Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа n Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА________________

Математика. Механика. Информатика Вып.4(4)

УДК 512.54

Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа п

Я. Д. Половицкий

Пермский государственный университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; (342) 236-82-83

Получено описание групп с условием, указанным в заглавии

Ключевые слова: разрешимая группа; инцидентный.

Знаком X мы обозначаем полупрямое произведение, знаком < • - максимальность подгруппы и знаком >< - инцидентность двух подгрупп.

Определение 1. Если порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп группы G делит n, то G назовем Fn-zpymoü, или группой с Ffj-условием.

Другими словами, Fn-группы - это группы со следующим условием инцидентности: любые две истинные подгруппы, порядок пересечения которых не делит фиксированное число n, инцидентны.

Это иной подход к условиям инцидентности, чем в работе автора [1], где введены условия инцидентности для некоторых классов подгрупп.

Если G - конечная Fn-группа, то можно считать, что n\ |G| и n ^|G|, иначе, вместо n возьмем (n, \ G\)=m и G - Fm-группа, а число m уже делит |G|. Случай n=|G| неинтересен, ибо любая группа порядка n является Fn-группой.

Лемма 1. Пусть G - Fn-группа. Если N < G и |N| не делит n, то G/N - группа с условием инцидентности (т.е. циклическая р-группа или квазициклическая р-группа).

Доказательство. Если A/N и B/N - подгруппы группы G/N, то N с (A n B) . Так как |N| не делит n, то и \A n B\ не делит n.

© Я. Д. Половицкий, 2010

Значит, в силу Fn-y^OBM подгруппы A и B инцидентны, а тогда A/N и B/N - инцидентны. Следовательно, G/N - группа с условием инцидентности. Как известно, тогда она -циклическая р-группа или квазицикличекая р-группа. Лемма доказана.

Легко устанавливается

Лемма 2. Fn_yсловие переносится на подгруппы.

Лемма 3. Fn-yсловие переносится на фактор-группы.

Доказательство. Пусть G - Fn-группа и N < G. Если подгруппы A/N, B/N<G/N и они не инцидентны, то А и В не инцидентны. Тогда в силу Fn-yсловия | A n B\ | п.

Но A/N n B/N = (A n B)/N (ибо A,B ^ N ) и \( A n B)/N\ | \A n B\ | n . Значит, G/N - Fn - руппа. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть G - непримарная Fn-группа, P < G, \ P |= pa ивР существует максимальная подгруппа S, инвариантная в G. Тогда ра~г \ n .

Доказательство. Если а = 1, то утверждение верно. Пусть а > 1. Тогда S Ф 1. Из теории р-групп известно, что \S \= ра~1. Пусть ра~1 не делит п. Тогда, по лемме 1, G/S

- q-подгруппа, q Ф p, ибо G непримарна. Но G/S содержит подгруппу P/S порядка p. Полученное противоречие и доказывает лемму.

Следствие. Если Р - циклическая инвариантная в G подгруппа порядка ра Fn-группы G, то ра^1 \п .

Лемма 5. Пусть G = G1 х G2 х... х Gs

(2), п є N и существует і такое, что \ Gi \ не делит п. Если G - Fn-группа, то 5 < 2 .

Доказательство. Предположим противное. Тогда кроме Gi в (2) входят О ^ и Gk

(числа у,к - различные). Рассмотрим подгруппы А = Оі х О■ и В = Оі х Ок . Очевидно,

(А п В) = Оі. Но п не делит \Оі\, и потому п не делит \А п В\. Следовательно, А><В (в силу Fn-условия). Но это невозможно, т.к. О^ <Х В и Ок <х А . Лемма доказана.

Следствие. Пусть G - Fn -группа и простое число р не делит п. Тогда всякая элементарная абелева р-подгруппа А группы G име-

2

ет порядок р или р .

Лемма 6. Бесконечная циклическая группа G не является Fn-группой ни для какого п є N.

Справедливость леммы очевидна. Следствие. Всякая Fn -группа G периодическая.

Непримарные конечные нильпотент-ные Fn-группы с непустым множеством

ж(О)\ж(п)

Лемма 7. Пусть периодическая непри-марная 2А-группа G является Fn-группой и ж(п)пж(О) Ф 0. Если существует

Р є (% (О ) \ ж (п)), то G абелева, | ж(О) |=2 и

G представима в виде О = Р х С^т (1) или

О = Р х СдХ (2), где |Р\ =р, д Ф р, и ж(п) = д .

Доказательство. Пусть Р - силовская р-подгруппа группы G. Так как G - периодическая ХА -группа, то она локально нильпо-тентна и потому Р < О. Так как Р - ХА-группа, то Р имеет нетривиальный центр. Тогда найдется подгруппа Х1 с Х(Р) такая, что \ Х1\= р . Но О = Р х S ( ввиду локальной нильпотентности G), и потому с 2(0) и < О . Так как по условию число р не делит п, то по лемме 1 О/Х1 - циклическая q-группа или квазициклическая q-группа. Но

21 с Z(G), и потому G абелева. Так как G непримарна, то q Ф р и G = 21 х К, где К = G / Х1 - циклическая или квазициклическая q-группа. Значит, Р = 21. В первом случае G - группа вида (1) (так как циклическая группа порядка pqm), во втором - группа типа (2).

