Научная статья на тему 'Одна задача упакування як комбінаторна оптимізація на нечіткій множині розбиттів і її розв’язування'

Одна задача упакування як комбінаторна оптимізація на нечіткій множині розбиттів і її розв’язування Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
319
49
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ємець Олександра Олегівна

Розглядається одна задача нечіткої комбінаторної оптимізації. Для цієї задачі пропонуються методи розв’язування, обчислені оцінки методів.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The one packing problem as combinatorial optimization on fuzzy set of partitions and its solving

The one problem of Euclidean combinatorial optimization on partitions under conditions of uncertainty is considered. Solving methods are formulated. Their estimations are given.

Текст научной работы на тему «Одна задача упакування як комбінаторна оптимізація на нечіткій множині розбиттів і її розв’язування»

УДК 519.85

ОДНА ЗАДАЧА УПАКУВАННЯ ЯК КОМБІНАТОРНА ОПТИМІЗАЦІЯ НА НЕЧІТКІЙ МНОЖИНІ РОЗБИТТІВ І ЇЇ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

ЄМЕЦЬ О.________________________________

Розглядається одна задача нечіткої комбінаторної оптим-ізації. Для цієї задачі пропонуються методи розв’язування, обчислені оцінки методів.

1. Вступ

Розглянемо впорядковану п -вибірку з мультимно-жини G:

Є = (gii,gi2,...,gin ), (1)

де gi. Є G, ij * it, Vij,it є 1Л, V j,t є Jn.

Множина E, елементами якої є п -вибірки Є = (єь...,єп } е = (Є1,..., en ) з мультимножини G вигляду (1), називається евклідовою комбінаторною множиною, якщо з умови 3 j є Jn, ej ^ ej витікає Є Ф е.

Іншими словами, множина E має таку властивість:

Останні тенденції розвитку евклідової комбінаторної оптимізації [1-10], а також нагальна потреба використовувати інформацію, що описується нечітко [11], привели до появи нових моделей, які використовують нечіткі дані.

Мета даного дослідження - розвиток підходів розв’язування задач евклідової комбінаторної оптимізації на нечітких множинах (які є одним із способів описування нечіткої інформації за допомогою математичного апарату). Для досягнення цієї мети поставимо задачу упакування прямокутників з нечіткими даними на розбиттях і запропонуємо методи розв’язування задачі.

Наведемо необхідні в подальшому поняття і визначення евклідової комбінаторної оптимізації [1]. Нехай Jm

- множина перших m натуральних чисел, тобто Jm = {1,...,m}. Позначимо G = {gbg2>---^В - муль-тимножину, яка являє собою сукупність ц елементів, серед яких можуть бути й однакові. Мультимножину G яка має k різних елементів, зазвичай задають її

основою S(g) =(Є!,Є2,...,Єк ) - кортежем усіх різних елементів з G , і первинною специфікацією [g] В'Лъ Ц2’---’ Pk), яка визначає кількість повторень кожного елемента основи в мультимножині. Додавання мультимножин визначається так. Нехай A

- мультимножина з основою S(a) = ( x, y, z,. ..) і кратностями (k a (x), k^y, kA (z),...), а B - мультимножи-на з основою s(B=( x,y,z,...) і кратностями (MB^bWMB-B, де kA(x)> 0, k^^> 0, k^^ > 0, kB(x) > 0, k^y > 0, k^^ > 0, і так далі. Тоді під сумою A+B мультимножин A та B розуміють мультимножину з основою S(A + B) = S(A)u SB і кратностями

( k A+B (B>k A+B (B’ kA+B (B> • В В kA (x) +kB (4

kBB+kBB^kBB+kB(4-B.

Отже при додаванні мультимножин їх основи об’єднуються, а кратності однакових елементів основи додаються.

два елементи є і є, які належать множині e , відмінні один від одного, якщо вони незалежно від інших відмінностей відрізняються порядком слідування символів, які їх утворюють.

Не порушуючи загальності міркувань, будемо вважати, що елементи мультимножини G впорядковані за неспаданням, тобто має місце нерівність:

g1 ^ g2 ^ ^ g4 .

Однією з найбільш розповсюджених евклідових комбінаторних множин є загальна множина переставлень

Enk(G- множина усіх n-вибірок вигляду (1), де n = ц > k, з мультимножини G, яка складається з n дійсних чисел, серед яких k різних.

Під загальною задачею евклідової комбінаторної оп-тимізації розуміють задачу знаходження

F(x*) = ^ВВ, (2)

x* = argminF(x), (3)

за обмежень

V(B - 0 Vi є Jr; (4)

уr+SB = 0 Vi є Js, (5)

r, s - деякі цілі невід’ємні константи; E - евклідова

комбінаторна множина в просторі Rn, а F(B,

у SB, Vr+SB - деякі функції з E в R1.

2. Постановка і розв’язування задачі упакування прямокутників на розбиттях в умовах нечіткої невизначеності, яка обумовлена нечіткістю даних

2.1. Евклідова множина розбиттів

Наведемо нео бхідні в подальшому поняття і визначення.

Нехай N - натуральне число. Розіб’ємо його на доданки:

150

РИ, 2007, № 4

N = nj + n2 + ... + nj +... + ns, nj > 0, j є Js.

Тоді (ni,n2,...,ns) називається розбиттям числа N на s частин [12].

Означення 1. (Див. [9]). Нехай s = N. Розглянемо розбиття числа N (nbn2,...,nN), де nj > 0, Vj є Jn. Задамо порядок елементів в розбитті nj > n2 > ... > nj > ... > nN . Таке розбиття

(ni,n2,^,n^) назвемо евклідовим, а множину всіх таких розбиттів числа N назвемо евклідовою множиною розбиттів і позначимо її r(n) .

