CC BY
82013
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Вып. 2(21)
Математика. Механика. Информатика.
УДК 512.54
Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп
Я.Д. Половицкий
Пермский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; (342)236-82-83
Описаны конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп. Основной результат работы — теорема 5.
группа; циклическая подгруппа; пересечение; максимальная под-
Ключевые слова:
группа.
В теории групп представляет интерес изучение групп с различными условиями, накладываемым на попарные пересечения достаточно больших множеств их подгрупп. Некоторые из таких условий для неинцидентных подгрупп рассматривались в работах автора [1] и [2].
В настоящей работе рассматриваются конечные (в основном разрешимые) группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп.
Основные результаты работы приведены в [7].
В настоящей работе используются следующие обозначения:
М < С—М-максимальная подгруппа группы С;
группа типа р1 х р22 х ... х р^—прямое произведение циклических групп порядков р^1, р^2,..., р'1к {рг простые числа, не обязательно различные);
А ^ В—подгруппы А и В инцидентны;
□—конец доказательства.
Определение 1. Группу, в которой либо пересечение любых двух различных
максимальных подгрупп является циклической группой, либо имеется не более одной максимальной подгруппы, назовём С1М-группой (или группой с С1М-условием).
Легко видеть, что С1М-группами являются: циклические и квазициклические группы, группы, в которых не более одной максимальной нециклической подгруппы, а
2 3 2
также группы порядков р2,р°,р^ и р2д.
Лемма 1. С1М-условие переносится на фактор-группы.
С
группа и N < С. Если существуют Mi/N < С/N(г = 1, 2), то Мг < С и, в силу С1М-условия, (М1П М2)—циклическая группа. Тогда Ml/N П M2/N = (М1 П M2)/N— циклическая группа, и потому G/N—С1М-группа. □
Лемма 2. В конечной СЛМ-группе каждая собственная нециклическая подгруппа содержится в единственной максимальной подгруппе (вытекает из определения СЛМ-группы).
©Половицкий Я.Д., 2013
Лемма 3. Если С^конечная СЛМ-группа, N < С и N—нециклическая группа, то G/N—примарная циклическая группа.
Действительно, в силу леммы 2 в G/N не более одной максимальной подгруппы, и потому G/N—примарная циклическая группа.
Следствие 3.1. Всякая конечная СЛМ-группа, содержащая инвариантную нециклическую разрешимую подгруппу, разрешима.
С
и G/N не является примарной циклической группой, то N—циклическая группа.
С
С1М-группа, N < С и N—абелева нециклическая ргруппа, то N—элементарная абелева группа (иначе если N1—нижний слой N,10 С/^—непримарная группа, вопреки лемме 3).
С
группа, содержащая инвариантную максимальную подгруппу М индекса д. Тогда для любого р € (п(С) \ д) силовская р-подгруппа Р группы С либо циклическая, либо инва-С
Доказательство. Пусть Р ^ С. Тогда N (Р) < С и в С существует максимальная подгруппа М1, содержат,ая N(Р). Как известно (см. [3]), тогда N(М1) = М1 и потому М1 ^ С. С другой стороны, так как |С : М| = д, М < Си д = р, то Р < М и М1 = М. Поэтому Р < (М П М1), а это пересечение, в силу СЛМ-условия—циклическая группа. Поэтому Р—циклическая группа. □
С
СЛМ-группа, содержащая две инвариантные максимальные подгруппы различных индексов, то для любого р € п(С) все неинва-рС
циклические.
| С : М1 | = р
|С : М2| = д, Мг < С (г = 1, 2). Тогда, приме-М1
утверждения следствия для всех р = д, а применяя к М2—справедливость его и для силовских д-подгрупп. □
Следствие 4.2. Если G—конечная CIM-группа и О/О/ —непримарная группа, то все неинвариантные силовские p-подгруппы группы О циклические.
Действительно, при условиях следствия 4.2 в О существуют подгруппы Mi и M2 такие, что |О/О/ : Mi/G/| = p, |О/О' : M2/О/| = q, q = p a тогда Mi < О (i = 1, 2) и к О применимо следствие 4.1.
Лемма 5. Если S < О и S^
циклическая группа, то О/ < C(S).
Доказательство. Известно (см. [3]), что О/C(S) = H < AutS. Так как группа автоморфизмов циклической группы абелева (см., напр. [5]), то О/C(S) абелева группа, и потому О/ < C(S). □
S
О О/О/
q-подгруппа, то всякая силовская p-подгруппа P группы О при q = p содер-C(S)
Действительно, из условия следствия видно, что P < О/, и в силу леммы 5 P < C (S).
p
О
гда, когда она либо циклическая, либо группа одного из типов pn х p ми p х p х p.
О
p
О
О
подгруппу A типа p х ^^ли О = A, то О
О = A Тогда то лемме 3 О/A—циклическая группа, то есть О = A (g). Если (g) П A = 1, то О = (а) х (g)—группа типа pn х p. Если же (g) П A = 1, то
О = (ai) х (а2) х (g), (1)
где
A = (ai) х (а2). (2)
Пусть T < (g). Тогда M = A х T < О, Mi = (ai) х (g) < О и M П Mi = (ai) х T^ циклическая группа в силу СЛМ-условия.