Так как р & ж(п) и ж(п) пж(G) Ф 0, то ж(п) = д . Лемма доказана.

Следствие. Если G - конечная нильпо-тентная непримарная Fn -группа и |G| делится на р, причем р не делит п, то G - цикличе-

т т— 1 I

ская группа порядка рд и д |п.

Доказательство. Из леммы 7 следует, что G = Р х Сдт , где |Р| =р, а тогда G - циклическая группа порядка рдт. Так как р не делит п и п1 |G|, то п = д*, по следствию леммы

4. Следствие доказано.

Теорема 1. Конечная непримарная нильпотентная группа G тогда и только тогда является Fn-группой, у которой множество ж(G)\ п(п) непусто, когда G - циклическая

группа порядка рдт, n=qt и * > т — 1.

Необходимость доказана в следствии леммы 7.

Достаточность. Пусть G - циклическая группа порядка рдт, п = д*, * > т — 1. Тогда р не делит п. Если А,В^ и I А п В I не делит дт—1, то либо 1А п В1 делится на р, либо 1А п В 1= дт . Последнее невозможно, так как подгруппа порядка дт - максимальная подгруппа группы G. В первом случае А ^ Р,В ^ Р , где Р - силовская р-подгруппа группы G, и по лемме 1 А><В. Значит, G -Fn -группа. Теорема доказана.

Непримарные конечные нильпотент-ные Fn-группы, у которых ж(G) = п(п)

Лемма 8. В конечной циклической группе G подгруппы порядков т и к пересекаются по подгруппе порядка, равного (т, к).

Справедливость этого утверждения очевидна.

Теорема 2. Конечная непримарная нильпотентная группа G порядка т является Fn-группой с условием ж(G) = п(п) тогда и

только тогда, когда G = P х Q ,где |P|= ра , а > 2, IQI= q 3 ( q Ф p ), Q - циклическая

группа и либо n = pa-1q3 , либо n = pa-1q 3-1, 3 > 2 и G - циклическая группа.

Необходимость. Пусть G - такая Fn-группа и n(m) = n(n) . Как отмечалось выше, можно считать, что n<m. Тогда существует такая силовская р-подгруппа Р группы

G, что IPI = ра не делит n. Из нильпотентности G следует, что P < G. По лемме 1 G/P -примарная циклическая q-подгруппа. Так как G непримарная, то p Ф q .В силу нильпотентности G = P х Q (3), Q = G/P - циклическая q-группа и IG\= paq3 .

Из леммы 4 следует, что ра-1 In . Если |Q| |n, то n = pa4qp.

Пусть |Q| не делит n. Тогда, как и выше, из леммы 1 и G / Q = P получаем, что Р -циклическая группа, а тогда и G циклическая. Теперь из (3) и леммы 4 вытекает, что q13-1 | n , т.е. n = pa-1qp_1. Так как n(n) = n(G) , то 3 > 2 . Необходимость доказана.

Достаточность. G = P х Q, где

IPI= qa , IQI= q3 и Q - циклическая группа, а n имеет один из видов, указанных в теореме 2.

1) n = pa1q3 (4).

Если A,B<G и I A n BI не делит n, то из

(4) следует, что IA n BI делится на pа, и

потому IAI= paqt, IB I= paql. Так как G нильпотентна, то А и В содержат силовскую р-подгруппу Р группы G. Но G = P х Q и G / P = Q - циклическая q-группа. В ней любые две подгруппы инцидентны, и потому A/P><B/P, а тогда A><B. Следовательно, G -Fn-группа.

2) n = pa-1q 3-1, 3 > 2 и G - циклическая группа. Так как в циклической группе по одной подгруппе каждого возможного порядка, то подгруппы, порядки которых не делят

n, имеют либо порядки раq1 (5) , t < ( 3 -1), либо p1 q 3 (6), l < (а -1). Если одна из них

- порядка (5), а другая - (6), то по лемме 8 их пересечение - порядка p1qtIpa-1q3-1 = n . Все подгруппы порядков paqt1 и paqt2 ин-

цидентны ибо рад1‘ | рад‘2; аналогично и подгруппы порядковр1‘дг и р1 ду инцидентны. Значит, G - Fn-группа. Теорема доказана.

Конечные р-группы с Fn-условием

Лемма 9. Пусть Р - конечная р-группа порядка рт, т > 2. Тогда для любых двух истинных подгрупп S1 и S2 группы Р | Б1 п 32 11 рт—2. В частности, Р является Fn-

^ т-2 т-1

группой для п=р и п=р .

