Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп Текст научной статьи по специальности «Математика»

2012

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_________________

Математика. Механика. Информатика Вып. 1(9)

МАТЕМАТИКА

УДК 512.54

Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп

Я. Д. Половицкий

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева 15 alg@psu.ru; (342)236-82-83

Получено описание ряда классов конечных групп с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп. В частности, описаны конечные разрешимые группы с этим и некоторыми более сильными условиями.

Ключевые слова: инцидентный, примарный, группа, пересечение, разрешимый.

Введение

В ряде работ автора изучались группы с различными условиями инцидентности, в частности группы, в котором любые две собственные подгруппы, имеющие пересечение определенного вида, инцидентны (см., например, [1] - [3]). В настоящей работе в качестве таких пересечений берутся примарные группы. Описаны широкие классы конечных групп с этим и близкими к нему условиями. Основные результаты работы - теоремы 4-6.

В работе используются следующие обозначения:

N < G - N - нормальная подгруппа группы G;

М < •G - м - максимальная подгруппа группы G;

А о в - подгруппы А и В инцидентны;

© Я. Д. Половицкий, 2012

Группы типа р1 х р2 х ...ps - прямое произведение циклических групп простых порядков p1,...,ps;

G = A IB - G - полупрямое произведение подгрупп A и B;

□ - конец доказательства.

Некоторые свойства PIN-групп

Определение 1. Группу, в которой пересечение любой пары неинцидентных подгрупп является примарной группой или неинцидентных подгрупп нет, назовем PIN-группой, или группой с условием PIN.

Другими словами, PIN-группы - это группы, в которых любые две собственные подгруппы, имеющие непримарное пересечение, инцидентны.

PIN-группами, в частности, являются:

1. все примарные группы; 2. группы, содержащие не более одной собственной непри-марной подгруппы; 3. группы, в которых любые непримарные подгруппы инцидентны; 4. все

группы порядков pq, p q, pqr ; 5. группы, в

которых любые две неинцидентные подгруппы пересекаются по единице - такие группы рассмотрены в [2] и названы там V-группами.

В работе [2] описаны локально конечные V-группы (теоремы 1 и 3, лемма 5).

Теорема 1 (см.[2]). Локально конечная группа G является V-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов: 1) циклическая p-группа; 2) элементарная абелева группа порядка p2 ; 3) порядка pq (p, q- различные простые числа);

4) G = KXQ - группа Фробениуса, где K -

элементарная абелева группа порядка p2,

Ql = q (простое число), q Ф p, причем K -

минимальная нормальная подгруппа группы G; 5) квазициклическая p-группа.

Следствие 1. Всякая локально конечная V-группа разрешима.

Следствие 2. Все истинные подгруппы локально конечной V-группы примарные.

Лемма 1. Условие PIN переносится на подгруппы и фактор-группы.

Доказательство. Для подгрупп справедливость утверждения леммы 1 очевидна. Если G - PIN-группа, N < G и

Vn r Yn = ( A r B )/n - не-

примарная группа, то подгруппа A r В не-примарна, и потому, в силу PIN-условия,

В N . Значит

A <> В, а тогда AN <>

силовская г-подгруппа группы G, то ОЯ ~ V-

группа, являющаяся г'-группой; если при этом G локально конечна, то она разрешима. Доказательство.

А/ п В/ = (А п В)/

не является r-

Пусть /Я' VЯ = /я

группой. Тогда (А п В) - непримарная

группа, и в силу РШ-условия А <> В , а тогда

АуЯ <> ВЯ . Значит, ОуЯ ~ ^-группа.

Если Я - силовская г-подгруппа группы G, то ОуЯ ~ г'-группа, то есть г <£. ж^/я), и

О

потому, как отмечено выше,

является

~ Р^-группа. □

Определим еще один подкласс РШ-групп.

Определение 2. Группу, в которой пересечение любой пары неинцидентных подгрупп является г-группой, где г - фиксированное простое число, или неинцидентных подгрупп нет, назовем Шг-группой (или группой с условием Шг).

Очевидно, что 1М-группы - подкласс класса РШ-групп, а К-группы - 1М-группы при любом г. Отметим, что при г £ п(О) всякая 1М-группа является К-группой.

Нетрудно видеть, что условие Шг переносится на подгруппы и фактор-группы.

Важная роль 1М-групп в изучении РШ-групп видна из следующего утверждения.

Лемма 2. Пусть РШ-группа О имеет инвариантную г-подгруппу Я. Тогда факторгруппа ОЯ является 1М-группой. Если Я -

К-группой. Если О локально конечна, то в силу следствия 1 теоремы 1 она разрешима. □

Следствие 1. Если О - непримарная локально конечная РШ-группа а Я - её силовская г-подгруппа, то N(Я) - разрешимая группа. Если N(Я) - конечная группа, то N (Я) = ЯЛS , где S - г'-группа одного из типов 1-4 теоремы 1.

Следствие 2. Пусть конечная неразрешимая РШ-группа О является расширением р-группы Р при помощи простой неабелевой группы = О. Тогда р\ О |, О - Шр-

группа, любая силовская ^-подгруппа Q группа О при q Ф р отлична от своего нормализатора и Q п Q х = I (1) для любого X £ N (0 ) .

Доказательство. Если р не делит О |, то по лемме 2 О разрешима, в противоречие с условием. Значит, р| |о| . В силу леммы 2

О является !Ур-группой, и потому по определению 2 справедливо (1). Если бы N (0 ) = 0 , то по теореме Фробениуса О была бы непростой, в противоречие с условием. Значит, N (0 ) Ф 0 . □

Лемма 3. Если РШ-группа О имеет истинную непримарную нормальную подгруппу

N то G/

’ /N

примарная циклическия или ква-

зициклическая р-группа.

Доказательство. Пусть А' любые две собственные подгруппы группы

, В/

N , /N

■ Так как N - непримарная группа и

(А п В) з N , то А п В - непримарная группа. В силу РШ-условия для О тогда

А <> В, откуда <> ВЬ ' Значит,

- группа с условием инцидентности, и потому, как известно, является циклической р-группой или квазициклической р-группой. □ Следствие. В произвольной РШ-группе нормализатор любой непримарной разрешимой подгруппы является разрешимой подгруппой.

