CC BY
42
стегосистемы, являющейся стойкой к основным видам атак и различным видам злоумышленников, которая основана на особенностях встраивания ЦВЗ в психофизиологическую область изображения.
Литература: 1. Osborne C., Van Schyndel R., Tirkel A. A Digital Watermark // IEEE Intern. Conf. On Image Processing, 1994. P. 86 — 90. 2. Anderson R., editor // Proc. Int. Workshop on Information Hiding: Lecture Notes in Computer Science. Springer — Verlag, Cambridge. 1996. 3. Jellinek B. Invisible Watermarking of Digital Images for Copyright Protection / / Dissertation to the acquisition of the academic degree certified engineer on the Scientific Faculty of the University Salzburg. 2000. 4. Koch E, Zhao J. Towards Robust and Hidden Image Copyright Labeling // IEEE Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing. 1995. P. 123-132. 5. Adams M. Coding of Still Pictures // ISO/IEC JTC 1/SC 29/WG 1 N 2412. 2001. 6. Marcellin M, Gormish M, Bilgin A., BoliekM. An Overview of JPEG-2000 // IEEE Data Compression Conference. 2000. P. 523-541. 7. RabbaniM, JoshiR. An overview ofthe
JPEG 2000 still image compression standard // Signal Processing: Image Communication. 2002. Vol. 17. P. 3-48. 8. Цифровая стеганография / В.Е. Ерибунин, И.Н. Оков, И.В. Туринцев. СОЛОН-Пресс, 2002. 272 с.
Поступила в редколлегию 13.11.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шабанов-Кушнаренко Ю.П.
Дударь Зоя Владимировна, канд. техн. наук, профессор, зав. кафедрой программного обеспечения ЭВМ, декан ФПО ХНУРЭ. Научные интересы: математическое и программно-техническое обеспечение взаимодействия крупномасштабных систем баз данных в динамическом окружении, дистанционное образование. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 70-21-446.
Збитнева Майя Вячеславовна, канд. техн. наук, ассистент кафедры программного обеспечения ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: автоматизированные системы диспетчерского управления электрическими сетями, программирование под Web. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 7021-446.
УДК 519.67
ПОРІВНЯЛЬНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕТОДУ G-ПРОЕКЦІЇ РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМОКУТНИКІВ
ЯРЕМЧУК С.І, РУДЮКл.в.__________________
Розглядається задача оптимізації розміщення прямокутних геометричних об’єктів у прямокутнику. Обгрунтовується можливість використання методу Розена та розробленого методу G-проекції для розв’язання поставленої задачі. Доводяться теореми про часову складність розглянутих методів.
Вступ
В різних галузях народного господарства виникають задачі, пов’язані з розміщенням об’єктів у заданих областях. Одним із напрямків розвитку цієї проблеми є вивчення класу оптимізаційних задач розміщення прямокутних об’єктів у прямокутній області. Розроблені на цей час методи розв’язання таких задач не дозволяють отримувати ефективні результати внаслідок їх складності, зумовленої великим обсягом обчислень. Тому виникає необхідність у більш поглибленому дослідженні особливостей математичної моделі та розробці нових ефективних методів розв’язання цього класу задач.
Метою даного дослідження є розширення і розвиток математичного апарату оптимізації розміщення прямокутників у прямокутній області.
Задачі дослідження: формалізація умов неперети-нання прямокутників та їхньої належності прямокутній області розміщення; розробка методу побудови підзадач поставленої задачі оптимізації розміщення прямокутників; застосування й апробація методу проекції градієнта Розена для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації; розробка методу G-проекції, який є модифікацією методу проекції градієнта Розена, для розв’язання
окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації; доведення теорем про часову складність розглянутих методів.
Постановка задачі
Розглянемо наступну задачу. В прямокутній області q необхідно знайти таке розміщення m геометричних об’єктів прямокутної форми
Dj,j = 1,...,m, при якому досяг би екстремуму обраний критерій якості
f(Z) ^ extr,Z є G , (1)
де f(Z) — неперервна та неперервно диференційована на G функція з градієнтом, який задовольняє на множині G умові Липшицц.
Основна частина
Основними характеристиками прямокутного об’єкта є його розміри lj(l1,l2,...,li) та положення у просторі, що визначається координатами його полюсу Zj(^1,£,2 1n),j= 1,---,m [1]. Полюсом прямокутника будемо називати точку перетину його діагоналей. Очевидно, розміщення m прямокутних об’єктів буде визначатись вектором
Z = (Z1, Z2,..., Zm). Розміри області розміщенняq
визначаються вектором a(ai,a2,...an).