Доказательство. Пересечение

(Б1 п Б2) не может быть максимальной подгруппой группы G, и потому | 31 п 32 11 рт—2,

а при п=рт~2 и п=рт-1 Р является Fn_-группой. Лемма доказана.

Теорема 3. Всякая нециклическая группа G порядка ра является Fn-группой тогда и

т-1

'а—2 | n.

только тогда, когда p

Необходимость. Пусть G - нециклическая Fn-rpynna порядка ра . Тогда в G найдутся по крайней мере две максимальные подгруппы M¡ и М2. Так как IG/Mil=p (i=1,2), то IG/Mj nM2l равен р2. Поэтому

IM} n М2 l= pa-2 и pa-2 In .

Необходимость доказана.

Достаточность доказана в лемме 9.

Замечание. Всякая циклическая группа порядка ра удовлетворяет условию инцидентности и потому является Fn-грyппой для любого n = pr,7 <а .

Из этого замечания и теорем 1-3 вытекает следующее описание конечных нильпо-тентных Fn-грyпп.

Теорема 4. Конечная нильпотентная группа G является Fn-грyппой тогда и только тогда, когда G - группа одного из типов:

i \ а а—2 i

1) нециклическая порядка p и p In ;

2) циклическая порядка ра , n = pr,

7 < а;

3) циклическая порядка ра q3 и

Pa—Iq3—JIn ;

4) G=PX Q, где IP I= pa, а > 2,

IQI= q3 , Р нециклическая, Q - циклическая группа и n = p^q3 .

Замечание. Отметим, что в группе типа 3 объединены циклические группы из теорем 2 и 1.

Некоторые свойства конечных Fn-групп

Лемма 10. Пусть Q - неинвариантная силовская q-подгруппа конечной Fn-группы G и |Q| не делит п. Тогда Q не содержится ни в какой истинной инвариантной подгруппе группы G.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует S < О, Б < О и Q с S . Тогда Q Ф Б (ибо Q неинвариантна в G). Так как | О < да, то в соответствии с леммой Фраттини О = Б • N(Q) (1). Отметим, что (Б п N(Q) з Q и |Q| не делит п и потому | Б п N(Q)| не делит п. В силу Fn-условия Б><Щ0), но тогда из (1) следует, что либо О=Б ( но Б<О), либо G=N(Q), а тогда Q < О, вопреки условию. Значит, S и N(Q) не инцидентны, в противоречие с Fn-условием, и такой подгруппы S не существует. Лемма доказана.

Лемма 11. Пусть G -Fn-группа, 0<О и

|Q| не делит п. Тогда любые две 0х - допустимые подгруппы (х е О) Б1 и Б2 группы G, порядки которых взаимно просты с |Q|, инцидентны.

Доказательство. Так как Б1 и Б 2 0х -допустимы и Si п 0 х = 1 (1=1,2), то в G существуют подгруппы Т1 = Б1А0х и Т2 = Б2Щх . Но (Т1 п Т2) з 0х и 10х | не делит п. Поэтому в силу Fn-условия Т1 >< Т2 . Так как Бг- - инвариантные холловские q-подгруппы групп Т (1=1,2), то Б1 >< Б2. Лемма доказана.

Лемма 12. Пусть G - конечная Fn-группа, 0<О, |Q| не делит п. Если S - Q-допустимая подгруппа группы G,

R1,R2 < Б,^ - Q-допуcтимы (1=1,2), R2/R1

- элементарная абелева р-группа и р не делит |0|, то в R2/R1 Q индуцирует группу автоморфизмов без истинных Q-допустимых подгрупп.

Доказательство. Пусть Т1 /R1 - истинная Q-допустимая подгруппа группы R2 / R1. Тогда по теореме Машке

R2/R1 = T1/R1 х T2/R1, где T2/R1 Q-

допустима. Очевидно, Т1 и Т2 Q-допустимы. По лемме 11 Т1 >< Т2 . Но Т1 п Т2 = R1, т.е. Т1 и Т2 не инцидентны. Значит, в R2 / R1 нет истинных Q-допустимых подгрупп. Лемма доказана.

Следствие 1. Пусть G - конечная Fn-группа, 0<О и |Q| не делит п. Если Р- нециклическая Qx-допустимая р-подгруппа группы G ( х еО) и число р не делит |Q|, то никакая максимальная подгруппа М группы Р не является 0х -допустимой..

Доказательство. Предположим противное. Пусть М <»Р и М 0-допустима. Так как Р - нециклическая группа, то Р/Ф(Р) -нециклическая элементарная абелева р-группа. Так как Р и Ф(Р) Qx-допустимы и I0I = IQ|, то, по нашему предположению, М/Ф(Р) - истинная 0х -допустимая подгруппа группы Р/Ф(Р), в противоречие с леммой 12. Значит, М не является 0х -допустимой. Следствие доказано.

