Наближений метод для розв’язування комбінаторних транспортних задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

Романова Татьяна Евгеньевна, д-р техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/ 10, тел. (0572) 95 96 77.

УДК519.85

НАБЛИЖЕНИЙ МЕТОД ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КОМБІНАТОРНИХ ТРАНСПОРТНИХ ЗАДАЧ

ЄМЕЦЬ О.О., ПАРФЬОНОВА Т.О.__________________

Для транспортної задачі з умовою, що допустимий розв’язок є переставленням заданих компонент, пропонується наближений метод її розв’язування. Метод обґрунтовується в роботі. Він забезпечує наперед задану точність.

1. Постановка проблеми у загальному вигляді

Розвиток теорії комбінаторної оптимізації останнім часом привів до активного використання апарату ев-клідових комбінаторних множин для моделювання та розв’язування різних типів прикладних задач, в тому числі транспортного типу. Це дає можливість враховувати властивості допустимих розв’язків задачі.

2. Аналіз останніх досліджень та публікацій.

В роботах [1-3] викладені дослідження евклідових комбінаторних оптимізаційних задач. В них досліджуються властивості евклідових комбінаторних множин: загальної множини переставлень, розміщень, множини сполучень; розглядається побудова математичних моделей деяких задач як задач оптимізації на цих множинах; вивчаються властивості задач оптимізації на евклідових комбінаторних множинах та обґрунтовуються методи і алгоритми їх розв’язування. В роботі [4] введена до розгляду транспортна задача комбінаторного типу на переставленнях, побудована її математичну модель.

Методи розв ’язування транспортних задач на загальній множині переставлень ще не розглядалися, отже, залишаються не дослідженими.

3. Мета та задачі дослідження.

Мета дослідження - розвинення підходу до наближеного розв ’язку комбінаторних тр анспортних задач. Для досягнення цієї мети ставиться задача розробки наближеного методу для комбінаторних транспортних задач у випадку, коли точка допустимої множини є переставленням.

Пропонується та обґрунтовується наближений метод розв ’язування транспортних задач на переставленнях.

Ступак Екатерина Анатольевна, аспирантка отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95 95 36.

4. Основний матеріал дослідження з повним обґрунтуванням отриманих наукових результатів

Користуємося термінологію з [1-4]. Мультимножи-ною G = {g1,g2,...,g^} називають сукупність елементів, серед яких можуть бути й однакові. Мульти-множина, всі елементи якої різні, є множиною. Будь-яку мультимножину G = {g1, g 2,..., g р } можна подати її основою S(G) , тобто кортежем (e1,e2,...,en) всіх її n різних елементів, та їх кратністю - числом повторень кожного елемента основи цієї мультимно-жини. Упорядкована сукупність кратностей складає первинну специфікацію [G] - кортеж кратностей. Назвемо k-вибіркою підмультимножину в мульти-множині G, яка містить k елементів. Елементами загальної множини переставлень Ekn(G) є усі упорядковані k-вибірки з мультимножини G, де n -число різних елементів у G, за умови k = р . Нехай Jn - множина n перших натуральних чисел, тобто Jn = {1,2,..., n}.

В роботі [4] побудовано математичну модель задачі про перевезення автомобілями однорідного продукту з мінімальними витратами із заданими об’ ємами в такій постано вці.

Задача. Виробляється, перевозиться і споживається деякий однорідний продукт. Нехай маємо m можливих пунктів виробництва A;, і є Jm . Максимально можливі обсяги виробництва продукції в і -му пункті рівні а; , де і є Jm. Продукт, який виробляється в даних пунктах, розподіляється між r споживачами Bj, j є Jr. Мінімально можливі обсяги споживання в j -му пункті призначення задані і рівні відповідно b j, j є Jr. Вартість перевезення одиниці продукції від і -го пункту відправлення у j -й пункт призначення відома для всіх і є Jm, j є Jr та рівна відповідно cij. Нехай маємо k автомобілів, якими можна перевозити вантаж обсягів g1, g2,..., gk. Цими автомобілями перевозиться даний продукт, причому в кожний пункт призначення можлива тільки одна поїздка. Сумарний обсяг потреб споживачів не перевищує сумарного обсягу вантажу, що може перевозитись автомобілями.

Яким чином здійснити перевезення однорідного продукту, щоб задовольнити всі умови та мінімізувати вартість перевезень?

Наведемо математичну модель цієї задачі.

