Обернені задачі динаміки про коливання середовищ, що описуються збуреним рівнянням Брезертона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1+62-5 Проф. Б.1. СокЫ, д-р техн. наук - Академы Сухопутных

Вшськ м. гетьмана Петра Сагайдачного; астр. О.1. Хытряк - КВ1ГФ НАН УкраХны

ОБЕРНЕН1 ЗАДАЧ1 ДИНАМ1КИ ПРО КОЛИВАННЯ СЕРЕДОВИЩ, ЩО ОПИСУЮТЬСЯ ЗБУРЕНИМ Р1ВНЯННЯМ

БРЕЗЕРТОНА

Розглянуто застосування асимптотичного методу нелшшно'1 механiки Крилова-Боголюбова-Митропольського (КБМ) для розв'язування обернених задач динам1ки систем, математичними моделями руху яких е рiвняння Брезертона. Розроблена методика дае змогу ефективно визначати анад1тичну апроксимацiю пружних i дисипа-тивних сил для випадку коли останш е слабко нелшшними.

Ключов1 слова: нелiнiйнi коливання, ампл1туда, частота, асимптотичний метод.

Актуальшсть та огляд основних результатiв дослвджень. Приклад-ним задачам поперечних коливань одно- чи багатовим1рних середовищ належить важливе м1сце у дослщженш динамжи мехашчних систем. Зокрема до таких задач належать процеси коливання балок, трубопровод1в та шших гнучких елемент1в конструкцш, як певним чином закршлеш 1 взаемоддать 1з навколишшм середовищем.

До прямих задач належать т1, для яких на основ1 заданого анал1тично-го виразу силових чинниюв, як ддать на мехашчну систему, необхщно виз-начити коливний процес. Розв'язано низку прямих задач на баз1 принцишв асимптотичного штегрування нелшшних автономних та неавтономних дифе-ренщальних р1внянь для моделей середовищ 1з сильною [1] i слабкою [2, 3] нелшшностями пружних характеристик та сил тертя, дисипативних сил, ма-лих пор1вняно 1з пружною вщновлювальною силою.

Проблема значно ускладнюеться у випадку оберненоi задач^ тобто коли за заданим коливним процесом необхщно визначити анал1тичну апрокси-мащю силових чинниюв. Вщсутшсть загальних шдход1в до розв'язання таких задач зумовлена насамперед труднощами побудови i едност розв'язюв [4] для диференщальних р1внянь з частинними похщними, як е математичними моделями процесу. Деяк задач! про визначення нелшшних характеристик коливних систем розглянуто в роботах [5-7].

Тут, з використанням асимптотичного методу КБМ та принципу одно-частотност коливань [3], для нових клаЫв слабко нелшшних систем розв'язуеться обернена задача для поперечних коливань середовищ, математичними моделями яких е р1вняння Брезертона.

Для побудови розв'язку оберненоi задач! використовуеться метод а.

За вихщний закон руху приймаються вщомими закони змши основних параметр1в коливань, а наближення невiдомоi функци виконуються за допо-могою скiнченноi сумою деяких полiномiв вiд перемщення швидкостi i iн. Як критерш оптимальностi - умова мiнiмуму середньоквадратичноi величи-ни аналiтичноi апроксимацii невщомих чинникiв [8-9].

Постановка задачг Вiдомо [10], що математичною моделлю поперечних коливань балки, яка розташована на пружнш основi, матерiал яко1' близь-кий до лшшного закону пружностi, е нелiнiйне рiвняння Брезертона

иа + а^ихххх + Ри — их, Щ, uxx, иххх, ихххх) , (1)

в якому: функщя и(х, г) визначае перемiщення точки з координатою х в до-вiльну мить часу г; а - вiдомa стала, яка визначаеться через фiзико-механiчнi параметри середовищ; Р - невiдомий коефщент пружностi опори; ^и, и^ их, ихх, иххх, ихххх) - невщома функцiя, що вказуе на вщхилення його пружних характеристик вщ лiнiйного закону, а також нелшшш дисипативнi та iн. сили; е>0 - малий параметр i вш вказуе на малу величину максимального значення останшх порiвняно iз лшшною складово! вщновлювально! сили.

