ОДИН КЛАСС ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА-СТИЛТЬЕСА ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.968

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 78

ОДИН КЛАСС ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА-СТИЛТЬЕСА ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ

ПЕРЕМЕННЫМИ

Каденова Зууракан Ажимаматовна Заведующая лабораторией теории обратных задач ИМНАН КР, д.ф.-м.н.

kadenova 71 @mail.ru Бекешова Дамира Аманбаевна Соискатель ИМ НАН КР bekeshova. [email protected] Бишкек, Кыргызстан Орозмаматова Жыпаргул Шермаматовна, к. ф. -м. н, Ошский технологический университет jypar [email protected] Ош, Кыргызстан

Аннотация: В данной работе, с помощью понятия производной по возрастающей функции, и методом неотрицательных квадратичных форм доказывается единственность решений для одного классе линейных интегральных уравнений Фредгольма-Стильтьеса первого рода с двумя независимыми переменными.

Ключевые слова: линейные интегральные уравнения, первого рода, с двумя независимыми переменными, единственность.

БИРИНЧИ ТYРДeГY ФРЕДГОЛЬМ-СТИЛТЕСТИН К0З КАРАНДЫСЫЗ

ЭКИ eЗГeРYЛМeЛYY сызыктуу интегралдык тенделеринин бир

КЛАССЫ

Каденова Зууракан Ажимаматовна УИА МИнун тескери маселелер лабораториясынын башчысы, ф.-м.и.д.

[email protected] Бекешова Дамира Аманбаевна УИА МИнун илим изилдввЧY [email protected] Бишкек, Кыргызстан Орозмаматова ЖыпаргYл Шермаматовна ф. -м. и. к., Ош технологиялык университети jypar [email protected] Ош, Кыргызстан

Аннотация: Бул макалада вCYYЧY функцияга карата туунду тYШYHYгYн колдонуу менен терс эмес квадраттык формалар усулунун, функционалдык анализдин усулдарынын жардамында биринчи тYрдвгY Фредгольм-Стилтестин квз карандысыз эки взгврYЛмвЛYY сызыктуу интегралдык тендемелердин чечимдеринин жалгыздыгы далилденди.

Ачкыч свздвр: сызыктуу интегралдык тендемелер, биринчи тYрдвгY, эки взгврYлмвЛYY жалгыздык.

ONE CLASS OF FREDHOLM-STIELTIES LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO INDEPENDENT VARIABLES

Kadenova Zuurakan Azhimamatovna Head of the laboratory theory of inverse problems IM NAS KR, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, kadenova 71 @mail.ru Bekeshova Damira Amanbaevna Applicant IM NAS KR bekeshova. [email protected] Bishkek, Kyrgyzstan Orozmamatova Zhipargul Shermamatovna, Candidate of Physical and Mathematical Sciences Osh Technological University,

Osh, Kyrgyzstan

Abstract. In the present article the theorem about uniqueness of the linear integral equations Freaholm-Stielties of the first two independent variables with method of nonnegative quadratic forms and the concept of derivative with respect to increasing function.

Key words: linear inteqral equations, first kind, two variables, uniqueness.

Рассмотрим уравнения вида

b T

J K(t, x, y )w(t, y )d^(y ) + J H(t, x, s)u(s, x)diy(s) + J J C(t, x, s, y )w(s, y )d^(y ) =

t x

= f (t, x), (t, x) e G, (p(x\ ¥(t)

G

Jf,x)e R2 : t0 < t < T, a < x < b}

.0 - % - Т , - - х - ьу (1)

где являются строго возрастающие непрерывные функции соответственно в

области аъ\ М.

В настоящее время большой интерес вызывают обратные и некорректные задачи. Понятие корректности в работах А.Н. Тихонов [1], М.М. Лаврентьев [2] и В.К. Иванова [3], отличное от классического, дало средство для изучения некорректных задач и стимулировало интерес к интегральным уравнениям, имеющим большое прикладное значение. Основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [4], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. В [5]- [10] исследованы вопросы единственности и устойчивости решений для линейных интегральных уравнений первого рода.

Понятие производной по возрастающей функции было введено А. Асановым в 2001 г. в [11] и играет особую роль в исследовании. Это понятие является обобщением обычного понятия производной функции и является обратным оператором для одного класса интеграла Стилтьеса.

