CC BY
34
ТРАНСПОРТНІ ЗАДАЧІ КОМБІНАТОРНОГО ТИПУ
О.О. Ємець, професор, д.ф.-м.н., Т.О. Парфьонова, асистент, Полтавський університет споживчої кооперації України
Анотація. Побудована математична модель транспортної задачі нового типу на основі застосування апарату евклідових комбінаторних множин.
Ключові слова: транспортна задача, комбінаторна оптимізація, множина переставлень, математична модель.
Вступ
Останнім часом швидко розвивається оптимізація на комбінаторних множинах [1-16]. Для моделювання та розв’язування різних типів прикладних задач часто використовується апарат евклідової комбінаторної оптимізації. Це дозволяє враховувати комбінаторні властивості допустимих розв’язків.
Аналіз публікацій
У роботах [1-16] викладені останні дослідження комбінаторних задач математичного програмування. Досліджуються властивості евклідових комбінаторних множин: загальної множини сполучень, переставлень, множини розміщень.
Вивчаються властивості задач оптимізації на цих множинах, обґрунтовуються методи та алгоритми їх розв’язання. Розглядається побудова математичних моделей деяких задач у вигляді задач опти-мізації на евклідових комбінаторних множинах.
Досліджені моделі не завжди в повній мірі відображають властивості задач або адекватно змістовну суть. У ряді прикладів множини допустимих розв’язань задачі мають і інші, комбінаторні, властивості. Тоді задачу можна розглядати як комбінаторну, наприклад, на множині переставлень.
Розв’язання транспортних задач на загальній множині переставлень ще не розглядалися, а тому залишаються не дослідженими.
Мета та постановка задачі
У даній роботі пропонується застосування апарату евклідової комбінаторної множини для побудови нових математичних моделей деяких задач транспортного типу як задач оптимізації на пере-
ставленнях. У даній роботі це розглядається на прикладі задачі визначення оптимального плану перевезень однорідного продукту.
Математична модель
У подальших викладах будемо користуватися термінологією з [1]. Нехай - множина п перших натуральних чисел, тобто ={1,2,...,п}.
Мультимножиною О = {я1; я 2,..., називають
сукупність елементів, серед яких можуть бути й однакові. Мультимножина, всі елементи якої різні, є множиною. Будь-яку мультимножину
0 = {яі, Я 2,--, Яп} можна подати її основою
£ (О), тобто кортежем (е1, е2, е3,..., еп) всіх її п
різних елементів, та їх кратністю - числом повторень кожного елемента основи цієї мультимно-жини. Упорядкована сукупність кратностей складає первинну специфікацію [О] - кортеж
кратностей. Назвемо к -вибіркою підмультимно-жину в мультимножині О , яка містить к елементів. Елементами загальної множини переставлень Екп (О) є усі к -вибірки з мультимножини О , де п - число різних елементів у О , за умови к = ц = п.
Побудуємо математичну модель задачі про перевезення однорідного продукту з мінімальними витратами заданим набором місткостей.
Нехай маємо т можливих пунктів виробництва Аі, і є Зт . Максимально можливі обсяги виробництва продукції в і -му пункті рівні аі, де
1 є Зт . Продукт, що виробляється у цих пунктах, розподіляється між г споживачами Ву, у є Jr. Мінімально можливі обсяги споживання в у -му пункті призначення задані і рівні відповідно Ьу,
] є Jr. Транспортні витрати при перевезенні одиниці продукції від і -го постачальника до у -го споживача відомі для всіх і є Jm , у є Jr та рівні відповідно су.
Необхідно визначити обсяги перевезень xtj від i -го постачальника до j -го споживача для всіх i є Jm , j є Jr, що відповідають мінімальним витратам на перевезення продукту. Вважається, що перевезення вантажу можна здійснити певними місткостями кількістю k об’ємами g1,g2,...,gk відповідно.
Математичну модель даної задачі побудуємо у вигляді евклідової комбінаторної задачі на множині переставлень.
Нехай G = {g1, g2, g3,..., gk} - мультимножина, елементами якої є об’єми місткостей, в яких може перевозитись продукт. Тоді всі можливі k - вибірки з мультимножини G утворюють загальну множину переставлень En )G), де n - число різних елементів у G. Використаємо позначення: xij - кількість одиниць продукту, що перевозиться з Ai в Bj ; Oij - вартість перевезення одиниці продукту з i -го пункту відправлення в j -й пункт призначення; a¡ - обсяг виробництва в пункті Ai , i є Jm ; bj - потреби споживача Bj, j є Jn ; gk -об’єм місткостей, в яких може перевозитись продукт. Нехай pij - кількість місткостей, які
використовуються для перевезення однорідного продукту з i -го пункту відправлення у j -й пункт
призначення; ÿj - об’єми місткостей, які вико-
al
ристовуються для перевезення продукту з i -го пункту відправлення у j -ий пункт призначення,
де aí є Jk , i є Jm , J є Jr
l є J P . Очевидно, що
Pij
ЕЕ Pij = k.
i = 1 j =1
Тоді
y=iya—y„l,...,ym,...,ym
1 al a ai a
1 P11 1 Pm
'■-En (G ),
де к - кількість елементів, п - число різних елементів в О. Позначимо тг = s,
X = (1,..., ( Ху Хт1,..., Хтг )є ) )О).
