О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ ТРЕТЬЕГО РОДА НА СЕГМЕНТЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ/PHYSICAL & MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.968

MSC 2020: 45B05, 45A05, 45G10

https://doi .org/10.33619/2414-2948/82/01

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕИНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРЫ ТРЕТЬЕГО РОДА НА СЕГМЕНТЕ

©Беделова Н. С., ORCID: 0000-0002-4248-4563, канд. физ.-мат. наук, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызстан, [email protected]

©Асанов А., ORCID: 0000-0002-0608-0860, д-р физ.-мат. наук, Киргизско-Турецкий университет «Манас», г. Бишкек, Кыргызстан, [email protected]

ON THE UNIQUENESS OF A SOLUTION FOR LINEAR INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF THE THIRD KIND ON A SEGMENT

©Bedelova N., ORCID: 0000-0002-4248-4563, Ph.D., Osh State University, Osh, Kyrgyzstan, [email protected] ©AsanovA., ORCID: 0000-0002-0608-0860, Dr. habil., Kyrgyz-Turkish Manas University, Bishkek, Kyrgyzstan, [email protected]

Аннотация. Исследован вопрос о единственности решения для нового класса линейных интегральных уравнений Вольтерры третьего рода на сегменте. На основе метода интегральных преобразований и метода неотрицательных квадратичных форм доказаны теоремы единственности решения для данного класса интегральных уравнений третьего рода.

Abstract. The issue of the uniqueness of the solution for a new class of linear integral Volterra equations of the third kind on a segment is studied. On the basis of the method of integral transformations and the method of non-negative quadratic forms, uniqueness theorems for solutions are proved for a given class of integral equations of the third kind.

Ключевые слова: единственность решения, линейные интегральные уравнения Вольтерры, уравнения третьего рода.

Keywords: uniqueness, linear integral Volterra equations, equations of the third kind.

Теоретическая часть и приложения интегральных уравнений изучались и исследовались во многих различных работах. В частности, в работе [1] рассмотрен обзор результатов исследований интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В работе [2] изучаются интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего родов с гладкими ядрами, где приводится доказательство существование многопараметрическое семейство решений. В работе [3] исследованы линейные интегральные уравнения Фредгольма первого рода, для которых построены регуляризирующие операторы по Лаврентьеву. В работе [4] приводится теория и используются численные методы решения неклассических интегральных уравнений Вольтерра первого рода с дифференцируемыми и отличными от нуля ядрами на диагонали. В работах [4-7] приведены применения неклассических интегральных уравнений Вольтерра первого рода в разных прикладных задачах. В работе [8] используется метод регуляризации М. М. Лаврентьева для интегральных уравнений Вольтерра первого рода с гладкими и

отличными от нуля ядрами на диагонали дифференцируемыми решениями, для которых построено приближенное решение. В работах [9, 10] получены достаточные условия единственности решений и исследованы вопросы регуляризации решений систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего родов. В работе [11] доказывается теорема единственности решений и находится регуляризирующий оператор для решения системы линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. В работах [12, 13] использован новый подход для исследования вопросов существования и единственности решений скалярных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями и их систем. В работе [14] приведены результаты по интегральным уравнениям Волтерра первого рода. В работе [15] доказывается теорема единственности решений для одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода.

В данной работе используя метод интегральных преобразований, метод неотрицательных квадратичных форм и обобщением метода изложенных в работе [15] установлены достаточные условия единственности решения для одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода на сегменте. Методология: линейные интегральные уравнения Вольтерра третьего рода на сегменте

Будем рассматривать уравнение

г

m(t)u(t) + J K(t,s)u(s)ds = f(t),t e [a,b],

(1)

где т(С),^(С),К(С,5) и [ф — известные функции, т(£) Е С[а,Ь],0 < т(Ь) при всех t Е [а, Ъ] и т(€) равна нулю хотя бы в одной точке сегмента [а, Ь], и(£) — неизвестная функция. Предположим, что

п

K(t,s) = ^Pi(t)Hi(t,s)Pi(s), i=l

(2)

где Ри Н^б) — известные непрерывные функции соответственно на [а,Ь] и в = {(г;,5):а < 5 < г < Ь]Л = 1,2, ...,п.