Система координат задається так, щоб їх початок знаходився у вершині n-вимірного паралелепіпеда q , координатні вісі збігалися з його ребрами і були спрямовані так, щоб точки q мали невід’ємні координати, тоді область розміщення описується такою системою обмежень (рисунок):
^ ^ 0,
"Ui ^ ab і = 1,-,п.
126
РИ, 2004, № 4
S2l
a2
У
ll1
І21
ll‘
І21
Q
^ ai ^1
Розв'язання задачі оптимізації розміщення прямокутників у прямокутній області можна замінити розв'язанням r підзадач оптимізації тієї ж функції
цілі на кожній з підмножин Gk, (k = 1,...,r), які являють собою опуклі багатогранники:
f(Z) ^ extr, Z є Gk, k = 1,...,r. (5)
До розв’язання кожної з задач (5) можна застосувати метод проекції градієнта Розена, який полягає ось у чому [4, 5].
1. Для поточного наближення до розв’язку задачі xk визначимо матрицю обмежень, активних у
Приклад розміщення прямокутників для двовимірного випадку
Множина припустимих розв’язків G поставленої задачі визначається:
1) умовами взаємного неперетинання прямокутників:
для кожної пари Ds,Dp прямокутників існує хоча б одне значення з {1,...,n} таке, що
даному наближенні, A1.
2. Наступне наближення до розв’язку задачі xk+1 знаходиться за правилом:
xk+1 = xk +р kdk,dk = P • (-Vf(xk)),
де p — матриця проектування на множину припустимих розв’язків, яка визначається таким чином:
P = E-AT(A1AT)_1 A1. (6)
£ i чг^
ls + 1p
^ -i +-i
Л (
2
\ p ?^
if + ip
(2)
f = 1,...,m-1; p = f + 1,...,m
2
2) умовами належності прямокутників області розміщення Q.:
для кожного прямокутника Dj виконується
i^ai - -у, i = 1,..,n; j = 1,...,m. (3)
Наведені обмеження (2), (3) описують множину, яка є багатовимірною та має складну структуру. Вона багатозв'язна, а також може бути незв'язною.
Використовуючи (2) та (3), множину припустимих розв’язків G можна представити у вигляді об’єднання підмножин Gk, кожна з яких є опуклою та описується системою лінійних нерівностей [2, 3]:
lf + 1p
■ lj
^ 2’.
■ lj
-f,
V
■ lj
К
^ 2’.
■ lj
«i£a> - 7
i?+-p
2
? = 1,...,m-1, p = ? + 1,...,m,
j = 1,.,m.
1 c2
Отже, виконується G = UGk, де r = (2n)Cm .
k=1
Кількість обмежень, що задають кожну з підмно-
жин Gk, залежить від кількості прямокутників m та вимірності простору n і становить
N = Cm + 2 • n • m. (4)
Теорема 1. Часова складність знаходження наступного наближення до розв ’язку обраної підзадачі (5) методом Розена оцінюється величиною O(m5).
Доведення. На кожній ітерації виконується (n • m) • N елементарних операцій при побудові матриць активних та неактивних обмежень [6, 7]. Перетворивши (4), отримаємо
N = m • (m 1)/2 + 2 • n • m,
N = (m2 + m • (4 • n 1)) / 2. (7)
Для знаходження вектора спуску в поточному наближенні методом Розена будується матриця проектування (6). Вимірність матриці A1 становить (n • m) • Na , де Na — кількість рядків матриці активних обмежень, Na e{0,...,N} .
Розрахуємо кількість елементарних операцій, що необхідно виконати для побудови матриці P (таблиця).
Дія Кількість елеменТарних операцій
А 1т (n*m>Na
А 1^А1Т (n*m)4NTa2
(А1-А1т)-1 (n*m)^(Na-1)^Na
А 1Т(А1-А1Т)-1 (n*m)^Na2
А 1Т(А1-А1Т)-1 А1 Na^(n*m)2
Е - А1Т(А1-А1Т)-1А1 (n*m)^Na
Таким чином, для знаходження матриці р методом Розена виконується не більше ніж
2 • (n • m) • Na + 2(n • m) • N2 + Na • (n • m)2 +
+ (n • m) • (Na -1) • Na = Na • n • m • (3 • Na + n • m +1) =
РИ, 2004, № 4
127
n. 3
=—(m + m 2
2
• (4 • n -1)) • (3 •
2
m2 + m • (4 • n-1) 2
+ n • m +1) =
П 3 2 3 2 1
= -(m3 + m2 • (4• n-1))• (-m2 + m• (6• n-1) --)
елементарних операцій.