Означення 2. Нехай є деяка мультимножина G = {gi , g2, • • •,g 4}. Розбиттям мультимножини G на ш частин R(G,m) називається сукупність мультимно-жин G;, і є Jm, якщо їх сума є G, тобто

G = G1 + G2 + — + Gm. Множину r(G, m будемо називати евклідовою множиною розбиттів.

Означення 3. (Див., наприклад, [9]). Нечітким числом G назвемо нечітку множину [11] вигляду

G = {(g1| М-1) — ,(g^| Мл)}, де {gb g2, —, gp } ,

gi є R1, Vi є Jm - носій нечіткої множини, {мь М2, — ,Ми!, Рі є R1, Vi є J^ - множина значень функції приналежності, 0 < pi < 1, Vi є J^ .

Надалі терміни нечітке число і нечітка множина будемо розуміти як рівнозначні, використовуючи термін „число” для арифметичних (алгебраїчних) операцій, а „множина” - для теоретико-множинних операцій.

2.2. Основні операції з нечіткими числами

Використання методів розв’язування поставленої задачі передбачає знання результатів операцій знаходження суми, мінімуму і максимуму нечітких чисел.

Означення 4. Сумою двох нечітких чисел

A = < B =

і

назвемо нечітке число A+B, яке утворюється за допомогою побудови множини пар

С НІЄ1

С

М1

С

Мг|

HI a1 + Ь]

iin [у

A B ШШ ІЦ1 , Ц1

a1 + Ь р

шш

AB М1 , Мр

а2 + Ь1

min

М А, мв

а а + Ь1 РИ, 2007, № 4

AB Ма, Мі

—, І а2+Ьр

—,І аа +Ьр

ШШ

min

A B М2 , Mr

AB Мр , Мр

(6)

Перші елементи сь..., сл , де р = ар , цих пар утворюють мультимножину С = {су, —, с^}. Основа s(C) мультимножини С: s((~) = -{с1,_,сг} - це носій не-

чіткого числа A + B = {(q| p1 ) ...,(сг| рг )}. Значення функції приналежності знаходять за правилом:

Мt = max ~ j Мі",i є Jл k t є Jr (7)

VieJ„: ct =С: I J ’ ' '

тобто значення pt обирається як максимальне серед чисел цС, для яких q = ct, а г - число різних елементів в С.

Означення 5. Сумою трьох нечітких чисел

та D =

d1

md

d б

md

назвемо нечітке число

A + B + D = E + D, де E = A + B.

Твердження 1. Операція суми для нечітких чисел комутативна, тобто A + B = B + A.

Доведення. При утворенні множини пар С використовуються дві операції: додавання ai + ^ і знаходження мінімуму min(pA,рB j, i є Ja, j є Jp . Оскільки ці операції комутативні: ai + Ь| = Ь| + ai ,

min(pA,pB] = min(pjB,pAj, то множина пар С^B, отримана при додаванні чисел A і B, буде ідентична множині пар С^A , отриманій при додаванні чисел B і A.

Твердження 2. Операція суми для нечітких чисел асоціативна, тобто (A + B) + D = A + (B + D).

Доведення. При утворенні множини пар С використовуються дві операції: додавання і знаходження мінімуму. Оскільки ці операції асоціативні:

(ai + Ь^ + dk = ai + (bj + dk) і

min(mi4MiA, MjB ),MD)=™n( MiA,min(mjB, MD)), i є Ja,

j є Jp , k є J6 ,

то множина пар С^+B^ D буде ідентична множині пар

CA+(B+D)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аналогічно до суми трьох нечітких чисел визначається сума будь-якої кількості чисел a1,...,an: a1 +... + an = (a1 +... + an.^+an , n>3.

З останніх тверджень випливає, що суму п нечітких

чисел ai = і g1

qi

Mn

, i є Jn можна виз-

начати ітеративно, тобто спочатку знаходимо суму

151

двох нечітких чисел, потім додаємо отримане нечітке число до третього нечіткого числа і так далі. Оскільки операція суми пари нечітких чисел є комутативною (див. твердження 1) і асоціативною (див. твердження 2), то порядок додавання n чисел значення не має.

Означення 6. Максимум і мінімум двох нечітких чисел

aiH-i bi Ні , то нечітке число

i=1 i =1

A будемо називати максимумом, а нечітке число B -мінімумом з двох чисел. Аналогічно можна розглядати максимум, мінімум з декількох чисел.

Означення 7. Будемо вважати два нечітких числа

A =

a1

ИіА

a а

і

Задано ще p прямокутників, довжини яких є ap...,ap, ширина - h. Задача полягає в розміщенні прямокутників без накладань в смузі на її початку таким чином, щоб довжина зайнятої частини смуги була мінімально можливою.

Побудуємо математичну модель цієї задачі, вважаючи, що довжини прямокутників ai задаються нечіткими числами.

У кожній смужці в оптимальному розв’язку, очевидно, може стояти від одного до p - (m -1) = p - m +1 прямокутників, де m - це кількість смужок, на яку розділено смугу, тобто ціла частина частки від ділення

ширини смуги на h. Позначимо n = m(p - m +1 та введемо до розгляду n - p прямокутників з шириною h та довжиною ao , де ao є нечітким числом вигляду ao = КО!)}, тобто звичайним нулем.

Тоді можна вважати, що в кожній смужці стоїть рівно p - m +1 прямокутників. Позначимо xij - нечітку дов-

впорядкованими за незростанням (позначати А > B)

а А Р B

тоді, коли Z aiHi biHi , і казати, що А передує B

i=1 i=1

за незростанням.

Означення 8. Будемо вважати два нечітких числа А і B впорядкованими за спаданням (позначати А > B)

“ а Р b

тоді, коли 2 aiHi biHi , і казати, що А передує в

i=1 i—1

за спаданням.