Следствие 2. Если при условиях леммы 12 Р - Q-допустимая элементарная абелева р-подгруппа, то в Р нет истинных 0 х -допустимых подгрупп. Получается из леммы 12 при P=R2 и Rl=1.

Лемма 13. Пусть Б <О , Q - некоторая подгруппа группы G. Любые Q-допустимые подгруппы группы S тогда и только тогда инцидентны, когда для любого х е О любые 0 х -допустимые подгруппы группы S инцидентны.

Необходимость. Пусть любые Q-допустимые подгруппы группы S инцидентны и подгруппы Б1 и Б2 из S допустимы.

Тогда, очевидно, ,Б2, Q-допустимы. По

условию, >< Б2 , откуда Б1 >< Б2 . Не-

обходимость доказана.

Достаточность очевидна.

Теорема 5. Пусть Р - силовская р-подгруппа конечной группы G, рк,

О = БАР (3) и любые две Р - допустимые р/ -подгруппы группы S инцидентны. Тогда

1) если Т1 и Т2 - подгруппы группы G

и ркЦТг пТ^ (4), то Т><Т2.;

2) S содержит не более одной минимальной (максимальной) истинной Р-допустимой р-подгруппы.

3) если S содержит инвариантную в G элементарную абелеву q-подгруппу Q ( p Ф q ), то Q - минимальная и максимальная Р-допустимая элементарная абелева р-подгруппа и единственная из инвариантных в G элементарных абелевых р-подгрупп группы S.

Доказательство.

1. В силу (4) (T1 з T2) з Px, где Px -некоторая силовская р-подгруппы группа G. Отсюда и из (3) следует, что G = SÀP(x) (5). Так как T з Px (i=1,2), то T1 = S1ÀP(x) (6) и T2 = S2ÀP(x) (7) и P - силовская р-подгруппа групп Tj. Поэтому Si - р-подгруппы (i=1,2). Так как Si< T , то они Px -допустимы. В силу

условия теоремы 5 и леммы 13 любые Px -допустимые р -подгруппы группы S инцидентны, и потому S1 >< S2 . Тогда из (6) и (7) получаем, что T1 >< T2 .

2. Справедливость утверждения 2 теоремы 5 следует из условия теоремы 5 об инцидентности любых Р-допустимых р-подгрупп группы S.

3. Если в Q существует истинная Р-

допустимая подгруппа S1 , то, так как (q,|P|)=1, по теореме Машке Q = S1 х S2, где

S2 Р-допустима, а тогда S1 и S2 не инцидентны, вопреки условию теоремы 5. Значит, Q - минимальная элементарная абелева Р-допустимая р -подгруппа. Аналогично доказывается, что Q - максимальная элементарная абелева Р-допустимая р-подгруппа.

Если F - другая инвариантная в G элементарная абелева р-подгруппа группы S, то по условию теоремы 5 Q >< F и по доказанному выше в пункте 3 F - также минимальная Р-допустимая; поэтому Q=F. Отсюда следует единственность Q. Теорема доказана.

Лемма 14. Пусть G - конечная разрешимая Fn-грyппа, Q - ее силовская q-подгруппа и |Q| не делит n. Если S - Q-допустимая подгруппа группы G, то в S существует инвариантный в группе T=SQ ряд

Т0 = 1 < Т2 < ... < T < Ti+1 < ... < Tk = S (8) каждый фактор Ti+1 / Ti которого - либо элементарная абелева q-группа, либо элементарная абелева q-группа, причем в последнем случае в Ti+1 /T¡ Q индуцирует неприводимую группу автоморфизмов и Ti+1 /Ti - единственная

инвариантная элементарная абелева q-подгруппа группы T /Ti.

Доказательство. По лемме 2, Т является Fn-грyппой. В силу леммы 11 все Q-допустимые q-подгруппы группы S инцидентны. Если T является q-группой, то существование такого ряда очевидно. Пусть Т не-примарна. Так как S < T и Т разрешима, то в S найдется минимальная инвариантная элементарная абелева р-подгруппа T1 Ф1.

Пусть p Ф q . Тогда T1 - q -группа. По доказанному в пункте 3 теоремы 5 T1 - единственная инвариантная элементарная абелева q-подгруппа группы Т. Если p=q, то Т1 - элементарная абелева q-подгруппа.

Далее рассмотрим T/Т1 . По лемме 3, эта группа является Fn-грyппой. Из леммы 11 и условия леммы 14 вытекает, что в подгруппе S / T1 группа Q индуцирует такую группу автоморфизмов, что все Q-допустимые q-подгруппы группы S /Т1 инцидентны. Как и выше, доказывается существование в S / T1 инвариантной в T / T1 элементарной абелевой р-подгруппы с указанными в лемме 14 свойствами, и т.д. Отсюда и следует справедливость леммы 14. Лемма доказана.

