CC BY
19
Рис. 2
Выводы
Проведено исследование ММ АВО на предмет возможности параметрической идентификации и метрологической аттестации предлагаемой ММ АВО. Предложен способ и проведена параметрическая идентификация ММ АВО. Проведена метрологическая аттестация ММ АВО с учетом оценок параметров модели, полученных при проведении параметрической идентификации, при использовании её в задаче оценивания температуры и давления на выходе АВО.
Научная новизна. В качестве законов распределения вероятностей оцениваемых параметров (температуры и давления на выходе АВО) были использованы аппроксимирующие кривые Джонсона, что позволило более точно определить интервальные оценки параметров.
УДК 519.85 "
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ БЕЗУМОВНОЇ ЗАДАЧІ З ДРОБОВО-ЛІНІЙНОЮ ФУНКЦІЄЮ ЦІЛІ НА ЗАГАЛЬНІЙ МНОЖИНІ РОЗМІЩЕНЬ
ЄМЕЦЬ О.О., ЧЕРНЕНКО О.О._________________
Доводиться критерій оптимальності для евклідової комбінаторної задачі на розміщеннях з дробово-лінійною цільовою функцією без додаткових обмежень.
Вступ
Постановка проблеми у загальному вигляді. Важливим класом оптимізаційних задач є задачі комбінаторної оптимізації (див., наприклад [1-17] ). Зокрема, останнім часом у рамках евклідової комбінаторної оптимізації [2] розглядаються властивості та методи розв’язування задач з дробово-лінійною функцією цілі на окремих евклідових комбінаторних множинах: переставленнях, поліпереставленнях, розміщеннях. Задачі на розміщеннях мають ряд властивостей, які приводять до розробки спеціальних методів і алгоритмів розв’язування таких задач. При цьому суттєвим є тип цільової функції, наявність чи відсутність додаткових обмежень.
144
Практическая ценность предложенного способа заключается в том, что он может быть использован при эксплуатации АВО на КЦ для определения оптимального количества включаемых АВО в зависимости от нужной температуры охлаждения газа, температуры наружного воздуха и параметров потока газа через АВО.
Автор выражает благодарность д-ру техн. наук, проф. Тевяшеву Андрею Дмитриевичу за высказанные замечания и объективную критику при написании данной работы.
Литература: 1. Сендеров О.О. Загальний підхід до проведення метрологічної атестації математичних моделей об’єктів газотранспортної системи // АСУ та прилади автоматики.2005. Вип. 132. С. 44-50. 2. Газ природный. Методы расчета физических свойств. Определение коэффициента сжимаемости. ГОСТ 30319.2-96. Минск: ИПК Изд-во стандартов, 1997. С. 21. 3. Степанов О.А. Иванов В.А. Охлаждение газа и масла на компрессорных станциях магистральных газопроводов. Л.: 1982. 140 с. 4. Методические рекомендации для расчета систем воздушного охлаждеия газа на компрессорных станциях магистральных газопроводов. - ВНИИгаз, 1976. 5. Розгонюк В.В., Руднік А.А., Коломєєв В.М., Григіль М.А., Молокан О.О., Хачікян Л.А., Герасименко Ю.М. Довідник працівника газотранспортного підприємства. К.: Росток, 2001. С. 1090.
Поступила в редколлегию 01.11.2005
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Тевяшев А.Д.
Сендеров Олег Александрович, аспирант кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: системный анализ. Адрес: Украина, 61171, Харьков, Салтов-ское шоссе, 240, тел. 711-27-17.
Аналіз останніх досліджень та публікацій. Один із аспектів дослідження названих задач полягає у вивченні властивостей їх областей визначення [2, 3, 513]. До іншого належить розробка методів розв’язування залежно від комбінаторної множини: переставлення, поліпереставлення, розміщення, сполучення тощо [1, 2, 14-17]. Серед таких задач важливим класом є безумовні задачі на комбінаторних множинах [2].
Виділення невирішених раніше частин загальної проблеми. Існування оптимізаційних задач з дробово-лінійними цільовими функціями на розміщеннях вимагає розробки ефективних методів та алгоритмів оптимізації, які дозволяють розв’язувати як окремі задачі, так і цілі їх класи. До сих пір немає розв’язку безумовної задачі з дробово-лінійною цільовою функцією на розміщеннях.
