CC BY
8
5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 534.1+62-5 Проф. Б.1. Сокт, д-р техн. наук - Академы сухопутных вшськ iM. гетьмана Петра Сагайдачного; асист М.Б. Сокт, канд. техн. наук -НУ "Львiвська полiтехнiка"; астр. О.1. Хитряк-Карпатському вiддiленнi
1нституту геофiзики iM. С.1.Суббот1наНАН Украти
ОДИН П1ДХ1Д ДО РОЗВ'ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНО1 ЗАДАЧ1 ПРО НЕЛ1Н1ЙН1 ЗГИНН1 КОЛИВАННЯ СЕРЕДОВИЩ
Запропоновано методику розв'язування обернених задач динам1ки для згинних нелiнiйних коливань середовищ. Вона дае змогу побудувати аналiтичну апроксима-щю пружних та дисипативних сил, виходячи i3 закону змiни основних параметрiв руху. Методика базуеться на принцип одночастотностi коливань у нелiнiйних системах та методi Крилова-Боголюбова-Митропольського (КБМ) побудови асимптотич-них розв'язкiв крайових задач для рiвнянь з частинними похщними, якi е математич-ними моделями процесу.
Ключов1 слова: нелiнiйнi коливання, амплiтуда, частота, асимптотичний метод
Актуальшсть та огляд основних результат дослiджень. Анал1тич-не визначення силових чинниюв вщповщно до закону руху об'екту в одно- чи багатовим1рних пружних системах нав1ть для найпростших 1х моделей пов'я-зане з певними труднощами. Складшсть полягае в тому, що задача не завжди мае единий розв'язок. Р1зш аспекти розв'язування таких задач (а вони мають назву обернених задач динамжи [1]) стосовно системи 1з зосередженими ма-сами розглядали, наприклад, в [2-8]. Метою ж ще! роботи е описати за допо-могою анал1тичних сшввщношень жорстюсш та ш. характеристики середовищ таким чином, щоб 1х рух вщбувався вщповщно до заданих (програмних) закошв змши ампл1туди i частоти коливань.
Постановка задачi. Вщомо [9, 10], що динамiчнi процеси багатьох систем iз розподшеними параметрами описуються диференцiальним рiвнянням
д2u 2 д4u J du du d2u d3u ^
+ a2—- = sf
dt2 dx4
u
' dx' dt ' dx2 ' dx3
(1)
зокрема, воно описуе нелiнiйнi згиннi коливання суцшьних та сипких середовищ. В (1) u(x, t) - поперечне перемщення дослiджуваного об'екта з координатою x в довшьний момент часу t; a - стала, яка визначаеться через фiзи-
ко-мехашчш параметри середовищ; f
( du du d2u d3u ^ u,
dx dt dx dx3 у
- невщома фун-
кцiя, що вказуе на вщхилення його пружних характеристик вщ лiнiйного закону, а також нелшшш дисипативнi та ш. сили; s > 0 - малий параметр i вiн вказуе на малу величину максимального значення останшх порiвняно iз ль ншною складово! вщновлювально! сили. Залежно вщ способу закрiплення для рiвняння (1) будемо розглядати наступш крайовi умови:
Науковий вкник НЛТУ УкраТни. - 2010. - Вип. 20.1
и(х,
д 2и(х, {)
х=0
д х2
и(х, 0| х=/
д 2и(х, /)
х=0
д х2
0
х=/
для випадку шарнтрно опертих к1нц1в;
и(х,
ди(х, /)
х=0
д х
0;
д 2и(х, /)
х=0
д х2
д3и(х, /)
х=/
д х
3
0
(2а)
(2б)
х=/
• для випадку жорстко закр1пленого л1вого к1нця (х = 0) та в1льного правого кшця (х = /);
и(х,
ди(х, /)
х=0
д х
0;
и(х, 0 х=/
ди(х, ()
х=0
д х
0
х=/
для жорстко закртплених л1вого 1 правого к1нц1в;
д 2и(х, ^
д х2
д3и(х, /)
х=0
д х
3
= 0;
д 2и(х, {)
х=0
д х2
д3и(х, /)
х=/
д х3
= 0
х=/
• для випадку в1льних кшщв;
ди(х, ()
и(х' 0| х=0 =■
д х
= 0; и(х, 0 х=/ =
д 2и(х,
х=0
д х2
= 0
(2в)
(2г)
(2д)
х=/
• для випадку жорстко закршленого правого кшця та шартрно опертого л1во-го кшця.
