Конечные разрешимые группы с относительно малыми нормализаторами непримарных подгрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 512.54

КОНЕЧНЫЕ РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ С ОТНОСИТЕЛЬНО МАЛЫМИ НОРМАЛИЗАТОРАМИ НЕПРИМАРНЫХ ПОДГРУПП

В.А. Антоновл, Н.Н. Аминева2

Получено полное описание конечных разрешимых групп, в которых для любой непримарной подгруппы A индекс |MA): AC(A)| делит некоторое простое число.

Ключевые слова: группа, подгруппа, автоморфизм, нормализатор, централизатор.

В этой работе через N(A) и C(A) обозначаются нормализатор и централизатор подгруппы A во всей группе G . Если A - произвольная подгруппа группы G , то N(A) > A ■ C(A), а индекс | N(A): A ■ C(A) | равен порядку группы внешних автоморфизмов подгруппы A, индуцированных элементами группы G . В данной работе изучается строение конечных групп G, в которых для любой непримарной подгруппы A почти все ее автоморфизмы, индуцированные элементами из G, являются внутренними. А именно, для любой такой подгруппы A индекс | N(A): A ■ C(A)|

делит некоторое простое число. Такие группы будем называть NSnp -группами.

В дальнейшем p , q и r - простые числа, причем p Ф q .

Отметим, что свойство быть NSnp -группой переносится на подгруппы и факторгруппы. Неабелеву конечную p -группу G условимся называть (p, n)-группой, если G обладает абелевой максимальной подгруппой и факторгруппа G/Z(G) является группой максимального класса n . В частности, (p,1) -группы это p -группы с условием | G/Z(G) | = p2 . Отметим еще, что если G является (p, n)-группой и n > 1, то | G/(G'■ Z(G))| = p2 и абелева максимальная подгруппа из G является характеристической подгруппой группы G .

Лемма ([1], теорема 1). В неабелевой конечной p -группе G в том и только том случае индекс | N(A): A ■ C(A) | делит p для любой подгруппы A, когда G является (p, n)-группой для некоторого числа n .

Теорема 1. Непримарная неабелева нильпотентная группа G в том и только том случае является NSnp -группой, когда G = P X H , подгруппа H абелева, а силовская p -подгруппа P является ( p, n) -группой для некоторого числа n .

Доказательство. Если P и Q - неабелевы силовские p - и q -подгруппы из G, G = P X Q X R, а A и B - максимальные абелевы подгруппы из P и Q соответственно, то для подгруппы H = AXB XR индекс | N(H): H ■ C(H) | = | G: H | делится на pq, что невозможно. Поэтому только одна силовская подгруппа группы G неабелева. Пусть P - эта подгруппа и G = P X R . Если A - произвольная неединичная подгруппа из P и H = A X R, то из того, что индекс | N(H): H ■ C(H) | делит p следует, что и | NP (A): A ■ CP (A) | тоже делит p . В силу леммы P является (p, n) -группой для некоторого числа n .

Достаточность следует из леммы.

Теорема доказана.

1 Антонов Владимир Алексеевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общей математики, Южно-Уральский государственный университет.

2 Аминева Нажия Нажитовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей математики, Южно-Уральский государственный университет.

Теорема 2. Конечная ненильпотентная разрешимая группа О в том и только том случае является №пр -группой, когда выполняется один из следующих случаев:

1) О = ИЛР, где И - абелева холлова р' -подгруппа из О , | Р : Ср (И) |= р, а группа Р либо абелева, либо является (р, п)-группой, и если СР (И) неабелев, то п = 1 и для некоторого 7 е 2 (Р) Р = Ср (И) • < г) ;

2) О = ИЛР, И = Q X К, силовская q -подгруппа Q группы О является (с,1)-группой и Р действует на ^2^) неприводимо, подгруппа К абелева, а силовская р -подгруппа Р группы О либо абелева, либо является (р, п) -группой, СР (И) абелев и | Р: СР (И) |= р;

3) О = РЛ<х), Р - силовская р -подгруппа, | х | = q и для любой х -допустимой подгруппы А из Р индекс |(НР (А) п С(х)):(А п С(х)) • (СР (А) п С(х))| делит р ;