Для однозначно! характеристики коливного процесу до рiвняння (1) приеднуемо крайовi умови, що описують, наприклад, випадок жорстко зак-рiпленого лiвого кiнця (х=0) та вшьного правого кiнця (х=1)

и(х 0| х—0 — их(х ОI х—0 — 0; ихх(х 0| х=1 — uxxr(x, 0| х—1 — 0- (2)

За вщсутност нелшшно! сили (е=0) рiвняння (1) вироджуеться у нез-бурене рiвняння

иа + а2ихххх + Ри — 0 . (3)

Для розв'язування (3) використовуемо метод вщокремлення змшних. Функцiя и(х, г) — Х(х)Т(г) е розв'язком (1), (3) тодi i лише тодi, коли Т (1) та X (х) е вщповщно розв'язками звичайних диференцiальних рiвнянь

Т"() + ЛТ(() — 0; а2Х1¥ (х) - (Л- в)Х(х) — 0 .

Власнi числа Л розташоваш так, щоб виконувалися умови (2), тобто

е^к/) ^(к/) +1 — 0, к — 1,2,... (4)

де Л — в + к4а2. Таким чином одночастотний розв'язок рiвняння (3) для крайових умов (2), мае вигляд

и0(х, г) — а

К3(кх) -К4(кх)

К2(к/)

+ () , (5)

де со — ^(ак2)2 + в - власна частота коливань, р - фаза, а - амплггудний параметр динамiчного процесу, К3(кх), К4(кх)- функцп Крилова [11].

Отже, задача полягае у визначенш нелшшних властивостей коливно! системи та коефщента пружностi основи Р за вiдомою ампл^удно-частот-ною характеристикою (АЧХ).

Методика розв'язування. Збурена задача. Нехай на основi експери-ментально отриманих залежностей, якi заданi графжом коливань системи, можна видiлити послщовш значення амплiтуди i частоти (перюду) коливань а1, а2, ... ам; Т1, Т2, ..., Тм. У [12] доведено, що зазначеш множини {а^ i {Т!} визначають наближено закони змши в часi параметрiв а i у за допомогою ди-ференцiальних рiвнянь

— — еА(а), — — ю + е В(а), (6)

Ж Ж

в яких А (а), В (а) е полшомами вщомих степешв, ю - власна частота незбу-рених ( =0) коливань системи.

Таким чином, необхщно визначити оптимальнi характеристики чин-никiв ди на коливну систему iз слабкою нелiнiйнiстю, якi викликають прог-рамнi змiни амплiтуди i частоти (перюду) (6).

Вiдповiдно до асимптотичних методiв нелшшно! механiки [2, 3] розв'язок рiвняння (1) (при у першому наближеннi потрiбно шукати у виглядi суми

и(х, /) = и0(а, х, у) + ещ(а, х, у), (7)

де параметри а та у залежать вщ часу, а закони 1хньо1 змiни задаються прог-рамним рухом (6); та и1(а,х,у) -2п- перiодичнi за у=ю1+ф функщею. Вва-жаемо, що амплiтуда коливань дослщжуваного середовища зб^аеться з ам-плiтудою головно! гармонiки, тобто мае мюце спiввiдношення

2п

f , ч I cos ^ I I u1(a,хщ)\ Уdy — 0 .

0 4sin^J

Перейдемо до визначення право! частини piB^HM (1). Шляхом дифеpенцiювання (7) знаходимо

ux — к

K2(кх) - KK Кз(кх)

sin(®t + ф) + s(u1) х;

(8)

_ 4

щхххх — К

Utt

d 2a d2

Кз(кх) - KK К4(кх) ki(ki)

Кз(кх) - Ki(kK) К4(кх)

sin(y) + s(u1)

хххх э

К2(к1)

дщ

siny + s-У +

d 2y +—a

dt2

К3(кх) - ^^ К4(кх)

К2(К)

dui , cosy + £-¡> +

дщ

да

da v dt у

д 2u1

"da2

• +

+

+2

Г У)2 v dt у

da dy

-a

dt dt

К3(кх) - K1(K) К4(кх) Л ' К2(К) 4V _

Кз(кх) - К1(К) К4(кх)

д2u1

Siny + £-Г У +

К2(К)

Аналогiчно i3 (6) знаходимо

d2a 2 dA a( ); d2y 2 dB ^ ); dt2 da ' dt2 da

cosy + £

da v dt у

дщ2

д 2u1 дaдy

£2 A2(a);

г dy)2

v dt у

: й>2 + 2a>sB(a) + £2B 2(a); — s^A(a) + £2A(a)B(a).

dt dt

(9)

(10)

Пiдставляючи (5), (7), (10) в (1) та зpiвнюючи коефщенти при s, у першому наближенш отримуемо та сшввщношення, що зв'язуе вiдомi та не-вiдомi функци