Постановка завдання. У даній роботі ставиться задача побудови методу розв’язування безумовної евклі-дової комбінаторної задачі на розміщеннях з дробово-лінійною цільовою функцією.
BE, 2005, 1 4
Виклад основного матеріалу дослідження з повним обґрунтуванням отриманих наукових результатів
Уведемо необхідну термінологію та позначення стосовно множини розміщень [2]. Мультимножиною G = |g1,g2v,gл) називають сукупність елементів, серед яких можуть бути й однакові. Позначатимемо
Jk = {1,2,...,k} , а = Jk u {o}. Мультимножина G
задається основою SG = (el,e2, . ,eJ, дее; є R1 Vi є Jn, тобто кортежем всіх її різних елементів, та їх кратністю k(ei) = Рі - числом повторень кожного елемента основи цієї мультимножини. Не обмежуючи загальності міркувань, можна вважати, що
gl ^ g2 ^ ••• ^ gл > е1 < е2 < ... < en . (1)
Візьмемо довільне k є J^ . Множина всіх упорядкованих k-вибірок (gi1,gi2,...,gib), де gij є G, ij є JT|, Vj Є Jk , is Ф it , якщо s Ф t, Vs Є Jk , Vt Є Jk , з муль-тимножини G утворює загальну множину розміщень EJkn(G) c Rk, де n - число різних елементів в G. Опуклою оболонкою множини Ekn(G) є загальний многогранник розміщень ^T^n (G, тобто
п UG = convE^(G) [2].
Сформулюємо відомий з [2] критерій вершини многогранника розміщень. Точка x є п 5n(G) є вершиною загального многогранника розміщень тоді і тільки тоді, коли її координати X1,x2,...,xk є переставленням чисел g1, g2, ...,gs, &л-г+Ь &л_r+2>.">&л , де г, s є Jk, s + г = k.
Розглянемо задачу: знайти впорядковану пару (f(x ) x^, таку що
k
Zcjxj+со f(x*) = extr Jj^1----
xeRk Zj + do
j=1
*
x
Zj + co
arg extr -у1-----
xeRk :cdjxj + do
j=1
за комбінаторної умови
x = (xb...,xk) є E^n^).
(2)
(3)
Нехай виконується вимога
k
Zdixi + do > 0 (4)
i=1
для будь-якої точки x = (x1,x2,...,x^, що належить області визначення задачі (2), (3) і цільова функція (2) мінімізується.
До задачі (2), (3) застосуємо перетворення:
Уо = ~k---1-----> Уі = xiYo vi є Jk, x є Rk. (5)
Z dixi + do
i=1
Співвідношення (5), зокрема, задають відображення ^(e kn(G)) = E с Rk+1, причому
yo > 0, Gx) = у = (yo,y1,...,yj.
За цих умов задача (2), (3) зводиться до знаходження
пари (F'(y*)y*): ґ(у*) = mn 2 сіУі ,
xeRk+1 i=o
k
y = агg min 2 ЦУі , xeRk+1 i=o (6)
за комбінаторної умови
y = (yo,y1,...,yGЄ E c Rk+1 (7)
та при додатковому обмеженні
k
Z diyi + doyo =1. i—1 (8)
Як відомо [13], convE = Q^n (G, де многогранник
Q ^(g) лежить в гіперплощині (8) простору Rk+1.
Сформулюємо відомий критерій суміжності вершин многогранника розміщень [2], необхідний для подальшого викладу.
Якщо точка x є Rk - вершина загального многогранника розміщень П UG , то всі суміжні з нею вершини одержують або переставленням в x є Rk компоненТ gi , gi+1 (gi Ф gi+1 , І Є Js-1, і є JЛ_1 \Jл_г X аб°
заміною будь-якої компоненти gs (gп-г+1) на gл-г (gs-ц), де відповідно gs * gл-г (gл-г+1 * gs+J, г, s є J°, s + г = k.
В [13] доведено, що при відображенні
V : yi = 1-------------
Z dixi + do
І=1
Vi Є Jk суміжні вершини
П L (G пере ходять у суміжні вершини Q^jn (G) .
x
Таким чином, як наслідок двох останніх тверджень, справедливим є такий критерій суміжності вершин многогранника Q^jn(G, в якому вершину многогранника Q^n (G зручно представити у вигляді
у* = (yo,y1,.,yG = D^(1,ga1,.,ga J=D^(1,g G),
Da Da
де Da = Zdtgat + do ,gat є jgbg2v,gs,gл-г+1 — ^л}, Vt є Jk , г, s є Jk, s + г = k .
