Группы с условием инцидентности для некоторых типов подгрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2008 Математика. Механика. Информатика Вып. 4(20)

УДК 512.544

Г руппы с условием инцидентности для некоторых типов подгрупп

Я. Д. Половицкий

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Устанавливается ряд общих свойств групп с некоторыми условиями инцидентности. Описываются непримарные локально конечные группы с условием инцидентности для непри-марных подгрупп.

Определение 1. Две подгруппы группы О называются инцидентными, если одна из них содержится в другой.

Пусть £ - теоретико-групповое свойство, такое, что всякая группа, изоморфная £-группе, сама является £- группой.

Определение 2. Будем говорить, что группа удовлетворяет условию инцидентности для подгрупп (короче 1^-условию), если она является £-группой и не содержит ни одной пары неинцидентных £-подгрупп. Группы с 1£-условием будем называть 1^-группами.

Отметим, что по этому определению 1£-группами являются и £-группы, у которых

все истинные подгруппы являются 2 -группами (минимальные £-группы).

В настоящей работе нас будут в основном интересовать те свойства £, которые переносятся на надгруппы. Только о таких свойствах £ будет идти речь, начиная со следствия 1 теоремы 1.

Примерами таких свойств являются: не-абелевость, нецикличность, неразрешимость, ненильпотентность и многие другие свойства, сформулированные на языке отрицания.

Отметим, что для указанных выше

свойств £ их отрицания 2 переносятся, очевидно, на подгруппы.

Некоторые свойства Т^-групп

Пусть £ - произвольное теоретикогрупповое свойство.

Лемма 1. Всякая £-подгруппа 1£-группы является 1£-группой.

Справедливость этого утверждения очевидна.

Лемма 2. Если свойство £ переносится на фактор-группы, то всякая £-фактор-группа 1£-группы является 1£-группой.

Доказательство. Пусть О - 1£-группа, N < О и О/К - £-группа. Если в О/К все истинные подгруппы £ -группы, то она по определению является 1£-группой.

Пусть А/К, В/К - две £-подгруппы

группы О/К. Тогда А и В не могут быть £ -группами (иначе, ввиду условия теоремы, А/К и В/К были бы £ -группами). Значит, А, В -£-группы. В силу 1£-условия для О они инцидентны, а тогда А/К и В/К инцидентны. Значит, О/К - 1£-группа. Лемма доказана.

Лемма 3. Если 1£-группа О содержит минимальную £-подгруппу, то такая подгруппа единственна и инвариантна в О.

Доказательство. Если А,В - две минимальные £-подгруппы группы О, то в силу 1£-условия они инцидентны, и поэтому А=В. Так как g"1Ag = А - тоже минимальная £-группа, то по доказанному g"1Ag =А, т.е. А < О. Лемма доказана.

© Я. Д. Половицкий,2008

Следствие. Всякая конечная 1£-группа О содержит единственную минимальную £-подгруппу S и S инвариантна в О.

Замечание. Эта минимальная £-подгруппа может и совпадать с О.

Лемма 4. Все £-подгруппы периодической 1£-группы О инвариантны в О.

Доказательство. Пусть А - £-

подгруппа группы О. Тогда для любого g из О подгруппа g"1Ag будет также £-подгруппой, ибо она изоморфна А.

В силу 1£-условия подгруппы А и g"1Ag инцидентны. Но, как известно (см., например,

[2], задача 5.67), в периодической группе никакая подгруппа не может быть сопряжена со своей истинной подгруппой. Значит, А=g"1Ag, то есть А < О. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть К - такая истинная нормальная подгруппа 1£-группы О, что всякая содержащая ее и отличная от К подгруппа группы О является £-группой. Тогда О/К -циклическая или квазицик-лическая р-группа. Число р - одно и то же для всех таких подгрупп К, являющихся £-группами.