РИ, 2006, № 2

39

Нехай G = {gi,g2,—,gk} - мультимножина, елементами якої є обсяги перевезень автомобілями. Тоді всі можливі упорядковані k-вибірки з мультимножини G

утворюють загальну множину переставлень Ekn (G), де n - число різних елементів в G .

Крок 2. Здійснюються розрахунки за методом гілок та меж для моделі транспортної задачі комбінаторного типу до отримання наступного (перший раз - першого) допустимого розв’язку (Fb, xв).

Крок 3. Перевіряється умова

Використаємо позначення: xij - кількість одиниць продукту, що перевозиться від i-го постачальника до j -го споживача; Су - вартість перевезення одиниці

продукту з Ai ,i є Jm в Bj, j є Jr; ai - максимальний

обсяг виробництва у пункті Ai, i є Jm; b j - мінімальні

потреби споживача Bj, j є Jr; gi - обсяг перевезень

автомобілем, lє Jk ; xij є G = {gi,g2v,gk}, де

k = mr, x = (xii,...,xir,...,xij,...,xm1,-,xmJє Ekn(G).

З використанням введених позначень маємо математичну модель сформульованої задачі в такому вигляді.

Знайти впорядковану пару ^f(x * j, x * ^, таку, що

(\ m r m r

x* )= mink EEcij • xij x* = arg miik E E cij • xij

xeRki=ij=i xeRki=ij=i

за комбінаторної умови

x = (xii,...,xir,...,xij,...,xmi,...,xm^)є Ekn(G) та при додаткових лінійних обмеженнях: r

на обсяги поставок E xij ^ ai , Vi є Jm ; j=i

Fв - Fk

<є

F

н

(i)

де є - точність розв’язку по функціоналу, що мінімізується, є > 0.

Якщо умова (i) виконалась, то (Fb,xв) - є наближеним розв’язком моделі транспортної задачі комбінаторного типу з заданою точністю є, тобто виконується співвідношення

*

fb - f * f

<s

?

(2)

тут F* = f(x - мінімальне значення функціоналу, що мінімізується, в оптимальній точці x .

Якщо умова (i) не виконалась, то точка xн відсікається за правилами методу комбінаторного відсікання, перехід на крок i.

Зауваження. Якщо крок i виконується не перший раз, то після нього можна зразу переходити на крок 3. Разом з тим можна переходити з кроку 3 на крок 2, тобто переходити з кроку 3 як на крок i, так і на крок 2, причому згідно з різними правилами. Однак при будь-яких переходах при виконанні умови (i) виконується і умова (2).

Справедливість умови (2) доводить теорема.

m

на обсяги споживання Е xij ^ bj Уі є Jr;

i=i

rk

вважаємо, що Е bj ^Е gl , j є Jr,l є Jk . j=i l=i

Для розв’язування побудованої моделі пропонується такий наближений метод, який дозволяє одержати бажану точність розв’язку по функціоналу, що мінімізується. В методі використовуються ідеї та перетворення методу комбінаторного відсікання (див.[3, 5-7]), а також методу гілок та меж.

Опишемо алгоритм методу.

Крок i. Здійснюються розрахунки за методом комбінаторного відсікання по розв’язуванню моделі транспортної задачі комбінаторного типу до отримання розв’язку (Fh , x н) поточної допоміжної задачі лінійного програмування.

Теорема. Якщо виконується нерівність

Fb - Fh

Fh

• <є,

ч , Fb - F

то справедливе співвідношення -----*— < є .

Доведення. Очевидно, що 0 <Fh < F* < Fb . Отже,

Fb -F* < Fb - Fh , Л < —. Перемноживши останні в в н F Fh

Fb - F Fb - Fh

дві нерівності, отримаємо — <----------< є , що і

доводить теорему Fh Fb F .

F

н

Зауваження. Може виникнути питання, чи існують величини Fh , Fb , що забезпечують виконання умови (i), а отже, і доведеної теореми. Існування значення Fh , що як завгодно близьке до оптимального розв’язку F*, забезпечується тим, що метод комбінаторного відсікання є точним. Точним методом є і метод гілок

та меж, тобто Fb може бути як завгодно близьким

*

до F .

40

РИ, 2006, № 2

Висновки

Отже, вперше побудовано та обґрунтовано наближений метод для розв’язування математичної моделі транспортної задачі на множині переставлень, який дозволяє отримати розв’язок з заданою точністю. Наявність наближеного методу із заданою точністю дає можливість не витрачати обчислювальні ресурси, якщо відомо, що вихідні дані задачі самі мають похибку задання. Практична значущість та важливість такого методу полягає ще й в тому, що при обмеженості часу для розв’язування задачі можна обмежитись наближеним розв ’язком, оцінивши за формулою (1) його точність та взявши точність, рівну лівій частині цієї формули.

