О F-s-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Бухтояров, С. Е. Об устойчивости конечной коалиционной игры с параметрической концепцией равновесия («от Парето до Нэша») / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев // Доклады НАН Беларуси. - 2006. -Т. 50, № 1. - С. 9-11.

7. Бухтояров, С. Е. Мера устойчивости конечной коалиционной игры с параметрическим («от Парето до Нэша») принципом оптимальности / С. Е. Бухтояров, В. А. Емеличев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1274-1280.

8. Емеличев, В. А. Конечные коалиционные игры с параметрической концепцией равновесия в условиях неопределенности / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Известия РАН. Теория и системы управления. -2006. - № 2. - С. 96-101.

9. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функци и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М. : Наука, 1972.

10. Емеличев, В. А. О радиусе устойчивости эффективного решения векторной задачи целочисленного линейного программирования в метрике Гёльдера / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Кибернетика и системный анализ. - 2006. - № 4. - С. 175-181.

11. Емеличев, В. А. О количественной мере устойчивости векторной задачи целочисленного линейного программирования / В. А. Емеличев, Д. П. Подкопаев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1998. - Т. 38, № 11. - С. 1801-1805.

12. Stability and regularization of vector problems of integer linear programming / V. A. Emelichev [etc.] // Optimization. - 2002. - Vol. 51, № 4. - P. 645-676.

13. Сергиенко, И. В. Исследования устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач / И. В. Сергиенко, Л. Н. Козерацкая, Т. Т. Лебедева - Киев : Наукова думка, 1995. - 172 с.

14. Сергиенко, И. В. Задачи дискретной оптимизации. Проблемы, методы решения, исследования / И. В. Сергиенко, В. П. Шило. - Киев : Наукова думка, 2003.

15. Smale, S. Global analysis and economics, V. Pareto theory with constraints / S. Smale // J. Math. Econom. - 1974. - Vol. 1, № 3. - P. 213-221.

Summary

Had been obtained a formula of radius of quasistability of an integer linear programming problem with parametrical principle of optimality in the case of Helder metric in a criterial space.

Поступила в редакцию 08.10.07

УДК 512.542

Н. С. Косенок

О F-s-ДОБАВЛЯЕМЫХ ПОДГРУППАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП

Введение

Все рассматриваемые в данной работе группы конечны. Строение группы тесно связано со свойствами максимальных подгрупп ее силовских подгрупп. Так, в работе [1] было доказано, что группа сверхразрешима, если все ее такие подгруппы нормальны. В дальнейшем было доказано, что группа G сверхразрешима, если либо каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из G c-нормальна в G [2], либо каждая такая подгруппа дополняема в G [3]. В работе [4] было установлено, что разрешимая группа G сверхразрешима, если каждая максимальная подгруппа любой ее силовской подгруппы из F(G) обладает сверхразрешимым добавлением в G. Дополняя эти результаты в данной работе, мы даем новые критерии p-замкнутости и p-нильпотентности группы на основе свойств максимальных подгрупп силовских подгрупп.

Предварительные сведения

Пусть A, B - два экземпляра группы кватернионов порядка 4. И пусть G - произведение этих групп с объединенным центром. Тогда ясно, что подгруппа A не имеет в группе G абелевого добавления, но в то же время G = AB, где B/B n AG - абелева группа. Данный пример является мотивировкой для введения следующего определения.

Определение. Пусть F - класс групп. И пусть H - подгруппа группы G. Тогда подгруппу T группы G назовем F-s-добавлением к H в G, если HT = G и

T/TnHGeF.

В этом случае мы также говорим, что H F-s-добавляема в G. В частности, мы говорим, что H p-нильпотентно s-добавляема в G, р-сверхразрешимо s-добавляема в G и т. д., если G = HT и T/T n HG р-сверхразрешимая (соответственно, р-нильпотентная и т. д.) группа.

Напомним, что класс групп F называется гомоморфом, если он содержит любую факторгруппу любой своей группы. Класс групп называется наследственным, если он содержит любую подгруппу любой своей группы.

Основные свойства F-s-добавлений отражены в следующей лемме, доказательство которой осуществляется прямой проверкой.