Нехай a1 > a2 > — > aа і b > b2 ^ ^ Ьр. Два нечітких числа А і B будемо називати, виходячи з [11], рівними (позначати А = B), якщо а = р і ai = bi,

ИіА =pB , і є Jа.

2.3. Побудова математичної моделі однієї задачі упакування на розбиттях при невизначеності, яка обумовлена нечіткістю даних

Побудуємо математичну модель наступної задачі упакування прямокутників.

Нехай є деяка напівнескінченна (достатньо довга) смуга, яка поділена на смужки однакової ширини h (рис. 1).

Рис. 1 . Ілюстрація до задачі упакування прямокутників

жину прямокутника, що стоїть у і-й смужці на j -му від початку смуги місці, i є Jm , j є J p_m+1.

Розглянемо вектор x вигляду:

X = (x11,...,x1,p _ m+1,x21>--- ,x2,p-m+b--- ,xib--- >

xi,p-m+1, • • •, xm1, • • •, xm,p-m+1).

Утворимо мультимножину G = ^1, —,ap,a0,—,a^}, в якій елемент a0 зустрічається n - p раз. Тоді вектор x можна розглядати як елемент евклідової множини R(G, m) розбиттів мультимножини G на m частин, тобто x є RG, m). При цьому кожному x буде відповідати певне розташування прямокутників у смузі, і навпаки.

Використовуючи введені операції суми, знаходження максимуму і мінімуму, математичну модель сформульованої задачі упакування прямокутників при невизначеності, яка обумовлена нечіткими вихідними величинами задачі, представимо [9] у такому вигляді:

знайти

p-m+1

F * (x*) = min max £ xij .

xe Rg ,m)1<i<m j_1 ’

p-m+1

x* = arg min max £ xij

xe Rg ,m)1<i<m j=1 ’

(8)

(9)

де argF(x) позначає точку x, що доставляє відповідне значення F(x) функції F .

Формула (8) дає мінімально можливу довжину зайнятої частини смуги у вигляді нечіткого числа, а формула (9) - розбиття х *, на якому ця довжина F *(x*) досягається.

152

РИ, 2007, № 4

Як і всяку задачу оптимізації на дискретній множині, поставлену задачу можна розв’язувати за допомогою методу гілок та меж [13] - методу направленого перебору, а для прикладів невеликої вимірності - за допомогою методу повного перебору.

Хоча метод повного перебору і не є ефективним, обумовленість розгляду такого методу і проведення його аналізу полягає в тому, що, виконавши його, отримаємо верхню оцінку складності розв’язування задачі упакування (8)-(9).

Метод повного перебору полягає в тому, щоб для кожного х з евклідової множини розбиттів r(G, ш) о бчислити цільо ву функцію - довжину зайнятої частини смуги

p-m+1

F(x) = max Zxij no)

1<i<m j=l ' 1 '

При викладенні методів довжиною зайнятої частини

q

смужки i будемо називати ^ xij довжин q розташо-

j=1

ваних у ній прямокутників довжини xij кожний, j Є Jq .

В основі методу гілок і меж [13] лежить система галужень і відсікань, яка дозволяє, взагалі кажучи, значно зменшити об’єм перебору.

Є очевидним, що прямокутники з довжинами a0 не

впливають на результат: A + ao = A, де A - довільне нечітке число, тому при розв’язуванні задачі методом гілок та меж їх не розглядаємо.

Розглянемо алгоритм методу гілок та меж, який пропонується для розв’язування задачі (8)-(9).

1. Впорядкуємо нечіткі довжини прямокутників за

незростанням a1 > a2 ^ ^ ap . Позначимо через RbR2,...,Rm розбиття мультимножи-

ни G = {a1,...,apj наш частин,

R1 + R2 + — + Rm = RG, ш) , в кожному розбитті не більше ніж p - ш +1 прямокутників.

2. Формуємо початкове розміщення ~ таким чином: кожний наступний прямокутник з впорядкованого за незростанням набору довжин, починаючи з прямокутника з довжиною a1, розміщується у ту смужку, довжина зайнятої частини якої є найменшою після розміщення попереднього. Запам’ятовуємо початкове розміщення ~ і значення цільової функції f(x) при цьому розміщенні.

3. Крок t = 1. На цьому кроці розташовуємо прямокутник з довжиною a1 в смужку 1 (відносимо до розбиття R1), тобто xn = a1. Позначимо отриману

множину як s1 . Оцінку £ для будь-якої множини знаходимо як довжину зайнятої частини смуги. На

цьому кроці % И = a1. Значення t збільшуємо на 1.

4. Крок t = 2 . Розбиваємо множину s1 на m підмно-

жин S2,S2,...,sm: S1 = S2U S2U-Usm , s2ПSj2 =0 , i ^ j, Vi,j є Jm, деm - кількість смужок, розміщуючи прямокутник з довжиною a2 : в смужку 1 (розбиття R1), в смужку 2 (розбиття R2 ),..., в смужку ш (розбиття Rm). Для кожної підмножиниs2,i є Jm знаходимо оцінку множини ^ |s2) (як довжину зайнятої частини смуги). Порівнюємо ^|з2) і F(x). Якщо £ (s2) > F^ то множину s2 відсікаємо. Серед не-

відтятих підмножин sj, j є Jm вибираємо для розгалуження ту, для якої оцінка є найменшою. Усі підмножи-ни, крім підмножини, обраної для розгалуження, переглянутих і відтятих, перепозначуємо на si,_,sj, де

i, j - деякі натуральні числа. Значення t збільшуємо на 1.

