О РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ТРЕТЬЕГО РОДА С ВЫРОЖДЕННЫМИ МАТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ НА ПОЛУОСИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.968

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 37

О РЕШЕНИЯХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ТРЕТЬЕГО РОДА С ВЫРОЖДЕННЫМИ МАТРИЧНЫМИ

ЯДРАМИ НА ПОЛУОСИ

Асанов Авыт, д.ф.-м.н., профессор, avyt.asanov@manas. edu. kg Кыргызско-Турецкий Университет Манас, Бишкек, Кыргызстан Асанов Рухидин Авытович, к.ф.-м.н., и.о. доцент, ruhidin_asanov@yahoo. тм Международный Университет Центральной Азии,

Токмок, Кыргызстан Асанова Каныкей Авытовна, к.ф.-м.н., стар.науч. сотр.,

kanya. [email protected] Институт математики НАН КР, Бишкек, Кыргызстан

Аннотация. Исследована система линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с вырожденными матричными ядрами но полуоси. Рассматриваемая система линейных интегральных уравнений третьего рода относиться к классу некорректных задач.На основе сравнительно нового подхода показано, что решения для одного класса систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с вырожденными матричными ядрами но полуоси эквивалентно решению систем линейных алгебраических уравнений. Далее, изучены вопросы существования и единственности решения для этой системы линейных интегральных уравнений третьего рода.

Ключевые слова: решения, систем линейных интегральных уравнений, на полуоси, алгебраических, Фредгольма, третьего рода, эквивалентно.

ЖАРЫМ ОКТОГУ МАТРИЦАЛЫК ЯДРОЛОРУ АЖЫРАГАН YЧYНЧY ТYРДeГY ФРЕДГОЛЬМДУН СЫЗЫКТУУ ИНТЕГРАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕРДИН

СИСТЕМАСЫНЫН ЧЫГАРЫЛЫШТАРЫ

же^вде

Асанов Авыт, д.ф.-м.н., профессор, avyt.asanov@manas. edu. kg Кыргызско-Турецкий Университет Манас, Бишкек, Кыргызстан Асанов Рухидин Авытович, к.ф.-м.н., ага окутуучу,

ruhidin_asanov@yahoo. Международный Университет Центральной Азии,

Токмок, Кыргызстан Асанова Каныкей Авытовна, к.ф.-м.н., ага.илим.кызм.,

kanya. [email protected] Институт математики НАН КР, Бишкек, Кыргызстан

Аннотация. Жарым октогу матрицалык ядролору ажыраган Фредгольмдун YЧYнчY тYрдвгY сызыктуу интегралдык тецдемелер системасы изилденген. YЧYHЧY тYрдвгY сызыктуу интегралдык тецдемелер системасы корректYY эмес маселелердин классына кирет. Салыштырмалуу жацы ыкманын негизинде, жарым октогу Фредгольмдун YЧYHЧY тYрдвгY матрицалык ядролору ажыраган сызыктуу интегралдык тецдемелер системасынын бир классын чыгаруу маселеси, сызыктуу алгебралык тецдемелер системасын чыгаруу маселесине эквиваленттYY экени кврсвтYлгвн. Андан ары, YЧYHЧY тYрдвгY сызыктуу интегралдык тецдемелердин бул системасы YЧYH чыгарылыштарынын бар экендиги жана жалгыздыгы изилденди.

Ачкыч свздвр: чыгарылышы, сызыктуу интегралдык тецдемелер системасы, жарым ок, алгебралык, Фредгольм, YЧYHЧY тYрдвгY, эквиваленттYY.