2aA(a)

Кз(кх) - -К^тКК К4(кх) К2(К)

cos(y) - 2rnaB(a)

Кз(кх) - К1 К4(кх)

sin(y) + (11)

Эу2 Эх4

де / (а, х, у ) = / (щ, щи их> ихх , иххх5 щхххх)\

2 Э 2Щ 2 Э V —

-—т + сс —~ + /Зщ = / (а, х, у),

Кз(кх) - КК К4(к) ЩК)

Щкх) - К^ Кз(кх) К2(к1)

sin(®t+ф), sin(®t+ф\

Щ ххх — а к

К 4(кх) - К^К) К1(кх) К 2(К)

sin(®t+ф).

Беручи до уваги умови накладет на невщому функцiю щ1(а, х,у), iз (11) знаходимо спiввiдношення, яке зв'язуе вiдомi функцп А (а), В (а) та невь дому Г (и, иь Их, Ихх, Иххх, ^ххх).

1

А(а) = В(а) = ■

/ 2п_

2 ,1 2 4 +в П / (а' х'У)

+ в оо

/ 2п

2па/^ а2 к4 + в

Ц /(а, х,у)

о о

Кз(кх) - 1К: К4(кх) К2(к/)

Кз(кх) - КК: К4(кх) К2(К/)

cosуdxdу,

sin уdxdу . (12)

хх

Таким чином, задача полягае у визначеннi тако! функци Г (и, и^ их, и иххх, ихххх) для диференцiального рiвняння (1), за яко! коливний процес сере-довища узгоджуеться iз (6). Вважатимемо, що А (а) та В (а) в (6) е полшоми це дае тдставу шукати Г (и, и^ их, ихх, иххх, ихххх) у виглядi лшшно! комбшаци

N

/(U, щx, щхх-: щххх-: щхххх) = ^ ск/к(щ, щx, щxx, щххх-: щxxxx),

к=1

(13)

де 4 (и, иь их, ихх, иххх, ихххх) - лшшно незалежнi многочлени; ск - невiдомi ко-ефiцiенти. Вибiр функцiй ^ залежить вiд чинникiв, що ддать на систему, а значення N визначаеться у процес розв'язування поставлено! задачь

Властивостi власних форм задачi та функцi! и1(х, 1;) дають змогу отри-мати спiввiдношення, що зв'язують невiдомi параметри с^...^ та задаш полi-номи А (а), В (а).

| N N

^ СкРк(а) = А(а), ^ скКк(а) = В(а),

1 к=1 к=1

(14)

де Рк (а):

2ж/^а2к2 + в

/ 2п

| | /к(щ щхх-, щххх , щхххх)

0 0

Кз(кх) - ^К) К4(кх) К 2(к/)

Sinу,

Щ ххх — ак

К 4(кх)- к1(к/) К1(кх)

к2К)

Sinу.

Кз(кх) - КК) К4(кх)

Як (а)

—

2п1а<\] а2 к4 + в

К2(К/)

| | /к(щ щx, щхх-, щххх , щхххх)

sinуdуdx;

/ 2п

Л

0 0

Кз(кх)-К^Кк К4(кх) К 2(к/)

Sinу,

Щххх — ак

^(кхуК^Кт, К1(кх) К 2(к/)

Sinу.

1

Къ{кх)-

Kx(k¡)

k4(kx)

sin y/dydx.

K2(K¡)

Розв'язавши отриману систему лiнiйних алгебра'чних рiвнянь (14), от-римуемо значення шуканих коефщенпв ck лшшно! комбшаци (13). У випад-ку коректно пщбраних базисних функцiй {fk} спiввiдношення (12) викону-ються при bcíx значеннях параметра a система (14) однозначно визначае шу-каш коефiцiенти. Якщо система функцiй {fk} вибрана невдало, то сшввщно-шення (14) несумiснi за довiльних значень параметра a. У такому випадку ба-зисш функци, що входять у комбшащю (13), треба замшити iншими.

Коли ж (14) виконуються при всiх значеннях параметра a, але однозначно визначити iз не! невiдомi параметри ck не вдаеться, тодi додатковi умо-ви для знаходження невщомих параметрiв можна отримати, наприклад, з умови мшмуму функцiонала [8, 9]

2п ¡

J =и

о о

N

Е ckfk(a x,y)

k=1

dx dy.