Доказательство. Пусть А/К и В/К -любые две неединичные подгруппы группы О/К. Тогда О>А>К и О>В>К и по условию теоремы подгруппы А и В есть £-группы. В силу 1£-условия А и В инцидентны. Тогда инцидентны А/К и В/К, т.е. О/К - группа с условием инцидентности. Как хорошо известно (см., например, [2]), тогда О/К - циклическая или квазициклическая р-группа.

Пусть М и К - нормальные £-подгруппы группы О, удовлетворяющие условиям теоремы. Ввиду 1£-условия М и К инцидентны, например К<М. Тогда О/М = О/К / М/К и, так как О/К (по доказанному) - р-группа, то и О/М - р-группа по тому же простому р. Теорема доказана.

Начиная со следствия 1 теоремы 1, будем рассматривать только те свойства которые переносятся на надгруппы.

Следствие 1. Если в 1£-группе О существует максимальная £-подгруппа М, то для любой нормальной £-подгруппы К фактор группа О/К - циклическая р-группа.

Доказательство. Пусть g е О/М. Так как свойство £ переносится на надгруппы, то подгруппа К^> является £-подгруппой. Тогда в силу 1£-условия М и К^> инцидентны. Если К^> ^ М, то g е М, вопреки выбору g. Значит, М ^ К^>. Так как М - максимальная £-подгруппа группы О и К^> Ф М (иначе g е М), то К^> = О, а тогда О/К -циклическая группа. Отсюда и из теоремы 1

следует, что О/К - циклическая р-группа. Следствие доказано.

Следствие 2. Пусть £(О) - пересечение всех инвариантных £-подгрупп 1£-группы О. Если £(О) является £-группой, то О/£(О) -циклическая или квазициклическая р-группа.

Справедливость этого утверждения вытекает из того, что из £(О)<А<О следует, что А - £-группа (так как £ переносится на надгруппы), и поэтому к £(О) применима теорема 1. Следствие доказано.

Следствие 3. Для любой 1£-группы О фактор-группа О/£(О) абелева. Если О периодическая, то О/£(О) - абелева р-группа.

Доказательство. По определению £(О)

= ^ Ка, где {Ка|ае Т} - множество всех нора

мальных £-подгрупп группы О. По теореме 1 О/Ка - абелевы р-группы (по одному и тому же р). Поэтому в силу теоремы Ремака О/£(О) -поддекартово произведение абелевых р-групп, т.е. абелева группа. Если О периодическая, то и О/£(О) периодическая и будет, очевидно, р-группой. Следствие доказано.

Следствие 4. Пересечение S(G) всех £-подгрупп периодической 1£-группы О совпадает с £(О). Если S(G) - £-группа, то О^(О)

- циклическая или квазициклическая р-группа и S(G) - минимальная £-группа.

Если S(G) - £ -группа, то О^(О) -абелева р-группа.

Доказательство. Равенство

S(G)=£(G) вытекает из леммы 4. Из следствий 2 и 3 теоремы 1 получаем справедливость утверждений о О^(О). Если S(G) - £-группа, то по определению она не может содержать отличных от нее £-подгрупп, т. е. является минимальной £-группой. Следствие доказано.

Теорема 2. Пусть О - конечная 1£-группа. Тогда либо О - минимальная £-группа, либо она содержит истинную минимальную £-подгруппу S, такую, что S < О и G=S<g>, где g - р-элемент для некоторого р е л (О).

Доказательство. Пусть О не является минимальной £-группой. Тогда в силу конечности, она содержит минимальную £-подгруппу S. Так как S - £-группа, то по лемме 4 S < О. В силу теоремы 1 (она применима, так как £ переносится на надгруппы) и конечности О фактор-группа О^ - циклическая р-группа, т.е. G/S=<gS>. Как нетрудно показать, в качестве g можно выбрать некоторый р-элемент. Очевидно, G=S<g>. Теорема доказана.

Лемма 5. Пусть £ - такое свойство, что всякая минимальная £-группа разрешима. Тогда любая периодическая 1£-группа О, содержащая минимальную £-подгруппу S (в частности, любая конечная 1£-группа), разрешима.