Поэтому Т = 1, и в силу (1) и (2) О—группа типа р х р х р.
Достаточность. Всякая циклическая группа и группа порядка р3 являются С1М-группами. В группе О типаргахр как нетрудно видеть лишь одна максимальная подгруппа (типа рп-1 х р) нециклическая, и потому О—С1М-группа. □
О
держащей инвариантную циклическую подгруппу N простого индекса, любые две неинцидентные подгруппы пересекаются по циклической подгруппе.
Доказательство. Пусть М1 и М2^
О
М1 П М2 = 5 (3)
—нециклическая группа. Тогда 5 ^ N (ибо N циклическая), и, так как N < О, существует § € 5 такой, что О = N ■ (з). Отсюда и из (3) следует, что
М1 = (М1 П N)(в) (4)
и
М2 = (М2 П N)(в). (5)
Но в циклической р-группе N любые две подгруппы инцидентны, и потому (М1 П N) ^ (М2 П N). Отсюда и из (4) и (5) следует, что М1 ^ М2. □
Следствие 7.1. Всякая группа
О р
СЛМ-группой (ибо её различные максимальные подгруппы не инцидентны).
Теорема 1. Конечная нильпотентная группа Р является С1М-группой тогда и только тогда, когда она группа одного из следующих типов:
1. Циклическая.
2. Типа д х д х гп(г = д).
3. Р = х Я, где —группа кватернионов, Я—циклическая г-группа, г = 2.
р
р
5. |Р| | р3.
6.р-группа, в кото рой |Р/Ф(Р )| = р2 и ф(р)—максимальная циклическая подгруп-
Р
(приведённые выше типы пересекаются).
Необходимость. Пусть P—конечная нильпотентная CIM-группа. Возможны два случая. P
Если все её силовские подгруппы цик-P
типа 1 .
P
силовскую q-подгруппу Q. В силу леммы 3 P/Q—циклическая r-группа, причём r = q (ибо P непримарна). Значит, P = Q х R, где R—циклическая r-группа. Если Qi < Q,Ri < R, то M = Qi х R и Mi = Q х Ri—две максимальные под-P
(M П Mi) = Qi х Ri—циклическая груп-Qi Q
нециклическая, то из доказанного следует,
Q
лические. Тогда, как известно (см., например, [4], задача 17.23), Q^либо типа q х q, либо Q = Qe- Поэтому P—группа типа 2 или типа 3.
II. P—p-rpvnna. Если |P| | p3, то P— группа типа 5. Пусть |P| = pn и n > 4. Возможны 2 случая:
(a) Хотя бы одна максимальная подгруп-
PP
типа 1.
(b) Все максимальные подгруппы груп-P
P
потому в ней найдутся хотя бы две максимальные подгруппы Mi и M2 и |P/Mi| = p (i = 1, 2). Если
S = Mi П M2, (6)
то, очевидно, P/S—группа типа p х p. В
S
циклическая группа. Так как P/#(P) элементарная абелева и является в силу леммы 1 СЛМ-группой, то из леммы 6, учитывая, что |P/S| = p2, получаем: P/^(P)— типа p х p (и тогда #(P) = S) или P/#(P)— типа p х p х p и |S/#(P)| = p. Рассмотрим каждый из них.
i. P/#(P)^типa p х p. Из (Ь) следует, что G—группа типа 6.
и. Р/Ф(Р)^типа р х р х р.
Пусть М < Р и Ф(Р) < Т < М. Тогда
|Т/Ф(Р )| = р. (7)
Очевидно, Р/Т—группа типа р х р, и в сиТ
группа.
Мы показали, что для любой М < Р
М
держащие Ф(Р), циклические. Из того что М/Ф(Р)—таи а р х р (что вытекает из усло-
М
лических максимальных подгрупп не менее
р + 1. Так как М имеет циклическую под-р
р
мальных подгрупп (см., например, [4], задаМ
группе типа рп-2 х р, либо группе кватернионов Q8.
Поэтому возможны 2 случая:
М
Р
Р
не является 2-порождённой, и потому любые её два элемента содержатся в абелевой
Р Р
р х р х р
В. Существует М < Р такая, что М = Яв-Тогда |М| = 8. Так как М/Ф(Р)^типа 2 х 2, то |Ф(Р)| = 2. Для любого
д е Р \ Ф(Р) (8)
рассмотрим
Т = Ф(Р )(д). (9)
Т
па, а тогда из (8) и (9) следует, что
<д)э Ф(Р). (10)
Мы получили, что для любого д е Р \ Ф(Р) справедливо (10), откуда следует, что Ф(Р)—
2
РР
лическая, либо обобщённая группа кватер-Р
максимальная подгруппа, вопреки условию пункта (Ь). Значит, случай В невозможен.
Необходимость доказана.
Р
группа одного из типов 1-6 теоремы 1. Группы типов 1 и 5, очевидно, являются С1М-группами. В группах типов 2 и 3 лишь одна из максимальных подгрупп нециклическая, и потому такие группы—тоже С1М-группы.