Лемма 4. Пусть в непримарной РШ-группе О существует инвариантная

р-подгруппа Р, S - собственные подгруппы группы О, S п Р = 1 (1) и S не является р-группой. Если Р имеет собственную

S-допустимую подгруппу В, то = q - про-

стое число, отличное от р.

Доказательство. Предположим противное. Тогда существует S1, что

1 < S1 < S (2) и не является р-группой (ибо 5 - не р-группа). Пересечение

(РЛ^ ) п (В А) = ВА8Х - непримарная группа, и потому в силу РШ-условия

(РА1) <> (ВАБ) (3). Если (РА^) < (ВА8), то Р В А и, так как Р з В, имеем:

Р = В 1(8 п Р) = В (ввиду (1)), в противоречие с условием. Если же (РЛ81) > (В А), то 8 Р18г и, так как 8 з 81, имеем:

8 = (8 п Р)А81 = 81 (ввиду (1)), в противоречие с (2). Значит, |8| - простое число, отличное от р. □

Следствие 1. Если в конечной PIN-группе О существует инвариантная подгруппа Р и такая подгруппа 8 непростого порядка, не являющаяся р-группой, что 8 п Р = 1, то Р - элементарная абелева группа, не имеющая собственных 8-допустимых подгрупп.

Доказательство. В силу леммы 4 в Р нет собственных 8-допустимых подгрупп (ибо

8 непростой).

Пусть Z1 - нижний слой центра группы

Р. Так как \О\ конечен, то 21 ф 1. Если

21 < Р, то 21 - собственная 8-допустимая

подгруппа группы Р, что невозможно, как отмечено выше. Значит, 21 = Р, т.е. Р - элементарная абелева р-группа. □

Следствие 2. Если конечная РШ-группа

О имеет инвариантную р-подгруппу Р и хотя бы одна силовская д-подгруппа группы О при q Ф р имеет непростой порядок, то Р - элементарная абелева р-группа.

Лемма 5. Пусть О - конечная РШ-группа, Р- ее инвариантная р-подгруппа, S -р'-подгруппа группы О. Если в Р существует собственная 8-допустимая подгруппа, то |81 -

простое число, отличное от р, и любые две собств енные 8-допустимые подгруппы А и В группы Р либо инцидентны, либо пересекаются по 1.

Доказательство. В силу РШ-условия,

либо

(АА) <> (ВА) (1),

либо

(АА£) п (ВА) = 1 (2). Из (1) следует, что А <> В (ибо А и В - единственные силовские р-подгруппы, соответственно, групп А18 и В 18 ), а из (2) - что А п В = 1. Простота |8| следует из леммы 4. □

Следствие 1. Если О - конечная РШ-группа, Р - ее инвариантная элементарная

абелева р-подгруппа, 8 < о,(| 8, р)=1 и в Р

есть собственная 8-допустимая подгруппа, то

|8| - простое число, любые две различные

собственные 8-допустимые подгруппы А и В группы Р пересекаются по 1,

Р = А х В (3), и А, В - минимальные 8-допустимые подгруппы группы О.

Доказательство. Пусть А пВ Ф 1 (4).

Тогда по лемме 5 А <> В. Пусть, например, А < В (5). По теореме Машке, существует 8-допустимая подгруппа А1 группы Р такая,

что Р = А х А1 (6). Из (5) и (6) следует,

что В = А х (А1 п В) (7). Если А1 п В Ф 1, то по лемме 5 А1 <> В. Если В > А1, то отсюда и из (5) следует, что В = Р, вопреки выбору В. Если же В < А1, то из (5) следует, что А < А1, в противоречие с (6). Значит, А1 п В = 1, и из (7) полу-

чаем, что B = A, вопреки их выбору. Значит, (4) не выполняется и A n B = 1. Так как A х B S-допустимая, то из леммы 5 следует, что P = A х B. Простота |S| вытекает из

леммы 4. Из доказанного следует, что A и B -минимальные S-допустимые подгруппы

группы Рл

Следствие 2. Пусть G - конечная PIN -группа, G = Р IS, Р - р-группа, S -р'-группа, 1 < N < Р и N < G . Тогда любая собственная S - допустимая подгруппа A

группы Р такая, что A n N Ф 1 (8), инцидентна N, |S| - простое число и все QN-

допустимые подгруппы группы инци-

дентны.

Доказательство. По лемме 5 Q| - простое число и A о N (ввиду (8)). Если CyN и Vn - две собственные QNдопустимые подгруппы группы BN , то C и T Q - допус-

тимы, (C r Т) > N Ф 1, ив силу леммы 5

- .□

C <> T, а тогда С/лт <> Т/

/N ■

Следствие 3. Утверждение леммы 5 справедливо и для любой подгруппы 8 х группы О (х е О) и ее 8 х -допустимых подгрупп (так как из того, что Р < О , следует, что если А — 8 х -допустимая подгруппа группы Р, то Ах является 8-допустимой и содержится в Р).

Лемма 6. Пусть О - РШ-группа,

О = ЯА0, где Р - р-группа, |0| = q — простое число и q Ф р. Если N, М - инвариантные в О собственные подгруппы группы Р,

1 < N < M

My

'N

- элементарная абелева

p-группа, то в MyN нет собственных допустимых подгрупп.

Доказательство. По лемме 1 G

PIN-группа.

Введем

N

обозначения:

■ Q == qn/n -

G = G/ m = M / p = Р/

G /N, M /N, P /N

Отметим, что Q ~ Q/ = Q т.е. Q = q.

^ - /Q r N 1^1 4

Рассмотрим S = MXQ. По лемме 1 S является PIN-группой.