4) О = РЛ<х), Р - силовская р -подгруппа, | х | = q2, РЛ<хС1) является группой типа 3), для любой х -допустимой подгруппы А из Р индекс |(ЫР (А) п С(х)):(А п С(х)) • (СР (А) п С(х))| делит р, и если при этом [х, А] Ф1, то СР (хС1) = (А п СР (хС1)) • (СР (А) п С(хС1));

5) О = Р Л (<х)X<у)), хС = уг = 1, г Ф р , подгруппа РЛ<£) является группой типа 3) для любого элемента t простого порядка из <х) X <у) , и если А - <х, у) -допустимая подгруппа из Р, то индекс | (ЫР (А) п С(<х, у))): (А п С(<х, у))) • (СР (А) п С(<х, у))) | делит р, и если, например, х г С (А), то Ср (у) = (А п С (у)) • (Ср (А) п С (у));

6) О = Р Л (<х)Л<у)), хС = уг = 1, г Ф р, ху Ф ух, подгруппа Р Л ^) является группой типа 3)

для любого неединичного элемента t е <х) Л <у) , и если А - <х, у) -допустимая подгруппа из Р, то индекс |(^Р (А) п С (<х, у))): (А п С (<х, у))) • (СР (А) п С(<х, у)))| делит р , а

СР (х) = (А п С (х)) • (СР (А) п С (х));

7) О = (РЛ<х)) • <у) , Р • <у) - силовская р -подгруппа О , | х |= с , ур е Р, [х,у] г Р, подгруппа РЛ<х) - группа типа 3), а (СР(х)X<х))• <у) - группа типа 1), и если А - <х,у) -допустимая подгруппа из Р и И = А • < х, у), то | См (И )(И): С (И )| делит р, а

СР (х) = (А п С(х)) • (Ср (А) п С(х));

8) О = ( Р Л(<х) X <у)) )• ^), Р является р -группой, хС = уС = 1, tг е Р , элемент t действует на <х) X <у) неприводимо, подгруппа Р Л(<х) X <у)) является группой типа 5), при этом, если г Ф р, то РЛ <0 - группа типа 3, и если А - <х, у, ^ -допустимая подгруппа из Р, то Ср (<х) X <у)) = (А п С(<х) X <у))) • (Ср (А) п С(<х) X <у))).

Доказательство. Обозначим через Р подгруппу Фиттинга группы О . Тогда, как известно, С (Р) < Р.

Предположим сначала, что подгруппа Р не является примарной группой. Тогда Р либо абелева, либо является группой из теоремы 1, а | О: Р |= р для некоторого простого числа р . Это означает, в частности, что О = И ЛР , где И - нильпотентная холлова р' -подгруппа из О , а Р -силовская р -подгруппа группы О .

Если А произвольная неединичная подгруппа из Р и В = И Л А, то из того, что И • ЫР (И) < N (В), С (В) < С (А) и определения ^Бпр -группы следует, что индекс | NP (А): А • СР (А) | делит р , т.е. подгруппа Р либо абелева, либо является (р, п) -группой.

Предположим сначала, что подгруппы Р и И абелевы. Если | Р | > р, а - элемент простого порядка из Р и В = И Л<а) , то | Р : Ср (И) | = | О : В • С (В) | = р, т.е. О - группа типа 1) из условия теоремы.

Пусть теперь И абелева, а Р является ( р, п) -группой. Если подгруппа И непримарна, то | Р : СР (И) | = р . Если же И является с -группой для некоторого простого числа с , то из непри-

Математика

марности Р следует, что Р п Р Ф1. Но тогда и А = Р п 2(Р) Ф1, т.е. и в этом случае | Р: СР (И) |=| О: И • А • С (И • А) | = р . Предположим, что подгруппа СР (И) неабелева. Если п = 1, то Р = СР(И) • 2(Р), т.е. Р = СР(И)• <г) , где ге 2(Р) и О - группа типа 1). Пусть п > 1 и Р = Т • <х), где Т - абелева максимальная подгруппа из Р. Так как СР (И) неабелев, то можно считать, что х е С (И), т.е. СР (И) = СТ (И) • < х) . Пусть Р0 = СТ (И) и А = И X Р0. Из И < О следует, что Р0 <Р. Так как Р0 максимальна в Т , то | Р : Р0 |= р2 . Из п > 1 следует, что СР (Р0) = Т и, следовательно, С(А) = С (И) п С (Р0) = ( (И X Р0) • <х) )п (И ЛТ) = И X Р0 = А . Но тогда

| О: А • С (А) | = | Р: Р0 |= р2, что невозможно. Таким образом, при п > 1 подгруппа СР (И) абелева и О - группа типа 1).