Любая группа типа 4 является С1М-группой в силу следствия 7.1 леммы 7. Р
ресечение любых двух её максимальных подгрупп равно её циклической группе Ф(Р), и потому Р—С1М-группа. □
Лемма 8 (см., например, [6]). Группа
р
р = 2
Лемма 9 (см., например, [6]). Группа
2
2
Лемма 10 (см. [4], задача 18.3). Пусть Р—абедева ргруппа, А—р'-подгруппа группы Аи£Р. Тогда Р = [Р, А] х СР(А).
Р
циклическая р-группа, р = 2, А—р'-подгруппа из Аи£Р и Ср (А) = 1, то А = 1 Р
[А, Р] = 1 А = 1
Р
циклическая р-группа, р = 2 А—р'-подгруппа из Аи£Р и А действует тождественно на подгруппе порядка р из Р, то А = 1.
Следствие 10.3. Пусть С = Р X Р—циклическая р-группа, р = 2 Я—р'_ группа. Если (^(С) П Р) = 1, то С = Р х Я.
Доказательство. Рассмотрим
С/С(Р) ^ А < Аи£Р. (11)
В силу условия следствия Са(Р ) = (^(С) П Р) = 1 и потому по следствию 10.1 А=1
что С = С(Р), а тогда С = Р х Я. □
Лемма 11 (см., например, [5]). Конечная группа Б, все собственные подгруппы которой циклические, есть группа одного из следующих типов: 1. Циклическая. р х р
3. Изоморфна группе кватернионов Яв-
4. B = D X C, W |D| = q = 2, C—циклическая ^^^^па, p и q—различные простые числа и Z(B) < C.
Лемма 12 (см., например, [4], задача 17.17). Группа порядка pn, обладаю-
p
морфна одной из следующих групп: циклической p-группе, группе типа pn-1 х p (и > 2), модулярной грvnne Mpn (и > 3), группе диэдра D2" (и > 3), обобщённой группе кватернионов Q2n (и > 3) или по-лудпэдральной группе SD2" (и > 4).
Теорема 2. Конечная пенильпотент-ная группа G, имеющая дополняемую инвариантную циклическую подгруппу, является CIM-группой тогда и только тогда, когда она сверхразрешима и является группой одного из следующих типов (ниже простые числа p, q, r всюду различны):
I. G = A X B, A—циклическая группа порядка qn, и > 2, q = 2 B—циклическая ^^^па, Z(G) < B;
II. G = A X B, |A| = q = 2 B^ p
III. G = (A X D) х C, |A| = q = 2, |D| = |C | = p;
IV. G = A X Qs, |A| = q = 2;
V. G = (A х D) X C, |A| = q = 2 |D| = r, C—циклическая p-rpvnna, Z(G) = Ci < C, (D X C)/Ci—нециклическая группа;
VI. G = A X B, |A| = q = 2 B = R х P, R и P, соответственно, циклические r- и p-rpvnnbi, #(B) < Z(G);
VII. G = (A х S) X P, |A| = |S| = q = 2,
A < G S <1 G, P—циклическая p-rpvnna,
|P/(P П Z(G))| = p.
(Во всех типах полупрямые произведения не могут быть прямыми.)
G
ненильпотентная группа и
G = A X B, (12)
AA
марна, то A = Q х S, где Q^eanoBCKaH q-подгрупиа группы A. Так как Q и S—
A
G
и вида A получаем: G = (Q х S) X B =
^ X (5 X В), и С имеет дополняемую циклическую д-подгруипу Q. Тогда в условии теоремы можно взять ^ ^^сто А.
Значит, можно считать, что в (12) А— циклическая д-груипа.
Пусть А1 < А. Так как А—циклическая д-груипа, то А1—характеристическая подгруппа группы А, и потому А1 < С. Пусть В1
группы В. Если В1 = 1,то, очевидно, В— циклическая группа простого порядка. Этот случай будет рассмотрен ниже в пункте 1 (после предложений 1-5).
Пусть В1 = 1. Тогда (А X В1) < С, (А1 X В) < С, и в силу С1М-условия (А X В1) П (А1 X В) = А1 X В1—циклическая
А1 = 1
Поэтому
(|А1|, |В1|) = 1, (13)
А1 < С(В1) (14)
В1
В1
дует, что все собственные подгруппы группы ВВ группа одного из описанных там типов 1-4.
Для дальнейшего доказательства необходимости сначала докажем справедливость для рассматриваемой нами группы С
следующих предложений:
А1 = 1
В1 = 1, то В1—д'-группа. Если при этом д = 2, то
А < С(В1). (15)
А1 = 1 (д, |В1|) = 1 В1
д'-группа. Пусть д = 2. Рассмотрим подгруппу Я = А X Вь В силу (14) А1 < /(Я),
а тогда из следствия 10.3 леммы 10 вытекает, что Я = А х В1, то есть справедливо (15). □
Предложение 2. Если С = А х В, то
С
полняющей некоторую инвариантную циклическую примарную подгруппу.