Доказательство. По лемме 4 S <1 О. По

теореме 1 О^ - циклическая или квазицикли-ческая р-группа. Отсюда из разрешимости S следует разрешимость группы О. Лемма доказана.

Группы с условием инцидентности для непримарных подгрупп

Определение 3. Непримарную группу, не содержащую ни одной пары неинцидентных непримарных подгрупп, назовем 1п-группой.

Отметим, что 1п-группа является 1£-группой, если в качестве свойства взять "не-примарность".

Основные результаты о строении абелевых и локально конечных 1п-групп сформулированы автором работы [1] в теореме 1. Здесь мы приведем доказательства полученных там результатов (с некоторыми уточнениями).

Лемма 6. Всякая 1п-группа О является периодической.

Доказательство. Если в О содержится бесконечная циклическая подгруппа ^>, то она непримарна и поэтому по лемме 1 должна быть 1п-группой. Но это не так, ибо в ^> существуют истинные неинцидентные подгруппы (например, ^2> и ^3>). Значит, О - периодическая группа. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть 1п-группа О содержит инвариантную силовскую р-группу Р. Тогда О/Р - циклическая или квазициклическая д-группа, причем дФр (т.е. | л (О)|=2).

Доказательство. Любая подгруппа S группы О, содержащая Р и отличная от Р, не-примарна. Поэтому по теореме 1 О/Р - циклическая или квазициклическая д-группа. Так как О непримарна (по определению 2), то дФр. Лемма доказана.

Теорема 3. Локально нильпотентная группа О является 1п-группой тогда и только тогда, когда она - абелева группа одного из следующих типов (ниже всюду рфд):

1. Циклическая группа порядка рдт ;

2. О = СрХСч”.

Необходимость. Пусть О - локально нильпотентная 1п-группа. По лемме 6 группа

О периодическая, а по лемме 7 | л(О)|=2. Значит, G=PxQ, где Р и Q соответственно ее си-

ловские р-и q-подгруппы. Так как G/P = Q и G/Q = P, то по лемме 7 Р и Q - примарные циклические или квазициклические группы. Если в Р существует подгруппа <a> порядка p2, а в Q подгруппа <b> порядка q2, то Л=<ар>*<Ь> и B=<a>x<bq> - две неинцидентные подгруппы (ибо их порядки pq2 и qp2), что противоречит тому, что G - In-группа.

Значит, одна из подгрупп Р или Q должна иметь простой порядок. Пусть, например, |Р|=р. Тогда G - группа одного из типов 1 или 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть G - группа, изоморфная Cpqm или Cp*Cq“. Тогда, очевидно, если А и В - любые две ее непримарные подгруппы, то они содержат подгруппу S= Cp*Cq, где |Cq|=q. По теореме 1 G/S - циклическая или квазициклическая q-группа, т.е. группа с условием инцидентности для подгрупп, и поэтому Л/S и B/S инцидентны, а тогда А и В инцидентны. Значит, G является 1п-группой. Теорема доказана.

Конечные 1п-группы

Легко видеть, что примерами конечных 1п-групп являются группа подстановок А4, группы порядка pq, т.е. конечная 1п-группа не обязана быть абелевой.

Лемма 8. Если 1п-группа G имеет собственную инвариантную р-подгруппу N, то G бипримарна.

Доказательство. Пусть |N| = pk. Если G не бипримарна, то в ней найдутся элементы a и b соответственно порядков q и z, (p,q,z -различные простые числа). Подгруппы A=N<a> и B=N<b> тогда непримарны и неинцидентны (ибо их порядки pkq и pkz), в противоречии с тем, что G является 1п-группой. Значит, G бипримарна и | л (G)|=2. Лемма доказана.

Следствие. Конечная разрешимая 1п-группа G бипримарна (ибо G непримарна и имеет, как известно, истинную элементарную абелеву нормальную подгруппу).