Пусть в M существует собственная Q -допустимая подгруппа A. Так как M -элементарная абелева, то по теореме Машке M = A X В, где В — Q -допустима и потому

A r В = N (2) - единица группы G. С другой стороны, применяя к PIN-группе S = MXQ следствие 2 леммы 5, получаем,

что A о В (3). Из (2) и (3) следует, что или A , или В - единица группы S , что противоречит выбору A . Значит, в M нет собственных Q -допустимых подгрупп. □

Лемма 7. Пусть PIN-группа G имеет собственную непримарную нормальную подгруппу M. Тогда для любой силовской q-подгруппы Q группы M справедливо равенство G = M ■ N (Q) (4). Если Q неинвариантна

в M, то N (Q) r M = Nm (Q) = Q (5).

Доказательство. Равенство (4) справедливо по лемме Фраттини.

Если NM (Q) = N (Q) r M - непримарная группа, то в силу PIN-условия

N ( Q ) <> M (6), а тогда из (4) следовало бы,

что либо G = M (в противоречие с условием),

либо G = N(Q) (7). Если Q M, то (7) невозможно, и потому невозможно и (6). Значит, NM (Q) - примарная группа, и потому выполняется (5). □

Следствие. Если при условиях леммы 7 подгруппа M простая, то 3x Œ M, что Q r Qx Ф 1.

Действительно, в противном случае Q r Qx = 1 Vx G M \ Q , и в силу (5) и теоремы Фробениуса группа A не простая.

Конечные непримарные PIN-группы с инвариантной силовской подгруппой

Теорема 3. Конечная непримарная группа G с инвариантной силовской p-подгруппой P является PIN-группой тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов (ниже p, q, r - различные простые числа):

и

I. О = РАС, |С| = q и все собственные С-

допустимые подгруппы группы Р исчерпываются следующими:

1) 2{ (I = 1,...,s), где

1 = 2о <... < 2 < 2г+1 <... < ^ < 2+1 = Р (1)

и 2М/2{ - нижний слой центра группы

Р^2 (/ = 0,1,..., s);

2) возможно, элементарными абелевыми группами , являющимися минимальными С-допустимыми подгруппами группы Р, причем 2{+1 = 2{Л£{,(/ = 1,..., s);

3) возможно, некоторыми собственными подгруппами группы 21, попарные пересечения которых равны 1.

II. О = РАС , где Р - элементарная абелева р- группа, С - одна из следующих групп:

1. циклическая порядка qn, п > 1; 2. элементарная абелева группа порядка q2; 3. порядка qг; 4. С = КАЬ , где К - элементарная абелева группа порядка q2, = г, К - мини-

мальная нормальная подгруппа группы С, в Р нет истинных С-допустимых подгрупп и либо для любой собственной подгруппы С группы С в Р нет собственных С -допустимых подгрупп, либо в Р есть собственная С -допустимая подгруппа, и тогда |С^ простой и любые такие С1 -допустимые подгруппы пересекаются по 1.

Замечание. Известно, что в конечной разрешимой группе холловские подгруппы одного порядка сопряжены. Так как в группах типов I и II С - холловская р'-подгруппа, то из выполнимости условий этих типов для С-допустимых или С -допустимых подгрупп группы Р следует, очевидно, выполнимость таких же условий и для других холловских

р'-подгрупп Сх и их подгрупп С1х (при любом х е О).

Необходимость. Пусть О - конечная РШ-группа, Р - ее инвариантная силовская

р-подгруппа и О Ф Р . Тогда О = РАС (1) , где С - р'-группа.

Возможны следующие случаи:

1. С = q - простое число.

Так как Р - конечная р-группа, то в ней существует ряд (1) характеристических под-

групп 2{, такой, что 20 = 1 и

- ниж-

нии слои центра группы

'7.

(і = 0,1,..., к).

Все 2{ < О и потому С-допустимы. Доказан пункт 1) типа I.

Пусть 8 - любая собственная С-допустимая подгруппа группы Р, отличная от всех 2{. Если 8 < 21, то в силу следствия 1 леммы 5 пересечение 8 с любой С-допустимой подгруппой группы 21 равно 1. Доказан пункт 3) типа I.

Пусть 8 ф 21. Тогда по лемме 5 либо

8 > 21, либо 8 п 21 = 1 (3) . Рассмотрим каждый из этих случаев.

1.1. 8 > 21. Тогда 8 п 2І Ф 1 для любого I > 1 и существует k, что 8 > 2к, но 8 3 2к+1. Отсюда, в силу леммы 5, 8 < 2к+1.

т 8/ С2

Т огда подгруппа °'

допустимая подгруппа группы

2

к +1

Так как последняя элементарная абелева, то

С7,

допустимых 2^ <

7

подгрупп,

<

2

к + 1

7 . Полученное про-

2

тиворечие показывает, что случай 1.1 невозможен.

1.2. 8 п 21 = 1. Тогда 3 т, что

8 п 2т = 1 (4) , но 8 п 2 т+\ Ф 1 , и по лемме

5 £ о 7т+1. Так как

£ < 7

, то £ ф 7

т+1

и

потому 82„

Подгруппа

-допустимая подгруппа 2 /

элементарной абелевой группы т+у . В

/ т

силу леммы 6 таких собственных подгрупп в 2

2 нет, и потому 82т = 2т+1 т.е. в си-2т т т 1 лу (4) 2т+1 = 2тА (5), причем в 8 нет ис-

к

к

к

к

а

тинных С - допустимых подгрупп. Так как 2

т+у7 - элементарная абелева группа, от-

2т

сюда и из (5) следует, что 8 - элементарная абелева группа и является минимальной нетривиальной С-допустимой подгруппой группы Р.

Доказан пункт 2) из типа I.

Итак, в случае 1 мы показали, что О -группа типа I.

2. |С| не является простым числом.

Тогда в силу следствия 1 леммы 4 в Р нет собственных С-допустимых подгрупп. По следствию 2 леммы 4 Р - элементарная абелева группа. В силу следствия 1 леммы 2

Ор = С -р'-группа, являющаяся группой

одного из типов 1-4 теоремы 1, но имеющая непростой порядок.

Если для любой С : 1 < С < С в Р нет истинных С -допустимых подгрупп, то О -одна из групп типа II.

Если же для некоторой такой подгруппы С1 в Р есть истинная С1 -допустимая

подгруппа, то по следствию 1 леммы 5 |С^ -простое число и любые две собственные С1 -допустимые подгруппы группы Р пересекаются по 1. И в этом случае О - одна из групп типа II.

