Непримарные слойно конечные группы Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 7(12)

УДК 512.544

Непримарные слойно конечные группы

Я. Д. Половицкий

Пермский государственный университет, 614990, Пермь, ул. Букирева 15

Предлагается изложение основных результатов теории непримарных слойно конечных групп на базе некоторых результатов С.Н.Черникова [1] и характеризации слойно конечных групп, полученной автором в работе [2].

Понятие слойно конечной группы было введено С.Н.Черниковым в 1948 г. [3], хотя изучение таких групп было начато им еще в 1945 г. [4].

Определение [3]. Группа, в которой множество элементов каждого порядка конечно, называется слойно конечной.

С.Н.Черниковым [1] и Р.Бэром [5] получены основные результаты теории слойно конечных групп. Подробное изложение этой теории приведено в монографиях С.Н.Черникова [1] и В.И.Сенашова [6].

В настоящей работе предлагается изложение теории непримарных слойно конечных групп, отличное от имеющихся. По нашему мнению, оно более компактно.

Очевидно, что всякая слойно конечная группа является периодической и все ее классы сопряженных элементов конечны. Отсюда и из леммы Дицмана вытекает, что слойно конечная группа является локально нормальной группой.

Из определения слойно конечной группы легко следует

Лемма 1. Периодическая группа G тогда и только тогда слойно конечна, когда для любого рЕ7г(С) и любого пеЫ конечно множество всех ее элементов порядка pn

© Я. Д. Половицкий, 2007

Слойно конечные р-группы описаны С.Н.Черниковым в работе [4]. В современной терминологии этот результат С.Н.Черникова выглядит так:

Теорема 1. p-группа тогда и только тогда слойно конечна, когда она является чер-никовской группой, полная часть которой содержится в ее центре.

1. Центральные расширения слойно конечных групп

Лемма 2. Пусть 8 - слойно конечная подгруппа центра 2(0) группы в, geG и У=т<оо. Тогда gS - слойно конечное множество (т.е. все совокупности его элементов одинаковых порядков конечны).

Доказательство. Пусть в gS существует элемент gs (эе8) порядка п. Покажем, что элементов такого порядка в gS конечное число. Так как ^з|=п, то ^з)п=1. Отсюда ^з)шп=1. Учитывая, что зе2(С). имеем: gmn •зтп= 1. и, так как |g|=m, то smn=1(1).

Но уравнение (1) имеет в слойно конечной группе S, очевидно, лишь конечное число решений и потому в gS лишь конечное число элементов порядка п.

Лемма доказана.

Теорема 2 [5], [7]. Центральное расширение G слойно конечной группы S при помощи слойно конечной группы является слойно конечной группой.

Доказательство. Пусть g - любой элемент порядка п группы в. Тогда ^8 |<п. В слойно конечной группе G/S существует лишь конечное число элементов, порядок некоторых не превосходит П. Пусть glS,...gmS - все такие элементы. Так как ^8|<п, то gS=g1S при некотором 1, т.е. geglS. и поэтому g принадлежит ^т1=1&8 = Н.

В силу леммы 2 каждое из множеств g1S слойно конечно, а тогда и Н содержит лишь конечное число элементов порядка п. Как показано выше, в Н содержатся все элементы порядка п из G. Значит, G слойно конечна.

Теорема доказана.

Следствие. Если G - конечное центральное расширение слойно конечной группы S, то группа G слойно конечна.

2. Локально нормальные группы с черниковскими силовскими р-подгруппами

Теорема 3 [2]. Пусть в - локально нормальная группа с черниковскими силовскими р-подгруппами (по всем р). Тогда для каждого рел(О) множество всех р- элементов группы G порождает черниковскую (слойно конечную) подгруппу Sр, полная часть которой является р-группой и содержится в центре G.

Доказательство. Пусть Я - полная часть группы 8р. Так как в - локально нормальная группа, то Яс2(С). В силу условия силовская р-подгруппа Яр группы Я черни-ковская и потому (так как она абелева) слойно конечная. Если Р - произвольная силовская р-подгруппа группы в, то Рс8р (по определению Sp) и полная часть Ь подгруппы Р содержится в 2(8р), а потому содержится и в Яр. Но ЯрсР (ибо Яр инвариантна в в), и поэтому ЯрсЬ. Значит, Ь=Яр.