[А(%, х, у), %0 - % - Т, а - у - - - Ъ; |в(%, х, у), %0 - % - Т, а - х - у - Ъ,

[М(%, х, 4 %0 - ^ - % - Т, а - х - Ъ; [ы(%, х, ^), %0 - I - ^ - Т, а - х - Ъ.

А(%, х, у), в(%, х, у), М(%, х, я), Ы(%, х, я), С(%, х, 5, у) - известные определенные соответственно в области

= {(%, х, у): %0 - % - Т, а - у - х - Ъ}; = {(%, х, у): %0 - % - Т, а - х - у - Ъ}; = {(%, х, я): %0 - я - % - Т, а - х - Ъ}; ={(%, х, я): %0 - % - я - Т, а - х - Ъ}; ={(%, х, я,у): %0 - я - % - Т, а - у - х - Ъ}.

/(%, х) -известная, а U(t'х) - неизвестная функция, (%, х)е G. Решение U(t' х)

K (t, x, y ) = H (t, x, s) =

(2) (3)

функции,

ищется в

Л

L2„(G) где v(t,x)eL2w(g) v(t, x)2 dp(x )d^(t )< <x>

тогда и только тогда когда

и a

a

о

G

Обозначим

P(s,y,z) = A(s,y,z) + B(s,z,y), (s,y,z)eGls Q(s, y, r) = M(s, y, r) + N(r, y, s). (s, y, r) e G3. (4)

Определения. Производной по p(x) функции f (x) в точке x e (a b) называется

предел отношения приращения функции А(x) к приращению функции Ap(x) при

А x

стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует):

Kx) = f (x) = lim MXl = iim f (x + Аx) - f (x) p dp А p(x) Axp(x + Аx) -p(x)

Нахождение производной функции f (x) по p( x) будем называть

дифференцированием по p(x) этой функции. Если функция f (x) в точке x e (a b) имеет

конечную производную по p(x), то функция f (x) называется дифференцируемой по p(x)

в этой точке. Функция f (x), дифференцируемая по p(x) во всех точках интервала

называется дифференцируемой по p(x) на (a b) .

C помощью производной по возрастающей функции и методом неотрицательных квадратичных форм доказывается теорема единственности решений уравнения (1). Пусть выполняются следующие условия:

1) P(s,b,a) > °, s e[t0,T],P(s,b,a)e C[t0,T], <y) (s,y,a) < °, (s,y) eG, P'v{y(s,y,a) e C(G),

PT(z) (s,b, z) > 0, (s, z) eG, p;{z) (s,b,z) e C(G),

P(zЖy) (^У,z) < °, (s,^z) e Gl, P(z),(y) (^y,z) e C(Gi),

Q(T,y,t°) > 0, y e [a,b], Q(T,y,t°) e C[a,b],

Qw{s) (s,y,t°)< °, (s,y) eG, Q^t) (s,y,t°)e C(G),

Qbr)(T,У,г) > ° (y,r) e G, Q^ (T,y,r) e C(G), '

QV(rMs)(s,y,r) < ° (s,y,r)e ^ Q" W(r)W( s)

(s, y,r)e C(G2 ).

и для любого

x b t T

v(t, x) eL2 (G), J A(t, x, y)v(t, y)d<p (y), J B(t, x, y)v(t, y)d<p (y), J M (t, x, s)v(s, x)dy(s), J N (t, x, s)v(s, x)dy( s )eC (G),

a x t° t

где C[t°,T], c(G), c(g1 ) и C(G3)-пространство всех непрерывных и ограниченного функций соответственно в области [t°,t], G, Gl и G3;

2) C(T, b, t°, a )> °,

C(s)( s, b, ^ a )e C [t°, T ] , C(s)( S, b ^ a )< ° V s e[^°,T ] , Cr) (T,b, r,a) e C[t°,T], C^ (T,b,r,a)> ° V r e[t°,T],

C( (T, J,to,a) e C[a,6], C( (T,y,t0,a) < 0 V y e [a,6], C;(z) (T, 6, to, z) e C [a, 6], C;z) (T, 6, ^, z) > 0 Vz e [a, 6],

CM(;) (sУ,to,a) e C(G), CM(s);(y) (sУ,to,a) > 0 V (sУ) e G

CM*0) (T,t0) e C(G), C^ (T,t0) < 0 V (yr) eG, C«M-)(6^z) e C(G), C;(zWs)(6,^z)< 0 V (^z)eG,