Предположим теперь, что подгруппа И неабелева. Тогда И = Q X К, где К - абелева холлова С -подгруппа из И , а Q является (с, п) -группой для некоторого п > 1. Если п > 1, то абелева максимальная подгруппа Т является характеристической подгруппой Q . Если при этом К Ф1, то подгруппа А = Т X К непримарна и инвариантна в О . Но тогда из CQ (А) = Т и определения N8^ -групп следует, что индекс | N (А): А • С (А)| = с , т.е. Р < С (А), и, следовательно, группа Р действует приводимо на факторгруппе Q|Q' = <aQ') X <xQ'), где а еТ и Q = Т • <х) . В силу теоремы Машке ([2], теорема 20.2.2) можно считать, что подгруппа Т1 = Q' • <х) тоже Р -допустима. Как и выше, получим Р < С(Т XК). Отсюда следует, что Р < С(Т • Т) = С^) и

О = Q X (К ЛР). Пусть А - произвольная подгруппа из Я = К ЛР и В = Т X А . Так как | N (В): В • С (В) | делит простое число и х е N (В) \ (В • С (В)), то этот индекс равен с и, следовательно, NR (А) = А • СЯ (А). Из произвольности А и леммы 2 из [3] следует, что группа Я абелева и О нильпотентна, что невозможно.

Таким образом, в случае п > 1 подгруппа К тривиальна. Но тогда из непримарности Р следует, что Р п Р Ф 1. Заменяя в предыдущих рассуждениях подгруппу К подгруппой Р п Р , снова получим противоречие. Следовательно, Q является (с,1) -группой и Р действует на Q/2^) неприводимо. Если А - произвольная неединичная подгруппа из Р и В = И Л А, то из того, что | N (В): В • С (В) | делит р, следует, что и | NP (А): А • СР (А) | тоже делит р , т.е. Р либо абелева, либо является (р, п)-группой. Если СР (И) неабелев, то Р является нильпотентной N8пр -группой, содержащей две неабелевы силовские подгруппы Q и СР (И), что невозможно.

Таким образом, в этом случае О является группой типа 2).

В дальнейшем считаем, что Р является р -группой для некоторого простого числа р . Пусть

АР - минимальная нормальная подгруппа группы О/Р. Тогда АР является элементарной абелевой с -группой, с Ф р. Если а - элемент порядка с из А и В = Р Л<а), то из С (В) < С (Р) < Р < В и определения N8пр -группы следует, что индекс | А: В | делит с , т.е.

| АР |< С2. Так как | О: А • С (А)|=| О: А | делит простое число, то возможен только один из следующих случаев: а) | О/Р | = с ; б) | О/Р |= сг ; в) | О/Р |= с2г . Рассмотрим каждый из этих случаев:

а) О = РЛ<х) , хС = 1. Пусть А - х -допустимая подгруппа из Р и И = АЛ<х). В силу леммы Фраттини ([2], лемма 17.1.8)

N (И) = А • NN ( и )(< х)) = А • CN ( и )(х) = (А • CNР (А)( х) )Л< х), а И • С(И) = А(СР (А) п С(х))Л<х) . Поэтому

N (И)/И • С (И) = А • (^ (А) п С (х))/А • (СР (А) п С (х)) @

N (А) п С(х))/(Ср (А) п С(х)) • (А п С(х)), т.е. индекс |(NР(А) пС(х)):(СР(А) пС(х)) •( А пС(х)) | делит р и О - группа типа 3);

б) Предположим, сначала, что О = РЛ<х) , | х | = с2 . Тогда РЛ<хС) - группа типа 3). Пусть А - неединичная х-допустимая подгруппа из Р и И = АЛ<х) . Как и в пункте а) получим, что |(NР(А) пС(х))/(СР(А) пС(х)) •(А пС(х)) | делит р . Рассмотрим подгруппу К = АЛ<хС) . Если х г С (А), то из х е N (К) следует, что | N (К): К • С (К) |= с . Но тогда ^ (А) п С (хС) = (СР (А) п С (хС)) • (А п С (хС)).