Конечная фактор-группа Р/Яр будет, как легко видеть, силовской р-подгруппой группы G/Rp. Значит, Sp/Rp - локально нормальная группа с конечными силовскими р-

подгруппами. Так как она порождается своими р-элементами (ввиду определения 8р), то |8р/Яр|<оо. Значит, Яр=Я. В силу следствия теоремы 2 подгруппа Sp слойно конечна. Итак, Sp - черниковская слойно конечная группа с полной частью Яр, содержащейся в центре G.

Теорема доказана.

Следствие 1 [1]. Локально нормальная группа G с черниковскими силовскими р-подгруппами (по всем р) слойно конечна.

Доказателъство. По теореме 3 для каждого рел(О) все р-элементы группы в порождают слойно конечную подгруппу Sp. Так как все р-элементы группы в содержатся в 8р, то для любого пеК множество всех элементов порядка рп из G конечно (или пустое). Отсюда и из леммы 1 следует, что G слойно конечна.

Следствие доказано.

Следствие 2 [1]. Класс слойно конечных групп совпадает с классом локально нормальных групп с черниковскими силовскими р-подгруппами (по всем р).

3. Характеризация слойно конечных групп Я.Д. Половицким и ее применение

Теорема 4 [2]. Периодическая группа G тогда и только тогда слойно конечна, когда для любого ре7г(С) множество всех ее р-элементов порождает черниковскую подгруппу, полная часть которой находится в ее центре и является р-группой.

Необходимость. Пусть G слойно конечна. Тогда она локально нормальная и, по теореме 1, все силовские р-подгруппы группы G черниковские. Теперь из теоремы 3 вытекает справедливость необходимого условия теоремы.

Достаточность утверждения теоремы вытекает из следствия теоремы 2 и леммы 1.

Теорема доказана.

Указанная в теореме 4 характеризация слойно конечных групп позволяет в качестве следствий из нее получить многие известные результаты теории непримарных слойно ко-

нечных групп. Ниже мы получим ряд таких результатов (теоремы 5, 7 и 10 С.Н.Черникова и теоремы 8 и 9 Я.Д.Половицкого).

Хорошо известно следущее утверждение:

Лемма 3. Если gN - р-элемент группы G/N, то gN=tN, где X - некоторый р-элемент группы G.

Следствие 1. Если N<|G и все р-элементы группы G содержатся в N то в G/N нет отличных от единицы р-элементов.

Следствие 2. Если Sp - подгруппа, порожденная всеми р-элементами группы G, то SpN/N - подгруппа, порожденная всеми р-элементами фактор-группы G/N.

Теорема 5 ([1], с.140). Если G=NM, где N<| G, M<|G и N,M - слойно конечные группы, то в слойно конечна.

Доказательство. Пусть реп(С). Обозначим через S и S1 соответственно подгруппы, порожденные всеми р-элементами групп N и М. По теореме 4 8 и 81 - черниковские группы. Они, очевидно, характеристические в N и М, и потому 8<О, 8а<0. Тогда 88х=Т<0. Далее, ЫТ/Т=Ы/Ыг-',Т. Так как (Ыг',Т)з8. то КТ/Т=1|,1/8/(№''Т)/8. Так как N/8 не содержит по следствию 1 леммы 3 отличных от 1 р-элементов, то NT/T не содержит таких р-элементов. То же верно и для МТ/Т.

Так как С/Т=ЫТ/Т- МТ/Т. то в С/Т нет неединичных р-элементов. Поэтому все р-элементы группы G содержатся в Т, т.е. порождают черниковскую подгруппу (подгруппы S и S1 - черниковские, и потому T=SS1 -черниковская группа).

Покажем, что в - локально нормальная группа. Если geG. то g=nm, где пеЫ, а те М. Но пеК, где К - подгруппа, порожденная, некоторым слоем из 14, и поэтому |К|<оо; аналогично теЬ, |Ь|<оо. Подгруппы К и Ь характеристические в N и М соответственно, и потому К< в, Ь< в. Мы получили, что geKL<G, |КЬ|< оо т.е. группа G локально нормальная. Следовательно, полные части подгрупп S и S1 содержатся в центре G. По теореме 4 группа G слойно конечна.