BE, 2oo5, 1 4
145
Теорема 1 (критерій суміжності вершин многогранника Q(g) ). Вершинами многогранника Q^jn (g), суміжними з вершиною
У* = (yo.yi.-.yj = ai>->g ak),
D a
де gat є |g1’g2’---’gs’g^-r+1’---’gл!’ Є Jk, Г,
o k
s є Jk’ s + r = k, D a = 2 dtg ot + do , є усякі верши* б t=1
ни, утворені з y або переставленням у векторі g(a)= (ga1 ak) компонент, рівних gi, gi+1, де
gi * gi+1, i Є Js-1 ^ J Л- 1 \ Jл-г), або заміною будь-якої компоненти вектора g(a) точки у*, рівної gs (gл-r+J на g л_г (gs+1), де відповідно gs * g л-г
(gл-г+1 ф gs+J, r, s є j£, s + r = k, за відповідної заміни (або переставлення) у вершині
у* = p-O^«)).
D a
Враховуючи відомий факт з теорії лінійного програмування, що у вершині у* будь-якого многогранника мінімум лінійної цільової функції досягається, якщо і тільки якщо в суміжних вершинах У цього многогранника значення цільової функції F' (у ) не менше F'(y*), та використовуючи критерій суміжності вершин многогранника Q^(g) (теорема 1), розв’яжемо задачу (6)-(8).
Нехай у* = (уо,У1,...,у^ - вершина многогранника Q V(g) в позначеннях теореми 1. Аналогічно позначимо у - суміжну вершину до даної у*:
у = (уо,У1,...,уО = -F^(1,gP1,...,g pj=Р))
Dp Dp
де gpt є |g1,g2,...,gб,g^-p+1,...,gG Vt є Jk , s , ok рє Jk, S + p = k, Dp = 2dtgpt + do .
t=1
Розглянемо всі можливі співвідношення s та 5 ; r та Р .
1. Вважаємо, що s = 8 , r = р, тоді суміжна вершина У до даної у* утворена переставленням в g(a) компонент, рівних g; , gi+1 , де g; Ф gi+1 ,
і є І = Js_1 U(^-1\Jл_J, де r, s є Jk, s + r = k, тобто g(G та g(p) відрізняються парою компонент. Тоді, якщо в g(G:
gam = gi, gaq = gi+1, i Є \, m, q Є Jk , (9)
то в g(p) відповідні координати визначаються так:
gPm = gi+1, gpq = gi, i ЄI, m , q Є Jk . (10)
Всі інші координати в у та у* однакові, тобто gat = gpt Vt є Jk \ {m,q}. Якщо y* задовольняє (6) за умов (7),
(8), то, враховуючи (9), (10), має місце таке співвідношення:
**
С + Cmgj + Cggj+1 < С + Cmgj+1 + Cggj
D* + dmgi + dqgi+1 _D* + dmgi+1 + dqgi , (11)
де C* = Z Ctgat + Co, D* = Z dtgat + d0 ,
teI1 tel1
I1 = Jk\{m’^’ i є I.
Враховуючи, що знаменники (11) задовольняють умову (4), нерівність (11) перепишеться так:
(С* + Cmgi + Cqgi + J(D* + dm gi +1 + dqgi)^
< (C* + Cmgi+1 + CqgJD* + dmgi + dqgi+1). Виконаємо перетворення останньої нерівності:
C*D* + D*(Cmgi + Cqgi+0 + C*(dmgi+1 + dqgi) +
+ Cmdqg2 + Cmdmgigi+1 + Cqdqgigi+1 +
+ Cqdmg2+1 ^ C*D* + D*(Cqgi + Cmgi+1)+
+ C*(dqgi+1 + dmgi) ++Cqdmg2 + Cmdmgigi+1 +
+ Cqdqgigi+1 + Cmdqg2+1>
отримаємо (з урахуванням того, що gi ф gi+1) таке співвідношення:
D*(Cq -cJ + C^dm -dq)<
^ (gi+1 + gJ(Cmdq - Cqdm). (12)
2. У випадку, коли s фЪ , r Фр, суміжна вершина У до даної у* утворена заміною будь-якої компоненти g(G, рівної gs (g^-r+1) на gл-г (gs+1), де відповідно
gs * g Д—r (g л-г+1 * gs+J,r, s є Jk, s + r = k. Можливі такі випадки:
2.1. Серед компонент g(G є рівні gs та gл-r+1, тоді g(G та g(p) відрізняються однією компонентою. Якщо в g(G: gam = gs, то в g(p) відповідна координата рівна gpm = g^-r (gr|—r ф gs). Всі інші координати однакові, тобто gat = gpt Vt є Jk \ {m}. Якщо y* задовольняє (6) за умов (7), (8), то має місце таке співвідношення:
C** + Cmgs < C + стёл-r
4* 4* t -ж—» -T* -T* t
D + dmgs D + dmg^-r
(13)
де
C** = Z Ctg a t + Co, D** = Z dtga t + do,
teI2 teI2
I2 = Jk\H.