Следствие 1. Если при условиях леммы

14 S является нильпотентной группой, то

15 I= plqm (9) (причем возможно и m=0) и построенный выше ряд (8) является центральным рядом.

Доказательство. Действительно, если |S| делится кроме q на два других простых p и г, то силовская р-подгруппа и силовская г-подгруппа группы S инвариантны в S и потому Q-допустимы, но они не инцидентны, в противоречие с леммой 11. Значит, имеет место (9).

Далее, Z(S) Ф1 и Q-допустима. Если

Z1 - нижний слой Z(G), то он Q-допустим. Если Z1 примарен, то полагаем Z1 = T1 . Если Z1 непримарен, то в качестве T1 берем его силовскую q-подгруппу. Аналогично поступаем с T / T1 и т.д. Ввиду доказанной в лемме 14 единственности q -факторов Ti+1 /Ti получаем ряд (8). Следствие доказано.

Следствие 2. Если при условиях леммы 14 (ISI,q)=1, то S - р-группа, факторы ее центрального ряда (8) не имеют истинных Q-допустимых подгрупп и Tj (i=0,...,k) - все характеристические подгруппы группы S.

Справедливость этого утверждения получается из доказанных в лемме 14 свойств ряда(8), Q-допустимости характеристических подгрупп группы S и леммы 11.

Конечные ненильпотентные Fn-rpynnbl с инвариантной q-подгруппой Q, порядок которой не делит n

Пусть G - конечная ненильпотентная Fn-группа с инвариантной q-подгруппой Q, порядок которой не делит n, удовлетворяющая указанному в заглавии условию. Так как \Q\= qm по условию не делит n, то по лемме

1 G/Q - циклическая р-группа. Из того, что G ненильпотентна, следует, что p Ф q . По теореме Шура G = QÄP (1), где Р - циклическая группа (ибо P = G/Q).

Пусть P1 <»P и Z - центр группы Q. Рассмотрим подгруппу T = ZÄP1. Имеем T n P = Pj (2). Так как T и Р, очевидно, не инцидентны, то в силу Fn-условия из (2) следует, что \Pj \ \n. Но \P\= pk, и потому \Pj\= pk-j, т.е. pk-j\n .

Если Q содержит Pj -допустимую максимальную подгруппу Q1 для некоторой р-подгруппы Pj Ф1, то

(QjÄPj)n Q = Qj. Так как (QjÄPj) и Q не инцидентны, то в силу Fn-условия \Q1 \ \n,

т.е. qm1 \n . В частности, это выполняется, если Q - циклическая группа.

Если Q - нециклическая группа, то, по

лемме 10, qm2 \n .

Возможны два случая:

1. pk не делит n. Тогда, по доказанному выше, или n = qm~jpk~j, или n = qm2 pk~j. Если Q циклическая, то имеет место первое из этих равенств. В силу леммы 11 любые

Px -допустимые подгруппы группы Q инцидентны.

2. pk \n . Тогда или n = qm1pk , или

n = qm2 pk . Если Q имеет Pi-допустимую максимальную подгруппу для некоторого x e G и р-подгруппы Pj Ф 1, в частности,

если Q циклическая, то n = qm~jpk . Этим доказана необходимость условий следующей теоремы:

Теорема 6. Пусть конечная ненильпотентная группа G имеет инвариантную силов-

скую q-подгруппу Q, дт, п е N и |Q| не делит п. Группа G является Fn - группой тогда и только тогда, когда О = 0АР , где Р - неинвариантная в G циклическая подгруппа порядка рк, п = д1 р*, причем I равно (т-2) или (т-1), а если Q имеет Р1 -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы Р1 Ф1 (в частности, если группа Q циклическая), то 1 = (т-1) и выполняется одно из следующих условий:

1) рк не делит п, любые Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и *=к-1;

2) рк ^ и *=к.

Достаточность. Пусть G - группа, удовлетворяющая условиям теоремы, Б1 и

Б2 - ее неинцидентные подгруппы. Если одна из них является р-подгруппой, то | Б1 п Б2 II рк—1 ^ . Если они - неинцидентные q-подгруппы, то содержатся в Q и, если Q нециклическая, то, по лемме 10,

Б п Б2 11 дт—2 ^ , а в циклической группе Q неинцидентных подгрупп нет.

Пусть Б1 < 0, а Б2 непримарна, т.е. Б2 = 01АР1, 01 < 0 и Р1 Ф1 - р-группа. Если

01 = 0, то Б1 с Б2 вопреки условию. Значит,

01 < 0 . Если Б1 = 0, то Б п Б2 |=| 01 |. Далее, если 01 < •0 , то | 01 |= дт 1 | п по условию теоремы; в остальных случаях

Осталось рассмотреть случай, когда Б1 и Б2 непримарны, т.е. Б1 = 01А}1, Б2 = 02АР2, < 0 (1=1,2) и Р1, Р2 - отличные

от 1 р-подгруппы. Если 01 = 02 = 0, то Б1 и Б2 инцидентны, так как О/0 - циклическая р-группа. Пусть 0>0. Если 01 <^0, то в силу условия теоремы | Б1 п Б2Цдт—1р!1 (3); если же 01 - не максимальная в Q, то

I Б1 п Б2Цдт-2рг (4).