ON SOLUTIONS OF SYSTEMS OF LINEAR INTEGRAL FREDHOLM EQUATIONS OF THE THIRD KIND WITH DEGENERATE MATRIX

KERNELS ON THE SEMIAXIS

Asanov Avyt, Dr Sc, professor, avyt.asanov@manas. edu. kg Kyrgyz-Turkish Manas University, Bishkek, Kyrgyzstan

Asanov Ruhidin Avytovich, Dr Sc, acting associate professor,

ruhidin_asanov@yahoo. com International University of Central Asia, Tokmok, Kyrgyzstan Asanova Kanykei Avytovna, Dr Sc, senior researcher, kanya. [email protected] Institute of Mathematics of the NAS of the Kyrgyz Republic,

Bishkek, Kyrgyzstan

Abstract. A system of Fredholm linear integral equations of the third kind with degenerate matrix kernels on semi-axes is investigated. The considered system of linear integral equations of the third kind belongs to the class of ill-posed problems. Based on a relatively new approach, it is shown that solutions for one class ofsystems of Fredholm linear integral equations of the third kind with degenerate matrix kernels on semi-axes are equivalent to solving systems of linear algebraic equations. Further, the questions of the existence and uniqueness of the solution for this system of linear integral equations of the third kind are studied.

Key words: solutions, systems of linear integral equations, on the semi-axis, algebraic, Fredholm, of the third kind, are equivalent.

1. Введение

Различные вопросы для интегральных уравнений исследовались в [1-15]. В частности, в [3] для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М.Лаврентьеву. В работах [5 — 6] для систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода и для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода доказаны теоремы единственности и построены регуляризирующие операторы по М.М.Лаврентьеву. В [7] на основе нового подхода исследованы вопросы сушествования и единственности решения систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода c особенностью в одной точке на конечном промежутке. В работе [8] исследованы вопросы существования и единственности решения для неклассических линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. В [9] изучены вопросы регуляризации и единственности решения систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. В [10] на основе подхода, предложенного в [8], изучен класс интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на конечном промежутке. В работах [13] и [14] на основе подходов предложенных в [7] и [10] разработан улучшенный новый подход исследования систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями на конечном промежутке. В [15] изучены вопросы существования и единственности решения систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностьями на оси.

В данной работе доказаны теоремы единственности и существования решения для систем интегральных уравнений (1).

Обозначим через Сп[я, го) пространство всех п - мерных вектор-функций с элементи из С [а, го), где С [а, го) — пространство всех непрерывных функций на [а, го). Для векторов и = (ux, ...,un)T, v = (v^,..., vn)Te определим скалярное произведение по формуле

< u, v >= u^! + —+ .

Через Ьр[а,ю) обозначим пространство всех функций с интегрируемой p-й степенью на [а, ю), р> 1.

Обозначим через Ьр,п[я,ю) пространство всех п - мерных вектор-функций с элементами из Ьр [а, ю).

2. Системы линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на полуоси

Рассмотрим следующие системы интегральных уравнений

р(х)и(х)=ЛХТ=1^(х)СВАУ)и(У)аУ + Кх), хе[а,ю), (1)

где р(х) — известная непрерывная функция на [а, ю), А](х) = ( Щ5,](х)) и В](х) = ( ^¡¡¿(х)) - пХп— мерные известные непрерывные матричные функции на [а, ю) (] = 1,...,т), /(х) = (П(х)) — п — мерная известная непрерывная вектор-функция на [а,ю~), и(х) = (щ(х)) — п — мерная неизвестная непрерывная вектор-функция на [а,ю), А — действительный параметр, р(х¡) = 0,Х1 е[а,ю), I = 1,2, ...,к.

Всюду будем предполагать, что

р(х) = Пе=1Р1(х), Р1(хг) = 0, Р1(х) е С(И), (2)

рг(х) Ф 0 при х е И и х Ф хи 1 = 1,...,к.

Предположим выполнения следующих условий:

а) Для всех I = 1, ...,к, и] = 1, ...,т А^](х) = ( а^у) — являются непрерывными

матричными функциями на Я, &15,к/(х) Е Ьр[а, ю),

11

р > 1,Ь15(х) Е Ьч[а, ю), - + -= 1,( ¿,5 = 1, ...,п,] = 1, ...,т) где

А0,)(х) = А](х),А11](х) = —— [А1-11](х) — А1-11](х1)],хе[а, ю);

1

Р1(Х)

б) Для всех 1 = 1,...,к ^(х) = (/ц(х)) — функции являются непрерывными функциями на [а, ю), ^к(х) Е Ьр[а, ю), (I = 1, ...,п) где

1

/о(х) = /(х), /1(х) = [/1-1(х) — Г1-1(х1)], х е [а, ю).