С
потентна, то при условиях предложения 2
\В\ = р и из перечня типов группы В, приведённого в лемме 11, следует, что В—группа типа 4. Тогда С = А х (БXС) = БX(А х С). Теперь в С вместо А можно взять Б, а вме-
В Ах С
не может быть примарной циклической). □
Предложение 3. Если д = 2, В д'-группа и (А П 2(С)) = 1, то С = А х В.
(Справедливость этого утверждения получается, если применить к С = А X В следствие 10.3 леммы 10.)
В
примарной циклической группой и А1 = 1, то В—д'-группа и А1 < 2(С). Если при этом д = 2, то С = А х В.
А1 = 1
и предложения 1 следует, что любая максимальная подгруппа Вг группы В (Вг = 1 ввиду непримарности В) является д'-группой. Отсюда, так как
к
В = У Вг (16)
г=1
(ибо она не является примарной цикличе-В д'
чений А1 < С (Вг), доказанных ранее (см.
А1 < С(В)
му А1 < 2(С). Если д = 2, то отсюда и из предложения 3 получаем, что С = А х В. □
д=2
С = А х В, либо В—непримарная циклическая группа чётного порядка и В £ С (А).
Доказательство. В силу леммы 9 С/С (А)^абелева 2-группа. Если С (А) = С, С=АхВ
Пусть С (А) < С. Тогда
\А\> 4 (17)
В/(В П С(А)) 1
В
В
С
В
В
ческая. В первом случае, в силу (17) и то-
А А1 = 1 В
В 2'
В В
С(А) = С
В £ С (А). " □
Дальнейшее доказательство необходимости в теореме 2 разобьём на несколько случаев в зависимости от того, какая воз-В
ме 11 реализуется.
Вр С
следует, что р = р С = А х В. Из этого и условия пункта 1 в силу предложения 5 д=2
жения 3
А П 2(С) = 1. (18)
Возможны 2 под случая.
1.1 А1 = 1, то есть \ А \ = дп, п > 2. Так как С неабелева, то из д = 2 В1 = 1
что А < С(В1), откуда, в силу абелевости В следует, что В1 < 2(С), и потому В П 2(С) = В1. Отсюда и из (18) следует, что 2(С) < В и С—группа типа I.
В1 = 1 В = р
выполняется (18), то опять 1 = 2(С) < В и С
А1 = 1 А = д
д = 2 С С
группа типа II.
Вр группа типов 2 или 3 из леммы 11).
Так как С = А X В ненильпотентна, то
д = р (19)
и
С = А х В. (20)
В
ния 5 следует, что
д = 2. (21)
В
В р х р
либо Из (21), (20) и предложения 4 сле-А1 = 1
\ А \ = д. (22)
Если теперь В = ^8, то получаем, что С— группа типа IV.
Пусть B—группа типа p х р. Так как q = 2, то по лемме 8 AutA—циклическая группа, и потому G/C (A)—циклическая группа. Но G/A = B—типа p х p. Отсюда получаем, что |G/C(A)| = p, то есть |B/(C(A) П B)| = p. Тогда B = S х D, где S < Z(G) и G = A X B = A X (S х D) = S х (A X D). Учитывая (22), получаем, что G
Случай 2 рассмотрен.
B
Пусть Ai = 1. Так как G ненильпо-
q=2
B является 2'-группой. Это противоречит
Ai = 1
|A| = q. (23)
Так как A ^ Z(G), то
q = 2. (24)
Пусть Pi(i = 1, 2,..., s)—силовские pi-подгруппы группы B.
Предположим, что s > 3. Тогда G/(A X Pi)—непримарные группы, и по лемме 3 все AXPi—циклические группы. Поэтому A < C(Pi) при всех i, откуда A < C(B) и G = A х B—абелева группа, вопреки условию.
s < 2 B
непримарна, |n(B)| = 2 и B = Pi х P2.
B
1
Bi B2 pi p2
но. Так как (A X Bi) < G(i = 1, 2), то в (A X Bi) П (A X B2) = AX (Bi ПB2)—циклическая группа, и потому (q, |Bi ПB2I) = 1 и (Bi ПB2) = #(B) < C(A), то есть
#(B) < Z(G). (25)
Если q { |B|, то, учитывая (23)-(25),
G
q | | B | q = p i
следует, что |AutA| | (pi — 1), и потому
|G/C(A)| = |B/(B П C(A))|| (pi — 1). (26)
Pi < C(A) Pi < Z(G). Тогдa G = (A х Pi) X P2. В силу
q A х Pi
| Pi | = q
(Bi П B2) = P^ < P2) и) как показано выше (см. (25)), Ф(В) = P2(1) < Z(G). Так как
P2 £ Z(G), то P2(1) = P2 П Z(G^ G^rpvnna типа VII.
Случай 3 рассмотрен. Отметим, что в случаях 1-3 описаны все типы рассматриваемых CIM-групп с подгруппой B типов 1-3 леммы 11.