Далее рассмотрим группы, указанные в условиях 1 и 2 теоремы 5, отдельно.

1. Пусть G - группа с условием 1. Если

| Б1 п Б2 I не делится на рк , то из (3) следует,

что | Б1 п Б2 Цдт—1рк—1. Это число равно п, если Q < ^ . Если же 01 - не максимальная подгруппа группы Q, то из (4) получаем

I Б1 п Б2Цдт-2рк—^п .

Пусть теперь | Б1 п Б2 | делится на рк . Так как по условию 1 любые Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны, то в силу утверждения 1 теоремы 5 Б1 >< Б2 . Итак, при условии 1 G - Fn-группа.

2. Пусть G - группа с условием 2. Тогда

из (3) получаем Б п Б2Цдт—1рк (если

01 < •0), а последнее число равно п, из (4)

следует Б п Б2Цдт—2рк ^ . Значит, группа с условием 2 теоремы 6 является Fn-группой. Теорема доказана.

Следствие 1. Fn-группой является группа О = 0АР, где Q, Р - циклические

группы, дт, рк при п = дт—1рк—1 и

п = дт—1рк.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 5 и того, что все подгруппы группы Q инвариантны в G и инцидентны. Следствие 2. Пусть группа G имеет

строение, описанное в теореме 6. Если р к не делит п, то подгруппа Q имеет центральный ряд, описанный в лемме 14 и ее следствии 2, члены которого - все характеристические подгруппы группы Q.

Конечные разрешимые ненильпотентные F11-группы

Пусть G - такая группа. Если в G существует инвариантная силовская q-подгруппа, порядок которой не делит п, то такие группы описаны в теореме 6 (даже без предположения о разрешимости).

Теорема 7. Пусть G - конечная разрешимая ненильпотентная группа, п е N и порядок любой инвариантной силовской р-подгруппы группы G делит п или таких подгрупп в G нет.

Группа G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу Q порядка дт, |Q| не делит п, кдт, (к,д)=1, О=О0 и

если Т1 и Т2 - любые две такие подгруппы группы G, что порядок их пересечения де-

лится на дт , то (Т1 п О') и (Т2 п О') инцидентны и п = кдт—1.

Необходимость. Пусть G удовлетворяет условию теоремы и является Fn - группой.

Так как |G| не делит п и G ненильпотентна, то в силу условия теоремы она имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу Q, порядок

которой дт не делит п. Из разрешимости G

следует, что О7 Ф О . Но О7 0 <О , и так как Q неинвариантна в G и |Q| не делит п, то, по лемме 10, О 0 = О (1).

Рассмотрим 01 = 0 п О7. Подгруппы Q и G/ неинцидентны: 0 <х О/ в силу леммы 10

(так как Q неинвариантна в G), а из О7 с 0 и (1) следовало бы, что G=Q, но G ненильпотентна. Поэтому ввиду Fn-условия Ю1 II п .

Пусть Р - любая силовская р-подгруппа группы G, р Ф д .

Так как О/О7 = 0О7/О7 = 0/01 (2) -q-группа, то Р с О7. Если Р неинвариантна в G, то, так как О7 < О, в силу леммы 10 |Р| делит п. Если же Р < О, то по условию теоремы |Р||п. Отсюда следует, что порядок любой силовской р-подгруппы ( р Ф д ) группы

G/ делит п. Так как 01 - силовская q-подгруппа группы G/ и по доказанному выше Ю1Цп (3), то ^7 II п (4). Поэтому О7 = кд‘ (5), где (к,д)=1, О= кдт (6).

Если 01 <^0, то Ю = дт—1, учитывая

(3)-(5), получаем, что п = кдт1 (7). Если же

01 не максимальная в Q, то найдется М <^0 такая, что М з 01. Тогда М 7 01 Ф 0/01, и потому Т = О М Ф О . Имеем 0 п Т = М . Отсюда, так как 0 <х Т и Т <х 0, в силу Fn-

условия получаем, что |M| ^, т.е. дт1 ^ , и число п опять имеет вид (7).