Лемма 9. Если 1п-группа G содержит конечную элементарную абелеву нормальную p-подгруппу, то для любого q-элемента g из G (q^p) в N нет истинных подгрупп, допустимых относительно g.

Доказательство. Предположим противное. Тогда существует подгруппа Ni группы N такая, что g"1N1g=N1. Рассмотрим подгруппу H=N<g>. По теореме Машке найдется N2<N, что N2 <1H и N=N1*N2. Подгруппы

Н1=К1^> и Н2=К2^>, очевидно, отличны от Н (ибо имеют меньшие порядки, чем |Н|), и Н=Н1Н2. В силу 1п-условия Н1 и Н2 инцидентны (ибо они непримарны); но тогда или Н=Н1, или Н=Н2 в противоречии с отмеченным выше. Лемма доказана.

Из разрешимости конечных групп Шмидта нетрудно получить следующее утверждение (см., например, [2], 23.11)

Лемма 10. Конечная группа О тогда и только тогда является минимальной непри-марной группой, когда она либо группа порядка рд, либо представлена виде О=К<Ь>, где N - элементарная абелева р-группа порядка рк, к>1, |Ь|=д и в N нет собственных подгрупп, допустимых относительно Ь.

Теорема 4. Конечная группа О является

1п-группой тогда и только тогда, когда она группа одного из следующих типов:

1. О = А X <Ь>, где А - элементарная абелева группа порядка рк, |Ь| = д5 (я^р) и в А нет собственных подгрупп, допустимых относительно хотя бы одного отличного от 1 д-элемента из О.

2. О = <а> X <Ь>, где |а| = р, |Ь| = дп (я^р) (здесь возможно и прямое произведение).

Необходимость. Пусть О - конечная 1п-группа. Она содержит минимальную непри-марную подгруппу Н. Если Н=О, то по лемме 10 О - группа одного из типов 1 или 2. Пусть Н<О. По теореме 2 Н < О и О = Н^>(1), где g

- г-элемент для некоторого г е л (О). В силу леммы 10 Н = АХ<Ь>(2) , где А - элементарная абелева р-группа (возможно и |А|=р), и |Ь|=д (р^Я). Тогда Н разрешима и, в силу (1), и О разрешима. По лемме 8 О бипримарна, поэтому из (2) и (1) следует, что г совпадает либо с Я, либо с р.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

I. г=я. Тогда О/А - я-группа и А - силов-ская р-подгруппа группы О. В силу леммы 6 О/А-циклическая я-группа, и поэтому О=АХ<Ь>, где Ь - я-элемент. По лемме 9 в А нет собственных подгрупп, допустимых относительно хотя бы одного из я-элементов, т.е. О - группа типа 1.

II. г = р. Из (1) и (2) тогда имеем: О = (АХ<Ь>)^>, где g - р-элемент и |О|=яр‘

(3). Так как <Ь> - силовская я-подгруппа группы Н=АХ<Ь> и Н < О, то, как известно, О=Н*К(<Ь>) (4).

Если К(<Ь>) - примарная группа, то в силу (3) К(<Ь>)=<Ь>, и тогда

О=Н<Ь>=Н (ибо Ь е Н), вопреки нашему предположению.

Значит, К(<Ь>) непримарен. Тогда Н и К(<Ь>) инцидентны. В силу (4) включение К(<Ь>)<Н невозможно (ибо О^Н). Поэтому К(<Ь>) > Н, а тогда из (4) получаем, что К(<Ь>)=О, т.е. <Ь> < О. Так как <Ь> -силовская я-подгруппа группы О, то по лемме 4 О/<Ь> - циклическая р-группа. Значит, О = <Ь> X <с>, где |с|=рп, т.е. О группа типа 2.

Достаточность.

В группе О типа 1, как нетрудно видеть, всякая непримарная подгруппа содержит А. Так как О/А - циклическая я-группа, то любые две непримарные подгруппы группы О инцидентны.

Значит, такая группа является 1п-группой.