Лемма 1 [4]. Пусть F - наследственный гомоморф. И пусть H - подгруппа группы G. Тогда выполняются следующие утверждения.

(1) Если T - $ F-s-добавление к H в G и K < G, то TK/K - F-s-добавление к HK/K в G/K.

(2) Пусть K < G$ и K < H, T. Тогда подгруппа T является F-s-добавлением к H в G тогда и только тогда, когда T/K - F-s-добавление к H/K в G/K.

(3) Если H < D < G и T - F-s-добавление к H в G, то HG(T П D) - F-s-добавление к H в D.

Группа G называется р-замкнутой, если ее силовская р-подгруппа нормальна. Одно из

ключевых свойств р-замкнутых групп заключено в следующей лемме.

Лемма 2 [5]. Класс всехp-замкнутых групп является насыщенной формацией.

Группа G называется р-нильпотентной, если она обладает р'-холловской нормальной подгруппой.

Лемма 3 [5]. Класс всехp-нильпотентных групп является насыщенной формацией.

Лемма 4 [6]. Пусть H/K - главный фактор группы G. Тогда \H/K\ является простым числом p тогда и только тогда, когда G/Cg(H/K) - циклическая группа порядка, делящего p-1.

Лемма 5. Пусть A и B - такие подгруппы группы G, что (\ G:A\, \ G:B\) = 1. Тогда G = AB.

Лемма 6 [5]. Пусть A и B - такие подгруппы группы G, что G = AB. Тогда G = AB для любого элемента x из G.

Лемма 7 [7]. Пусть K и H - подгруппы группы G. Тогда если K < G и K С Ф(Щ, то K С ф(G).

Лемма 8 [8]. Пусть M - максимальная подгруппа группы A, N1 и N2 - различные минимальные нормальные подгруппы A, причем N1 £M и N2 £M. Тогда

N1 ^ L = (N1 N2) П М ^ N2, N1 П М = 1 = N2 П М

и справедливы следующие утверждения:

1) если подгруппы N1 и N2 абелевы, то N1MA = N2MA;

2) если подгруппы N1 и N2 неабелевы и N - произвольная минимальная нормальная подгруппа в A, то либо N1MA = NMA, либо N2MA = NMA.

Лемма 9 [9]. Пусть G - неабелева простая группа, H - ее подгруппа и \G:H\ = pa, где p - простое число и a - натуральное число. Тогда верно одно из следующих утверждений:

(1) G = An и H ^ An-1, где n = pa;

(2) G = PSLn(q) и /G:H/ = (qn - 1)/(q - 1) = pa, где п - простое число;

(3) G = PSL2(11) и H ^ A5;

(4) G = M23 и H ^ M22 или G = M11 и H ^ M10;

(5) G = PSU(4,2) ^ PSp(4,3) с ra = 32.

Лемма 10 [5]. Пусть G = G1G2. Тогда для любого простого числа p существуют такие силовские p-подгруппы P, P1 и P2 соответственно в G, G1 и G2, что P = P1P2.

Лемма 11 [8]. Пусть N < Soc(G), где N < G. Тогда существует нормальная подгруппа T в G такая, что Soc(G) = N х T.

Лемма 12 [10]. Пусть G - разрешимая группа, которая содержит неединичную нормальную подгруппу N со сверхразрешимой факторгруппой G/N. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из F(N), не являющаяся нормальной в G, имеет p-сверхразрешимое s-добавление в G, то G p-сверхразрешима.

Результаты исследования и их обсуждение

Теорема 1. Пусть О - группа, имеющая неединичную нормальную подгруппу N с р-замкнутой факторгруппой ОМ. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из Nр-замкнуто ^-добавляема в О, то О р-замкнута.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть в - контрпример минимального порядка. Тогда р делит |в|.

Пусть Ь - минимальная нормальная подгруппа в в. Допустим, что Ь с N и Ь Ф N. Тогда

- такая неединичная нормальная в в/Ь подгруппа, что (в/Ь) (МЬ) ^ в/М - р-замкнутая группа. Пусть р/Ь - силовская q-подгруппа в и М/Ь - максимальная в р/Ь подгруппа. Пусть - силовская q-подгруппа в р. Тогда р = Понятно, что - силовская q-подгруппа в N. Покажем, что М П - максимальная в подгруппа. Действительно,

Согласно условию подгруппа Q1 П M p-замкнуто s-добавляема в G. Заметим, что M = M П Q1L = L(M П Ql). Значит M/L = L(M П Ql)/L. Применяя теперь лемму 1, видим, что подгруппа M/L p-замкнуто s-добавляема в G/L. Итак, условие теоремы справедливо для G/L.