Пусть Т1 и Т2 - две такие подгруппы

группы G, что дт ЦТ 1 пT2| (8). Но дт не делит п, и потому из (8) и Fn-условия следует, что Т1 >< Т2 , а тогда (Т1 п О7) >< (Т2 п О7) . Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть группа G порядка кдт, (к,ф=1 (9) имеет указанное в теореме строение. Докажем, что она является Fn-

группой для n = kqm 1 (10). Пусть T1, T2 - две подгруппы группы G. Если qm не делит \T1 nТ2\, то из (9) и (10) следует, что

I T1 n T2 \ \ П . Пусть qm \ \T1 nT2\, тогда существует силовская q-подгруппа Qx группы G такая, что Qx е (T1 n T2) (11). Из G = GQ и того, что k\G!, следует, что G = G/Qx (12). Из (11) и (12) следует, что T1 = (T1 n G/)Qx (13), T2 = (T2 n G/)Qx (14). В силу условия

теоремы подгруппы (T1 n G/) и (T2 n G/) инцидентны, а тогда из (13) и (14) следует, что T1 ><T2 . Из доказанного вытекает, что G

- Fn-группа. Теорема доказана.

Следствие 1. При условиях теоремы 7

любые Q-допустимые q-подгруппы S1 и S2 группы G инцидентны.

Доказательство. Рассмотрим

T1 = S1XQ , T2 = S2XQ . По теореме 7

(T1 n G/) >< (T2 n G/) (15). Но, так как S{ -q-группы, (i=1,2), то в силу (1), (5) и (6) S¿ е (Tt n Gf ) и являются инвариантными холловыми q-подгруппами групп (T1 n G; ) и (T2 n Gf ) . Ввиду их единственности из (15) следует, что S1 >< S2 . Следствие доказано.

Следствие 2. Если группа G имеет указанное в теореме 7 строение и G7 является нильпотентной группой (в частности, если G сверхразрешима), то G = PXQ, где Р - р-

группа, p Ф q, P с Gf и любые две Q-допустимые подгруппы группы Р инцидентны.

Доказательство. В силу следствия 1 леммы 14 Gf = P х Q1 (16), где Р - р-группа, Q1 - q-группа. Тогда Q1 < G, и потому Q1 с Q (17). Из G Q = G , из выражений (16) и (17) следует, что G = PXQ ибо (\P\,\Q\)=1. Пусть P1 и Р2 - две Q-допустимые подгруппы группы Р. Так как p Ф q, то в силу следствия 1 теоремы 7 P1 >< P2 .

Наконец, если G сверхразрешима, то G7 нильпотентна и потому утверждение следствия 2 справедливо и для сверхразрешимых групп. Следствие доказано.

Следствие 3. Если неабелева Fn-группа G имеет описанное в теореме 7 строение и Gf является элементарной абелевой группой

порядка ps ( p Ф q ), то G - группа следующего типа: G = PXQ, Q - абелева q-группа, Р

- элементарная абелева р-группа, в Р нет истинных Q-допустимых подгрупп и

n = psqm-] .

Доказательство. В силу следствия 2

леммы 12 в Р нет истинных Q -допустимых

подгрупп и Q = G/ G/ - абелева группа. Утверждение следствия 2 теоремы 7 об инцидентности Q-допустимых подгрупп является уже излишним, так как таких истинных подгрупп нет. Следствие доказано.

Следствие 4. Неабелева группа G = G; XQ, где G7 - циклическая группа порядка ps, Q - абелева группа порядка qm является Fn-группой при n = psqm 1.

Действительно, такая группа удовлетворяет и остальным условиям теоремы 7, так как в G7 любые две подгруппы инцидентны.

Замечание. Если в группе G = PXQ, удовлетворяющей остальным условиям теоремы 7, группа Gf < P, то G/XQ Ф G, вопреки требованиям теоремы 5, и G не будет Fn-группой.

Следствие 5. Если конечная разрешимая Fn-группа G имеет неинвариантную силовскую q-подгруппу и |Q| не делит n, то ее коммутант G/ имеет инвариантный в G ряд Q-допустимых подгрупп, описанный в лемме 14. Из теорем 6 и 7 вытекает Теорема 8. Пусть G - конечная разрешимая ненильпотентная группа. G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она -группа одного из следующих типов:

1. G = QXP , где Р - неинвариантная в G

циклическая подгруппа порядка pk, IQ\=qm,

n = q1 p*, причем l равно (m-2) или (m-1), а

если Q имеет P -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы P1 Ф1, то l=m-1 и

1.1) если рк не делит n, то любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и t=k-1,

1.2) если pk \ п , то t=k.

2. G = G /Q , где Q - неинвариантная силовская q-подгруппа группы G,

\ G \= kqm (k,q)=1, n = kqm1, и если T1, T2 -

любые такие подгруппы группы G, что qm\\Tl nТ2\, то (T nG/) и (T2 nG^ инцидентны.

Следствие 1. Если G - группа типа 2 из

теоремы 8 и G/ n Q = l, то Q - абелева группа.

Действительно, в этом случае G = G/XQ и Q = G/G/ - абелева группа.