В подальшому доцільно здійснити числові експерименти за розробленим методом, а також спробувати дати теоретичну оцінку трудомісткості запропонованого методу.

Література: 1. Стоян Ю.Г., Ємець О.О. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації. К.: Інститут системних досліджень освіти, 1993. 188 с. 2. Емец О.А. Евклидовы комбинаторные множества и оптимизация на них. Новое в математическом программировании: Учеб. пособие. Киев.: УМК ВО, 1992. 92 с. 3. Стоян Ю.Г., Ємець О.О., Ємець Є.М. Оптимізація на полірозміщеннях: теорія та методи. Полтава: РВЦ ПУСКУ, 2005. 103 с. 4. Ємець О.О.,

Парфьонова Т.О. Транспортні задачі комбінаторного типу // Вестник Харьковского национального автомобильнодорожного университета. 2005. Вып. 29. С. 162-164. 5. Емец О.А. Об одном методе отсечения для задач комбинаторной оптимизации // Экономика и математические методы. 1997. Т. 33. Вып. 4. С. 120-129. 6. Ємець О.О, Ємець Є.М. Відсікання в лінійних частково комбінаторних задачах евклідової комбінаторної оптимізації // Доповіді НАНУ. 2000. №9. С. 105-109. 7. Емец О.А., Емец Е.М. Отсечения в линейных частично комбинаторных задачах оптимизации на перестановках // Экономика и математические методы. 2001. Т. 37. №1. С. 118-121.

Надійшла до редколегії 05.06.2006

Рецензент: д-р фіз.-мат. наук, проф. Лагно В.І.

Ємець Олег Олексійович, д-р фіз.-мат. наук, проф., завідувач кафедри математичного моделювання та соціальної інформатики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оп-тимізація. Захоплення, хобі: колекціонування марок, хоровий спів. Адреса: Україна, 36003, Полтава, а/с 1671, тел. 8-050-30-47-156, роб. (8-0532) 509-204, дом. (8-0532) 7-97-18. E-mail: [email protected].

Парфьонова Тетяна Олександрівна, асистент кафедри економічної кібернетики Полтавського університету споживчої кооперації України. Наукові інтереси: комбінаторна оптимізація. Захоплення, хобі: музика, хоровий спів. Адреса: Україна, 36003, Полтава, а/с 1671, тел. 8-050-93 -71887, роб. (8-0532) 509-205. E-mail: [email protected].

УДК618.514.01:517.977.5

ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ДЛЯ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

РАДИЕВСКИЙ А. Е._________________________

В классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов исследуется процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза для перевернутого маятника как объекта управления. Исследование базируется на положениях теории экстремальных задач (формализм Дубовицкого-Милю-тина).

1. Введение

Развитие механики тесно связано с изучением маятника. За более чем 300 лет, прошедших со времени, когда Галилей обратил внимание на изохронность колебаний маятника, ни одной механической системе не было уделено столько всестороннего теоретического внимания как маятнику [1]. Уравнение движения маятника является одним из фундаментальных [2], описывает широкий класс колебательных процессов. В силу своей простоты маятник служил хорошей моделью для изучения сложных процессов [3]. Одной из разновидностей многообразия маятников явля-

ется перевернутый маятник. Уравнение движения подобного объекта можно записать в виде

Т2 d2x dt2

+ bx = k0u,

(1)

где x - состояние; u - управление; т - постоянная времени; k0 - коэффициентусиления; b - коэффициент, характеризующий состояние равновесия маятника: при b > 0 объект устойчивый, а при b < 0 -неустойчивый.

Интерес к изучению движений рассматриваемого маятника объясняется, в частности, их связью с проблематикой стабилизации плазменного шнура. Плазма как объект управления (ОУ) может находиться как в устойчивом, так и в неустойчивом состоянии[4]. Проблема подавления неустойчивостей плазмы является центральной в общей проблематике физики плазмы. В качестве математической модели плазмы, дающей правильную картину неустойчивой моды плазменных колебаний, можно использовать модель перевернутого маятника, который поддерживается в положении неустойчивого равновесия пружиной с переменным натяжением [5]. Одним из методов подавления неустойчивостей плазмы является метод обратных связей, который базируется на использовании для этой цели систем автоматического управления (САУ).

РИ, 2006, № 2

41