Для знаходження наступного наближення до розв’язку задачі з відомим вектором спуску виконується n • m елементарних операцій. Звідси випливає, що для знаходження наступного наближення до розв’язку задачі методом Розена виконується не більше ніж
-2(m3 + m2 • (4• n-1)) + -2(m3 + m2 • (4• n-1))>
3 2 1 n 3 2 <(—m + m• (6• n-1) -—) + n• m=—((m + m • (4• n-1))>
Розглянемо одночасно координати антиградієнта функції цілі в поточному наближенні та відповідні стовпчики матриці активних обмежень.
Якщо k -й стовпчик матриці активних обмежень крім нульових елементів містить хоча б один елемент, знак якого збігається зі знаком k-ї координати антиградієнта функції цілі, то обрана координата вважається «стримуваною» — вона обмежується, стримується іншою координатою.
Якщо k -й стовпчик матриці активних обмежень крім нульових елементів містить хоча б один елемент, знак якого протилежний знакові k-ї координати антиградієнта функції цілі та попередня умова не виконується, то обрана координата вважається «стримуючою» — вона обмежує, стримує іншу координату.
3 2 1
х (—m2 + m • (6 • n -1) +—) + 2 • m) 22
елементарних операцій.
Для двовимірного простору (n = 2 ) на кожній ітерації методом Розена буде виконуватись не більше ніж
О 1 Л
(m3 + 7m2) • (— m2 + 11m + —) + 2m = —m5 + 11m4 + 2 2 2
1 3 21 4 3 7 2 3 5 43 4
+—m3 H--m4 + 77m3 + — m2 + 2m = — m5 н-m4 +
2
2
2
2
2
145 3 7 2 „
H---m3 H— m2 + 2m
22
елементарних операцій, тобто часова складність методу Розена оцінюється величиною O(m5).
Для розв’язання задач (5) було розроблено модифікацію методу Розена (метод G-проекції), що враховує специфіку поставленої задачі. Основна ідея методу полягає у такому.
Розглянемо матрицю активних обмежень.
Якщо k -й стовпчик матриці активних обмежень нульовий, то обрана координата вважається «вільною», її зміна не виведе за множину припустимих розв’язків.
Очевидно, що для того щоб наступне наближення до розв’язку задачі оптимізації належало множині припустимих розв’язків цієї задачі, потрібно заборонити зміну «стримуваних» координат, тобто в векторі спуску «стримувані» координати прирівнюються нулю. Інші збігаються з відповідними координатами антиградієнта.
Алгоритм методу G-проекції полягає у такому.
1. Для поточного наближення до розв’язку задачі
xk визначається матриця Aj — матриця обмежень, активних у даному наближенні.
2. Наступне наближення до розв’язку задачі xk+1
знаходиться за правилом: xk+1 = xk +рkdk , де dk визначається так:
якщо A! для поточного наближення порожня, то покладемо dk = -Vf(Zk).
Рядки цієї матриці, які відповідають обмеженням (3), описують умови належності прямокутників області розміщення і містять 2m -1 нульових елементів та один одиничний елемент з відповідним знаком. Номер стовпчика, що містить одиничний елемент, визначає координату вектора розміщення прямокутників, на яку накладена умова належності прямокутника області розміщення.
Рядки матриці активних обмежень, які відповідають обмеженням (2), описують умови неперети-нання прямокутників і містять 2m-2 нульових елементів та два одиничних елементи з протилежними знаками. Номери стовпчиків, що містять одиничні елементи, визначають координати вектора розміщення прямокутників, на які накладені умови неперетинання прямокутників.
Інакше (якщо A! не порожня) вектор спуску dk будується за таким правилом.
Покладається dk = -Vf(Zk). Для кожної координати антиградієнта функції цілі (i = 1,...,n • m) перевіряється відповідний стовпчик матриці A!.
Якщо s -й (s є • m}) стовпчик матриці A!
містить хоча б один одиничний елемент, знак якого збігається зі знаком антиградієнта функції цілі, то s -та координата вектора z вважається «стримуваною» (тобто її зміну необхідно заборонити). У векторі спуску відповідна координата покладається рівною 0.