5. На кожному кроці t = z > 3 розбиваємо множи-

ну s„_1 на ш (або менше, якщо деяке розбиття вже містить p - ш +1 прямокутник) підмножин

oZ oZ oZ : oZ—1 oZ I I qZ II I IcZ

sobso2>***>som • so “ so1U so2U***Usom ’

sZ(ДsZ = 0 , i ^ j, Vi,j є Jm, деm - кількість смужок, тобто розміщуємо прямокутник з довжиною aZ : в розбиття R1 , в розбиття R2 , ..., в розбиття Rm. Додавання прямокутників до Ri завершується, коли кількість прямокутників в Ri дорівнює p - ш +1. Для кожної підмножини sZ, де i - деяке натуральне число, знаходимо оцінку ^ |§Z ] (як довжину зайнятої частини смуги). Порівнюємо •%(sz) і ~(х). Якщо •%(sz) > F(x), то множину sZ відсікаємо. Якщо множина відображає розміщення всіхa1,---,ap прямокутників і I (sZ) < F(x), то значенню f(x) присвоюємо значення

I (sZ), а розміщенню ~ присвоюємо розміщення, яке відображає множина. Для розгалуження обираємо

таку підмножину sZ, для якої оцінка найменша. Усі

підмножини, крім підмножини, обраної для розгалуження, переглянутих та відтятих, перепозначаємо на

sZ+1,---,sZ+1

ня t збільшуємо на 1.

sZ+1,..., sZ+1, де i, j - деякі натуральні числа. Значен-

РИ, 2007, № 4

153

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

6. Процес продовжується до тих пір, доки не розгалужено або не відтято усі множини. Оптимальним значенням цільової функції буде останнє значення f(x) , а остання точка ~~ - точкою, що доставляє оптимальний розв’язок.

Зауваження. В розглянутому алгоритмі методу гілок та меж до поставленої задачі доцільно використовувати також такі правила відсікання:

відсікання №1: якщо після розміщення прямокутника

з довжиною ap деяке розбиття є порожнім R. =0, то

цю множину відсікаємо, оскільки очевидно, що ця множина не відображає оптимального розв’язку (для Р > m);

відсікання №2: якщо на деякому кроці довжина зайнятої частини смужки з номером j' дорівнює довжині зайнятої частини смужки з номером j", де j', j" -деякі натуральні числа, j' < j", то після розміщення

прямокутника a j в ці смужки (тобто додавання їх до розбиттів Rj' та Rp ), де j деяке натуральне число,

підмножину, в якій a j стоїть в смужці з номером j", відсікаємо (рис. 2.).

Зауваження. Алгоритмічно aj в смужку j" не ставиться, тобто галуження при цьому відбувається тільки розміщенням aj в смужку і' .

2.4. Оцінка складності розв’язування задачі

Спершу оцінимо час роботи алгоритму для знаходження найбільшого або найменшого з двох нечітких

чисел aj і a2, aj =

gi

, і єJ2,де

[g1 > — ,g4. j - носій нечіткої множини aj, а | _ ці j

- множина значення функції приналежності. Позначимо q = max(qbq2).

Згідно [14], під часом роботи алгоритму тут і далі розуміємо число елементарних кроків, які алгоритм виконує. В нашому випадку елементарними кроками будуть операції додавання, множення і порівняння.

1 1

Для знаходження 2 gi Мі необхідно виконати опера-

і—1

цію множення не більше, ніж q раз, а операцію додавання не більше, ніж q -1. Для визначення максиму-

І1 1 1 42 2 2

му або мінімуму серед величин 2 gi Mi і 2 gi Mi

i=1 i=1

необхідно виконати одну опер ацію порівняння. Т аким чином, для знаходження найбільшого або найменшого значення з двох нечітких чисел a1 та a2 час роботи алгоритму складає не більше, ніж q + (q -1 + q + (q -1 +1 = 4q -1, тобто ©(q), де © -асимптотично точна оцінка [14, с. 36].

Аналогічно знаходимо час роботи алгоритму при визначенні найбільшого або найменшого серед s (s > 2)

нечітких чисел aj , aj

g1

Чі

і є Js, де (Sb---,g4.) - носій нечіткої множини aj,

а { М-1»—= } - множина значень функції приналеж-

ності. Нехай q = maxqj, і є Js. Для знаходжен-

v 1 1 .

ня ^ gi Mi необхідно виконати операцію множення не i=1

більше, ніж q раз, а операцію додавання не більше, ніж q -1, тобто для s чисел операція множення виконується не більше, ніж sq раз, а операція додавання не більше, ніж s(q -1 раз. Для порівняння величин

Ч1 1 1 Ч2 2 2 4s s s

Zgi M-i , Zgi Mi , ..., Zgi Mi необхідно: порівняти i=1 i=1 i=1

Ч1 1 1 _ Ч2 2 2

суми 2 gi Mi і 2 gi Mi , і більшу (меншу) суму запа-i—1 і=1

м’ятати, після цього порівняти ту суму, що запам’ята-

Чз з з

ли, з сумою 2 gi Мі і більшу (меншу) суму запам’я-i=1

V 1 1

тати тощо. Отже для порівняння величин L, gi Mi ,

i=1

^2 2 2 s s

^ gi Mi , ..., ^ gi Mi необхідно виконати s -1 опера-

i=1 i=1

цію порівняння. Таким чином, для знаходження найбільшого або найменшого серед s нечітких чисел час роботи алгоритму буде не більше, ніж

sq + s(q -1 + (s -1) = 2sq -1, тобто ©(sq).

Знайдемо час роботи алгоритму для визначення суми двох нечітких чисел a1 і a2.

154

РИ, 2007, № 4

Для утворення множини пар С за формулою (6)

необхідно виконати максимум q • q = q2 операцій додавання і стільки ж операцій порівняння. Для утворення основи s(o) необхідно відсортувати масив чисел максимальної вимірності q • q . Використаємо, наприклад, алгоритм швидкого сортування [14, с. 151]. Час роботи алгоритму швидкого сортування в гіршому

випадку складає ©((q • q)2] = ©(q4].

