, не содержащаяся в С. Так как С < О, то СА<О. Если СА=СxА, то это - группа типа 9x3, а ее Ьранг, как отмечалось выше, равен 6, что невозможно. Значит, Н=СА - неабелева группа.
Мы получили Н=<с>Х<а>, а3=1, с9=1 и а-1са=ск, 1<к<9.
В этой группе есть подгруппа <с3> х <а> типа 3 х 3. В ней четыре подгруппы порядка 3 и 9 элементов. Значит, в Н (27-9)=18 элементов порядка 9. В одну циклическую подгруппу порядка 9 входит шесть элементов порядка 9. Поэтому в Н (18:6)=3 циклические подгруппы порядка 9.
Как показано выше, все циклические подгруппы 9-го порядка содержат одну подгруппу
3-го порядка. Поэтому в Н существует I-множество из трех циклических подгрупп 9-го порядка и трех - 3-го (отличных от <с3>). Значит, Ьранг Н (и тем более О) больше 4.
Случай Ь) невозможен.
Итак, и случай 1.2.2 невозможен.
Мы доказали
Утверждение 6. Конечных неабелевых групп Греко типа 3 Ьранга 4 не существует.
§ 8. Конечные неабелевы группы Г реко типа 2 1-ранга 4
1.3. О - конечная неабелева группа Греко типа 2.
В такой группе существует N <1 О, что О^ - либо Б8, либо типа 2x4, либо 2x2x2. Из этих типов фактор-групп только 2x4 имеет I-ранг 4, остальные - больший. Но если О^ =О^ xG2/N, | О^^, | О2/^=4, то существует О3^< О/^ | О3/^=2. Тогда О3 < О и О/О3 - типа 2x2. Такие группы покрываются тремя подгруппами. Поэтому достаточно рассмотреть Случай П.1 (см. начало §6).
Случай 11.1. Неабелевы группы 1-ранга 4, покрываемые тремя подгруппами.
Р-группы такого рода изучены в §5. Рассмотрим непримарные группы.
Пусть О - непримарная группа Ьранга
4, являющаяся объединением трех подгрупп.
В силу следствия 2 леммы 6 в О может быть не более одной неинвариантной силов-ской q-подгруппы. В силу сказанного выше, |О| четный. Пусть Р2 - силовская 2-подгруппа группы О. Возможны случаи:
1. Р2 < О. Пусть существует силовская q-подгруппа Q, неинвариантная в О, q Ф 2. Тогда, по следствию 4 леммы 6, Р2 - циклическая, и потому Р^^ - циклическая (ибо Р2^ = Р2/ Р2 пЯ). Но P2N/N=G/N - типа 2x2, а эта группа нециклическая.
Значит, все силовские q-подгруппы группы О инвариантны в О ^ Ф 2); тогда О=P2xQ1x...xQS (1), где Q1 - силовская ^ -подгруппа группы О (^ Ф ^ при 1Ф 1, j от 1 до 8). Ьранг каждого множителя из (1) не более трех. Так как О неабелева, то Р2 = Q8, а тогда G=Q8xT, где Т - циклическая группа I-ранга 1, то есть циклическая р-группа (ибо I-ранг Q8 равен 3). Если Т^11 и п>1, то в О есть ^множество из подгрупп порядков 4, 4,
4, р2, 2р и I-ранг О больше 4. Значит, п=1.
Получаем тип III: G=Q8x<b>, |Ь|=p,
p Ф 2.
2. Р2 неинвариантна в О.
Так как |с1 Р2| не делится на 2 и |с1Р2| — 4, то |с1Р2|=3. Далее по следствию 4 леммы 6 все силовские q1- подгруппы по q1 Ф 2 циклические, т.е. О= ТХР2 (2), где Т - циклическая группа нечетного порядка. Так как |с1Р2|=3 (3), то Т - группа Ьранга 1, т. е. циклическая
3 -группа.
Группа О^= Р^^ - типа 2x2, то Р2 -нециклическая группа Ьранга, не большего 3 (ибо О - непримарная группа I- ранга 4). Следовательно, Р2 - группа типа 2x2 или Q8. В силу следствия 1 леммы 3 в О найдется I-множество из четырех 2-подрупп; если к нему добавить Q, получим, что Ьранг О больше 4. Случай 2 невозможен. Этим доказана
Теорема 13. Если О - конечная непримарная неабелева группа Ьранга 4, покрываемая тремя подгруппами (в частности, группа Греко типа 2), то G=Q8x<b>, где |b|=p, p Ф 2.
Из полученных нами результатов вытекает
Теорема 14. Конечная группа О является группой Ьранга 4 тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:
1. Циклическая порядка p3qn (п > 3);
2. Циклическая порядка p2qr;
3. Типа 2x2xрn, рф 2;
4. Типа 3x3;
5. G=<a>X<b>, а3=1, Ь2 =1, Ь-1аЬ=а-1; О=Q8x<b>, Ь?=1, p Ф 2;
6. Типа 2x4.
Доказательство.
Необходимость доказана в теоремах 10,
11, 12, 13 и утверждении 6.
Достаточность. Для всех типов абелевых групп достаточность доказана в теореме 10. Осталось ее проверить для групп типов 5 и 6.
Пусть О - группа типа 5. Тогда Z=Z(G)= < Ь2 > , О^ = 83. В О по одной подгруппе порядков 3, 2, ..., 2Ш-1, 3^2,_,3^2Ш-1, три
- порядка 2Ш (ибо |с1<Ь>|=3). Так как подгруппы порядков 2к и 21 инцидентны, а порядка 3 единственна, то и подгруппы порядков 3-2к и
3-21 инцидентны. Из них не набрать I-множество более чем из четырех подгрупп и О - группа I- ранга 4.
Если О - группа типа 6, то у нее три подгруппы порядка 4, по одной - порядков 2, 8, р и 2р, три - порядка 4р. Из них не набрать более четырех неинцидентных, и поэтому !-ранг О равен 4. Теорема доказана.
Список литературы
1. Половицкий Я.Д. Ранг инцидентности // Алгебра и линейная оптимизация: тр. меж-дунар. сем. Екатеринбург, 2002. С. 184-186.
2. Половицкий Я.Д. Группы, имеющие небольшие ранги инцидентности // Вестник Перм. ун-та. Математика. Информатика.
Механика. 2003. Вып. 5. С.65-69.
3. Конторович П.Г., Пекелис А.С., Старостин А.Н. Структурные вопросы теории групп // Математические записки. Т.3, тетрадь 1. Свердловск, 1961. С.3-53.
4. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
5. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.
Groups, wich have I-rank 4
Ja. D. Polovitsky
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 alg@psu.ru; (342) 236-82-83
Groups with a I-rank 4 are described in this paper.
Key words: group; incidence.