4. B—группа типа 4 из леммы 11, то есть B = D X G, где |D| = r, C—циклическая р-группа,
Z(B) = Gi < G. (27)
Тогда
|B/Ci| = pr. (28)
Если либо q = 2, либо q = 2 и Ai = 1, то в силу предложений 5 и 4 и условия пункта 4 G = A х B, а такие CIM-группа G в силу предложения 2 и сказанного перед пунктом 4 уже изучены в пунктах 1-3.
Значит, осталось рассмотреть случай, когда q = 2 и Ai = 1. Тогда
|A| = q = 2. (29)
Рассмотрим подгруппу
H = A X Gi. (30)
Так как Gi < ^^H < G. Фактор-группа G/H = AB/H = HB/H ^ B/(B П H) = B/Gi—группа порядка pr. Отсюда и из лем-H
Поэтому из (30) следует, что
Gi < G(A) (31)
Gi = 1
q = р. (32)
Gi < Z(G) сюда и из (27) получаем, что
(Z(G) П B) = Gi = Z(B)
Gi = 1
В силу (29) AutA—циклическая группа порядка (q — 1), и потому фактор-группа G/G(A)
(q — 1). Введём обозначение: |G/G(A)| = m. Мы показали, что
m | (q — 1), (34)
и потому
q f m. (35)
Но в силу (31)
С (А) > (А х С1), (36)
а
С/(А х С1) ^ В/С1. (37)
Из (37), (36) и (28) следует, что
т \ рг. (38)
Если т = рг, то в силу (37), (36) и (28) С (А) = А х С1 и
С/С (А) = В/С1. (39)
В/С1
В
абелевой, вопреки условию пункта 4), а С/С(А)
Поэтому (39) невозможно, а тогда
т = рг. (40)
Значит, т—это либо 1, либо р, либо г. Рассмотрим каждый из этих случаев. т=1
С(А) = С С = А х В С
рассмотренных выше в пунктах 1-3. т=г
Тогда С (А) = (А х С) < С, и потому (В П С (А)) = С < В и В абелева, вопреки условию. Значит, случай 4.2 невозможен. 4.3 . т = р.
Тогда в силу (35) р=д
и Б < С (А), то есть
С = (А х Б) X С. (42)
д=г
А / 2(С), получаем, что С—группа типа V. д=г
С
Нетрудно видеть, что группы всех полученных при доказательстве необходимости типов сверхразрешимы.
Необходимость доказана.
С
ного из типов теоремы 2. Покажем, что она является С1М-группой.
Так как группы всех типов теоремы 2 сверхразрешимы, то каждая максимальная подгруппа М группы С имеет простой ин-С
С
ла СЛМ-группой, достаточно проверить, что пересечения любых двух её максимальных нециклических подгрупп является циклической группой.
Рассмотрим отдельно каждый из типов I \ IГ теоремы 2. С
Если \С : М\ = р, то М = А х Вь где В1 = 2(С) < В. Такая М единственна и является циклической группой. М
\С : М\ = д и М = А1 X Вх, где А1 < А. Так как В1 = 2(С), то Вх > В1 и М > 5 = А1 х В1, причём
5 < М. (43)
Если теперь М1 < С и \С : М1 \ = д, то, по доказанному, М1 > 5, и потому (М1 П М) > 5. В силу (43) М1 П М = 5, а 5-циклическая С
С
Тогда единственной её максимальной подгруппой, которая может быть нециклической, является, как нетрудно видеть, (А X В1), где В1 < В, и потому С—С1М-группа. С
Тогда \С\ = р2д и, как легко видеть,
С
С
С/С(А)
|С/С(А)| = 2 С
пы ^8 содержится в 2(С). Все максималь-
С
жат А и имеют вид М = А X $1, где — одна из подгрупп порядка 4 группы $8 5 и по-С
А х С д
это $8 и М П ^8 = —циклическая группа. С
С
|С : М| = д В = 5X^0 М = Вх. Так как все истинные
подгруппы группы Б, как видно из определения группы типа V и леммы 11, циклические, то M пересекается с любой другой максимальной подгруппой по циклической подгруппе.
Очевидно, G = A X Б и Б/Z(Б), как отмечено в определении группы типа V, является нециклической группой порядка pr. Пусть |G : Mi| = r. Тогда
Mi = A X Cx. (44)
Так как Z(G) < C, то Z(G) < Cx. Отсюда и из (44) следует (учитывая, что |A| = q), что
Mi
Mi
другой максимальной подгруппой по циклической подгруппе.
Наконец, если |G : M2I = p, то такая M2 единственна: M2 = (A х D) х Z(G) и является циклической группой.