Кожному елементу основи ставимо у відповідність, згідно з формулою (7), функцію приналежності, тобто в найгіршому випадку треба виконати q • q -1 + q • q -1 = 2q2 - 2 операцій порівняння. Таким чином, час роботи для утворення суми двох нечітких чисел a1 і а2 буде не більше, ніж

q2 + q2 + q4 + 2q2 - 2 = q4 + 4q2 - 2, тобто ©(q4).

Аналогічно знаходимо час роботи алгоритму для знаходження суми s нечітких чисел a;, і є Js, s > 2 . Час роботи буде не більше, ніж

qs + qs + q2s + 2qs - 2 = q2s + 4qs - 2 , тобто ©(q2s ].

Проведемо аналіз алгоритму методу повного перебору для розв’язування задачі (8)-(9).

Для одного деякого розбиття маємо: в кожній смужці додаємо максимум p - m +1 прямокутників, тобто виконуємо максимум q2(p"m+1) + 4q(p'm+0 _ 2 операцій, маємо оцінку © (q2(p m+1)). Для m смужок виконуємо максимум m(q2(p'm+1) + 4q(p"m+1) - 2) операцій,

оцінка складає ©(mq2(p_m+1)). Серед довжин, зайнятих смужок знаходимо найбільшу довжину, тобто виконуємо не більше, ніж 2mq -1 операцій.

Для кожного розбиття час роботи складає не більше, ніж m(q2(p"m+1 + 4q(p"m+1) - 2] + 2mq -1, тобто маємо оцінку ©(mq2(p _ m+1)).

Кількість розбиттів числа п на m доданків, серед яких немає нульових доданків, дорівнює [15, с. 216-217]

m(m -1)

—-----— х

1-2

mn----(m - 1n +-

m! I 1 V ’

(m - 2)n -....

m(m - Km - 2). .(m - (m - 2))

(m -1)!

x (m - (m - 1))n).

Для £(mn -f(m-1f + ^(m - 2f -.... биттів час роботи буде не більше, ніж

роз-

±!mn -Цш-ОП + (m-2)"

m! І 1 v ’ 1 • 2 v ’

m(m - Km - 2Mm -(m - 2))/ (m nvn

.... ^ _ 1^! ^m (m ^

< (m(q2(p'm+1) + 4^p-m+^ - 2j + 2mq - 1)+

ia(ш" _Ш(ш - 1)n + (m - 2)n .

m! I 1V ’ 1•2 V ’

.....mm-^m~^~(m~2))(m-(m-10'

- 1

В квадратних дужках - кількість операцій, необхідних для вибору з цільових функцій найбільшої, тобто маємо оцінку

©

( m • mm+n-1

m!

mq

2(р -m+1)

^ ( mm+n+1q2(p-m+1 ^

= ©

m!

Враховуючи, що n = m(p - m +1), маємо: час роботи алгоритму методу повного перебору буде не більше, ніж

— (mm(p-m+1) - ш (т - Дшр-ш+0 + in(m ~1 х m! ^ 1 V ’ 1 • 2

х (m - 2)mp“m+^ - ..|m(q2(p-m+1) + 4q(p'm+1 - 2)+

+ 2mq-1 +

f mm(p-m+1) - m(m - Д^(р_ш+^ +

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

m! ^ 1 v ’

+ mm_1 (m - 2)mP-m+1 - ....J-

Оцінка приймає вигляд:

©

(m • mm+mp-m+0-1

m!

mq

2(p-m+1)

= ©

' шШ+Щр-ш+1 }f1q2(p-m+1) ^

mi

= ©

' mmp-m2 + 2m+1q2(p - m+1) ^

m!

Таким чином, час роботи методу повного перебору залежить від кількості смужок як

T(m) = ©

' щШР _m2 + 2m+1q2p-m+1) ^

m

, від кількості пря-

мокутників як

T(p) = mmp - m2 + 2m+1q2<p - m+1 j, від

РИ, 2007, № 4

155

максимальної потужності нечітких множин, що характеризують довжини прямокутників, як

T(q) =© (q2(p_m+1)).

Проведемо аналіз алгоритму методу гілок та меж для розв’язування задачі (8)-(9).

Підрахуємо кількість вузлів дерева розв’язків у найгіршому випадку (без врахування кількості операцій для знаходження початкового розміщення ~ і значення цільової функції f(x)). Після розміщення прямокутника з довжиною аі маємо 1 вузол. Після розмі-

щення прямокутника з довжиною а2 додається ще m вузлів. Після розміщення прямокутника з довжиною

аз додається ще m2 вузлів тощо, тобто після розміщення p - m +1 -го прямокутника з довжиною ap _ m+і

усього отримуємо 1 + m + m2 + m3 + _ + mp_m вузлів. Отримана послідовність є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює 1, а знаменник геометричної прогресії дорівнює m . Сума перших p - m +1 членів геометричної прогресії дорівнює

1 + m + m2 + ... + mp m =

mp-m -1

. Таким чином, в

m -1

найгіршому випадку кількість вузлів дерева розв’

. mp-m -1

язків складає не більше ніж----- вузлів.

m -1

Для кожного вузла визначаємо скільки прямокутників, у найгіршому випадку додаємо: для вузлів 1го рівня прямокутники не додаємо, для вузлів 2-го рівня в найгіршому випадку додаємо 2 прямокутника, для вузлів 3-го рівня - 3 прямокутника, ..., для вузлів рівня p - m +1 - додаємо p - m +1 прямокутник. Отже, в найгіршому випадку кількість операцій для знаходження суми прямокутників для вузлів першого рівня

- 0, для вузлів 2-го рівня - m(q4 + 4q2 - 2), для вузлів 3-го рівня - m(q6 + 4q3 - 2], для вузлів рівняp -m +1

- m(q2p-m+1) + 4qp “m+1 - 2).