T 6,r z) e C (G), C^ (T, 6,r z) > 0 V (r, z) eG

s);(z)(^ УГ a)e C (G3 ) , s);(z) (^ ^ Г a)> 0 V (^ У,Г) e G3,

^MO (^6Гz) e C(G3), ^MO (6,rz) < 0 V (z,r) e Gз,

C;z)m(s);(y) (^ У, t0, z) e C (G1 ) , C;z)M(s);(y) (^ У, t0, z) > 0 V (^ ^ z) e G1,

C^);(z);(y) (^У,т,z) e C(G), C^(z);(y) (T,У,Гz) < 0V (ry,z) e Gi

C!%UzИ;y) (s, У, r, z) e C (G4 ) , CS;(zMs);(y) (S, У, Г, z) > 0 V (S, У, Г, z) e G4 , CM(rM s)( br a) e C (G5), C^ br a )< 0 V( s,r)e G5 ={( s,r): to <r< s < T }, C;z);(y)(T,У,to,z)eC(G6), c;z);(y)(T,У,to,z)<0V(У,z)eG6 = {(y,z

1 e g и для люоых « j, ««2 , ««3 , «4

3) При почти всех y, r, z)e G4 и для любых a1,«2,a3,«4 e R :

L(s,y,rz,«1,«2,«3,«4)=^_r )(y_a)I-7;y)(sУa))«2+

+ (s - r„)(y- a)i-Q;(y)(s,y,>)«' + (s -r„)2(y - a)("CУ''o,a))a«2 +

1 2 + — (-Q "и*М s)( s, y,r))«32 + — K«( s, y,r,a ))«3«1 +

2 1 + —" (-Cz( S, У, t0, z ))«2«4 +-— (-z);(y)( ^ У, z ))«42 +

s 'o s 'o

+ (-2CM(r);(z)(^ У,r, z))«3«4 > 0;

4) Если при почти всех (s,y,r,z)e g4 l(s,y,r,z,«,«)=o, то

выполняется, хотя бы, один из следующих условий:

1) a = 0; 2) a2 = 0; 3) a = 0; 4) « = 0.

Теорема. Пусть выполняются условия 1), 2), 3) и 4). Тогда решение u(t, x) уравнения (1) единственно в классе L (G).

Доказательство. В силу (2) уравнение (1) запишем в виде

х Ъ г

| А(г, х, у (г, у) й у) +1В (г, х, у (г, у) й у) + |м (г, х, я (я, х) я) +

а х г0

Т г х

{г, х, я ) и ( я, х ) йш( я Ы 1С (г, х,я, у)и(я, у)йр(у)йш(я)= (г,х), (г,х)е

| N(г, х, я)и (я, х)я)+ЦС (г, х, я,у )и (я, у)йр(у)йу(я ) = / (г, х), (г, х)еС. (4)

г ц а

Обе части уравнения (4) умножим на и(г, х) и интегрируем по области О:

Ъ Т у

Ш А (я, у, 7) и (я, 7) и (я, у ) 7) я) йр (у )

го а

ЪТЪ

Л|в (я, у, 7)и (я, 7)и (я, у) йф(7) йИА)йР(у)'

ЪТ я

Л! М (я, у, г) и (т, у) и (я, у) й^(т) йщ( я) йр (у )■

а г0 г0 ЪТ Т

!!! N (я, у, г) и (т, у) и (я, у) й^(т) йщ( я) й р (у )■

а г00 я

Т я у

Ш|с(я,у, г, 7) и (г, 7)и (я,у)йу(2)й^(г)йр(я)йр(у ) =

ЪТ у

я, у, 7 ) и ( я, 7 ) и ( я, у ) йш( 7 ) йш( я ) йр ( у ) +

а г а ЪТЪ

+\\\В ( 5, у, 7 ) и ( 5, 7 ) и ( 5, у ) 7 ) йИ£)й р( у) +

аг0 у

ЪТ я

+!!! М (я, у, г) и (г, у) и (я, у ) йИт) аг( я) й р ( у) +

а г0 г0 ЪТТ

+!!! N (я, у, г) и (г, у) и (я, у) йш(т) йш( я ) ( у ) +

а го я

Ъ Т я у а го го а

М (5)

„ (я, у) и (я,

а гп

Ъ Т

= \\f (я, у) и ( я, у ) й р(я)й р( у).