Значит, всякая группа типа V является СЛМ-группой. G
Если |G : M| = q, то M = Бх и является циклической группой.
p
r
A G/A
циклическая группа, единственны и имеют вид Mi = A X B¿, где B¿ < B(i = 1, 2). Тогда (Mi П M2) = A X (Bi П Б2) = A X Ф(Б) = A х Ф(Б) (ибо Ф(Б) < Z(G)), то есть ( Mi П M2 )
Значит, группа типа VI является СЛМ-группой. G
Введём обозначение: AxS = A1. Пусть |G : M| = q. Тогда
M = A2 X Px (45)
для некоторого x G G, где 1 < A2 < Ai. | G : Mi | = q
Mi = A3 X Py, (46)
где 1 < A3 < Ab Если Pi < P, то, по опреде-
Pi < Z(G)
Pi < Pz (47)
при любом z G G. Тогда Pi < (PxnPy). Если A2 = A3
что (M П Mi) > (A2 x Pi) и при M = Mi имеем: (M П Mi) = (A2 x Pi)—циклическая группа. Пусть A2 = Тогдa A2 П A3 = 1 (ибо |A2| = |A3| = q) и (M П Mi^p-rpvnna, то есть циклическая группа.
Если |G : M2I = p, то M2 > Ai, и, так как G/Ai—циклическая p-группа,
M2
M2 = Ai x Pi, а тогда, учитывая (45) и (47) имеем: M П M2 = (A2 x Pi)—циклическая группа (ибо |A21 = q).
Значит, всякая группа типа VII является CIM-группой. □
Следствие 1. Если в конечной
G
циклическая инвариантная силовская под-G
ремы 2.
Действительно, эта силовская под-GG
менима теорема 2.
Следствие 2. Конечные неабелевы CIM-группы, все силовские подгруппы которых циклические—это группы типов I, II, V и VI из теоремы 2 (ибо в такой группе, как известно (см. [3]), есть инвариантная силовская подгруппа, и потому к ней применимо следствие 1 теоремы 2, если она ненильпо-тентна, или она абелева).
G
ненильпотентная CIM-rpynna, G'—абелева группа и |n(G)| > |n(G/G')|. Тогд a G— группа одного из типов теоремы 2.
Доказательство. В силу условия в G' содержится некоторая силовская p-подгруппа P группы G. Так как G' абелева, то P < G, и по следствию 1 теоремы 2, G
теореме 2. □
Теорема 3. Конечная ненильпотентная CIM-группа G, в которой либо G'— циклическая группа, либо фактор-группа G/G' не является примарной циклической, есть группа одного из типов теоремы 2.
Доказательство. Если G/G' не является примарной циклической, то по следствию 3.2 леммы 3 G'—циклическая группа.
Значит, мы должны рассмотреть случай когда С—циклическая группа.
В силу следствия 3 теоремы 2 можно считать, что
n(G) = n(G/G') (48)
(ибо в противном случае теорема верна).
С
что G/G' непримарна. Поэтому существует N < G такая, что
|G/N | = pq. (49)
N
циклическая группа.
Если |n(G)| > 2, то ввиду (49) в N найдётся силовская г-подгруппа группы G, ин-G
G
ме 2. Значит, осталось рассмотреть случай:
n(G) = {p,q}. (50)
По следствию 4.1 леммы 4 все неинвариант-
G
G
силовской, то тогда все силовские подгруп-
GG (см.[3]), имела бы инвариантную силовскую, в противоречие с предположением. Значит, существует силовская р-подгруппа P груп-
GG следует, что
G = P X Q, (51)
где Q—силовская q-подгруппа группы G.
Так как G ненильпотентна, то Q ^ G и по Q
P
G
типов этой теоремы. P
лу (49) тогда (N П P) = Pi < P и Pi—
N
PG
скую подгруппу Pi индекс а р. Строение таких групп известно и приведено в лемме 12. Рассмотрим приведённые там возможности
P
1. P изоморфна (n > 3) (n > 4) или Q2n(n > 4), то есть Q2n = Qs-
В этом случае p = 2. Тогда, как отмечено в [4] (задачи 17.20-17.22), P имеет ровно 2 нециклические максимальные подгруппы Mi и M2, и потому [G : N (Mi)] < 2 а тогда Q < N (Mi ), i = 1,2 (ибо q = 2). Так как Mi < P, то из доказанного следует, что Mi < G. Но G/Mi—непримарная группа, и по след-Mi
вопреки её выбору. Случай 1 невозможен.
2.P = Qs.
P
группы, одна из которых Pi < G. Если Mi < P(i = 1, 2), Mi = Pi, то |c1Mi| < 2, и потому |G : N(Mi)| < 2 и, как и выше, получаем, что Q < N (Mi). Поэтому Mi < G. Но |G/C(Mi)| делит |AutMi| = 2 (ибо Mi-циклическая группа порядка 4). Поэтому Q < C(Mi)(i =1,2) и Q < Z(G). Тогда G нильпотентна, вопреки условию.
3.P = Mpn, pn = 8.
Тогда, как отмечено в [4] (задача P
M
M < G и G/M—непримарная группа, вопреки лемме 3.
4.P = M23 = Ds.
Как известно (см. [4], задача 18.17) AutDs = Ds, и потому G/C(P)—2-группа, то есть опять Q < C (P ), вопреки ненильпо-G
5. P—группа типа pn-i х p.
P
G
мы 3 P—группа типа p х p. Так как N < G, P < G то и (N П P) = P^i < G. В силу теоремы Машке тогда P = Pi х P2^p.tе P2 < G, и G = Pi X (P2 X Q)—CIM-группа с дополняемой инвариантной циклической подгруп-
G
из перечисленных в этой теореме типов.