Предположим выполнение следующих условий:

a) P[(t) e C[a,b],Pi(t) Ф 0 при почти всех t e [a,b],

dHi(t,s) d2Hi(t,s)

непрерывные

dt ' dtds

функции в области G=[(t,s):a< s <t < b}, (Hi(t, oi)) , (Hi(b, — непрерывные функции в [a, b],i = l,2,...,n;

dHi(t,s)

б) m(t) > 0,Hi(t,a) > 0,(Hi(t,a))' < 0,Vt e [a,b], 2Ш£1>о,

d2Hi(t,s) dtds

< 0,V(t,s) e G,i = l, 2, ...,n;

в) выполняется хотя бы один из следующих условий:

1) т(£) > 0 при почти всех t Е [а, Ь];

2) существует Е {1,2, ...,п} такое, что Н^^, а) > 0 при почти всех te[a, Ь];

3) существует I0 Е {1,2, ...,п] такое, что (Н^^а))' < 0 при почти всех t Е [а,Ь].

г) выполняется хотя бы один из следующих условий:

1) существует I0 Е {1, 2,..., п] такое, что (Н£ (Ь, 1:))' > 0 при почти всехt Е [а, Ь];

д2

2) существует ¿0 Е {1,2,... ,п] такое, чт^^ Н^ ({, 5) < 0 при почти всех (^ з)еС.

а

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №9. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/82

Если учесть (2), то уравнение (1) принимает вид

и

m(t)u(t) + Pi(t)Hi(t,s)Pi(s)u(s)ds = f(t),t E [a,b].

i = 1 a

(3)

Умножив на u(t) уравнение (3) и проинтегрировав по области [a, t], t E [a, b] будем

иметь

j m(s)u2(s)ds + ^ j j Pi(s)Hi(s,T)Pi(T)u(x)u(s)dTds = j f(s)u(s)ds.

a i=1 a a

Отсюда, используя формулу Дирихле, имеем

j m(s)u2(s)ds + ^ j j Hi(s,x)Pi(s)u(s)ds

a i=1 a \_т

= j f(s)u(s)ds.

(4)

Pi(j)u(j)dT =

Введем обозначения

Zi(t,s) = j Pi

Pi(T)u(r)dT,i = 1,2, ...,n.

Тогда

Pi(s)u(s)ds = -dsZi(t,s),i = 1,2, ...,n, Pi(t)u(t)dt = dtZi(t,s),i = 1,2, ...,n, 1

Zi(t,s)Pi(t)u(t)dt = -dtZ2(t,s),i = 1,2, ...,n,

1

Zi(t,s)Pi(s)u(s)dy(s) = - — dsZf(t,s),i = 1,2, ...,n.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

u( )

Применяя (5), (6), (7), (8), (9), метод интегрирования по частям и формулу Дирихле, для двойного интеграла из (4) имеем

п £ £ п £ £

^Ц Н^,т)Р^)и($)—$Ъ(т)и(т)—т = £ I I Hi(s,т)dsZi(s,т)

а х а \_х

п Г I

* Р{(т)и(т)—т = £1 Н^,т^,т)\ 1=т - I — Н1(з,т№(з,т№

1=1 а [ х

п п

* Pi(т)dт = £I Н1(1,т^1(1,т)Р1(т)и(т№ 1 — Нi(s,т)Zi(s,т)Pi(т)u(т)dтds =

1=1 а а а

п п

= I 11 — =

=1 а =1 а а

п

= Н&, а№(Ь а) + I — Н(г, г)1?(г,т)—т - I —Щ(я, а^?(б, а)ds -

2^ ^ от ) —э

и

a

и

a

a

a

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice https://www.bulletennauki.ru

Т. 8. №9. 2022 https://doi.org/10.33619/2414-2948/82

t s

l Г Г д2 _

-2J j-^;^Hi(s,T)Zi(s,T)dTds

Отсюда в силу (5) имеем п t t

^ JJ Hi(s,T)Pi(s)u(s)dsPi(T)u(x)dT =

i=l а т

t I2 t t

i^\Hi(t,a) J Pi(s)u(s)ds + J — Hi(t,T) J Pi(s)u(s)ds

(10)

dr

L г i

-f(Hl(s,a)y JPl(s)u(s)ds

ds

t s

-JJ

dsdx

Hi(s,r)

2

J Pi(s)u(s)ds dxds

j У

Учитывая (10), из (4) имеем

t 1 \ Г д J m(s)u2(s)ds + l^l Н(,а) J Pi(s)u(s)ds + J — Н{(г,т)

n i=1 I n n

(11)

-JJ

J Pi(s)u(s)ds d2

т

t s

I J

dr-J(Hl(s,a)y JPl(s)uWs

La

2

ds —

dsdx

Ht(s,T)

J*

(s)u(s)ds

drds = = J f(s)u(s)ds.

a

Таким образом, если 1) = 0 при всех t Е [а,Ь], то в силу условия а), б) и в) из (11) получим:

J*

(s )u(s)ds = 0

или

JPi(Oum^0,t,se[a,b],s<t.