'о

Применяя формулу Дирихле из (5), имеем

ЪТ у

[■'»

а гп а

Ш[ А( я, у, г ) + В(я, г, у)]и ( я, г ) и ( я, у ) йщ( г ) йр (я ) йр (у ) +

го а Ъ Т я

+Ш[М (я, у,т) + N (г, у, я)]м (г, у )и (я, у )йр (г)йр (я)йр (у ) +

а го го ЪТ я у

+Ц||с (я, у, г, 7)и (г, 7)и (я,у)й^(Я)й¥(т)йр(я)йр(у) =

а 'о 'О а Ъ Т

=Я ? (^ у)и (^ у) йр (я) йр (у).

„ I я, у) и (я

а 'о

Учитывая обозначения (3), получим

Т Ъ у

я, у, 7 )и ( я, 7 )и ( я, у ) йр ( 7 )йр ( у )йр (я ) +

'о а а ЪТ я

+

а гп г

Т Ъ у

!!!Р(я, у, 7)и (я, 7)и (я, у )йр (7)йр(у )йр (я)-

аа ЪТ я

-Щ О (я, у, г)и (г, у ) и (я, у ) йр (г) йр (я ) йр (у )

(6)

'о 'О

(7)

Ь Т ь у

ЯЯС ( у,г'2 )" Г 2 ) и ( У ) 2 ) ^^(г) ь ) М у ) =

а ¡0 ¡0 а Ь Т

= f (ь У)и (ь У) Мь) М У )•

а ¡0

Преобразуем каждый из интегралов левой части уравнения (7). Дважды интегрируя по частям и применяя формулу Дирихле, для первого интеграла получим

Т Ь у

ЩР ( ь, у, г ) и ( ь, г ) и (ь, у ) ёщ( 2 ) у ) М ь )

ь ) =

Т Ь у

с)

-ЩР(ь,у,2) —I |и(ь,у)ёу и(ь,у)ёр(у)) =

&

1т ( ь V \Т Ь ( У V

-1р(^ь,а)| |и(ь,у)йу ь)--лр;(у)(^y,а) |и(ь,у)йу йу(у))+

1т Ь (Ь У

+-IIЬ2)| Iи(ь,у)ёу

¡0 а Т Ь у

-у т Ь у (у

--111 РМ*мУ)(^У,2) Iи(ь,у)ёу 2^у)Мь),

?0 а а \ 2 у

(8)

где Р ц 2) (¡, х, ь ), Р^ х , х, ь ) частные производные по ? и ь соответственно. Дважды

М

интегрируя по частям и применяя формулы Дирихле для второго интеграла, имеем

Ь Т ь

111Q(ь, у, г)и (г, у) и (ь, у )ёц(г)Мь)йф(у) =

а /л ¡1

0 '0

ЬТ ь

а /л ¡1

=-Ш Q (^ у,г)^11и (^ у) ^ ёги (^ у)Мь)Му)=

0 '0

у

Л2

1 Ь Т = -1Q(Т,у,¡0) Iи(£у)^ Му)-

а V ¡0 у

\ЬТ (° У2

--IIQФ)(s,У,¡0) Iи(£у))ём(у)

а ¡0 V ¡0 у

+

Ь Т

+-

-IIQГ(T,у,г)| Iи(£у)ё¥{г)ёр(у)-

а10 Ь Т ь

--III^(ьУ,г)| Iи(^у)^ М2))ём(у)•

Для преобразования третьего интеграла, используем соотношение

Гп а а

и а а

0

2

2

а и ¡.

Су"1и1 ^ = (Су) , , - (С\ у) - (С' у) + С' (у.

щ(т)ф(7) V / у(т)ф(г) \ ¥(т) /ф(г) \ ф(7) /^(т) ¥(т)<р{7) Тогда, интегрируя по частям, имеем

ЪТ я у

ЦЦС (я, у, г, 7) и (г, 7) и (я, у)йр(г) йщ (г) йщ (я) йр(у) =

а а

Ъ Т я у я у

= ЦЦ С (я, у, г, 7)-— !! м (#,у) йуй£ йр(г) йщ(т) и (я, у) йр( у) йщ(*) =

дтдг г

\т г

ЪТ I я у

= = С (я, у, 'о, а) \ и (£,у) йуй£

а и

. и а

и

(я, у) йр( у) йщ( я)+

ЪТ Т я у

+ШС"(я,у,г,а) !!и(£,у)йуй£ и(я,у)йщ(я)йщ(т)йр(у)

+

а /п т

V т а

Ъ Т Ъ я у

+Ш С"( я, у, 'о, 7 ) !! и (£,у) сйусй£ и (я, у) йр(у ) ) йр(г )

+

а го г Ъ Т Т Ъ

V 'о

и г

ЪТ Т Ъ I я у \

+ЯЯ СТг (я, у, г, г) !! и (£,у) йуй£ и (я, у) йр(у) йр(т) йр(г ).