Враховуючи, що знаменники (13) задовольняють умову (4), отримаємо після перетворення таку нерівність:
C**D** + D**Cmgs + C**dm g л-r + Cmdmgsg л-r ^
146
BE, 2oo5, 1 4
^ C**D** + D**Cmg^_r + c**dmgs + статм8мл_г, або в спрощеному вигляді:
D**cm(gs - g4- r) + C**dm(gr|-r - gs) ^ 0 •
Оскільки g^-r >gs, бо s <ц-r і має місце умова (1), отримаємо
де c* = Z ctgаt + со,
tell
D* = 2 dtg a t + d0, I1 = Jk\{m,q}; (16)
tell
**
C = 2 ctg a t + c0 teI2 ’
C**dm - D**cm < 0 .
(14)
Якщо в g(a): gaq = gr+1, то в g(p) відповідна коорджага рівна g Pq = gs+1 (gs+1 * g л_ r+J. Усі інші координати однакові, тобто gat gPt Vt є Jk \ {q}. Враховуючи, що y* задовольняє (6) за умов (7), (8), аналогічно попереднім міркуванням отримаємо:
D***cqfc-r+1 - gs+0 + C***dq(gs+1 - gл-r+0 ^ 0,
C*** = 2ctgat + c0, D*** = Zdtgat + d0,
teI3 teI3
I3 = Jk \ ы.
Оскільки з умови (1) gr|-r+1 > gs+1, остання нерівність запишеться так:
D***cq - C***dq < 0.
(15)
2.2. Серед компонент g(a) точки y* є рівні gs, але немає рівних g -ц-r+1, тоді має місце співвідношення
(14) .
2.3. Серед компонент g(a) точки y* є рівні g^_ r+1, але немає рівних gs , тоді має місце співвідношення
(15) .
Таким чином, доведена така теорема.
Теорема 2. Для того щоб точка
D г
(y0,y1,---,yk) D (1,g “1’. ..,g«k /
gat є jgbg2> -.^s^ r|-r+1v .,g ЛI,
s є Jk, s + r = k, Da = Z dtgat + d0 , була мінімал-t=1 t
лю функції F'(y )= 2 c;y; (за комбінаторної умови y = (у0,У1,...,У^є e = V(е^п(^), де у задається (5),
а У0 > 0 та £ d^yj = 1), необхідно і достатньо, щоб i=0
для будь-яких компонент gam = gi, gttq = gi+1 вектора g(a) таких, що i є Js_1 u J^_1\J, де r, s є Jk, s + r = k , виконувалась умова
D*(cq - cm) + C*(dm “ dq) ^ (gi+1 + gi)(cmdq “ cqdm),
а для будь-яких компонент gam, gaq вектора g(a) точки y* рівних gam = gs і gaq = g^_r+1 виконувались відповідно умови
C**dm - D**cm < 0 і D***cq - C***d„ < 0,
mm
BE, 2005, 1 4
D** =2 dtga t + d0, I2 = Jk\H; (17)
teI2
C
= 2 ctga t + c0 teI3
D*** = 2dtgat + d0, I3 = Jk\{q}. (18)
teI3
Зауваження. Враховуючи, що задачі (2), (3) та (6)-(8) еквівалентні (тобто, якщо у* = (у0,У1,. ,У^ -розв’ язок задачі (6)-(8), то розв’ язок
x* = (x1,x2,...,x^ задачі (2), (3) отримаємо із
співвідношення xj = -У^ Vi є Jk , що випливає з пере-
y0
творення (5)), аналогічна теорема має місце і для точки
*
x .