(15)

Нехай у зазначеному випадку з (14) можна визначити зв'язок мiж першими s невiдомими коефщентами та всiма iншими у виглядi Ci = r¡i(Cs+1,..., CN), i = 1,2,...s., де ni - вiдомi функци.

З урахуванням наведеного вище, (15) набувае вигляду

2п ¡

J = íí

0 0

N

Eni(Cs+1,..., CN)fi(a,x,y) + Е Crfr(a,x,y)

i=1 r=s+1

dxdy

(16)

Функщонал (16) прийматиме мшмальне значення, якщо виконуються

умови

dJ

8c

= (Pí(cs+1, Cs+2, K, CN, a) = 0, i = 1, 2,..., N - s.

(17)

s +i

Розв'язуючи сумюну систему лшшних алгебра'чних рiвнянь, яка вип-ливае iз (14) та (17) вщносно ck, знаходимо вс невiдомi коефiцiенти.

Приклад. Вважаеться, що вщома амплiтудно-частотна характеристика руху (6) нелшшно-пружно! системи (1)-(2). Побудуемо аналiтичну апрок-симацiю пружних i дисипативних сил.

Нехай автономний коливний процес нелшшно! мехашчно! системи, зокрема балки довжиною 2 см, яка розташована на пружнiй основ^ опи-суеться диференцiальним рiвнянням:

Utt + a2Hxxxx + ви = S (C1Ut + C2U3 + C3U3x + C4Mxx«xxx + CsMxxx^ ) , (18)

де c1, c2, c3, c4, c5 - невiдомi параметри, котрi необхiдно визначити так, щоб коливний процес вщбувався згiдно iз заданим програмним законом:

da = P(2a + 2 a3)• dy

— = s\ 21a + 22a i, -

dt v ' dt

а штеграл (16) набував мiнiмального значення. У (19) 22,22,23 - вiдомi пос-

тiйнi коефiцiенти.

CD+£

(2a3),

(19)

Розв'язавши piBMHM (4) графiчним способом [11], отримуемо перше власне значення к1 мехашчно!" системи к1« 0,9375, тодi ß = a>2 - (а - 0,93752)2.

Вщповщно до викладено!' методики маемо

c1 = 2А1; c2 = Л2 6'8124 • Сз = сЛЛ3. 7,2948; c4 = сЛЛ3 -13,73; c5 = -а>Л3 - 50,5609.

со

Висновки. На пiдставi виконаного дослiдження можна зробити вис-новок, що розроблена методика дае змогу ефективно визначати аналгтичну апроксимащю пружних i дисипативних сил для випадку коли останш е слаб-ко нелiнiйними. Основна И щея може бути узагальнена i на деяк складнiшi механiчнi системи, зокрема на мехашчш системи iз складшшими крайовими умовами чи на таю, що характеризуются наявнiстю вимушених коливань се-редовищ, для яких небажаними е резонансш явища.

Л1тература

1. Сеник П.М. Про побудову оптимально! автономно! програмно-коливно! системи з сильною нелшшнютю / П.М. Сеник, Б.1 // Доповвд АН УРСР. Сер. А. - 1976. - № 7. -С. 600-603.

2. Митропольский Ю.А. Асимптотические решения уравнений в частных производных / Митропольский Ю.А., Моисеенков Б.И. - К. : Вид-во "Вища шк.", 1976. -592 с.

3. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Изд-во ", 1974. - 408 с.

4. Галиуллин А.С. Обратные задачи динамики / А.С. Галиуллин. - М. : Изд-во "Наука", 1981. - 145 с.

5. Короткий, А.И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами // Известия ВУЗов. Матем., 1995. - № 11. - С. 101-124.

6. Кононенко В.О. Определение петлеобразных характеристик нелинейных колебательных систем из анализа движения / В.О. Кононенко, Н.П. Плахтиенко // Прикладная мех. - 1970. - IV, вип. 9. - С. 9-15.

7. Плахт1енко Н.П. Про визначення нелшшно! характеристики коливно! системи з аналiзу фазово! траектори // Доп. АН УРСР, сер. А. - 1976. - Вип. 4. - С. 336-338.

8. Сокш Б.1. Один тдхщ до розв'язання обернено! задачi про нелЫйт згинт коливання середовищ / Б.1. Сокш, М.Б. Сокш, О.1. Хитряк // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : Вид-во УкрДЛТУ. - 2010. - № 20.1. - С. 264-268.

9. Сокш Б.1. Обернет задачi динамши нелЫйних систем iз розподшеними параметрами та один тдхщ до !х розв'язання / Б.1. Сокш, О.1.Хитряк // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : Вид-во УкрДЛТУ. - 2009. - № 19.10. - С. 64-67.