Теорема. Пусть выполняются условия (2), а) и б). Тогда 1) если система линейных алгебраических уравнений Х^1=1А,(х1)с,+Г(х1) = 0, Л1?=1Аи(Х2)С; + Ь(Х2) = 0,

¿ЪТ^Ак-иЫъ + Гк-1(хк) = 0,

(3)

Я = I В1(у)[А?™=1АК](у)с]+Гк(у)-\йуЛ = 1.....т,

относительно неизвестных векторов с1,с2 —,ст имеет единственное решения, то система интегральных уравнений (1) в пространстве Сп[а,ю)п Ьрп[а,ю),р > 1 имеет единственное решение представимое в виде

и(х) = X Т]г=1Ак1](х)с]- + /к(х), х е [а, ю); (4)

2) если система линейных алгебраических уравнений (3) несовместимы, то интегральное уравнение (1) в пространстве Ьрп[а, ю),р > 1 не имеет решения;

3) если система линейных алгебраических уравнений (3) имеет бесконечное число решений зависящий от q параметров, то интегральное уравнение (1) в пространстве Сп[а,ю) П Ьрп[а,ю),р > 1 имеет бесконечное число решений зависящих от q

параметров. В этом случае, общее решения системы (1) определяется по формуле

(4).

Доказательство. Сначала, пусть е Сп[а, го)п ¿р п[а, го) является решениям систем интегральных уравнений (1). Тогда, полагая х = х1 из (1) имеем

АЕ^ЛуМ /а Яу(у) и(у)^у + /(хх) = 0, (5)

Вычитая (5) из (1) получим

к т т

ПргМ "(х) =Я^[Лу(х)-Лу(х1)] | 5у(у)и(у)^у + /(х)-/(х1). г=1 У=1 а

Отсюда учитывая условия а) и

П=2Рг(х) "(х) = ЯЕу=1^и(х)/аС°5у(у)и(у)^у+ /1(х), х е [а,го). (6)

Если к = 1, то

к

Прг(х) = 1, х е [а, го).

г=2

В случае, когда к > 2 полагая х = х2 из (6) имеем

ЯЕУ=1^и(х2) /а 5у(у) и(у)^у + /1(Х2) = 0. (7)

Вычитая (7) из (6) и учитывая условию а) и б) получим

П=зРг(х) М(*) = ЯЕу=1^2,у(х)/аС°5у(у)и(у)^у + +/2(х), х е [а,го). (8) Если к = 2, то

к

Прг(х) = 1, х е[а,го).

г=э

В случае, когда к > 3, продолжая этот процесс убедимся, что решение систем уравнений (1) и(х) удовлетворяют условию (3) и определяется по формуле (4).

Наоборот, пусть и(х) е Сп[а, го) п ¿рп[а, го) определяется по формуле (4) и удовлетворяют условию (3). Умножая (4) на р&(х) и в силу (3) получим

р^хМх) = ЯЕУ=1Л^-1,у(х)су + //£-1(х), х е[а,го). (9)

Далее умножая (9) на р^-1(х) и учитывая условию (3) получим

Р^-1(*) РлОХХ) = +//с-2(*), * е[а,го). (10)

Продолжая этот процесс по отношению к системе (10) и учитывая условие (3) убедимся, что является решением систем интегральных уравнений (1). Теорема

доказана.

Пример. Рассмотрим системы интегральных уравнений (1) при п=2, m=1, k=2, а = 0, х1 = 0, х2 = 3, р1(х) = х, р2(х) = х — 3, р> 1,

/х 1 \ /е-у 0\

*М = (0 3 -х), В1^) = (с /ах(х — 3)е х + рх +

/(Х) = ( + Ш ),

где Я, а, — действительные параметры, Я ^ 0. Тогда

/1 0 \ /0 0\ *иМ = (0 — 1), = (° 0),

ЛСО = +в), /2(Х) = (««"'), X Е[0,го).