У підсумку в найгіршому випадку кількість операцій для знаходження суми прямокутників для усіх вузлів включно до p - m +1 рівня складає не більше ніж

1 • 0 + m • m(q4 + 4q2 - 2)+

+ m2 • m(q6 + 4q3 - 2} + m3 • m(q8 + 4q4 - 2) +... + mp_m x m(q2p“m+^ + 4qp_m+1 - 2) =

= m • (m(q4 + 4q2 - 2) + m2(q6 + 4q3 - 2)+

+ m3(q8 + 4q4 -2) +... + mp“m(q2(p-m+1) + 4qp“m+1 _2)) = m• (mq4 + 4mq2 -2m + m2q6 + 4m2q3 - 2m2 +... +

+ mp-mq^p~m+1 + 4mp-mqp-m+1 _ 2mp-^ =

= m • ((mq4 + m2q6... + m^mq^m+1)) + 4Ц2 +

+ m2q3 +... + mp_mqp_m+1)- 2(m + m2 +... + mp“mJ =

= m •

mq4Hmq^1, - mh

0 + 41 - mq2 1 - mq

- 2

m(l - mp~m )

1 - m

операцій.

Для кожного вузла включно до p - m +1 рівня порівнюємо довжини зайнятих частин смужок і виби-

раємо найбільшу довжину - це ще

mp-m -1

m-1

(2mq -1)

операцій.

Для кожного вузла включно до p - m +1 рівня найбільшу довжину порівнюємо зі значенням цільової

, mp_m - Ь v

функції Fix) - це ще------I4q -11 операцій.

m-1

Таким чином, для всіх вузлів включно до p - m +1 рівня маємо не більше ніж

mp~m -1 m -1

(2mq -1 + 4q -1 + m •

mq4 (1 - (mq2)p_m }

1 - mq2

+ |mq2(1 - (mqy -") _ 2m(1 - mp ~ ”|'

1 - mq 1 - m

операцій.

Вузли після розміщення p - m + 2 розглядати не доцільно - тому кількість операцій для них не підраховуємо.

Проаналізуємо останній вираз. Для цього проаналізуємо окремо всі його доданки.

mp-m _ 1

а) Оцінка виразу ------(2mq -1 + 4q -1 складає

m-1

T(m) = ©(mp_m), T(q) = ©(q), T(p) = ®(mp).

б) Оцінка виразу

m2q4 (і - (mq2^ m| m2q4 - mp_m+2q2p~ 2m+4

-----------------— = _ 2

1 - mq2 1 - mq

складає T(m) = ©(mp_m+1), T(q) =© (q2p_2m+2), Tp =© (mpq2p).

156

РИ, 2007, № 4

4m2q2

в) Оцінка виразу---

4mp~m+1qp ~ m+2 1 - mq

складає

T(m) = ©(mp-m), T(q) = ©(qP_m+1), T(p) = ©(mp“mqp-m+1).

. _ . - 2m2 + 2mp_m+2

г) Оцінка виразу ------------------- складає

1 - m

T(m) = ©(mp_m+1), від q не залежить,

T(p) = © (mp_m+2).

Таким чином, час роботи методу гілок та меж залежить від кількості смужок як T(m )=©(mp m+1), від кількості прямокутників як T(p) = ©(mpq2p), від максимальної потужності нечітких множин, що характеризують довжини прямокутників, як

T(q) = ©(q2p_2m+2).

2.5. Числовий приклад

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Проілюструємо методи знаходження розв’язування задачі упакування прямокутників, довжини яких задані нечіткими числами.

Нехай дано три смужки і шість прямокутників: m = 3 , p = 6 . Нехай довжини прямокутників задані такими нечіткими числами:

a1 = { (і6 0,7 )(і7 0,2 J(i8 0,^},

а2 = {(17|0д)(18|0,3)(19|0,5)},

аз ={ (і! 0,і)(і2 0,5 )(і3 0,^},

а4 = {(7|0,5)(8|0,9)(9|0,3)},

а5 ={ (6 0,4 )(7 0,8) (^0,^},

a6 = {( 80,2)(80,4)(80Д)}.

Визначимо n = m • (p - m +1) = 3 • (6 - 3 +1) = 12.

Вводимо до розгляду n - p = 12 - 6 = 6 прямокутників з довжиною ag = {(08)}. Вектор x має вигляд

X = (x11,x12,x13,x14’x21’x22,x23’x24’ x31>x32>x33>x34).

Утворюємо мультимножину G:

G = { а1,а2,а3,а4,а5,а6,а0,а0,а0,а0,а0,а0}.

Позначаємо через R1,,R2 та R3 розбиття мульти-множини G на m = 3 частин,

R1 + R2 + R3 = R(G,m = 3, в кожному розбитті не більше ніж p - m +1 = 6 - 3 +1 = 4 прямокутників.

а) Розв’яжемо задачу (8)-(9) методом гілок та меж. Початковим буде розміщення прямокутників з довжиною а1 і а6 в першу смужку, прямокутників з

довжинами а2 і а5 - в другу, а3 іа4 - в третю. Значення цільової функції при початковому розташуванні:

F(£) ={(18 0,1 )(19| 0,5 )(28 0,5 )(21| 0,6 ),{п\0,3 )}.

Крок 1. Прямокутник з довжиною а1 розміщуємо в розбиття R1 (рис. 3).

Оцінка I Is1) дорівнює довжині зайнятої частини смуги, тобто \ (s1) = а1 = { (18 0,7)(170,2)(180,^}.

Крок 2. Розбиваємо множину S1 на три підмножини: S2, S2, S|: S1 = S?U S2 U S2, S2 П S2 =0 , i Ф j,

Vi, j є J3 , залежно від можливості розміщення прямокутника з довжиною а2 : в розбитті R1 , в розбитті R 2 або в розбитті R3 (рис. 4).