Методика розв'язування. Використовуючи загальну щею методу КБМ [9, 11], у першому наближенш одночастотний розв'язок р1вняння (1) за крайових умов (2а-2д) запишемо у вигляд1
и(х, /) = и0(а, х,ц) + ещ(а, х,ц), (3)
де параметри а та ц е функцп часу, а закони 1х змши задаються програмним рухом; и0(а, х,ц) та щ(а, х,ц) - 2п - перюдичш по ц = а>Х + р функци, о - частота, р - початкова фаза; а - амплггудний параметр динам1чного процесу. Нормальш функци, що визначають форми динам1чно! р1вноваги, та вщповщ-ш власш числа незбуреного (е = 0) руху визначаемо 1з розв'язюв вщповщних лшшних крайових задач. З щею метою и0(а, х,ц) представимо у вигляд1
и0(х, /) = аХ(х) 8т(® / + р), (4)
де Х(х) - виражаються через функци Крилова [10]
К\(х) = 2 (еИкх + 008 кх), К2(х) = 2 ^Икх + 8Ш кх),
К3(х) = -2 (еИкх - 008 кх), К4(х) = -2 ^Икх - Бт кх).
(5)
З1 врахуванням наведеного вище, власш значення 1 власш функци описуються залежностями:
8т(к/) = 0, X(х) = 8ш(кх) , (6 а)
еИ(к/) е08(к/) +1 = 0, Х(х) = К3(кх) - К1(к/) К4(кх),
К2(к/)
(6 б)
ch(K) cos(K) -1 = 0, X(x) = К3(кх) - К4(кх), (6 в)
К4(к/)
ch(K) cos(K) -1 = 0, X (x) = K1(kx) - K2(kx), (6 г)
K4(k/)
tg(K) = th(K/), X (x) = Кз(кх) - ^^ K4(kx). (6 д)
К2(k/)
Перейдемо до знаходження право! частини píbmhm (1). Для цього бу-демо вважати, що динамiчний процес у дослщжуваному середовищi визначе-ний законами змши амплiтуди i частоти (перюду) коливань. Найбiльш дос-тупним, виходячи Í3 практичного способу 1х визначення, е подання 1х посль довними значеннями, тобто a1, a2,..., aN; T1, T2,..., TN. В [5] показано, що мно-
жина значень {a} i {T} визначае наближено закони змши в час параметрiв
a i у за допомогою диференцiальних рiвнянь
^L = sA(a), dy = a + sB(a), (7)
dt dt
в яких A(a), B(a) - вiдомi полшоми. Таким чином, задача полягае у визначен-
.. , ... „ ди ди д2и д3u. , . /1Ч
нi тако1 функци f (и,—,—,—-—з) для диференцiального рiвняння (1), за
дх dt дх2 дх3
яко! коливний процес середовища, узгоджуеться iз (7). 1з умов накладених на правi частини вказаних вище залежностей випливае, що невщому функцiю можна шукати у виглядi
ди ди д2и д3и. N ди ди д2и д3и. /ол
т дХ • э7 • ai-' =S ckf"(", дХ • э7 ■ аХ-' (8)
„ . ди ди д2и д3и. . . , .