Теорема 3 (критерій оптимальності безумовної задачі з дробово-лінійною цільовою функцією на розміщеннях). Для того щоб точка x* була мінімаллю функції
k
2cjxj + c0
F(x )= У1-------- (за комбінаторної умови
2 djxj + d0
j=1
k
x = (x1v..,xk) є E ^(g) та з вимоги £ dixi + d0 > 0 ),
i=1
необхідно і достатньо, щоб для будь-яких координат gam = gi, gttq = gi+1, точки x*, таких, що i є Js_ 1 u JЛ_1 \ Jл_г), де r, s є J0, s + r = k, виконувалась умова
D*(cq - cm) + C*(dm - dq)^ (gi+1 + gj(cmdq " cqdm),
а для будь-яких координат точки x* рівних gs і
g^_r+1 виконувались відповідно умови
** ** *** ***
C dm - D cm < 0 / D cq - C dq < 0,
*
де C , D ; C , D ; C , D визначаються відповідно з умов (16)-(18).
Невиконання однієї з умов теореми 3 свідчить про те, що вершина x, суміжна до x*, надає цільовій функції меншого значення, ніж вершина x* . Якщо така вершина одна, переходимо до цієї вершини та перевіряємо для неї умови теореми 3. Якщо декілька суміжних
вершин x є X, де X = vertn ^(g) - множина вершин многогранника розміщень, не задовольняють критерій оптимальності, вибираємо з цих вершин ту, для якої виконується умова:
147
max|F(x) - Fx*
xeX1 v
(19)
З умови (19) шляхом перетворень, аналогічних доведенню теореми 2, отримаємо, що переходити треба до тієї з суміжних вершин, для якої спостерігається найбільше порушення однієї з умов (12), (14), (15) теореми 3, тобто:
Д1 = max(D*(cq - Cm) + C*(dm - dq)
xeX
- (gi+1 + gi Xcmdq - cqdm )),
Д2 = max(C**dm - D**cm)
xeX
Д3 = max(D***cq - C***dq)
xeX
(20)
(21)
(22)
Отже, для розв’язування задачі (2), (3) для довільно вибраної вершини x многранника розміщень П ^n(G)
перевіряємо умови теореми 3. Якщо x не задовольняє одну із умов (12), (14) чи (15), переходимо до наступної (суміжної) вершини з меншим значенням цільової функції до тих пір, поки не виконається критерій оптимальності.
Розглянемо приклад. Знайти мінімум функції
F(x) _ ~x1 ~ x2 ~ x3 ~ x4
2x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4
за умови x = (xb...,xk) є e45(g), де G = {2,3,4,5,7} . Розв’язування: x1 = (2,3,4,5), s = 4, r = 0 .
Перевіряємо умову (12). Якщо i = 1, то g1 = 2, g2 = 3,
cm _ 1, dm _ 2, cq 1 ,
dq = 5.
D* = 2 • 4 + 5 • 4 = 28, C* = -4 - 5 = -9 . Підставимо усі
значення в (12), отримаємо: 27 < -15 . Отже, умова (12) не виконується для і = 1. Обчислимо порушення A^x1) = 27 +15 = 42.
Якщо і = 2 , то g2 = 3 , g3 = 4, cm = -1, dm = 5 , cq = -1, dq = 2 . d* = 24, C* = -7 . Після підстановки в (12) отримаємо: -21 < 36. Отже, умова (12) виконується для і = 2 .
Якщо і = 3, то g3 = 4, g4 = 5, cm =-1, dm = 2, cq = -1, dq = 4 . D* = 19, C* = -5 . Після підстановки в (12) отримаємо: 10 <-18. Отже, умова (12) не виконується для і = 3. Обчислимо порушення A^x3) = 10 +18 = 28 .
Перевіряємо умову (14), оскільки в x1 є рівні gs = g4 = 5 . З цільової функції cm = -1, dm = 4, D** = 27 , C** = -9 . Підставимо усі значення в (14), отримаємо: -9 < 0. Отже, умова (14) виконується.
Умову (15) не перевіряємо, оскільки серед координат x1 немає рівних g^-r+1 . Враховуючи, що
A^x1) = 42 > A^x3) = 28, переходимо до перевірки вершини x2 = (3,2,4,5), оскільки розглянута вершина не задовольняє умови теореми (3):
x2 = (3,2,4,5), s = 4, r = 0.