Оцінки Є, (s2) , I (S2), І (S3) дорівнюють:

I (S2) = а1 + а2 = {(33|0Д),(34|0,3)(35|0,5)(36|0,3)(37|0,3}, 5 (S2) =% (Si) = а1 = { (16 0,7 )(п| 0,2 )(18 0,3)}. Оскільки ||S2 ) >F(x) (тому що

33 • 0,1 + 34 • 0,3 + 35 • 0,5 + 36 • 0,3 + 37 • 0,3 = 52,9 >

> 18 • 0,1 +19 • 0,5 + 20 • 0,5 + 21- 0,6 + 22 • 0,3 = 40,5 ),

то вершину S2 відсікаємо. Розглянемо вершини S2 і S2 : згідно з запропонованим відсіканням №2, вершину S2 відсікаємо. Розгалужуємо множину S2.

РИ, 2007, № 4

157

Крок 3. Розбиваємо множину s2 на три підмножини:

S21’ S22 ’ S23 : S2 = S2lU S22U S23 , S2(i)^ S2(j) = 0 ’ i Ф j, Vi, j є J3 , залежно від можливості розміщення

прямокутника з довжиною аз : в розбитті Ri, в розбитті R2 або в розбитті R3 (рис. 5).

Оцінки Є,(s21), і (s322), і (s323) дорівнюють:

I(S2J = ai + а3 ^(27|0Д),(280,5),(290,6)(30|0,3)(3І0,3}, I(S22) = a2 + a3 ^(28|0Д),(29|0Д)|(30|0,3)(310,5)(32|0,5) Xs3X=a, ={(іб|0,7)(і7|0,2)(і8|0,з)|.

Рис. 5. Друге галуження

Оскільки XS321) >f(x) і XS22) >f(x), то вершини

S21 і S22 відсікаємо. Розгалужуємо S

23

Крок 4. Розбиваємо множину S23 на три підмножини:

S231, ,S232’ s233: S23 = S23lU S232US233 ’

S23(i)П S23(j) = 0 > i * j5 Vi,j є J3, залежно від можливості розміщення прямокутника з довжиною a4 (рис. 6).

Рис. 6. Третє галуження

Оцінки ^(S23^, \fe), \(s43^:

% fej = a1 + a4 = {(23 0,5 ) (23 0,7 )(25| 0,3 ) (230,3)(230,^};

% (^32) = a2 + a4 = {( 24 0,1)(23 0,3)(230,5)

(230,5)(290,^};

§ (s43^ = a3 + a4 = {(190,1)(130,5)(290,5)

(21|0,6)(22|0,3)}.

Оскільки XS2>3J > F(x) і Xs232 ) >F(x), то вер-

шини s231 і S232 відсікаємо. Розгалужуємо S4

232

233

Крок 5. Розбиваємо множину s233 на три підмножини:

S2331 ’ S2332, S2333: S233 = S2331U S2332U S2333 ’ S233(i)ПS233(j) = 0 ’ i ф j’ Vi,j Є J3 ’ розміщуючи прямокутник з довжиною a5 (рис. 7).

Рис. 7. Четверте галуження

Оцінки 5 (S233^’ \ (S233^’ \ (S233^:

5 (S233^ = a1 + a5 = {(290,4)(230,7)(290,3)

(290,3)(290,^};

% (S233^ = a3 + a4 = {(190д)(190,5)(290,5) (210,6)(290,^};

%(S233J = a3 + a4 + as = {(24 0,1 )(2^0,4 )(26| 0,5 ) (290,5)(290,6)(290,3)(390,^}. Оскільки XS2331 ) >F(x) і XS2333 ) >F(x), то вер-

шини S52331 і S52333 відсікаємо. Розгалужуємо S5

2332

158

РИ, 2007, № 4

Крок 6. Розбиваємо множину S2332 на три підмножини:

S6 об об

23321 , S23322, S23323 :

S2332 = S2332lU S23322U S23323 ,

S233^0^ S2332j) ф J’ Є J3 ,

розміщуючи прямокутник з довжиною Яб (рис. 8).

Оцінки 5 (S2332^’ \ (S2332^’ \ (S2332^:

% (S2332O=Я3 + Я4 = { (і8о,іИі9°’5М200’5)

(2і|0,б)(22|0,3)};

I^3322) = a2 + a5 + Яб = {(25|°д)(2б|0,2)(27|0,3), (28 0,4 )(2^ 0,4 )(30| 0,2 )(3l| 0,0};

Ifea) = Я3 + Я4 + Яб = {(20| 0,1 ),(21| 0,2 ),(22| 0,4 ), (23 0,4 )(24| 0,4 )(25| 0,3 )(2б| 0,0}.

Рис. 8. П’яте галуження

Оскільки 0s2332^) >F(x) і S^332^ >F(x), то

вершини S23322 і S23323 відсікаємо. Таким чином, вершина S23321 дає оптимальний розв’язок задачі. Найменшим буде значення функції F *(х * =

= 1 (s2332^ = {(180,1) (190,5) (20 0,5)^(210,б),(22|0,3}, а

точка, що доставляє оптимальне значення цільової функції, має вигляд: х* =({ (1б| 0,7^ (17 0,2^(18 0,^},

{(2o,2Mзo,4H4o,0}0(olOM(ol0}’

{(17| 0,1)(18 0,3 )(19| 0,0},

РИ, 2007, № 4

{(6o,4M70,8)(80,OM(0lO}Л(0lO}’

{(и| 0,1 ),(12| 0,5 ),(13| 0,б )},

{(7І0,5)(80,9)(90,ои(0іО}Л(0Ю}).

б) Розв’яжемо задачу (8)-(9) методом повного перебору.