Необходимость доказана.

Достаточность.

1. Пусть О - группа типа I и ее различные истинные подгруппы А и В имеют непри-марное пересечение. Тогда А п В = Р1 АС 1,

где Р1 < Р , а |С1 = |С| = q . Отсюда и из

О = РАС следует, что О = РАС1 (6) . Как следует из замечания после теоремы 3, собственные С1 -допустимые подгруппы группы Р -это те же 2{(г = 1,...,к) (ибо 2г < О) и подгруппы с теми же условиями, которые описаны в пунктах 2) и 3) типа I.

Имеем: А = РА (7), В = Р3АС (8),

где Р2,Р3- ^-допустимы и РпЦ = РФ1 (9),

Р2 < Р, Р3 < Р (ибо А и В отличны от О). Но из описания С-допустимых подгрупп группы Р в типе I следует, что такими подгруппами

Р2 и Р3 группы Р, имеющими нетривиальное пересечение, не могут быть две подгруппы

(1 ^ 2+ \ 2І, I Ф 0) как при одном, так и

при разных г - так как - минимальные С1 -допустимые, а Р1 Ф 1. Далее, Р2 и Р3 не могут ввиду неравенства (9) и условия 3) типа I содержаться и в 21. Значит, либо Р2 и Р3 -

это 2г и 2к, а они инцидентны, и тогда А <> В, либо одна из Р2 и Р3 - это 2 ■, а другая совпадает с е (2г+1 \ 2г) ^ 1. Так как в силу (9) 2 ■ п Ф 1, то у > /, и потому

2 . з , и опять А <> В .

Этим доказано, что любая группа типа I является РШ-группой.

2. Пусть О - группа типа II и ее различные истинные подгруппы А и В имеют не-примарное пересечение.

Если хотя бы для одной из них (например, для А) А п Р = 1, то по определению

= А и, так

группы типа II АР^> = А/

О/

'Р- /Р п А

как °Р = С , то А изоморфна С1 < С . Но С -

это К-группа, а по следствию 2 теоремы 1 такие группы не имеют истинных непримарных подгрупп то есть А = С и А п В = А, т. е. А < В.

Остается

случай:

А п Р = А1 Ф 1, А = A\АS\ (10)

В п Р = В1 Ф 1. Тогда В = В1А2 (11), где - р'-группы (г = 1, 2) Возможны подслучаи:

2.1. Хотя бы одна из подгрупп А1 или В1 отлична от Р.

Пусть А1 < Р . Тогда А1 - истинная -допустимая подгруппа группы Р. Теперь из определения группы типа II, ввиду сделанного после теоремы 3 замечания, следует,

- простое число. Так как А п В непримарна,

то тогда (А п В) = (А1 п В1 )А83 (12), где |83| = . Поэтому из (10) и (12) получаем:

А = АА3 (13). Отсюда и из (12) следует, что А1и (А1 п В1) - две 8 3-допустимые собственные подгруппы группы Р. Если они различны, то по определению группы типа II

должны пересекаться по 1, а они инцидентны. Значит, A1 = A1 n B1, т.е.

(A n B) = AjAS3 = A (ввиду (13)), и потому A < B.

Аналогично при Bx < P получим B < A . Мы показали, что в случае 1 A <> B .

2.2. Aj = P, Bj = P .

Тогда A > P, B > P и Ap и Bp -две собственные подгруппы V - группы GP, и потому либо Ap <> BP ( тогда A <> B),

либо Ap n Bp = pp, а тогда A n B = P,

вопреки условию пункта 2.

Итак, в группе типа II все неинцидентные подгруппы имеют примарные пересечения, и потому такая группа является PIN-группой. □

Следствие 1. Конечная непримарная нильпотентная группа является PIN-группой тогда и только тогда, когда - она либо циклическая порядка pqr или pqn, либо группа типа p х p х q.

Действительно, из типа I для нильпо-тентных групп получаются группы порядка pq и типа p х p х q , а из типа II - циклические группы порядков pqr , pqn (n > 1) и снова тип p х q х q , отличающийся от типа p х p х q только обозначениями.

Следствие 2. Конечная непримарная нильпотентная PIN - группа абелева.

Следствие 3. Конечная PIN-группа с инвариантной силовской p-подгруппой разрешима (вытекает из описания типов I-III в теореме 3).

Конечные ненильпотентные разрешимые PIN - группы

Теорема 4. Конечная разрешимая не-нильпотентная группа G является PIN-группой тогда и только тогда, когда она -группа одного из следующих типов:

I. Типа I из теоремы 3;

II. Типа II из теоремы 3;

III. G = PA(QAPj) , где P - элементарная

абелева p-группа, Q = q, |р| = p, N(Q) = QAPX

- неабелева группа, в P нет истинных N(Q) -допустимых подгрупп и любые две различные собственные Q - допустимые подгруппы группы P либо пересекаются по 1, либо таких подгрупп в P нет.

Необходимость. Пусть G - конечная разрешимая ненильпотентная PIN-группа. Возможны 2 случая:

1. В G есть инвариантная силовская подгруппа. Тогда по теореме 3 G - одна из групп типов I или II.

2. В G нет инвариантных силовских подгрупп.

Так как G разрешима, то она имеет инвариантную p-подгруппу. Пусть P - максимальная инвариантная p-подгруппа группы G.

Разрешимая группа GP имеет инвариантную

силовскую q-подгруппу Sp , причем q Ф p

(в виду максимальности P). Применяя к подгруппе S следствие 1 леммы 2, получаем:

S = PAQ (1), где Q - либо циклическая q-группа, либо группа типа q х q .

Отметим, что S Ф G, либо в G нет инвариантных силовских подгрупп.

Если

G/

ХР

не делится на р, то P - инва-

риантная силовская p-подгруппа группы G, в противоречие с условием пункта 2. Значит, p|

G/

. Так как S - непримарная группа, то по

P

лемме 1 G

S

примарная циклическая, то

есть в силу доказанного выше, циклическая р-группа.