\ т г

Далее, имея в виду, что

1 " 1 " 1 " 1

Сууру) = 2 (Су2 ) *)р(у) - 2 (С(^ ) р(у) - 2(Сру ) ^я) + 1 С и применением формулу Дирихле, получим

Л , ^+1 С' у2 - Су' у'

Ъ Т

V,

-Ц С (Т, Ъ, 'о, а) ! и (£,у) й£ ! и (б,у) йу йщ(я) йр(у) +

1

V 'о 'т ъ

Л2

+ 1Ст (Т,Ъ, т,а)| Ци(£,у)й£йу

+ Т б ( Б Ъ

^ЦС; (б,Ъ,т,а)Я{и(£,у)йуй£

го го V г а

1 Ъ Т IТ у

- !! Сту (Т, у,т, 'о) \ и (£,у) йуй£

йф(т) -

л2

й^т^йщ^) —

л2

V г а

йщ(т)йр(у) +

1 Ъ Т б I б у \2

1Ш СБу ( у, г, а) Я и (£,у) йщ(т) йщ( * )

2

V г а

У

Ъ Т б

!ЯС (у,т,а)\ \и(£,у)й£ I !и(*,у)йу й^^^^))

+

V а

а и и а

а и т г

о

а г

а I,

а г

а [г, I,

1 (Ту У2

+ -С2 (Т,Ь,¡0,2) Ци(¿,у)ёуё{

\(0 2 У

1 ь т ст ь л2

+ -IIС(Т,Ь,г,2)| IIи¿у)ёуё£

ё;( 2 ) -

а ¡0

1 Ь Т у (Ту

- IIIС (Т, у, г, 2 )[Л и (¿у)

ёц(г)ё;( 2)-

2

а ¡0 а ЬТ ь

V г 2 5 Ь

ё;( 2 )ёц(г)ё;( у) ■

2

1 ь Т ь у ( ь у У2

++ЯЯ(ь,у, г, г) Ци¿,у)ёуё#

, ЬТ ь С ь Ь Л2

1IIIС ( ь, Ь,г, 2 )(Ц и ¿у) ёуё£

ёц(г)ё;(ь)ё;( 2 ) +

а ¡0 ¡0 а

Ь Т ь у

\г 2

ё;( 2 )ёц(г)ё;(ь)ё;(у) -

(10)

-III!С"т2 (ь,у,г,2)| Iи(¿,у)I Iи(ь,у)ёу ё;(2)ёц(г)ёц(ь)ё;(у)

Выражения (8), (9) и (10) подставляя в (7), получим 1 ( ь Т У2 лТ Г ( Ь

-(Т,Ь,¡0,а) Ци(¿у)ё^ёу + -1]Р(ь,Ь,а)\ Ц(ь,у)ёу

V аГ0

Ь ь

2

ТЬ

2

-СЦ) ( ^ Ь, ^ а ) IIи (у,¿) + СЦ) (^ Ь, ^ а )| IIи (¿,у)

V af0

ёц(ь) +

1 Ь

+11 ]

2 ■»

Q(T, У, ¡0)

Т \ I У Т

Iи(¿,У)- СМ(у) (Т,у,¡0,а) IIи(у, ¿)ёуё£

Л2

V ¡0

V а ¡0

+

+с;(у)(Т,Ь,¡0,у) Ци(¿,у)ёуё^

У

ё;( у)

+

+

1ЯЯ]1 ь, У, г, 2, I и (ь, V) ёу, I и (¿, у) ё%, I и (¿, у) ё%, I и (ь, V) ёу

ЬТ ь у Г (

+

Л2

л2

(ь -¡0)(У - а) /

+Сц(,);(у) ( ^ У, ^ а ) IIи (¿у) ёуё%

Р;{У)(ь,Ь,у) Iи(ь,у)ёу + Qц(s)(Т,у,ь)Ци(¿,у)ё£

ь У

V У У

Л2

+

V г0

Ь а

Гт.