Из теоремы 8 нетрудно получить следующий результат, в котором конкретизируются для случая n(G) Ф n(n) полученные в теореме 8 типы Fn-групп:

Теорема 9. Пусть G - конечная разрешимая ненильпотентная группа, n е N и n(G)\n(n) Ф 0. G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов ( ниже всюду q Ф p):

1. G = QXP , G нециклическая, |Q|=q, Р

k k

- циклическая группа порядка p и n = p

k l

или n = p ;

2. G = QXP, G неабелева, Q - элементарная абелева группа порядка q2, Р - циклическая группа порядка p k и либо n = p k l и в Q нет истинных Р-допустимых подгрупп, либо n = p k ;

3. G = QXP , Р неинвариантна в G, |P|=p,

|Q|=qm и n = qm2 или n = qml, причем если Q имеет максимальную Р-допустимую подгруппу, то n = qml и любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны;

4. G = G7 XQ, |Q|=q, G/ - нециклическая группа и любые ее Q-допустимые подгруппы инцидентны, n =\ G / \ ;

5. G = G7 XQ, |Q|=q, G7 - циклическая

р-группа, n =\ G / \ .

В типах 5 и 4 подгруппа Q неинвариантна, а в типах 1-3 подгруппа Р неинвариантна.

Необходимость. По условию теоремы существует Q - силовская q-подгруппа группы G такая, что |Q| не делит n. Возможны два случая.

I. Q < G . К группе G применима теорема 6, поэтому \ G \= pkqm . По условию, n(n) Ф n(G), и потому n(n) - либо р, либо q. Рассмотрим каждый из этих случаев.

I. 1. п(п) = р. Если Ю = дт, то по теореме 6 дт1 | п или дт—2 | п. Но у нас д £ п(п) , и потому либо т=2, либо т=1. Если т=2, то Ю = д2 и, так как q не делит п, из

к 1 к теоремы 6 следует, что п = р или п = р и

Q нециклическая (иначе q|n), т.е. типа д х д.

Значит, G - группа типа 2 из теоремы 9. Если

т=1, то |Q|=q и п = рк или п = рк—1 и G -

группа типа 1 из теоремы 9.

I.2. п(п) = д. Так как в теореме 6

рк—1 ^, то к=1 и |Р|=р. Теперь из теоремы 6 получаем, что G - группа типа 3.

II. Порядок любой инвариантной силов-ской р-подгруппы группы G делит п (или таких подгрупп нет). По условию существует д с п(О)\ ж(п). Тогда силовская q-подгруппа Q группы G неинвариантна в G (в силу условия пункта II ) и |Q| не делит п. По

теореме 7 О = О'0 . Как показано при доказательстве теоремы 7, Ю п О7 = д* ^. Но q не делит п, и потому д* = 1, т.е. О7 п 0 = 1 . Далее, если Ю\Ф д , то существует 01 < 0 , что ю^= д . Тогда (О7Ц)1) п 0 = 01, и, так как О7Х01 и Q не инцидентны, то ввиду Fn-условия Ю1Цп и q|n вопреки условию. Значит, 01 = 0, т.е. Q|=q. Теперь из теоремы 7 и ее следствий 1 и 4 получаем, что G - группа одного из типов 4 или 5. Необходимость доказана.

Достаточность. Все типы 1-5 получены из теоремы 7, а все указанные в них группы, как доказано в теореме 7, являются Fn-группами с соответствующими п. Теорема доказана.

В теоремах 4 и 8 получено описание всех конечных разрешимых Fn-групп. Объединяя эти теоремы, получаем:

Теорема 10. Конечная разрешимая группа G является Fn-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:

1 \ а а—2 I

1) нециклическая порядка р и р ^ ;

2) циклическая порядка ра , п = ру,

7 < а;

3) циклическая порядка ра д3 и

ра—1д3—^ п;

4) О = Р х 0 , где | Р |= ра, а > 2, д3 . Р нециклическая, Q - циклическая группа и п = ра—1д3 .

5) О = 0ХР , где Р - неинвариантная в G

циклическая подгруппа порядка рк, |Q|=дm,

п = д1 р‘, причем 1 равно (т-2) или (т-1), а

если Q имеет Р1 -допустимую максимальную подгруппу для некоторой р-подгруппы Р1 Ф1, то 1=т-1 и

5.1) если рк не делит п, то любые две Р-допустимые подгруппы группы Q инцидентны и 1=к-1,

5.2) если рк ^ , то t=k.

6) О = О 0 , где Q - неинвариантная си-ловская q-подгруппа группы G, | О |= кдт (к,ф=1, п = кдт—1, и если Т1, Т2 - любые такие подгруппы группы G, что дт ЦТ1 пT2|, то (Т1 п О1) и (Т2 п О1) инцидентны.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д. Группы с условием инцидентности для некоторых типов подгрупп // Вест. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Пермь, 2008. Вып. 4(20). С.32-36.

A Unite soluble groups, in which a order of intersection of nonicidence subgroups is a divisor of number n

Ja. D. Polovitsky

Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 alg@psu.ru; (342) 236-82-83

A groups with the solution, which indicate in the title, is described in this paper.

Key words: the soluble group; incidence.