К аналогичному выводу приходим и в случае, когда L £ N.

Допустим, что L Ф N. Тогда поскольку по лемме 2 класс всех p-замкнутых групп является насыщенной формацией, то в рассматриваемом случае L = Soc(G) - единственная минимальная

нормальная подгруппа в G, L £ Ф^) и L не является p-группой. Предположим, что N Ф G. Тогда поскольку ввиду леммы 1 условие теоремы выполняется в группе N, то N - p-замкнутая группа.

Пусть Np - силовская p-подгруппа в N. Тогда поскольку Np char N < G, то Np < G. Значит, если Np Ф 1, то L с Np, что приводит к противоречию. Итак, Np = 1. Допустим, что N - q-группа для некоторого простого числа q, и пусть M - такая максимальная в G подгруппа, что L с M. Тогда LM = G. Значит, если C = CG(L), то C = C n LM = L(C n M), что влечет C = L. Согласно лемме 4 это означает, что Oq(G/L) = 1. Но N/L - неединичная нормальная q-подгруппа в G/L, противоречие. Следовательно, |p(N)| > 1. Пусть q, r - различные простые делители порядка группы N. Пусть Nq и Nr - силовские q-подгруппа и r-подгруппа в N соответственно. Пусть Q - максимальная подгруппа в Nq, R - максимальная подгруппа в Nr. Согласно условию в группе G имеются такие две p-замкнутые подгруппы T1 и T2, что QT1 = G = RT2. Понятно, что T1 Ф G Ф T2.

Значит, |G:T1| = qa и |G:T2| = rb для некоторых a, b e N. Ввиду леммы 5, G = T1T2. Так как N - p'-группа, то силовская p-подгруппа P! группы T является силовской p-подгруппой в G, i = 1, 2. Согласно теореме Силова, для некоторого x e G имеет место PL = P2x. Согласно лемме 6, G = TT . Но P1 < T1, P1 < T2x. Значит, P1 < G, т. е. G - p-замкнутая группа. Полученное противоречие показывает, что N = G.

Ввиду рассуждений, приведенных выше, нам достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда G - бипримарная, а значит, разрешимая группа. Пусть Gp - силовская p-подгруппа в G и P1 - такая максимальная в Gp подгруппа, которая не содержит L (наличие такой подгруппы вытекает из леммы 7). Согласно условию, в G имеется p-замкнутая подгруппа T такая, что P1T = G. Ясно, что T Ф G. Значит, поскольку |G:T| = |P1:T П P1|, то p | |T|. Пусть Tp - силовская p-подгруппа

в T. Так как L - p'-группа, то L с T. Значит, Tp с CG(L) с L. Противоречие.

Таким образом, необходимо лишь рассмотреть случай, когда L = N - минимальная нормальная подгруппа в G. Если N не является разрешимой группой, то |p(N)| > 2, так как всякая бипримарная группа разрешима. В этом случае, рассуждая, как выше, видим, что G - p-замкнутая группа, что невозможно. Итак, L = N - q-группа для некоторого простого числа q. Пусть L1 - максимальная в L подгруппа и пусть T - такая p-замкнутая подгруппа группы G, что L1T = G. Так как G не является p-замкнутой, то T Ф G. Ясно, что L1 n T =

p =| LQX /L : L(M n Q,)/L|

I L || Qi | : |L||Q, n M | = J_QlL:I_Ql^M1 | L n QlI'IM n Ql n LI |L n Q^' Qx n L

I Qi : Qi n M|.

L n T = 1$.