де: fk(и,—,—,——з) - лiнiйно незалежш многочлени; ck - невiдомi коефь
дх дt дх2 дх3
щенти, котрi знаходяться так, щоб коливний процес системи проходив вщпо-вiдно до законiв змiни ампл^уди i частоти, якi визначенi сшввщношеннями (7). З урахування наведеного, функщя u1(a,х,у) та параметри cb...cN зв,язанi диференцiальним спiввiдношенням
N _
L(u1) = S c" fk (a, x, y) + [-2® cosy - A(a) + 2a® sin y • B(a)] • X(x) , (9)
"=1
т, ч 2 д2и1 2 д4и1 —, ч „ , ди ди д2и д3ич
де: ц,и) = т у +а f"(aху) = Ж*дХ- а • дХ-• дх** ="о .
Амплiтуда коливань дослiджуваного середовища сшвпадатиме iз ам-плiтудою головно! гармонiки, якщо виконуеться спiввiдношення
2п [cosу |
[ и1 (a,ху) [>dy = 0. (10)
0 4sinH
Вказане, а також властивост власних функцш {X (х)} дають змогу от-
римати сшввщношення, що зв'язують невiдомi параметри c1,. cN та полшо-ми A(a), B(a)
Науковий вкиик НЛТУ УкраТни. - 2010. - Вип. 20.1
Г N N
X сиРк(а) = А(а), X с^к(а) = В(а), (11)
и =1 к=1
1 I 2п _ 1 I 2п _
де Рк(а) =-II /к (а, х,у)-008 у/ • Х1(х) йу йх, Як(а) =-| | /к (а, х,у)-зту-Х1(х) йу/йх,
пса А 0 0 псАа '0 0
А = | XI (х) йх.
Система лiнiйних алгебра1чних рiвнянь (11) е основою для визначення невiдомих коефiцiентiв ск. Якщо сшввщношення (11) виконуються за всiх значень параметра а i вони однозначно визначають шуканi коефiцiенти, то базисш функци {/к} пщбрат вдало. У випадку ж, коли сшввщношення (11)
несумiснi за довшьних значень параметра а -система функцш {/к} пiдiбрана
некоректно i треба замiнити 11 шшою. Коли ж (11) виконуються за вЫх значень параметра а, але однозначно визначити iз не! невiдомi параметри ск не вдаеться, тодi додатковi умови для знаходження невщомих параметрiв можна отримати, наприклад, з умови мiнiмуму функщоналу
2п i
з = 11
0 0
N _
X ск/к (а х,у) к=1
2
йхйу. (12)
Нехай у вказаному випадку iз (11) можна визначити зв'язок мiж першими 5 невiдомими коефщентами та всiма iншими у виглядi с = п(с3+1,..., CN), 1 = 1,2, ... 5., де п - вiдомi функци.
З врахуванням вище наведеного, (12) набирае вигляду
2п i
0 0
5 _ N _
Хт(с*+1, с^/,(а,х,у) + X сг/г(а,х,у)
1 =1 Г=5 +1
2
йхйу (13)
Функщонал (13) набуватиме мшмального значення, якщо виконують-ся умови
дЗ
--= +1, с3+2, ..., с^ а) = 0, 1 = 1,2,..., N - 5. (14)
дс5+1
Розв'язуючи сумюну систему лiнiйних алгебра1чних рiвнянь, яка вип-ливае iз (11) та (14) вщносно ск, знаходимо вс невiдомi коефiцiенти.
Висновки. У робот запропоновано методику розв'язування не менш важливо! задачi, як задача аналiзу - задачi синтезу, тобто визначення таких силових чинниюв, як спричиняють заданий рух середовища. 1з 1х розв'язка-ми пов'язано багато проблем у машинобудуванш, для яких потрiбно визначити, чи пщбрати iз наперед заданого руху системи 11 нелiнiйнi характеристики, зокрема тд час дослiдження вимушених коливань середовищ, для яких небажаними е резонансш явища. Основна 11 щея може бути узагальнена на деяк iншi системи з розподiленими параметрами.
Лггература
1. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики. - М. : Изд-во "Наука", 1981. - 145 с.