Для даної вершини не виконується умова (12), якщо і = 3 . Переходимо до вершини x3 = (3,2,5,4) і т.д., поки не отримаємо розв’язок x* = (5,2,7,3). Оскільки вершина x* = (5,2,7,3) задовольняє умови теореми 3, то x* = (5,2,7,3) - мінімаль F(x) на множині розміщень e45(g) . Мінімальне значення функції
17 46 .
Висновки з даного дослідження. Одержано критерій оптимальності безумовної задачі з дробово-лінійною цільовою функцією на загальній множині розміщень. Це, разом з критерієм суміжності вершин та критерієм вершини загального многогранника розміщень, дозволяє переходити від довільно вибраної початкової вершини до суміжної, аж до отримання екстремалі в розглянутій задачі.
Перспективи подальших розвідок у даному напрямі. Доцільним є дослідження можливості використання розробленого методу розв’язування безумовних задач мінімізації дробово-лінійних функцій на розміщеннях у побудові розв’язку умовних задач.
Література: І.СергиенкоИ.В., КаспшицкаяМ.Ф. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач оптимизации. К.: Наук. думка, 1981. 288 с. 2.СтоянЮ.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимі-зації. Киів: Інститут систем. досліджень освіти, 1993. 188 с. З.Ємець О.О., Недобачій С.І. Загальний переставний многогранник: незвідна система лінійних обмежень та рівняння всіх гіперграней // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. 1998. №1. С. 100-106. 4.Ємець О.О., КолєчкінаЛ.М. Розв’язування оптимізаційних задач з дробово-лінійною цільовою функцією на загальній множині переставлень // Вісник державного університету „Львівська політехніка”, Прикладна математика, №337, Львів, 1998. С. 317-320.
5.Ємець О.О., Колєчкіна Л.М., Недобачій С.І. Дослідження областей визначення задач евклідової комбінаторної оптимізації на переставних множинах. Полтава: Полтавський державний технічний університет ім.Юрія Кондратюка, ЧПКП “ Легат”, 1999. 64 с. 6. Ємець О.О., Колєчкіна Л.М. Моделювання деяких прикладних задач оптимізаційними задачами з дробово-лінійною функцією цілі на переставленнях // Волинський математичний вісник. Рівне: РДГУ. 2000. №7. С. 70-77. 7. Ємець О.О., КолєчкінаЛ.М. Задача оптимізації на переставленнях з дробово-лінійною цільовою функцією: властивості множини допустимих розв’язків // Укр. мат. журн. 2000. Т. 52, №12. С. 1630-1640. 8. Ємець О.О., Ємець Є.М. Безумовна оптимізація на полі-розміщеннях: достатні умови та оцінки мінімумів сильно опуклих цільових функцій // Вісник Запорізького державного університету. Запоріжжя: ЗДУ. 2000. №1. С.44-48. 9.Ємець О.О., Ємець Є.М. Оцінки та достатні умови мінімуму сильно опуклої функції при її мінімізації на розміщеннях // Волинський математичний вісник. Рівне: РДГУ. 2000. №7. С. 67-69. 10. Емец О.А., Емец Е.М. Моделирование некоторых инвестиционных задач с помощью евкли-
148
BE, 2005, 1 4
довой комбинаторной оптимизации // Экономика и ма-тем. методы. 2000. Т. 36, №2. С. 141-144. 11.Емец О.А., Недобачий С.И., Колечкина Л.Н. Неприводимая система ограничений комбинаторного многогранника в дробнолинейной задаче оптимизации на перестановках // Дискретная математика. 2001. Т. 13. Вып. 1. С. 110 - 118. 12.Ємець О О., Роскладка О.В., Недобачій С.І. Незвідна система обмежень для загального многогранника розміщень // Укр. мат. журн. 2003. Т. 55, №1. С. 3-11. 13.Черненко О.О. Дослідження множини допустимих розв’язків задачі оп-тимізації дробово-лінійної функції на евклідовій комбінаторній множині розміщень // В кн. X міжн. наук. конф. ім. ак. М.Кравчука (13-15 травня 2004 р., Київ): Матеріали конференції. К., 2004. С. 548. 14.Ємець О.О., Барболіна Т.М. Розв’язування задач нелінійної умовної оптимізації на розміщеннях методом відсікання // Укр. мат. журн. 2003. Т. 55, №5. С. 604-612. 15.Емец О.А., Барболина Т.Н. Решение линейных задач оптимизации на размещениях методом отсечения // Кибернетика и системный анализ. 2003. №6. С. 131-141. 16. Емец О.А., Барболина Т.Н. Решение задач евклидовой комбинаторной оптимизации методом построения лексикографической эквивалентности // Кибернетика и системный анализ. 2004. №5. С. 115-
УДК517.9 "
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ СМЕШАННОЙ КУЛЬТУРЫ С ВИДОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТИПА КОММЕНСАЛИЗМ
ЯЛОВЕГА И.Г.______________________________
Проводится анализ устойчивости стационарных состояний смешанной культуры с видом взаимодействия типа комменсализм с помощью метода Ляпунова. Показывается динамика системы во времени. Строятся графики областей устойчивости при изменении скорости протока и концентрации лимитирующего субстрата.