Значит, |G:T| = |Li| = |L|. Вновь полученное противоречие завершает доказательство теоремы. Теорема 2. Пусть G - группа, имеющая неединичную нормальную подгруппу N с p-нильпотентной факторгруппой G/N. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из N p-нильпотентно s-добавляема в G, то G p-нильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть G - контрпример минимального порядка. Нетрудно показать, что в группе $G$ имеется единственная минимальная нормальная

подгруппа R £ "(G) и G/R - p-нильпотентная группа. Понятно также, что p | |R| и R £ N. Покажем, что R - абелева группа. Предположим, что имеет место противное. Пусть p(R) = (pi, ..., pt}. Тогда поскольку любая бипримарная группа разрешима, то t > 2. Не теряя общности, мы можем считать, что p1 = p. Пусть N - силовская pj-подгруппа в N и Ei -максимальная в N подгруппа, i = 1, ..., t. Согласно условию, в группе G найдется такая подгруппа Tb что EiTi = G и Ti/Ti n (E)g - p-нильпотентная группа. Понятно, что в действительности (Ei)G = 1. Рассмотрим подгруппу Di = RTi. Понятно, что

|D : T| = |R : R n T1| = p*, где aie(0, 1, ...}. Допустим, что для некоторого i e(1, ..., t } имеет место |R:R nTi| = 1. Тогда R -

p-нильпотентная группа. Так как Op(R)$ char R < G, то Op(R) < G. Так как R - минимальная нормальная в R подгруппа и p | (R), то Op(R) = 1. Но тогда R - p-группа, а значит, R - абелева группа. Полученное противоречие показывает, что для всех i е{1, ..., t} имеет место R nTi Ф R. Так как \R:R п Т,\ = p*, то для некоторой силовской pi-подгруппы Ri группы R имеет место R = (R n Ti)Ri, i = 1, ..., t. Заметим, что R = A1, x ... x An, где A1, ..., An - изоморфные простые неабелевы группы. Понятно, что для каждого i e(1, ..., t} в группе R найдется такая

максимальная подгруппа Mi, что |R:Mi| = pb' , где pi eN. Группа R/(Mi)R, очевидно, примитивная и

|R/(Mi)R : Mi/(Mi)R| Ф A1.

Значит, согласно лемме 8, R/(Mt)R — A1. Это означает, что при каждом i е{1, ..., t } A1 допускает факторизацию A1 = Ap Di, где Ap - силовская р^подгруппа в A1 и |A1:Di| ф1. Применяя

теперь лемму 9, видим, что это невозможно. Таким образом, R - абелева р-группа.

Допустим, что N Ф G. Так как, согласно лемме 1, условие теоремы верно для N, то в силу выбора группы G мы видим, что N - р-нильпотентная группа. Понятно, что O^(N) = 1. Значит, N -р-группа, и поэтому, в силу леммы 4, N = R. Пусть L - максимальная в R подгруппа. По условию в группе G имеется такая подгруппа T, что TL = G и T/T n LG = T/1 - р-нильпотентная группа. Так как группа G не является р-нильпотентной, то T Ф G. Понятно, что T n L = 1. Значит, |G:T| = |L|. Но с другой стороны ясно, что RT = G и R n T = 1. Значит, |G:T| = |R| Ф |L|. Полученное противоречие показывает, что N = G.

Пусть $M$ - такая максимальная в $G$ подгруппа, что $RM = G$. Пусть $C = C_G (R)$. Тогда C = R. Пусть Gq - силовская q-подгруппа в G, где q Ф р и Q - максимальная в Gq подгруппа. Согласно условию, в группе G имеется такая р-нильпотентная подгруппа T, что QT = G.

Понятно, что |G:T| = qa для некоторого а е N. Значит, R с T, и поэтому Ор' (T) с C, что влечет Ор (T) = 1. Следовательно, T - р-группа. Но так как |Q| < |Gq|, то, по лемме 10, q | |T|. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Теорема 3. Пусть G - разрешимая группа, имеющая неединичную нормальную подгруппу N с нильпотентной факторгруппой G/N. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из F(N) $ имеет p-нильпотентное s-добавление в G, то G p-нильпотентна.