Так как 8 = (РА2) < О, то по лемме 7 справедливы равенства:

О = 8■ N(2) = Р■ N(2) (2), N(<2)п8 = 2 (3).

Из (1) и (3) следует, что N(2) пР=1 (4). Из (2) и (4) получаем: О = РАМ(2) (5).

Так как

G/

циклическая р -группа, то из (3) следует:

~ N(2)/ = N0)/

А (2) п 8 = /2

- циклическая р-группа, и потому N(2) = 2АР (6), где Р1 - циклическая р-группа.

(2) и

G/ - S^(2)/ /S- /S

3 Р2 : 1 < P2 < P1. Имеем:

Пусть |Р| не простой. Тогда ственных С-допустимых подгрупп, то есть

либо А п Р = Р (5), либо А п Р = 1 (6) . Равенство (5) невозможно, так как тогда ввиду (4) А = О. Значит, справедливо (6), и тогда ввиду (4) и (3) А = С . Аналогично получаем, что В = С , то есть А = В , вопреки выбору А и В. Случай 1 невозможен.

2. С > Р. Тогда С Ф Р (ибо она не-

примарна) а, так как |ОР| = pq, с <-О. Поэтому С = А = В , вопреки выбору А и В.

3. (С п Р) = С - собственная подгруппа группы Р.

Так как (С п Р) < С, то С1 - собственная 21 - допустимая подгруппа группы Р.

(PX(QXP2)) n N (Q) = QXP2 (7) - непримарная группа, причем подгруппы, стоящие в левой части равенства (7), не инцидентны. Это противоречит PIN - условию. Значит,

|pi| = p и |N(Q)| = qp.

Так как |N(Q)| не простой, то по лемме

4 в P нет собственных N(Q) -допустимых подгрупп, а по следствию 1 леммы 4 P - элементарная абелева р-группа. Применяя к

5 = PÄQ следствие 1 леммы 5, получаем, что любые две Q-допустимые подгруппы группы P (если такие есть) пересекаются по 1. Значит, G - группа типа III.

Необходимость доказана.

Достаточность. Группы типа I и II являются PIN-группами по теореме 3.

Пусть G - группа типа III и A, B - ее различные истинные подгруппы с непримар-ными пересечением C. Тогда C содержит группу Q1, сопряженную Q. Так как

Q1 Œ S = PXQ < G, S = PÄQ1 , то из леммы 7 получаем G = S ■ N (Q) = P ■ N (Q1 ), N (Q1 ) n S = Q1, и потому G = PÀN(Q1 ) (1).

Так как Q1 = Qx, то N (Q1) = N (Q)x . По определению группы типа III в P нет собственных N (Q ) -допустимых подгрупп. Тогда, так как P < G, в P нет и собственных N(Q1 ) -допустимых подгрупп.

Возможны три случая.

1. C n P = 1. Тогда из (1) получаем:

Cpp = CP n C ^ C, т е. C изоморфна не-примарной подгруппе группы GP • Так как

G/

= qp , то CI = 4P и C = Gp . Поэтому

21 < С и С = N(21) (2). Отсюда и из (1)

имеем: О = РАС (3) .

Тогда А = (А п Р)АС (4) и

(А п Р) — С -допустимая подгруппа группы Р. В силу (2), как показано выше, в Р нет соб-

Имеем: (А п Р) > С (7), (А п Р) 21 -

допустима и С1 Ф 1 . В силу следствия 3 лем-

мы 5 для различных 21 -допустимых подгрупп группы Р выполняются те же условия из типа III, что и для 2.Поэтому из (7) следует, что либо А п Р = С (8) , либо А п Р = Р . В последнем случае А > Р (ведь А непримарна!), а тогда А = 8 (ибо А <-О). Так как (В п Р) > С Ф1, то точно так же

доказывается, что либо В п Р = С1 (9), либо В = 8.

Возможны 2 подслучая:

a) В 8 или А 8 ;

b) В < 8 и А < 8 .

Рассмотрим каждый из них.

а) Пусть В 8 (случай А 8 рассматривается аналогично). Тогда В п Р = С1 , причем С < В. Так как 8 < О, то (В п 8) < В . Из 8 = РА21 и (В п 8) з 21 следует, что

(В п8) = (В пР)А21 = (10), то по

лемме 7, примененной к В и ее инвариантной р-подгруппе (В п 8) , имеем:

в=(Вп8)-лв(2)=С2 ■ N2)=СЩ2) (11)

(использовалось (10) и то, что по лемме 7

Мв (21) п р = 1).

Так как В 8, то из (11) следует, что Мв (21) > 21 (12). Но Мв (2) < N(20, а

\А(201 = N(2) = pq . Учитывая это, из (12) получаем ЛВ (21) = N (21) . Отсюда и из (11) следует, что С — N(21) - допустимая подгруппа группы Р, причем по условию пункта

3 С - собственная подгруппа группы Р. Это противоречит тому, что, как отмечено в начале доказательства достаточности, в Р нет собственных N(20 - допустимых подгрупп. Значит, случай а) невозможен.

Ь) А < 8 , В < 8 . Если здесь выполняется хотя бы одно равенство, то А <> В . Если же А < 8 и В < 8 , то, так как 8, очевидно

- группа типа II из этой теоремы, для пары А и В РШ-условие выполняется.^

Определение 3. Группу, в которой порядок пересечения любой пары неинцидентных подгрупп делит п-ю степень некоторого простого числа, где п фиксированное, а указанные простые числа могут быть и различными, либо любые две подгруппы инцидентны, назовем РШп-группой.

Легко увидеть, что Р/Ап-группы - это подкласс РШ-групп. В работе автора [1] получено описание конечных разрешимых РШ2 -групп (они там названы ^-группами).

Нетрудно доказать следующие два предложения:

Предложение 1. Конечные р-группы с условием РШп - это все группы, порядки которых делят рп+2, и только они.

Предложение 2. Если Р/Ап-группа О имеет для некоторой д-подгруппы 2 2 - допустимую подгруппу N и N п 2 = 1, то

|2||дп+1.