Множина розбиттів R(G,m) має вигляд:

R(G,m) = R(G,3) = ({R1 = { abao,ao,ao},

R2 = {a2,a3,a4,a0},R3 ={a5,a6,a0,ao}},

{R1 ={a1,a2,a0,aO,R2 = {^^4^0^01

R3 = Оз^б,^,^}},^ = {a1,a2,a3,a0,

R2 ={ a4,a5,a0,a0},R3 = { a6,a0,a0,a0},•O.

Знаходимо значення F(x) для кожного елемента множини R(G,m) за формулою (10). Так, для першого елемента довжина зайнятої частини смуги буде такою:

F(x) = {( 35 0,1 ),(3б| 0,1),07 0,3 ),(38| 0,5 )

(39 0,5 )(4^ 0,5 ),(41| 0,3)},

для другого -

F(x) ={(33 0,Щ34 0,3 ),(35| 0,5 )(3б| 0,3 ),(37| 0,0},

для третього - F(x) = {( 44 0,1 )(4^ 0,1 Л(4б 0,3 )

(47 0,5 )(48| 0,5 )(49 0,3 )(59 0,3 )} тощо.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Найменшим буде значення функції

F* (х*) = {(19 0,1) (19 0,5 ) (2010,5 ) (21| 0,б ) (27 0,0},

а одна з точок, що доставляє оптимальне значення цільової функції, має вигляд:

х* 01 (19 0,7),(17 0,2)і(18| 0,0},

{OKOOKOOMUOlOUHOL

{(17|0д),(18|0,3),(19|0,ОЬ

{OlaO^H^OMHOUHOl

{(110,1 )(12 0,5 )(13 0,^},

{(70,5)(70,9)(90,ОМ(0іО}Л(0Ю}).

3. Висновки

Наукова новизна. Розглянута модель задачі упакування з врахуванням невизначеності даних, заданих нечіткими числами, що має вигляд задачі оптимізації на розбиттях. Запропоновано і здійснено розв’язування задачі методом гілок та меж. Дана верхня оцінка складності задачі на основі повного перебору, а також оцінка розв’язування методом гілок та меж.

Практична значущість проведених досліджень полягає в розширені апарату евклідової комбінаторної оптимізації на нечітких множинах.

159

Порівняння з аналогами. Задача упакування прямокутників, з врахуванням даних, заданих нечіткими числами, що має модель задачі на розбиттях, раніше не розглядалась і не розв’язувалась. Автору також невідомо про розгляд та розв’язування задачі упакування прямокутників, що має модель у вигляді задачі на розбиттях, в детермінованій постановці. При порівнянні поставленої задачі упакування прямокутників, що має модель задачі на розбиттях, з задачею упакування прямокутників, що має модель задачі на переставленнях [10], є очевидним, що використання роз-биттів є більш ефективним, оскільки кількість роз-биттів значно менша за кількість переставлень.

Перспективи дослідження. Методи та їх оцінки, висвітлені в статті, можуть бути використані для по будови і аналізу алгоритмів розв’язування евклідових комбінаторних задач (на нечітких множинах) на інших евклідових комбінаторних множинах.

Література: 1. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут систем досліджень освіти, 1993. 188 с. 2. СтоянЮ.Г., Ємець О.О., Ємець Є.М. Оптимізація на полірозміщеннях: теорія та методи: Монографія. Полтава, РВЦ ПУСКУ, 2005. 103с. 3. Ємець О.О., Колечкіна Л.М. Задачі комбінаторної оптимізації з дробово-лінійними цільовими функціями: Монографія. К.: Наук. думка, 2005. 117 с. 4. Ємець О.О., Росклад-ка О.В. Задачі оптимізації на полікомбінаторних множинах: властивості та розв’язування: Монографія. Полтава, РВЦ ПУСКУ, 2006. 129 с. 5. Емец О.А. Евклидовы комбинаторные множества и оптимизация на них. Новое в математическом программировании. Учеб. пособие. К.: УМК ВО. 1992. 92 с. 6. Ємець О.О. Теорія і методи комбінаторної оптимізації на евклідових множинах в геометричному проектуванні: Автореф. дис. ... д-ра фіз.-мат. наук: 01.05.01 / Ін-т кібернетики НАН України. К., 1997. 42

с. 7. Гребеннік І.В. Математичні моделі та методи комбінаторної оптимізації в геометричному проектуванні. Автореферат дис. ... д-ра техн. наук: 01.05.02 / Інститут проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного. Харків, 2006. 34 с. 8. Емец О.А. Комбинаторная модель и приближенный метод с априорной оценкой решения оптимизационной задачи размещения разноцветных прямоугольников // Экономика и матем. методы. 1993. Т. 29. Вып. 2. С. 294-304. 9. Ємець О.О., Роскладка А.А., Ємець Ол-ра О. Задача евклідової комбінаторної оптимізації в умовах невизначеності // Збірник наукових праць Хмельницького нац. ун-ту. Серія: фізико-математичні науки. 2005. Вип.1. С. 40-45. 10. Ємець Ол-ра О. Одна задача комбінаторної оптимізації на переставленнях нечітких множин// Волинський математичний вісник: Серія прикладна математика. 2004. Вип. 2(11). С. 101-106. 11. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.:Радио и связь, 1982. 432 с. 12. Баранов В.И., Стечкин Б.С. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения. М.: Наука, 1989. 160 c. 13. Корбут А.А, Финкельштейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969. 368 с. 14. Кормен Т., Лейзер-сон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2001. 960с. 15. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. 328 с.

Надійшла до редколегії 18.09.2007

Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, проф. Лагно В.І.

Ємець Олександра Олегівна, асистент кафедри економічної кібернетики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація. Захоплення, хобі: туризм. Адреса: Україна, 36003, Полтава, а/с 1671. Тел. 8-066-50-60-860, роб. (8-05322) 509-205, дом. (8-05322) 7-97-18. E-mail: slemets@e-mail.pl.ua.

160

РИ, 2007, № 4

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.