Заменяя в предыдущих рассуждениях подгруппу А на х-допустимую подгруппу NР(А), будем иметь

^ ^ (А)) п С(хС) = (Ср (^ (А)) п С(хС)) • (^ (А) п С(хС)) = (Ср (А) п С(хС)) • (А п С(хС)).

Продолжая этот процесс и учитывая, что Р удовлетворяет нормализаторному условию, через конечное число шагов получим СР(хС) = СА(хС)• Сс (А)(хС), т.е. О - группа типа 4).

Случай О = РЛ(<х) X<у)), где хС = уг = 1, г Ф р, рассматривается аналогично. При этом получим группу типа 5).

Пусть теперь О = РЛ(<х)Л<у)), хС = уг = 1, г Ф р и ху Ф ух. Тогда для любого неединичного элемента t е <х, у) подгруппа РЛ<^ является группой типа 3). Пусть А - <х, у) -допустимая подгруппа из Р и И = АЛ<х,у). Как и выше, несложно получить, что индекс |^Р (А) п С(<х, у))):(СР (А) п С(<х, у))) •(А п С (<х, у)) )| делит р . Если же И = АЛ<х), то из у е N (И )\ С (И) следует, что | N (И): И • С (И )| = г . Как и выше, это приводит к равенству СР(х) = СА(х) • СС (А)(х), т.е. О - группа типа 6).

Предположим, наконец, что | О/Р | = рс, т.е. О = (РЛ<х)) • <у), хС = 1, ур е Р . Так как <Р,у) не инвариантна в О, то [х,у]г Р. Тогда РЛ<х) - группа типа 3), а

(Ср (х) X <х)) Л <у) = <х) Л (Ср (х) • <у)) является группой типа 1). Если А - <х,у) -допустимая подгруппа из Р, то из

у е N(<А, х))\ С(<А, х)) и определения N8пр -группы снова получим, что

Ср (х) = Са (х) • Сср (А) (х) .

Если же И = (АЛ<х)) • <у) , то в силу леммы Фраттини N(И) = И • CN(Н)(х). Учитывая, что CNH (х) = Са (х) • Ссжн)(а)(х), имеем ^Н) = И • Сс^(л)(А)(х). В то же время И • С (И) = И • (СС (А)( х) п С (у)). Поэтому индекс | N (И): И • С (И )| = | CN (Н -,(АЛ< х)): С (И )| делит р и О - группа типа 7);

в) Пусть О = (РЛ(<х) X <у))) • ^), хС = уС = 1, tг е Р . В силу леммы Фраттини можно считать, что t е N(<х, у)). Но тогда из минимальности <х, у) следует, что t действует на <х) X <у) неприводимо. По уже доказанному РЛ(<х)X<у)) является группой типа 5) и если г Ф р, то РЛ^) -группа типа 3). Если А является <х, у, ^ -допустимой подгруппой из Р, то полагая В = АЛ(<х) X <у)) из того, что t е N(В)\(В • С(В)) как и выше, получим, что Ср(<х)X<у)) = Са(<х)X<у)) • Сср(А)(<х)X<у)), т.е. О - группа типа 8).

Достаточность следует из приведенных выше рассуждений. Теорема доказана.

Отметим еще, что из условия СР(х) = (А пС(х))• (СР(А) пС(х)) для любой <х,у) -допустимой подгруппы (пункты 4)-8) теоремы) следует в частности, что Р = [Р, х] • СР ([Р, х]). Кроме того, это условие выполняется автоматически, если подгруппа Р абелева.

Примеры. Приведем простейшие примеры, показывающие, что все случаи из теоремы 2 реализуются.

Группы Ох = 83 X<а), | а | = 5, О2 = (<а)X<Ь))Л<е) , а3 = Ь4 = е2 = 1, ас = а~1, Ьс = Ъ~х и О3 = (<а)XQ8)Л<c) , а3 = с2 = 1, ас = а-1, ^8,с] = 1 являются группами из пункта 1) теоремы.