Теперь из теоремы 4 и этих предложений получаем описание класса конечных разрешимых Р1Мп-групп.

Теорема 5. Конечная разрешимая группа О является Р/Ап-группой тогда и только тогда, когда она - либо примарная группа,

порядок которой делит рп+2, либо группа одного из типов НП теоремы 4, в которых

Р' I I п+ 2

| р и выполняются следующие дополнительные условия: для типа I - |8| | рп для любой упомянутой там подгруппы 8; для типа

II - 2| | дп1, а порядок любой 21 -

допустимой подгруппы группы Р делит р п ;

для типа III - порядок любой 2-допустимой подгруппы группы Р делит р п .

Из этой теоремы следует и полученное в [2] описание РШ2 - групп.

Из теоремы 4 нетрудно получить описание и некоторых других подклассов РШ-групп - /ААг-групп и определенных выше /Аг-групп (см. определение 2).

Определение 4. Группу, в которой пересечение любой пары неинцидентных не-примарных подгрупп является г-группой, где г - фиксированное простое число, или таких неинцидентных подгрупп нет, назовем ШЛг-группой (или группой с условием /ААг).

В частности, /ААг-группой (при любом простом г) является группа, в которой либо все непримарные подгруппы инцидентны, либо нет истинных непримарных подгрупп.

Очевидно, что 1ММг-группы и М группы являются РШ-группами, а /Аг-группы

- подкласс /ААг-групп. Всякая примарная группа является /Аг-группой и потому и /ААг-группой.

Легко видеть, что условия Шг и ШЛг переносятся на подгруппы.

Докажем несколько вспомогательных предложений об /ААг-группах.

Лемма 8. Пусть О - /ААг-группа, 2 - ее д-подгруппа, г е ж(О) и в О существуют две

2-допустимые р-подгруппы Р1 и Р2 такие, что Р п Р2 = 1 (р Ф д) . Тогда г = д, то есть О -/ААд-группа.

Доказательство. Из условий леммы следует, что

(РА)п(р2А2) = (Р пр2)А2 = 2 - д-

группа. Так как (Р1А2) и (Р2А2) непримар-ны и неинцидентны, то г = д, т.е. О - /ААд-группа. □

Лемма 9. Пусть О - непримарная/ААд-группа, д е ж (О), Р - ее инвариантная силов-

ская р-подгруппа, р Ф д, 1 < 8 < Р и

[/8

8 < О . Тогда О ’ ^ 8 и О/п является цикли-

ческой группой порядка рпд (п > 1) .

Доказательство. Пусть ^8 ~ силов-

ская г-подгруппа группы О8 и г Ф р . Если в

О/

существует отличная от нее силовская г-

R

1S , то R и R1 непримарны, не-

подгруппа , то я и ^

инцидентны, а ((Я1 п Я2) з 8, т. е. |Я п Я11 делится на р, вопреки определению /ААд-группы. Значит, в О8 все силовские г-подгруппы при г Ф р инвариантны. Силов-

ская р-подгруппа

Р/

'S

в силу условия теоре-

мы, также инвариантна в GS ' Значит, GS ~

нильпотентная группа. Так как она непримар-ная и является PIN-группой, то по следствию

2 теоремы 3 GS абелева, и потому G ' Œ S . В

G любые две не р-подгруппы A и B, содержащие S, инцидентны - ибо (A n B) з S , и потому ( A n B) не может быть q-группой, а тогда A <> B . Отсюда и из следствия 1 теоремы 3 вытекает, что GS ~ Циклическая

группа порядка pnq. □

Следствие. Если при условиях леммы 9 кроме S ^ G в Р существует еще одна подгруппа S1: 1 < S1 < P , такая, что S1 < G и

S n S1 = 1 (1), то G - абелева группа типа p х p х q.

Действительно, по доказанному в лемме 9 G’ Œ (S n S1) = 1, т. е. G’ = 1. Теперь из следствия 1 теоремы 3, учитывая существование в G двух p-подгрупп с условием (1), получаем, что G - группа типа p X p X q .

Утверждение 1. Конечная непримарная нильпотентная группа G является /NNq-группой тогда и только тогда, когда она типа p X p X q , либо циклическая порядка

pqn или qpn .

Справедливость этого легко вытекает из следствия 1 теоремы 3.

Теперь мы можем получить описание конечных разрешимых непримарных INNr-групп.

Теорема 6. Конечная непримарная разрешимая группа G является INNr-группой с

r | |G| тогда и только тогда, когда она - группа одного из следующих типов:

1. G = PAC , где CI = q , P - p-группа

и единственными истинными C-допустимыми подгруппами группы P являются подгруппы

Zt, i = 0, 1,..., k, где ряд

1 = Z0 < Z1 < ... < Zi < Zi+1 < ... < Zk < Zk+1 = P и Zi+/Z _ нижний слой центра группы pZ

(для таких групп r равно p);

2. абелева группа типа p х p х q;

3. G = PÄC , P - элементарная абелева р-группа, C - группа типа q х q или циклическая порядка qn (n > 1) и в P нет собственных С -допустимых подгрупп для любой С , где 1 < C < C (если C - типа q х q , то r равно р; если C циклическая, то r - любое из n(G));

4. G = PÄC, где P - группа типа p х p , C - циклическая группа порядка

qn, n > 1. В P есть собственные С1 - допустимые подгруппы только для подгруппы С порядка q группы C и C1 = Z (G) (для таких групп r равно q);

5. циклическая группа порядка pqn .

Необходимость. Пусть G - конечная

непримарная разрешимая /№Уг-группа и r делит GI. Тогда она является PIN-группой.

I. G - ненильпотентная группа.

Тогда по теореме 4 G - одна из групп типов I - III этой теоремы.

Рассмотрим каждый из них.

1. G - группа типа I.

Возможны подслучаи:

1.1. Единственными истинными С-допустимыми подгруппами группы P является Z¡, i = 0, 1 ,... k. Тогда - группа типа 1

этой теоремы.