10. Митропольский Ю.А. О построении асимптотического решения возмущенного уравнения Брезертона // Украинский мат. журн. - 1998. - 50. - № 1. - С. 58-71.

11. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М. : Изд-во "Наука"", 1968. - 560 с.

12. Сеник П.М. Одно обобщение обратной задачи асимптотического метода Н.Н. Боголюбова // Известия ВУЗов. - 1960. - № 6. - С. 226-232.

Сокил Б.И., Хитряк О.И. Обратные задачи динамики о колебании сред, которые описываются возмущенным уравнением Брезертона

Рассматрено применение асимптотического метода нелинейной механики Кры-лова-Боголюбова-Митропольского (КБМ) для решения обратных задач динамики систем, математическими моделями движения которых является уравнение Брезер-тона. Разработанная методика дает возможность эффективно определять аналитическую аппроксимацию упругих и дисипативних сил для случая, когда последние являются слабо нелинейными.

Ключевые слова: нелинейные колебания, амплитуда, частота, асимптотический метод.

Sokil B.I., Khytriak O.I. Inverse dynamics problem for oscillation of the

mediums which are described by perturbed Bretherton equation

It is considered the application of asymptotic method of nonlinear mechanics Krylov-Bogoliubov-Mitropol'skii to solving the inverse problems of dynamic systems, mathematical model of which is the Bretherton equation. The developed method enables effectively to determine analytical approximations resilient and disipativ forces for a case when the last are poorly nonlinear.

Keywords: nonlinear oscillation, amplitude, frequency, asymptotic method.

УДК 681.324 Астр. У.В. Полiщукí - НУ "Львiвська nолiтехнiка "

НЕЙРОМЕРЕЖНЕ УЩ1ЛЬНЕННЯ ЗОБРАЖЕНЬ 13 ВИКОРИСТАННЯМ 1ХНЬОГО ПОД1ЛУ НА ФРЕЙМИ

Запропоновано нейромережний метод ущшьнення зображень на основi скоро-чення довжини розрядно'1 атки, що використовусться для представлення ортогональ-них компонент перетворення та забезпечуе додаткове збшьшення коефщента ком-пресп зi збереженням заданих показниюв якосп. Також розвинуто та апробовано методику покращення якосп вiдтворених зображень та показниюв компресп шляхом додаткового подшу зображень на фрейми. Цей метод забезпечуе тдвищення коефь щента якостi зображення РБКК в середньому на 5-6 % за додаткового збшьшення коефщента компресп.

Вступ. Через стр1мкий розвиток засоб1в цифровоi техшки, збшьшен-ням апаратноi складносл телекомушкацшних систем, актуальна проблема ущшьнення даних, зокрема зображень, отримала нов1 засоби { можливосп для ii реал1зацп. Зокрема, завдяки виробленню нових шдход1в до оброблення даних завдання ущшьнення дедал1 часлше почали вир1шувати на основ1 ви-користання математичних метод1в { моделей штучного штелекту.

У цьому дослщженш наведено основи нов1тнього методу ущшьнення зображень, розробленого на баз1 нейропод1бних структур Модел1 Геометрич-них Перетворень та розглянуто методику покращення якост компресп шляхом розбиття зображення на фрейми.

У цифрових системах [4] статичне растрове зображення видаеться двовим1рним масивом точок (елеменлв зображення), що мають певш характеристики: кол1р, штенсившсть кольору, просторова корелящя та ш. Елемен-ти зображення називають шкселями. Внаслщок цифрового оброблення зображення шксел1 представляються числами. Зображення займае набагато бшьше пам'ят пор1вняно з текстовими даними. Так, невеличке зображення розм1ром 500^800 шксел1в займае бшьше 1 мБ пам'ят1, що екв1валентно розм1ру ху-дожньо!" книги з 400 сторшками. Власне ця особливють { визначае актуаль-шсть проблеми ущшьнення граф1чних файл1в.

Як вщомо [5], зображення можна роздшити на два основш класи: двохр1внев1 (однобггш зображення без пал1три) та багатор1внев1 (&-б1тш, з па-лггрою). Одноб1тш зображення - це найпрослший тип зображення, кожен шксель якого представлений одним бггом та може приймати значення лише 1

1 Наук. KepiBHm: проф. Ю.М. Рашкевич, д-р техн. наук - НУ '^bBÎBCbKa Полггехшка"