Тоді математична модель набуває вигляду: знайти впорядковану пару (г (х*) , х*^ , таку, що
/ „\ m r F(x ) = mnЕЕ
V / D -1-і
xeR i=l j=1
x* = arg minЕеои ■ xij
xeR і=і j=1
за комбінаторної умови
y = 1 yal , У1a^,..., y¿ ^ y‘aj ,..., ym ,..., ym
al a2 apl1 al al apmr
та додаткових лінійних обмеженнях: на обсяги поставок
'■■En (G )
j=1
на обсяги споживання
Е xij < ai, Vi є Jm ;
Е xij > bj vJ є Jr ;
на обсяги перевезень
Pij
xij ^ Е y'j , дЄ al Є Jk , i Є Jm , j Є Jr .
l=1 al
Висновки
Таким чином, на прикладі побудови математичної моделі задачі визначення оптимального плану перевезення однорідного продукту заданим набором місткостей показаний новий підхід до моделювання задач транспортного типу з використанням апарату евклідової комбінаторної оптимізації. Для врахування комбінаторних властивостей допустимих розв’ язків побудована математична модель однієї транспортної задачі на множині переставлень.
У подальшому необхідне розроблення відповідних методів розв’ язання транспортних задач комбінаторного типу.
Література
1. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклі-
дової комбінаторної оптимізації. - К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. -188 с.
2. Емец О.А. Евклидовы комбинаторные множес-
тва и оптимизация на них. Новое в математическом программировании: Учеб. пособие. - К: УМК ВО, 1992. - 92 с.
3. Ємець О.О., Роскладка А. А. Про оцінки міні-
мумів цільових функцій при оптимізації на сполученнях // Український математичний журнал. - 1999. - Т. 51. - №8. - С. 1118-1121.
i=l
4. Ємець О.О., Колєчкіна Л.М. Задача оптимізації
на переставленнях з дробово-лінійною цільовою функцією: властивості множини допустимих розв’язків // Український математичний журнал. - 2000. - Т. 52. - №12. -С. 1630-1640.
5. Емец О. А., Роскладка Е.В. Решение некоторых
евклидовых комбинаторных задач оптимизации методом динамического программирования // Кибернетика и системный анализ.
- 2002. - №1. - С. 138-146.
6. Ємець О., Романова Н., Роскладка О. Про влас-
тивості деяких задач евклідової комбінаторної оптимізації на переставленнях та методи їх розв’язування // Вісник Львів. ун-ту. Сер. приклад. математика та інформатика. - 2002.
- Вип. № 5. - С. 89-94.
7. Емец О. А. Один способ решения задач оптими-
зации на перестановках с повторениями // В кн.: III Респ. конф. “Вычислит. математика в соврем. науч.-техн. прогрессе”. г. Канев, 1416 сент. 1982 г. - К.: ИК АН УССР, 1982. -С. 175-176.
8. Емец О.А. О геометрических свойствах множе-
ства перестановок // В кн.: Тезисы докладов 42 научн. конференции профессоров, преподавателей, научных работников, аспирантов и студентов института / Минвуз УССР. Полт. инж.-строит. ин-т. - Полтава, 1990. -С. 215.
9. Емец О.А. Задачи оптимизации на евклидовом
полиперестановочном множестве с повторениями: свойства допустимого множества // В кн.: Методы и программные средства оптимизации, моделирования и создания вычислительных систем: Сб. научн. тр. / АН УССР. Ин-т кибернетики им. В.М. Глушко-ва; Редкол.: Сергиенко И.В. (отв. ред.) и др.
- К., 1990. - С. 22-24. (Конференция молодых ученых).
10. Емец О.А., Роскладка А.А. Алгоритмическое
решение двух параметрических задач оптимизации на множестве сочетаний с повторениями // Кибернетика и системный анализ. -1999. - №6. - С. 160-165.
11. Стоян Ю.Г., Ємець О.О., Ємець Є.М. Множи-
ни полірозміщень в комбінаторній оптимі-зації // Доповіді НАНУ - 1999. - № 8. -С. 37-41.
12. Ємець О. О., Роскладка А. А. Про оцінки мі-
німумів цільових функцій при оптимізації на сполученнях // Український математичний журнал. - 1999. - Т. 51. - №8. - С. 1118-1121.
13. Ємець О.О., Ємець Є.М. Відсікання в лінійних
частково комбінаторних задачах евклідової комбінаторної оптимізації // Доп. НАН України. - 2000. - №9. - С. 105-109.
14. Ємець О.О., Роскладка О.В., Недобачій С.І.
Незвідна система обмежень для загального многогранника розміщень // Український матем. журн. - 2003. - Т. 55. - №1. - С. 3-11.
15. Емец О.А., Барболина Т.Н. Решение линейных
задач оптимизации на размещениях методом отсечений // Кибернетика и систем. анализ.
- 2003. - №6. - С.131-141.
16. Емец О.А., Барболина Т.Н. Решение задач
евклидовой комбинаторной оптимизации методом построения лексикографической еквивалентности // Кибернетика и системный анализ. - 2004. - №5. - С. 115-125.
Рецензент: Є.В. Нагорний, професор, д.т.н.,
ХНАДУ.
Стаття надійшла до редакції 12 січня 2005 р.