1.2. В P существует хотя бы одна собственная C - допустимая подгруппа S, отличная от всех Z¡, i = 0, 1 ,. k. Покажем, что в P найдется собственная C-допустимая подгруппа Sj, такая что S n S1 = 1 (1) : если S ф Z1, то по теореме Машке существует C-допустимая подгруппа S1, такая, что Z1 = S х S1 и выполняется (1); если же S ф Z1, то по определению группы типа I найдется Z¡ Ф G, что S n Zi = 1, и в качестве S1 можно взять Zi.

Итак, С-допустимые подгруппы S и Sj группы P с условием (1) всегда найдутся. Тогда (SAC) n (S1 AC) = (S n S1)AC = С -q-группа, и потому G является INNq-группой.

Если S и S1 содержатся в Z1, то они инвариантны в P, С - допустимы и потому из

G = PAC (2) следует, что S < G, S1 < G . Так как выполняется условие (1), учитывая то, что G - INNq -группа, в силу следствия леммы 9 G - группа типа p х p х q, в противоречие с условием пункта I.

Пусть S ф Z1. Тогда Z1 Ф P (3) и по

определению группы типа I Z1 n S = 1 (4) и

S - элементарная абелева p-группа. По лемме 9, учитывая то, что |G| = pkq, имеем: G^z ~

циклическая группа порядка pnq.

Тогда P абелева, Z1 - нижний слой группы P и S < P . Поэтому S n Z1 Ф 1, вопреки (4).

Значит, случай 1.2. невозможен.

2. G - группа типа II или III из теоремы

4. Тогда G = PAC , где P - p-подгруппа.

Возможны следующие подслучаи:

2.1.С имеет собственные подгруппы С1 и С2 такие, что С n С2 = 1.

Тогда (PAC1) n (PAC2) = P - p-группа и G - INNp - группа.

Пусть С - непримарная группа и С1 -ее собственная p'-подгруппа. Тогда (PAQ ) n С = С - p'-группа, в противоречие с тем, что G - INNp-группа. Значит, С - примарная группа. Отсюда следует, что G не может быть группой типа III, и G - группа типа

II, в которой С в силу условия пункта 2.1 -типа q х q. Если бы в P имелась собственная

С - допустимая подгруппа P относительно С (1 < С < С), то по теореме Машке P = Р1 х Р2, где Р2 С1 - допустима, и по лемме 8 G является INNq-группой, в противоречие тем, что G - INNp-группа. Значит, G - одна из групп типа 3 теоремы 6.

2.2. В С любые две собственные подгруппы имеют нетривиальное пересечение. Тогда из описания групп типа II следует, что

C - циклическая группа порядка qn, n > 1. Если в Р для любой отличной от 1 подгруппы С1 группы C нет собственных С1 -допустимых подгрупп, то G - одна из групп типа 3 данной теоремы.

Пусть в P есть собственная С1 -допустимая подгруппа для некоторой C1 :

1 < C1 < C .Тогда по определению группы типа II C1 = q. Если к P AC1 применить теорему Машке, то из следствия леммы 9 получаем, что PAC1 = P X C1 - группа типа

p X p X q, C1 = Z (G) и G - группа типа 4 теоремы 6.

II. G-нильпотентная группа. Тогда в силу утверждения 1 G - группа типа 2 или типа 5.

Необходимость доказана. Достаточность. Пусть G - одна из групп типа 1-5 теоремы 6.

1. G - группа типа 1. Тогда все ее собственные непримарные подгруппы имеют вид

ZtACx (5), где i = 1, ..., k их g G, Cx = q .

Если две подгруппы A и B вида (5) пересекаются по непримарной подгруппе или подгруппе порядка q, то они имеют общую си-

ловскую q - подгруппу Cy, то есть по определению групп типа 1 A = ZiACy

B = Zj ACy (возможно и i = j) и так как

Zt <> Z j, то A <> B . Значит, непримарные

неинцидентные подгруппы группы G могут пересекаться только по p-подгруппе, и G -INNp-группа.

2. G - группа типа 2. Ее подгруппы порядка pq пересекаются по единственной подгруппе порядка q и потому G - INNq-группа.

3. G - группа типа 3. В такой группе любая собственная непримарная подгруппа

содержит Р и имеет вид PACX (6), где

1 < C j < C . Есть C - циклическая q-группа,

то

G/

р - группа с условием инцидентности, и

потому в О все непримарные подгруппы инцидентны, и потому г - любое из ж (О) .

Если же С - типа д х д, то в (6)

Cx

= q. Если пересечение двух подгрупп

вида (6) содержит подгруппу 2 порядка д, то, очевидно, обе они равны РА2 и потому совпадают. Значит, пересечения собственных непримарных неинцидентных подгрупп О равны Р и потому О -/ААр-группа.

4. О - группа типа 4. Из определения такой группы следует, что все ее истинные непримарные подгруппы содержатся в ее инвариантной подгруппе типа р х р х д, и потому О - /ААд-группа.

5. G - группа типа 5. Тогда все ее не-примарные подгруппы инцидентны и она /ААг-группа при любом г. □

Теорема 7. Конечная непримарная разрешимая группа О является /Аг-группой при г е ж (О) тогда и только тогда, когда она -либо группа типов 1 или 5 теоремы 6 (группа типа 1 является /Ар-группой), либо типа

6. О = Р х С , Р-типа р х р или порядка

р, С - циклическая д-группа, |С| Ф д, в Р нет собственных С1 -допустимых подгрупп для любой отличной от 1 подгруппы С1 группы С (О - /Ад-группа).

Необходимость. Пусть такая группа О является /Аг-группой. Тогда она /АА-группа, и потому - группа одного из типов 1-5 теоремы 6.

Группы типов 1 и 5 входят в формулировку теоремы 7. Группа типа 2 теоремы 6 не является, очевидно ни /Ад-группой, ни /Ар-группой.

Пусть О - группа типа 3 теоремы 6. Тогда С имеет собственную подгруппу С и (РАС) п С = С - д-группа. Поэтому О -/Ад-группа. Так как Р - элементарная абелева р-группа, то из доказанного следует, что |Р|

делит р 2 . Но если С - типа д х д , то в силу теоремы 6 О является /ААр-группой, и потому не может быть /Ад-группой. Значит, С - циклическая группа и G - группа типа 6 этой теоремы.