1. Введение
Поведение смешанных культур, смесей организмов различных типов, имеет большое значение для экологии микроорганизмов в почве, воде, при изучении болезней и порчи продуктов [2,5]. Смешанные культуры имеют также большое значение в приготовлении пищевых продуктов брожения и изготовления микробных продуктов. В качестве примеров промышленных процессов с участием смешанных культур микроорганизмов можно указать на сыроварение и биологическую очистку сточных вод. Более того, в естественных системах смешанные популяции микроорганизмов являются скорее правилом, чем исключением. Из-за сложности поведения смешанных культур использование математических моделей различных систем для описания и предсказания поведения культуры прио бретает осо бенное значение.
Одной из областей применения дифференциальных уравнений в моделировании микробиологических сообществ является анализ возможных стационарных состояний смешанной культуры [6,7].
BE, 2005, 1 4
125. 17. Емец О.А., Колечкина Л.Н. Решение задач оптимизации с дробно-линейными целевыми функциями и дополнительными линейными ограничениями на перестановках // Кибернетика и системный анализ. 2004. №3. С. 30-43.
Надійшла до редколегії 20.12.2005
Рецензент: д-р фіз.-мат. наук Лагно В.І.
Ємець Олег Олексійович, д-р фіз.-мат. наук, професор, завідувач кафедри математичного моделювання та соціальної інформатики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація. Захоплення: колекціонування марок. Адреса: Україна, 36003, Полтава, а/с 1671, тел. 8-050-30-47-156, роб. (8-0532)509-204, e-mail: slemets@e-mail.pl.ua
Черненко Оксана Олексіївна, лаборант кафедри економічної кібернетики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: дослідження задачі з дробово-лінійною функцією цілі на розміщеннях та її розв’язування. Захоплення: математика, психологія. Адреса: Україна, Полтава, вул. Г.Сталінграда, 9, кв.66, тел. 8-097-452-62-59, роб. (8-0532)509-205, дом. 66-81-54, e-mail: chemenko7@ukr.net
Имеющийся в литературе фактический материал отражает огромное разнообразие конкретных типов взаимодействий (конкуренция, амменсализм, комменсализм, симбиоз и т. д.), осуществляемых через выделение или потребление различных веществ (метаболитов) в среду и из среды [1,2,5]. Положительное или отрицательное влияние этих метаболитов, а также лимитирующих рост субстратов приводит к различным исходам взаимодействий: вытеснению, сосуществованию или доминированию. Эти исходы дают представление об обширной гамме возможных вариантов в динамике популяций одного трофического уровня.
При комменсализме в случае смешанных культур, состоящих из двух штаммов микроорганизмов, определенные преимущества получает второй вид. Широко распространен вариант комменсализма, когда один вид продуцирует соединения, ускоряющие рост организмов другого вида. Конечные продукты жизнедеятельности одного вида, обеспечивающие эффект комменсализма, довольно многочисленны. В зависимости от конкретной системы продуцируемое соединение может служить источником энергии или углерода для другого вида [2,5].
Проточное, или непрерывное, культивирование широко применяется в промышленном производстве, так как обеспечивает непрерывный вывод из установки однородной массы клеток. Кроме того, существует возможность в некоторых пределах управлять параметрами системы для получения оптимальных условий выращивания. Проточный культиватор, построенный на принципе хемостата, обладает устойчивым состоянием равновесия, когда масса вымываемых клеток компенсируется нарождающимися. Изменение скорости протока или концентрации питательного субстрата приводит к новому состоянию равновесия.
149