□
Конечные разрешимые ненильпотентные С1М-группы
Теорема 4. Конечная разрешимая G
группой тогда и только тогда, когда она— группа одного из следующих типов: I-VII из теоремы 2;
VIII. G = P X Q, Р^элементарная абеле-ва нециклическая ^^^па, Q—циклическая
q-группа, q = p и в Р нет собственных Q
IX. G = P X Q, P^p-rpynna, Q^ циклическая q-групиа, q = p Z (P)— циклическая группа, P/Z (P )—элементарная абелева группа, являющаяся минимальной
G/Z(P)
Z(P) < #(G); для Qi < Q выполняется Z(P) < C(Qi).
G
разрешимая ненильпотентная CIM-группа. Возможны следующие 3 случая. G
антная циклическая подгруппа. Такая CIM-группа по теореме 3—это группа одного из типов I \ IГ теоремы 2.
II. G'—циклическая групп а или G/G'—
G
также группа одного из типов I—VII теоремы 2.
G
вий пунктов I и II. Тогда G'—нециклическая, G/G'—примарная группа и в G нет дополняемых инвариантных циклических подгрупп. Пусть N—минимальная нормальная G
Возможны 2 случая. N
GN p
G/N q
G ненильпотентна, Toq = p и G = N X Q. N
GN QG типа VIII. N
G
G
G
лическая подгруппа S. Если G/S абелева,™ G'—циклическая группа, в противоречие с условием пункта III. Значит, G/S— неабелева группа, и потому существует
R/S < G/S такая, что R/S—элементарная p
G/S
В силу выбора S группа R нециклическая. По лемме 3 G/R—циклическая q-группа.
Тогда G' < R, и, так как по условию пункта III G/G'—примарная группа, то G/G'—q-группа. Поэтому все силовские
r-подгруппы группы G при r = q содержатся G'
Если |n(G)| > 2 ми G/S примарна, то тогда, так как |n(G/S)| < 2, в S суще-
G
rG в противоречие с условием пункта III. От-G
что |n(G)| = 2 ж p = q то есть n(G) = {p, q}.
Пусть P—силовская p-подгруппа группы G. Так как G/R—q-группа, то
P < R. (52)
Если R ^ Mo < G, то Mo/R < G/R и, так как G/R циклическая, то Mo/R < G/R, откуда M0 < G и |G : M0| = q. В силу леммы 4, либо P < либо P—циклическая группа. G/G' q
P < G'. (53)
Из S < G и того, что S—циклическая группа в силу леммы 5 следует, что G' < C (S), а тогда в силу (53)
P < C (S). (54)
R/S p
ем, что
R = SP. (55)
P
дует, что R абелева, а тогда P < G.
Из сказанного выше следует, что всегда P < G, а тогда
G = P X Q, (56)
где Q—силовская q-подгруппа группы G.
Из (56) и условия пункта III получа-P
Q
циклическая группа.
S
S — Sp X Sq, (57)
где Sp и Sq, соответственно, силовские p-
qS S < G, то Sp < G, Sq < G и потому Sp < P, Sq < Q
Sp < Z (P). (58)
Из (55), (57) и (54) получаем
Я = (5р х )Р = х Р. (59)
Покажем, что Р/Бр—минимальная нормальная подгруппа группы О/Бр. Пред-
Р1
такая, что
5Р < Р1 < Р (60)
Pi/Sp < G/Sp. (61)
Из (61) следует, что Pi < G, а тогда
(PiS)/S = (Pi X Sq)/S < G/S. (62)
Ho (Pi X Sq) ^ R, a R/S—минимальная
G/S
да и из (62) следует, что либо P1 x Sq = S, либо Pi x Sq = R. В силу (60) первое из этих равенств противоречит равенству (57), а второе^равенству (59). Отсюда и из (56) получаем, что в P/Sp нет собственных (QSp)/Sp-допустимых подгрупп. Так как Z(P)/Sp < G/Sp, то из доказанного следует, что либо
где
Z (P) = Sp,
(63)
G = P X Qf
(64)
то
M = (M П P) X Qf = Mp X Qf, (65)
где Mp—силовская р-подгруппа группы M. Рассмотрим
Qi < Q.
(67)
Q
и (66) следует, что
Mi < G
(68)
Mi
па индекса q группы G. Из (64)-(66) получаем
(M П Mi) = Mp X Qf.
(69)
В силу С1М-условия, последняя подгруппа циклическая, и потому Мр—циклическая группа и
Мр < С(70)
Возможны 2 подслучая: 2.2.1. Существует М < О такая, что |О : М| = ре и М ^ 5р.
Тогда 5р = 1 и |М| делится на |ф| и
потому М > для некоторого х € О. По Мр
па.
Тогда, так как 5р < О, имеем:
Р
дый из этих случаев.
РР лическая в силу следствия 3.3 леммы 3,
Рр гда |51 = р и, в силу теоремы Машке, Р = 5 х О, где О < О, а тогда ввиду (56) О = Б X (О X ф), и О удовлетворяет условию пункта I, вопреки условию пункта III. Случай 2.1 невозможен. Р
ство (63).