Пусть теперь О - группа типа 4 теоремы

G. Тогда Р = Р1 х Р2, С ^ 2 (О) и (Р1 х С) п Р = Р1 - р - группа. С другой стороны (Р1 х С) п С = С - д - группа. Значит,

О не является ШЛг - группой ни при каком г е ж(О).

Если G - группа типа 6 данной теоремы, то все ее непримарные подгруппы содержат Р

и потому инцидентны. Поэтому и ввиду того, что Р - типа p х p или порядка p, G является INq-группой.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть G - группа одного из типов теоремы 6. Если G-типа 1, то по доказанному в достаточности теоремы 6 ее непримарные неинцидентные подгруппы могут пересекаться только по p-подгруппе. Так как силовские q - подгруппы группы G имеют порядок q, то их пересечения с любой неинцидентной подгруппой равны 1. Поэтому G - INp-группа.

В группе G типа 5 или 6 все непримар-ные подгруппы содержат ее силовскую p-

подгруппу Р и, так как GP ~ циклическая q-

группа, все такие подгруппы группы G инцидентны. Различные p-подгруппы группы G пересекаются по 1, и потому G - INg-группа. □

Следствие. Если G - конечная INr-группа, r G 7t(G) , R - ее силовская r - подгруппа и N(R) Ф R, то N(R) - группа типа 1 или 5 теоремы 6.

Действительно, в силу следствия 1 леммы

2 N(R) - разрешимая группа и потому по теореме 7 N (R) - группа типа 1 или 5 теоремы 6.

Этим закончено изучение конечных разрешимых групп с условиями PIN, INNr и INr.

Конечные непростые неразрешимые PIN-группы

Лемма 10. Всякая конечная неразрешимая непростая PIN-группа G имеет инвари-

антный ряд 1 < Я < М < О (1), где Я - р-примарная циклическая группа, МЯ ~ простая неабелева группа. Если

группа, GM

R Ф 1, то M/R - Wp-группа и p |

M,

Доказательство. Так как О непростая, то в ней существует собственная нормальная подгруппа.

Возможны 2 случая.

1. В О существует истинная непримар-ная нормальная подгруппа.

Тогда найдется минимальная непримар-ная нормальная подгруппа М (М<О). По лемме

3 G

M

примарная циклическая группа.

Предположим противное. Тогда ряд (1) имеет вид 1 < Я < М < О (2), где М - непри-марная группа. Если к М применить следствие

2 леммы 2, то получаем, что в МЯ любые

две различные силовские д-подгруппы при

д Ф р пересекаются по 1. Но если к ОЯ

циклическая группа и применить следствие леммы 7, получаем, что

Возможны 2 подслучая:

1.1 М - простая неабелева группа. Тогда G имеет ряд (1) , где R = 1.

1.2 Подгруппа М не простая. Тогда существует М1 < М, М > М1 > 1.

Пусть М1 - непримарная группа. Тогда

по лемме 3 ММ

потому М’ Ф М . Так как М' - характеристическая подгруппа группы М, то М' < G , и, в силу выбора М, М' - примарная группа. Тогда

1 < М' < М < G - инвариантный ряд с разрешимыми факторами группы G, и G разрешима, вопреки условию.

Значит, все собственные нормальные подгруппы группы М являются примарными группами. Поэтому все они содержатся в нильпотентном радикале Я группы М , причем

Я - р-группа и МЯ ~ простая группа. Она

неабелева (ввиду неразрешимости G). В силу условия пункта 1.2 Я Ф 1.

Мы показали, что в случае 1.2 G обладает

рядом (1). В силу леммы 2 МЯ является Шр-

группой.

По следствию 2 леммы 2 р|

М/

Я

. Для

Р \

М,

. Ряд (2) - частный случай ряда (1) при

G = М. □

Теорема 8. Всякая конечная неразрешимая непростая РШ-группа является либо расширением р-группы с помощью простой неабелевой /^-группы, порядок которой делится на р, либо расширением неабелевой РШ-группы с помощью циклической р-группы.

Доказательство. В силу леммы 10 в G существует указанный там инвариантный ряд (1). Покажем, что в нем есть хотя бы одно равенство.

в МЯ пересечение некоторой пары силов-

ских д-подгрупп отлично от 1. Противоречие доказывает, что ряд вида (2) группа О не может иметь, и потому ряд (1) для О в силу леммы 1 выглядит так: либо 1 < Я < О и ОЯ ~

G/

'Я

, либо

простая неабелева Жр-группа, р \

1 < М < G , где М - простая неабелева РШ-циклическая р-группа. □

гPУппа, /М

случая 1 лемма 10 доказана.

2. Все собственные нормальные подгруппы группы О примарны.

Тогда ее нильпотентный радикал Я Ф 1

и, как и в пункте 1.2, получаем, что О имеет инвариантный ряд 1 < Я < О (2) , где Я - р-группа, ОЯ ~ простая неабелева /Ар-группа и

Заключение

Из теорем 4 и 7 следует, что для описания произвольных конечных РШ-групп осталось описать: простые РШ-группы, простые /Ар-группы, в которых (в силу следствия 2 леммы 2) для любой силовской д-подгруппы 2 при

д ф р N(2) ф 2 и 2 п 2х = 1 £ N(2) ,

а также некоторые связанные с ними расширения, о которых говорится в теореме 8.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с одним условием для пересечений неинцидентных подгрупп // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011.Вып. 2(6). С. 10-21.

2. Волочков А.А., Половицкий Я.Д. Группы с условием инцидентности для подгрупп с нетривиальным пересечением // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль, 2001. Вып. 4. С. 13-17.

3. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа п // Вестн. Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4(4). С. 8-17.

Some classes of finite groups, in which intersections of nonincidence subgroups is primary

Ja. D. Polovitsky

Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15 alg@psu.ru; (342) 236-82-83

Number classes of finite groups with primary intersections of nonincidence subgroups are described in this paper. In particular, are described finite soluble groups with this condition and some more strong conditions.

Key words: incidence; primary; group; intersection; soluble.