Теорема доказана.

Примечание. Теорема 5 в монографии С.Н.Черникова [1] доказывается иначе.

С помощью теоремы 4 легко доказывается наследственность слойной конечности для фактор-групп.

Теорема 6. Всякая фактор-группа слойно конечной группы G слойно конечна.

Доказательство. Пусть Ар - подгруппа, порожденная всеми р-элементами группы G. По теореме 4 она черниковская и ее полная часть содержится в ее центре.

По следствию 2 леммы 3 ApN/N порождается всеми р-элементами группы G/N. Так как ApN/N=Ap/Apr'iN - черниковская группа, причем ее полная часть содержится в ее центре, то по теореме 4 фактор-группа G/N слой-но конечна.

Теорема доказана.

Лемма 4. Всякая содержащаяся в Z(G) силовская р-подгруппа локально нормальной группы G является прямым множителем последней.

Формулировка этого утверждения несколько отличается от формулировки леммы 3.4 в работе [1], но доказывается оно точно так же, как и лемма 3.4.

Теорема 7 (С.Н.Черников, лемма 3.3 из работы [1]). Пусть F - максимальная полная р-подгруппа слойно конечной группы G. Тогда существует К< G. что |К|<оо и FK/K - полная силовская р-подгруппа группы G/K, изоморфная F.

Доказательство. Пусть Sp - подгруппа, порожденная всеми р-элементами группы G. По теореме 4 группа Sp - черниковская. Пусть F - ее полная часть (FcZ(Sp). Тогда Sp=FZ, где |L|<oo. Каждый элемент из L находится в конечном слое группы G, и потому LcK. где К - характеристическая подгруппа группы G, содержащаяся в Sp. Из Sp=FL следует, что Sp=FK. Далее, Sp/K=FK/K=F/Fr,K=F (как фактор-группа полной абелевой группы по конечной подгруппе). Так как все р-элементы группы G порождают подгруппу Sp, то по следствию 2 леммы 3 все р-элементы группы G/К порождают подгруппу Sp/K=F, т.е. FK/K - инвариантная полная силовская р-подгруппа группы G/K.

Теорема доказана.

Замечание. Приведенное выше доказательство теоремы 7 отличается от доказательства леммы 3.3. в работе [1].

Следствие. Если Р - максимальная полная подгруппа бесконечной силовской р-подгруппы слойно конечной группы G, то существует N<'G, что силовские р-подгруппы группы N конечны и G/N=P.

Доказательство. По теореме 7 существует K<G, что |К|<оо, PK/K<G/K и РК/К -полная силовская р-подгруппа группы G/K. По лемме 4 имеем: G/K=PK/KxN/K (2)

Так как в N/K нет р-элементов и |K| конечен, то в N все силовские р-подгруппы конечны. Ввиду (2) имеем:

G/K/N/K=G/N=PK/K=P.

Следствие доказано.

Лемма 5 (С.Н.Черников, лемма 3.5. из [1]). Если в локально нормальной группе G все силовские р-подгруппы конечны, то максимальный нормальный делитель Np' группы

G, не содержащий р-элементов, имеет в G конечный индекс.

Доказательство этого утверждения приведено в работе [1].

Теорема 8 [2]. Пусть G - слойно конечная группа, Np - ее максимальная нормальная подгруппа, не содержащая р-элементов. Тогда G/Np' - черниковская группа, полная часть которой содержится в центре и изоморфна силов-ской p-подгруппе Р полной части группы G.

Доказательство. По следствию теоремы 7 существует подгруппа N<G такая, что G/N=P (3) и в N все силовские р-подгруппы конечны. Из (3) следует, что Np’ cN (4). По лемме 5 максимальный нормальный делитель М группы N, не содержащий р-элементов, имеет в N конечный индекс. Так как М - характеристическая подгруппа группы N, то M<'G и G/N=(G/M)/(N/M)=P, т.е. G/M - чер-никовская группа, являющаяся расширением конечной группы M/N с помощью полной абелевой группы Р. Очевидно, полная часть черниковской группы G/M изоморфна Р.