Пусть х € О и М—максимальная подгруппа группы О, содержащая Тогда |О : М| = рк. Так как из (56) следует, что
откуда
G = Sp M,
P = SpMp.
(71)
(72)
Так как в силу (63) £р = Z(Р) и Мр^ циклическая группа, то из (72) следует, что Р
ем пункта 2.2.
Значит, 2.2.1 невозможен. 2.2.2. Все максимальные подгруппы индексов ре (при любых е) группы О содержат £р (это выполняется и при £р = 1).
Тогда из (70) следует, что £р < С(фх) хО
Sp < C(Qi).
(73)
Так как остальные максимальные под-GP
Sp < #(G).
(74)
Mi = P X Qf,
(66)
Теперь из (56), (63), (73) и (74) и доказанного выше о Р/£р следует, что О—группа типа IX теоремы 4.
Необходимость доказана.
Достаточность. Если G—группа одного из типов I—VII теоремы 4, то по теореме 3 она является CIM-группой. G
симальными подгруппами являются только Qf(x £ G)—все они циклические, и M = P X Qi, где Qi < Q. Очевидно G является CIM-группой. G
Z(P) через Sp. Если M < G, то, так как по определению типа IX Sp < #(G), то Sp < M и M/Sp < G/Sp. В силу условий в типе IX для P/Sp, либо M/Sp = (P X Q1)/Sp, либо M/Sp = (QfSp)/Sp, а тогда в G максимальная подгруппа имеет один из следующих видов:
M = P X Qi, (75)
или
Mi = Sp X Qf. (76)
MG
M = P X Qf. (77)
Из (76) и (77) имеем:
(Mi П M) = Sp X Qf. (78)
Но из (73) и Sp < G следует, что
Sp < C(Qf) (79)
для любого x £ G; тогда из (78) и цикличности Sp и Q следует, что (Mi П M)— циклическая группа.
Пусть теперь M2 <G и M2-rpvnna типа (76), то есть
M2 = Sp X Qy. (80)
Mi = M2
(Mi П M2) = Sp X Q2, (81)
где Q2 < Q*, для некоторoro z. Но тогда
Q2 < Qi, (82)
и, так как, как отмечено выше (см. (79)) Sp < C(Qf), то из (82) и (81) следует, что (Mi П M2) = (Sp х Q2)—циклическая группа. Значит, G—CIM-груипа. □
Из теорем 1 и 4 вытекает следующее описание конечных разрешимых CIM-групп.
Теорема 5. Конечная разрешимая группа G, является CIM-группой тогда и только тогда, когда она—группа либо одного из типов 1-6 теоремы 1, либо одного из типов I-IX теоремы 4.
Следствие 1. Если G—конечная непримарная разрешимая CIM-группа, то |n(G)| < 3 и силовские р-подгруппы группы G по всем p, кроме, может быть, одного— циклические, а нециклическая силовская подгруппа—либо элементарная абелева, либо изоморфна Qs, либо центральное расширение циклической группы с помощью элементарной абелевой группы.
Из теоремы 5 нетрудно получить описания ряда подклассов CIM-групп. Отметим один из них.
Следствие 2. Конечная разрешимая G
циклическими пересечениями максимальных подгрупп тогда и только тогда, когда она—группа одного из следующих типов:
1. Любая группа порядка p2q ми pqr;
2. Циклическая порядка pnq;
3.|G| | р3;
p
p
б.ргруппа, в которой |G/#(G)| = р2 и ф(р)—максимальная циклическая подгруп-G
6. G = QXP, где Q—циклическая группа порядка n > 2, q = 2, |P| = p;
7.G = Q X P. где |Q| = q = 2, P-
p
8. G = P X Q, P—элементарная абеле-
p Q q P
Q
9. G = P X Q, ^^^na, Z(P)—
циклическая группа, P/Z (P)—элементарная абелева группа, являющаяся минимальной
G/Z(P)
|Q| = q.
Несомненно, было бы интересно получить описание конечных простых и произвольных конечных CIM-rpvnn.
Список литературы
1. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы, в которых порядок пересечения любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа п// Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4(4). С. 8-17.
2. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп// Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2012. Вып. 1. С. 5-18.
3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Осно-
вы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.
4- Белоногое В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с.
5. Конторович П.Г., Пекелис A.C., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп// Математические заметки. Т. 3, тетрадь 1. Свердловск, 1961. С. 3-28.
6. Горчаков Ю.М. Теория групп. Тверь, 1998. 112 с.
7. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп// Алгебра и линейная оптимизация. Тезисы международной конференции, посвящённой 100-летию С.Н. Черникова. Екатеринбург, 2012. С. 125-126.
A finite soluble groups, in which a intersections of maximal subgroups are cyclic
Ya. D. Polovitsky
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st. 15 alg@psu.ru; (342)236-82-83
A finite soluble groups, in which a intersections of any two maximal subgroups are cyclic, are described in this paper. The main result of this work is the theorem 5.
Key words: group; cyclic subgroup; intersection; maximal subgroup.