Математика

Пусть G = (Q8 X(a))1(b), a9 = b3 = 1, ab = a4 и b действует на Q8 как естественный автоморфизм порядка 3. Тогда G - группа типа 2) с неабелевой подгруппой P, а ее подгруппа Q8 l(b) - группа типа 2) с абелевой подгруппой P .

Группа G = ((a) 1(b)) Л (c), a9 = b3 = c2 = 1, ab = a4, ac = a_1, Ьс = b является группой типа

3). В ней для подгрупп H1 = (a)l(c) и H2 = (b)l(c) выполняются равенства | N (Hi) : Hi • С (Hi) | = 3, а N (H 2) = H2 • C (H 2).

Группа Фробениуса порядка 20 - простейший пример группы типа 4). Более интересным примером группы типа 4) является группа G = (((a) 1(b))X(c)X(d))Л(x),

a9 = b3 = c3 = d3 = x4 = 1, ab = a4 , ax = a_1, bx = b , cx = cd, dx = cd2. В этой группе для подгрупп H1 = (a)1(x) и H2 = (a)1(x2 ) выполняются равенства | N(H1): H1 • С(H1)| = 3, а N(H2) = H2 • С(H2).

Группа Фробениуса порядка 7 • 6 - группа типа 5) для r Ф q , а S3 X S3 для r = q .

Группа GL(3,2) @ PSL(2,7) содержит неабелевы подгруппы H1 и H2 порядков 21 и 6 соответственно. Если A - элементарная абелева группа порядка 8, то G1 = AlH1 и G2 = AlH2 , где H1 и H2 действуют на A как подгруппы GL(3,2), являются группами типа 6) и 7) соответственно.

Пусть p Ф2. Тогда группа G = ((a)X(b)X(c))1(((x)X(y))1(t)), где ap = bp = cp = 1,

2 2 v.3 1 x 7.x 7—1 x —1 y —1 ¡lVlV —1 t t t

x = y = t = 1, a = a, b = b , c = c , a = a , by = b, c = c , x = y, y = xy , a = c, bt = a , ct = b , является группой типа 8).

Литература

1. Антонов, В. А. О группах с относительно малыми нормализаторами всех (всех абелевых) подгрупп / В.А. Антонов // Теория групп и ее приложения: сб. науч. тр. 8-й междун. школы-конф., посвящ. 75-летию В.А. Белоногова. - Нальчик: Изд-во КБГУ, 2010. - С. 8-17.

2. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. - М.: Наука, 1996. - 288 с.

3. Антонов, В.А. Локальные конечные группы с малыми нормализаторами / В.А. Антонов // Мат. заметки. - 1987. - Т. 41, № 3. - С. 296-302.

Поступила в редакцию 13 марта 2012 г.

FINITE SOLVABLE GROUPS WITH RELATIVELY SMALL NONPRIMARY SUBGROUPS NORMALIZERS

1 2 V.A. Antonov , N.N. Amineva

Complete description of finite solvable groups, in which for every nonprimary subgroup A index |N(A): A-C(A)| divides some prime number, is obtained.

Keywords: group, subgroup, automorphism, normalizer, centralizer.

References

1. Antonov V.A. O gruppakh s otnositel'no malymi normalizatorami vsekh (vsekh abelevykh) pod-grupp (Groups with relatively small normalizers of all subgroups (all abelian) subgroups). Teoriia grupp

i ee prilozheniia: sb. nauch. tr. 8-oi mezhdun. shkoly-konf., posviashch. 75-letiiu V.A. Belonogova (Group theory and its applications: Proceedings of 8th International School-Conference dedicated to the 75 anniversary of V.A. Belonogov). Nal'chik, KBGU, 2010. pp. 8-17. (in Russ.).

2. Kargapolov M.I., Merzliakov Iu.I. Osnovy teorii grupp (Fundamentals of Group Theory). Moscow: Nauka, 1996. 288 p. (in Russ.).

3. Antonov V.A. Lokal'nye konechnye gruppy s malymi normalizatorami (Local finite groups with small normalizer).Mat. Zametki. 1987. Vol. 41, no. 3. pp. 296-302. (in Russ.).

1 Antonov Vladimir Alexeevich is Dr. Sc.(Physics and Mathematics), Professor, General Mathematics Department, South Ural State University.

2 Amineva Nazhiya Nazhitovna is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, General Mathematics Department, South Ural State University.