Так как фактор-группа G/M слойно конечная (по теореме 6), то полная часть содержится в ее центре. Легко видеть, что McNp'. В силу определения М и (4) получаем, что Np'=M.

Теорема доказана.

Теперь мы можем получить основную в нашем изложении теорему о строении слойно конечных групп, сформулированную вследст-вии 1 теоремы 1 из работы [2].

Теорема 9 [2]. Любая слойно конечная группа G изоморфно вкладывается в слойно конечное прямое произведение черниковских групп, полные части которых - р1-группы по разным простым р1 и содержатся в центрах соответствующих множителей.

Доказательство. В силу теоремы 8 для любого р,с7г(С) существует такая подгруппа Np'1<|G, что G/Np'1=Hi - черниковская группа с указанными в теореме свойствами. Так как

П100 (N^0=1 (что видно из определения ^'0,

1=1

то по теореме Ремака существует изоморфное отображение ф группы в на группу Т, где

Т<Н1®Н2®...®Н1®.... Выше отмечено, что Н - черниковские группы с полными частями, являющимися ргподгруппами и содержащимися в Z(H1). Так как для любого рсл:(С) по теореме 4 Sp - черниковская группа, то л^р) конечно. Отсюда и из 8р<О следует, что 8рсЫ' р| для всех чисел р,. за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому при отображении ф каждый р-элемент, а значит и вся группа в, вкладывается в прямое произ-

СО

ведение групп Н: С=Т<П , Н =Н и лишь конечное число групп Н1 может содержать р-элементы. Отсюда и из того, что все Н1 слой-но конечны, следует, что их прямое произведение Н является слойно конечной группой. Теорема доказана.

Из теоремы 9 вытекает известная теорема С.Н.Черникова ([1], теорема 3.3):

Теорема 10. Любая слойно конечная группа в разлагается в произведение своей полной части и тонкой слойно конеч-

ной группы.

Доказательство. По теореме 9 группа

со

в вкладывается в Н=П |Н (5), где

Н,=С/Ыр причем Н^РД (6), где |1Ч|< оо, Р1 -полная часть Н1 и Р1 (по теореме 8) изоморфна силовской ргподгруппе р! группы Б. Из (5) и

СО

(6) следует, что Н=ЬМ, где Ь=(П 1=1 Р,).

СО

М=(П

Полная часть Б группы в изоморфна Ь,

со

ибо Б=П 1=1 Б;=Р;. Так как полная абелева

группа Ь с черниковскими силовскими р-подгруппами (по всем р), как нетрудно видеть, не может содержать истинных изоморфных полных подгрупп, то Р=Ь, т.е. Н=БМ (7). Отметим, что М - тонкая слойно конечная группа, как слойно конечное прямое произведение конечных групп. Но 0>Б, и потому из

(7) следует, что С=Р(Мг,С). где (Мг,С) - тонкая слойно конечная группа.

Теорема доказана.

Замечание. Из теоремы 5 следует справедливость и обратного утверждения теоремы 10.

Этим мы завершим изложение основных результатов теории непримарных слойно конечных групп.

Список литературы

1. Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.: Наука, 1980. 383 с.

2. Половицкий Я.Д. О локально экстремальных и слойно экстремальных группах // Матем. сб. 1962. Т.58, №2. С.685-694.

3. Черников С.Н. Бесконечные слойно конечные группы // Матем. сб. 1948. Т.22 (64). С.101-133.

4. Черников С.Н. К теории бесконечных p-групп // ДАН СССР. 1945. Т.50. С.71-72.

5. Ваег R.. Finiteness properties of groups // Duke Math. J. 1948. Vol.15. Р.1021-1032.

6. Сенашов В.Н. Слойно конечные группы. Новосибирск: Наука, 1993. 158 с.

7. Еремин И.И. Группы с конечными классами сопряженных абелевых подгрупп // Матем. сб. 1959. Т.41(83). С.45-54.

Non-primary layer-finite groups

Ya. D. Polovitsky

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

This article contains the main results of non-primary layer- finite group theory. It is based on some results of S.N.Chernikov [1] and characterization of layer-finite groups, received by author in [2].