- С"

(Т, у, ь, ¡0) Л и (¿,у) ёуё£

у ^ а

а ¡0 ¡0

а и и а

2

2

а ¡0 ¡0 а I V

1

-С"(уШ (* Ъ, го, у)!!и у)йуй£

V 'о у

Т Ъ

+ С"

у)

(Т,Ъ,б,у) !!и(£,у)йуй£

у - а

у

^ б у

V * у

+

\

С;'(т)^(*)р(у)(* y, т, а)!!и у

\т а У

5 Ъ

_

щ(т)р( у М *)

(б,Ъ,т,у) ||и(£,у)йуй£

V" у

+

+-

* - г

С

р(7 М *)р( у)

' * у

(б,у,'о,г) !!и(£,у)йуй£

С'п

*)р(г)р(у)

I Т у

(Т,у,б,г)\ !!и(£,у)йуй£

+

+С )

щ(")р( г * )р( у)

( * у

(*,у,т,г) Ци(£,у)

V" г * Ъ

У Л2

йр( г ) йщ(т) б ) йр( у )-

^Т б Г Б Ъ у

1Я*)(*Ъ,т,а)|Яи(£,у)*)-

'о 'о V т а у

/ \2

^Ь у IТ у \

" 1 !! CP(г)р(y)(T, У, г0, 7 ) Яи (£,у) йуй£ йр( 7 ) йр( у ) =

а а у г у

а а Ъ Т

(11)

=Я/ (* у)и (* у) й^(5) йр( у).

а го

Пусть /(г, х) = о, (г, х)е О. Тогда учитывая условия 1), 2), 3) и 4), из (11) имеем

5 у

!и(£,у)й£ = о, У(б,у) еО или !и(V)йу = о, У(у) еО.

а

Отсюда и (г, х) = о, при всех (г, х) е О. Теорема доказана.

Литература

1. Иванов, В.К. О некорректно поставленных задачах. Дифференциальные уравнения[Текст] / Иванов В.К.//-1968.- №2.-С.61.

2. Лаврентьев, М.М. Об интегральных уравнениях первого рода[Teкст] / Лаврентьев М.М. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.

3. Тихонов, А.Н. О методах решения некорректно поставленных задач[Текст] / Тихонов А.Н. // В кн.: Тезисы докладов, Международный конгресс математиков. - М., 1966.

4. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа[Текст] / Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. // М.: Наука, 1980.

5. Иманалиев, М.И. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода[Текст] / Иманалиев М.И., Асанов А. // ДАН СССР.-1989.-Т.309., №5.,-С. 1052-1055.

2

2

2

1

2

2

1

2

6. Иманалиев, М.И. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтера первого рода[Текст] / Иманалиев М.И., Асанов А. // ДАН 2007. Т. 415. № 1. с. 1417.

7. Imanaliev, M.I. A Class of Linier Intergral Eguations of the First Kind with Two Independent Variables[Text] / Imanaliev M.I., AsanovA., Kadenova Z.A. // ISSN 1064-5624, Doklady Mathematics, 2014, Vol.89, № 1, pp.98-102.

8. Asanov, A. Regularization and Stability of Systems of Linear Integral Fredholm Equations of the First Kind[Text] / Asanov A., Kadenova Z. A. // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 38, Samara State Technical University, Samara, 2005, Pp.11-14. (In Russ.), http://mi.mathnet.ru/eng/vsgtu/v38/p11, DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu363

9. Asanov, A. M. Uniqueness and stability of solutions of linear intergral equations of the first kind with two variables[Text] / Asanov A. M., H. Chelik, Kadenova Z. A. // International Journal of Mathematical Analysis. - 2013. - Vol. 7. - No 17-20. - P. 907-914. - DOI 10.12988/ijma.2013.13088. - EDN XKWECX.

10. Kadenova, Z. A. On the uniqueness of solutions of Fredholm linear integral equations of the first kind on the semi-axis [Text] / A. Asanov, Z. A. Kadenova, D. Bekeshova // Herald of Institute Mathematics of the National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic. - 2022. - No 1. - P. 82-87. - DOI 10.52448/16948173_2022_1_82. - EDN FXALAA.

11. Asanov, A. The denivative of a function by means of a increasing function. [Text] / Asanov A.// Fen Bilimleri Dergisi, Kyrgyz-Turkish Manas University, 1. 18-64 (2001).