Теорема 2. Часова складність знаходження наступного наближення до розв ’язку обраної підзадачі (5)
методом G-проекції оцінюється величиною O(m3).
128
РИ, 2004, № 4
Доведення. На кожній ітерації виконується (n • m) • N елементарних операцій при побудові матриць активних та неактивних обмежень.
Для знаходження вектора спуску в поточному наближенні методом G-проекції виконується (n • m) • Na елементарних операцій порівняння елементів матриці активних обмежень з числами 0, 1, -1, де Na — кількість рядків матриці активних обмежень, Na e{0,...,N}.
Таким чином, використавши (7), визначимо, що на кожній ітерації для побудови вектора спуску методом G-проекції буде виконуватися не більше ніж
m2 + m • (4 • n -1)
n • m----------------
2
-2(m3 + m2 • (4• n-1))
елементарних операцій.
Для знаходження наступного наближення до розв’язку задачі з відомим вектором спуску методом G-проекції виконується n • m елементарних операцій.
Таким чином, для знаходження наступного наближення до розв’язку задачі виконується не більше ніж
2 • n • m-
m2 + m • (4 • n-1) 2
32
+ n • m = n(m + m • (4 • n-1) + m)
елементарних операцій.
Для двовимірного простору (n =2) на кожній ітерації метод буде виконувати не більше ніж
2m3 + 14m2 + 2m
елементарних операцій, тобто часова складність методу G-проекції оцінюється величиною O(m3).
Висновки
За результатми досліджень можна зробити вискно-вок про те, що в порівнянні з методом Розена метод G-проекції знаходить наступне наближення до розв’язку даної підзадачі оптимізації розміщення прямокутників у прямокутній області за значно коротший проміжок часу на кожній ітерації.
Наукова новизна одержаних результатів: формалізовано умови неперетинання прямокутників і їхньої належності прямокутній області розміщення; роз -роблено метод побудови підзадач поставленої задачі оптимізації розміщення прямокутників з опуклою
множиною припустимих розв’язків; застосовано метод проекції градієнта Розена для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації; розроблено метод G-проекції, який є модифікацією методу проекції градієнта Розена, для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації; застосовано метод G-проекції для розв’язання окремої підзадачі поставленої задачі оптимізації; доведені теореми про часову складність розглянутих методів.
Практичне значення проведених досліджень поля-гаяє в розробці нового методу умовної оптимізації розв’язання задач спеціального вигляду.
Подальші перспективи досліджень полягають у доведенні збіжності побудованого методу G-про-екції та у розробці методів розв’язання вихідної задачі оптимізації.
Література: 1. Стоян Ю.Г., Путятин В.П. Размещение источников физических полей. Киев: Наук. думка,
1981. 186с. 2. Жовновський Д.О., Рудюк Л.В., Саваневіч
К.Є., Яремчук С.І. Оптимізація розміщення джерел фізичного поля модифікованим методом Розена // Вісн. Житомир. інж.-технол. ін-ту. Технічні науки. 2000. № 13. С. 188-191. 3. Svetlana I. Yaremchuk, Lidia V. Ruduyk. Practical solution of the problem of rectangular physical field sources arrangement in rectangle // Proceedings of the Fifth international scientific conference “electronic, Computers and Informatics” 2002, October 10-11, 2002 Kosice—Herl’any, Slovakia. P.93-97. 4. Rosen J.B. The gradient projection method for nonlinear programming // Part I, Linear Constraints, SIAM J. Applied Mathematics 8. 1960. P. 181-217. 5. Rosen J.B. The gradient projection method for nonlinear programming / / Part II, Linear Constraints, SIAM J. Applied Mathematics
9. 1961. P. 514-553. 6. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир. 1979. 535 с. 7. Гэри М, Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир,
1982. 416 с.
Надійшла до редколегії 01.06.2004
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Панішев А.В.
Яремчук Світлана Іванівна, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри ПЗОТ Житомирського державного технологічного університету. Наукові інтереси: екстремальні задачі, математичне моделювання. Адреса: Україна, 13999, Житомир, вул. Черняхівського, 103, тел.: (0412)418-542.
Рудюк Лідія Василівна, аспірантка кафедри ПЗОТ Житомирського державного технологічного університету. Наукові інтереси: методи оптимізації, комп’ютерне моделювання. Адреса: Украіна, 13999, Житомир, вул. Черняхівського, 103, тел.: (0412)418-542.
РИ, 2004, № 4
129