В группе О типа 2 все непримарные подгруппы содержат силовскую я-подгруппу <Ь> порядка я и О/<Ь> - циклическая р-группа. Поэтому и такая группа О является 1п-группой. Теорема доказана.

Локально конечные 1п-группы

Лемма 11. Бесконечная локально конечная 1п-группа О абелева.

Доказательство. Так как в силу теоремы 10 всякая конечная 1п-группа бипримарна, то отсюда легко следует, что и О бипримарна. Если бы все конечные подгруппы группы О были р-группами по одному простому р, то, очевидно, О была бы р-группой, в противоречие с определением 1п-группы. Значит, О содержит конечную бипримарную подгруппу К. Тогда по лемме 1 К является 1п-группой и по лемме 4 К < О. По теореме 1 О/К - квазицик-лическая я-группа (ибо |О|=да и поэтому О/К не может быть циклической группой). Значит, О - черниковская группа и ее полная часть изоморфна О/К, т.е. является квазицикличе-ской группой С . . Так как |О/С . |<®, то

О= С. Н(5), где Н - конечная группа.

Пусть Р - силовская р-подгруппа группы О (Р конечна, ибо полная часть О - я-группа). Возможны 2 случая.

1. Н - примарная группа. Тогда из (5) следует, что Н - р-группа и Н=Р, т.е. О= С . ХР (6).

Я

2. Н - непримарна. Для любого элемента с„ е С• порядка яп, п>1 непримарные подгруппы Тп=<сп>ХР (6) должны быть инци-

дентны с Н. Но так как порядок Тп растет при увеличении п, то найдется т е М1, что Н С Тт.

Теперь из (5) следует, что О= С . Тт= С . ХР. Итак, всегда выполняется (6).

Я Я

Все подгруппы Тп - это конечные 1п-группы.

Возможны 2 случая:

1. Р - нециклическая группа. Тогда в силу теоремы 4 Р - элементарная абелева р-группа, Р < Тп(для любого п) и поэтому Р С2(С „). Теперь из (6) получаем: О = С . ХР

Я Я

(8) - абелева группа.

2. Р - циклическая группа. Тогда О -группа типа 2 из теоремы 4 и |Р|=р - простое число. Опять из теоремы 4 Р < О и О имеет вид (8). Теорема доказана.

Теперь из теорем 3,4 и леммы 11 получаем описание локально конечных 1п-групп.

Теорема 5. Локально конечная группа О является 1п-группой тогда и только тогда, когда она группа одного из следующих типов (всюду ниже р и я - различные простые числа):

1. Циклическая группа порядка рдт

2. О = СрХ С ..

Р Я

3. О = <а>Х<Ь>, где |а|=р, |Ь|=дт.

4.О = АХ<Ь>, где А-элементарная абелева р-группа порядка рк, к>1, |Ь|=дт и в

А нет собственных подгрупп, допусти-

мых относительно хотя бы одного отличного от 1 д-элемента.

Замечание. В [1] по недосмотру автора в теоремах 1 и 2 упущен тип 2 (Срх С .).

Я

Из теоремы 5 нетрудно получить следующее следствие.

Следствие. Локально конечная группа О тогда и только тогда содержит единственную непримарную истинную подгруппу, тогда она конечна и является либо циклической группой порядка р2, либо неабелевой группой вида О=АХ<Ь>, где А - нециклическая элементарная абелева р-группа, |Ь|=я2 (я^р) и в А нет собственных подгрупп, допустимых относительно хотя бы одного отличного от 1 я-элемента из О.

Список литературы

1.Половицкий Я.Д. Группы с условием инцидентности для непримарных подгрупп / Я.Д.Половицкий // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: материалы междунар. науч.-метод. конф. Пермь, 2006. С.23.

2.Белоногов В. А. Задачник по теории групп / В.А.Белоногов. М.: Наука, 2000. 240 с.

Group with incidence condition for some tipes of subgroups

Ya. D. Polovitskiy

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

A number of general propertys of groups with some incidence conditions are determined. Nonprimary locally finite groups with incidence condition for nonprimary subgroups are described