2. Кононенко В.О. Определение петлеобразных характеристик нелинейных колебательных систем из анализа движения / В.О. Кононенко, Н.П. Плахтиенко // Прикладна мехашка. -1970. - IV. - Вип. 9. - С. 9-15.
3. Кононенко В.О. Определение характеристик нелинейных элементов колебательных систем из анализа движения / В.О. Кононенко, Н.П. Плахтиенко // Прикладна мехашка. -1969. - V. - Вип. 10. - С. 1-7.
4. Плахт1енко Н.П. Про визначення нелшшно! характеристики коливно'' системи з анашзу фазово'' траекторп // Доповвд АН УРСР. Сер. А. - 1976. - Вип. 4. - С. 336-338.
5. Сеник П.М. Одно обобщение обратной задачи асимптотического метода Н.Н. Боголюбова // Известия ВУЗов. - 1960. - № 6. - С. 226-232.
6. Сеник П.М. Визначення функци, яка характеризуе розсшвання енергп коливно'1 системи // Прикладна мехашка. - 1960. - IV. - Вип. 1. - С. 40-45.
7. Сеник П.М. Про побудову оптимально'' автономно'' програмно-коливно'1 системи з сильною нелшшнютю / П.М. Сеник, Б.1. Сокш // Доповщ АН УРСР. Сер. А. - 1976. - № 7. -С. 600-603.
8. Сокш Б.1. Обернет задачi динамши нелшшних систем iз розподшеними параметрами та один пщхщ до 1'х розв'язання / Б.1. Сокш, О.1. Хитряк // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : УкрДЛТУ. - 2009. - № 19.10 - С. 64-67.
9. Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Ю.А. Митропольский, Б.И. Мосеенков. - К. : Вид-во "Вища шк.", 1976. - 592 с.
10. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М. : Изд-во "Наука", 1968. - 560 с.
11. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Изд-во "Наука", 1974. - 408 с.
Сокил Б.И., Сокил М.Б., Хитряк О.И. Единый подход к решению обратной задачи о нелинейных изгибистых колебаниях сред
Предложена методика развязывания обратных задач динамики для изгибистых нелинейных колебаний сред. Она дает возможность построить аналитическую аппроксимацию упругих и дисипативних сил, исходя из закона изменения основных параметров движения. Методика базируется на принципе одновременности колебаний в нелинейных системах и методе Крылова-Боголюбова-Митропольского (КБМ) построения асимптотических решений краевых задач для уравнений с производными частей, которые являются математическими моделями процесса.
Ключевые слова: нелинейные колебания, амплитуда, частота, асимптотический метод
Sokil B.I., Sokil M.B., Khytriak O.I. One approach to solving Inverse problem of Nonlinear bending vibration of a medium
It is developed a method of solving inverse dynamics problems for Nonlinear bending vibration of the medium. It allows construct an analytical approximation of the elastic and the dissipation properties of forces, on the assumption of a given law of variation of the key motion parameters. The method is based on the principle of a single frequency of oscillations in nonlinear systems, the method of Krylov-Bogoliubov-Mitropol'skii (KBM) for construction of asymptotic solutions of the boundary value problems for partial differential equations, which are mathematical models of the process.
Keywords: nonlinear oscillation, amplitude, frequency, asymptotic method.
УДК 621.01:681.3 Проф. О.М. Полюдов, д-р техн. наук;
здобувач Н.М. Кандяк - Укратська академш друкарства, м. Rbeie
ЕНЕРГОСИЛОВ1 ПАРАМЕТРИ КОМБ1НОВАНОГО МАЛЬТШСЬКОГО МЕХАН1ЗМУ
Розглянуто енергосиловi параметри комбшованого мальтшського мехашзму з кривошипно-кулюним та кулюно-кривошипним приводом. Теоретичш викладки доведет до числового прикладу, який тдтверджуе дiевiсть виведених формул. Вста-