Доказательство. Предположим, что утверждение не верно, и пусть G - контрпример минимального порядка. В этом случае мы имеем Ф^) = 1 и F(G) - прямое произведение некоторых минимальных нормальных подгрупп в G. Пусть R - силовская q-подгруппой в F(N) и пусть M - максимальная подгруппа в R. Тогда по условию в группе G найдется подгруппа T в G

такая, что MT = G и T/MG n T является р-нильпотентной группой. Следовательно, TR/R = G/R —

— T/T П R - р-нильпотентная группа. Если q Ф р, тогда R - р'-группа и G р-нильпотентна,

что противоречит выбору группы G. Следовательно, R = F(N) = Op(N). Поскольку F(N) char N < G

мы имеем F(G) < G и поэтому F(N) с F(G). Теперь, по лемме 11, F(N) = Rl х R2 х ... х Rn для некоторых минимальных нормальных подгрупп Rl, R2, ..., Rn группы G. Из леммы 12 мы имеем R = p, для всех n = 1, 2, ..., n. Следовательно, для каждого i e{1, 2, ..., n} подгруппа M1 = Rl х ...х х R1-l х R1+1 х ... х Rn является максимальной в R и M1 < G. По условию для каждого i в группе G найдется подгруппа T1 такая, что T1M1 = G, и T1/T1 П M1 ^ T1 M1/M1 = G/M1 является

n

p-нильпотентной группой. Но D = I Mi = 1, и поэтому группа G p-нильпотентна. Если же n = 1,

i=1

то R = R1 - группа порядка p с единичной максимальной подгруппой. Следовательно, G - p-нильпотентная группа согласно условию теоремы. Это противоречие заканчивает доказательство теоремы.

Литература

1. Srinivasan, S. Two sufficient conditions for supersolubility of finite groups / S. Srinivasan // Israel J. Math. - 1990. - V. 35. - P. 210-214.

2. Wang, Y. c-Normality of groups and its properties / Y. Wang // J. Algebra. - 1996. - № 180. - P. 954-965.

3. Wang, Y. Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c-supplemented / Y. Wang // J. Algebra. - 2000. - № 224. - P. 467-478.

4. Веньбинь, Го. G-накрывающие системы подгрупп для классов p-сверхразрешимых и p-нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К. П. Шам, А. Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - № 3. - С. 53-57.

5. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. - М. : Наука, 1978. - 272 с.

6. Robinson, D. A course in the theory of groups / D. Robinson. - Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin. - 1982.

7. Huppert, B. Endliche Gruppen I / B. Huppert. - Berlin-Heidelberg-New York : Springer, 1967. - 793 p.

8. Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. - М. : Наука, 1989. - 253 с.

9. Guralnick, R. M. Subgroups of prime power index in a simple group / R. M. Guralnick. - J. Algebra, 1983. - V. 81. - P. 304-311.

10. Косенок, Н. С. Конечные группы с заданными s-добавлениями к максимальным подгруппам силовских подгрупп из подгруппы Фиттинга / Н. С. Косенок // Сборник научных и научно-методических работ преподавателей физико-математического факультета. - 2004. - № 3. - С. 108-112.

Summary

Let F be a class of groups. A subgroup H of a group G is called F-s-supplemented in G if there exists a subgroup K of G such that G = HK and K/K П HG belongs to F. We obtain some results about the F-s-supplemented subgroups, in particular, a new criteria for p-nilpotency is obtained.

Поступила в редакцию 06.04.07

УДК 534.8:535.5

Г. В. Кулак, Т. В. Николаенко, Е. С. Борсук

ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ МОДУЛИРОВАННОГО УЛЬТРАЗВУКОМ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО СЛОЯ С УСИЛИВАЮЩЕЙ ПОДЛОЖКОЙ

Введение

Акустооптическое взаимодействие в усиливающем свет слое исследовалось в работах [1], [2]. В работе [1] показано, что при совпадении распределений дифрагированных полей с собственными модами резонатора Фабри-Перо, усиливающего свет, происходит резкое нарастание эффективности брэгговской акустооптической (АО) дифракции. Учет френелевского отражения света существенно изменяет зависимости от индекса синусоидальной модуляции в различных средах, включая сложно-анизотропные гиротропные структуры [3-5]. В работе [4] показана возможность экспериментальной селекции парциальных волн при изменении дифракционной эффективности синусоидальных фазовых решеток. В [5] показано, что для асимметричной дифракционной структуры возможно эффективное акустооптическое преобразование в режиме отражения, а слабое влияние гиротропии обусловлено ее подавлением френелевским отражением на границах слоя.