Далее из (4) имеем

м1(х) = ^2(х) = 0, х е[0, го). (11)

В этом случае система (3) записываются в следующим виде:

© = СоП

Отсюда, получим:

1) Пусть Я Ф 0, в = —0,5 оА, [I = 0, ^ = 0 , = 0. Тогда система интегральных уравнений (1) имеет единственное решение в пространстве С2[0, ro)n Lp2[0, го), p> 1, определяемое в виде (11).

2) Пусть Я Ф 0 и нарушается хотя бы один из следующих равенств:

в = —0,5аЯ, [I = 0, ^i = 0 , = 0. Тогда система интегральных уравнений (1) не имеет решение в пространстве

С2[0,го) n ¿р,2[0,го), p>1.

Литература

1. Цалюк, З.Б. В кн.: Итоги науки и техники [TeKCT] / З.Б. Цалюк //. Сер. Матем. анализ, М., 1977, т.15, с.131-198.

2. Лаврентьев, М.М. Об интегральных уравнениях первого рода [TeKCT] / М.М. Лаврентьев // ДАН, 1959, т.127, №1, с.31-33.

3. Лаврентьев, М.М., Некорректные задачи математической физики и анализа [TeKCT] / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский// М.: Наука, 1980. 286 с.

4. Иманалиев, М.И. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода [Teкст] / М.И. Иманалиев, А. Асанов // ДАН, 1989, т.309, № 5, с.1052-1055.

5. Иманалиев, М.И. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода[Teкст] / М.И. Иманалиев, А. Асанов // ДАН, 2007, т.415, №1, с.14-17.

6. Иманалиев, М.И. О решениях систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода [Teкст] / М.И. Иманалиев, А. Асанов // ДАН, 2010, т.430, №6, с.1-4.

7. Иманалиев, М.И. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода [Teкст] / М.И. Иманалиев, А. Асанов, Р.А. Асанов // // ДАН, 2011, т.437, № 5, с.592-596.

8. Apartsyn, A.S. Nonclassical linear Volterra Equations of the First Kind [Text] / A.S. Apartsyn // VSP, Utrecht, The Netherlands, 2003, 168 pages.

9. Asanov, A. Regularization, Uniqueness and Existence of Solutions of Volterra Equations of the First Kind [Text] / A.Asanov // VSP, Utrecht, The Netherlands,1998, 276 pages.

10. Asanov, А. A class of linear and nonlinear Fredholm integral equations of the third kind [Text] / A.Asanov, K. Matanova, R. Asanov. // Kuwait Journal of Science, 2017,Vol.44, No 1, pp.17-28.

11. Bukhgeim, A.L. Volterra Equations and Inverse Problems [Text] / A.L. Bukhgeim // VSP, Utrecht, The Netherlands, 1999, 204 pages.

12. Denisov, A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems [Text] / A.M. Denisov // VSP, Utrecht, The Netherlands, 1999, 272 pages.

13. Imanaliev, M.I. " Solutions to Systems of Linear Fredholm Integral Equations of the Third kind with Multipoint Singularities" [Text] / M.I. Imanaliev A.Asanov, R.A. Asanov //Doklady Mathematics, 2017, Vol. 95, No 3, pp. 235-239.

14. Imanaliev, M.I. "On a class of Systems of Linear and Nonlinear Fredholm Integral Equations of the Third kind with Multipoint Singularities" [Text] / M.I. Imanaliev A.Asanov, R.A. Asanov // Differential Equations, 2018, Vol.54, No.3, pp. 381-391.

15. Asanov, A. One Class of Systems of Linear Fredholm Integral Equations of the Third Kind on the Real Line with Multipoint Singularities [Text] / A.Asanov, R.A. Asanov //Differential Equations, 2020, Vol. 56, pp. 1363-1370.