Отсюда и(Ь) = 0 при всех t е[ а, Ъ]. Доказана следующая теорема 1.

Теорема 1. Если условия а), бив) выполнены, то уравнение (1) в пространстве С [а, Ь] имеет не более одного решения. Подставляя t = Ъ из (11), имеем

J m(s)u2(s)d<p(s) +1^\н1(Ь,а) J Pi(s)u(s)ds + J (Щ(Ъ,т))'

n i=1 I a a

(12)

a a

2

a

a

т

2

a

a

2

д

a a

2

a

2

a a

a

2

b

b

b

J Pi(s)u(s)ds dT - J(Hi(s,a))' J Pi(s)u(s)ds ds - JJ ^^Hi(s,т)

b s

I*

(s)u(s) ds

dxds

и

= Jf(s)

u(s)ds.

Из (12) вытекает справедливость следующей теоремы 2.

Теорема 2. Если условия а), б) и г) выполнены, то уравнение (1) в пространстве С [а, Ь] имеет не более одного решения.

Результаты: примеры

Приведем примеры, которые будут удовлетворять условиям выше сформулированных теорем о единственности решения линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода на конечном отрезке.

Пример1. Рассмотрим уравнение (1) при п = 2, а = 0,Ь = 1,Р1(^) = 4Д,т^) = и Н^, 5)=^,Р2(0=^, в) =

В этом случае все условия теоремы 1 выполняются. Так как

д

д 1 Hi(t,0) = 0,(Hi(t,0)) = 0, — Hi(t,s)=—,

dtds

H^t, s) = -(1 + t)-2, (t, s) e G,

д2

д 2 H2(t,0) = 0,(H2(t,0))' = 0,^H2(t,s)=——,—

ds 3 + t dtds

= -2(3 + t)-2, (t,s) e G.

H2(t,s) =

Пример 2. Рассмотрим уравнение (1) при п = 2, а = 0,b = 1, P1(t) = sin ijt, m(t) = sin t ,H1(t,s) =se-t,P2(t) = ln(1 + ) ,H2(t,s) = 3se-6t.

В этом случае все условия теоремы 2 выполняются. Так как

ч' д

Н1^,0) = 0,(Н1(г,0)) = О^НЛЬБ) = е-,

д

д2

dtds

H1(t,s) = -e-t,(t,s) e G,

d d2 H2(t,0) = 0,(H2(t,0))' = 0, — H2(t,s) = 3e-6t, — H2(t,s) =

= -18 e-6 t,s) e G, H1(1,t)=te-1, (H1(1,t))' = e-1.

Предложенные методы можно использовать для исследования вопросов единственности решения для различных классов линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, а также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к интегральным уравнениям Вольтерра третьего рода.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук, профессору А. Асанову за постановку задачи, руководство и консультации при выполнении работы

2

2

b

b

s

*

a

-a

a a

т

2

*

>

-T

a

2

d

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №9. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/82

Список литературы:

1. Цалюк З. Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Матанализ. 1977. №15. С. 131-198.

2. Магницкий Н. А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего родов // Журнал вычислительной математики и матфизики. 1979. Т. 19. №4. С. 970-989.

3. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Доклады АН СССР. 1959. Т. 127. №1. С. 31-33.

4. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода // Теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999.

5. Апарцин А. С., Караулова И. В., Маркова Е. В., Труфанов В. В. Применения интегральных уравнений Вольтерра для моделирования стратегий технического перевооружения электроэнергетики // Электричество. 2005. №10. С. 69-75.

6. Апарцин А. С., Сидлер И. В. Исследование тестовых уравнений Вольтерра первого рода в интегральных моделях развивающихся систем // Труды института математики и механики Уро РАН. 2018. Т. 24. №2. С. 24-33. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-24-33

7. Глушков В. М., Иванов В. В., Яненко В. М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983.

8. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1975. Т. 15. №4. С. 1053-1056.

9. Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Доклады АН СССР. 1989. Т. 309. №5. С. 1052-1055.

10. Иманалиев М. И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Доклады РАН. 2007. Т. 415. №1. С. 14-17.

11. Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода // Доклады РАН. 2010. Т. 430. №6. С. 1-4.

12. Иманалиев М. И., Асанов А., Асанов Р. А. Об одном классе систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с многоточечными особенностями // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54. №3. С. 387-397.

13. Asanov A., Matanova K., Asanov R. A class of linear and nonlinear Fredholm integral equations of the third kind // Kuwait Journal of Science. 2017. V. 44. №1. P. 17-28.

14. Lamm P. K. A survey of regularization methods for first-kind Volterra equations // Surveys on solution methods for inverse problems. Springer, Vienna, 2000. P. 53-82. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-6296-5_4

15. Асанов А., Матанова К. Б., Абсамат кызы Э. Единственность решения для одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода // Журнал Средневолжского математического общества. 2022. Т. 24. №1. С. 11 -20. https://doi.org/10.15507/2079-6900.24.202201.11-20

References:

1. Tsalyuk, Z. B. (1977). Integral'nye uravneniya Vol'terra. Itogi nauki i tekhniki, Matanaliz, (15), 131-198. (in Russian).

2. Magnitskii, N. A. (1979). Lineinye integral'nye uravneniya Vol'terra pervogo i tret'ego rodov. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matfiziki, 19(4), 970-989. (in Russian).

3. Lavrent'ev, M. M. (1959). Ob integral'nykh uravneniyakh pervogo roda. Doklady AN SSSR, 127(1), 31-33. (in Russian).

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice Т. 8. №9. 2022

https://www.bulletennauki.ru https://doi.org/10.33619/2414-2948/82

4. Apartsin, A. S. (1999). Neklassicheskie uravneniya Vol'terra pervogo roda // Teoriya i chislennye metody. Novosibirsk. (in Russian).

5. Apartsin, A. S., Karaulova, I. V., Markova, E. V., & Trufanov, V. V. (2005). Primeneniya integral'nykh uravnenii Vol'terra dlya modelirovaniya strategii tekhnicheskogo perevooruzheniya elektroenergetiki. Elektrichestvo, (10), 69-75. (in Russian).

6. Apartsyn, A. S., & Sidler, I. V. (2018). Study of test Volterra equations of the first kind in integral models of developing systems. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 24(2), 24-33. (in Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-24-33

7. Glushkov, V. M., Ivanov, V. V., & Yanenko, V. M. (1983). Modelirovanie razvivayushchikhsya sistem. Moscow. (in Russian).

8. Denisov, A. M. (1975). O priblizhennom reshenii uravneniya Vol'terra I roda. Zhurnal vychislitel'noi matematiki i matematicheskoi fiziki, 15(4), 1053-1056. (in Russian).

9. Imanaliev, M. I., & Asanov, A. (1989). O resheniyakh sistem nelineinykh integral'nykh uravnenii Vol'terra pervogo roda. DokladyANSSSR, 309(5), 1052-1055. (in Russian).

10. Imanaliev, M. I., & Asanov, A. (2007). Regulyarizatsiya i edinstvennost' reshenii sistem nelineinykh integral'nykh uravnenii Vol'terra tret'ego roda. Doklady RAN, 415(1), 14-17. (in Russian).

11. Imanaliev, M. I., & Asanov, A. (2010). O resheniyakh sistem lineinykh integral'nykh uravnenii Fredgol'ma tret'ego roda. Doklady RAN, 430(6), 1-4. (in Russian).

12. Imanaliev, M. I., Asanov, A., & Asanov, R. A. (2018). Ob odnom klasse sistem lineinykh i nelineinykh integral'nykh uravnenii Fredgol'ma tret'ego roda s mnogotochechnymi osobennostyami. Differentsial'nye uravneniya, 54(3), 387-397. (in Russian).

13. Asanov, A., Matanova, K., & Asanov, R. (2017). A class of linear and nonlinear Fredholm integral equations of the third kind. Kuwait Journal of Science, 44(1), 17-28.

14. Lamm, P. K. (2000). A survey of regularization methods for first-kind Volterra equations. In Surveys on solution methods for inverse problems (pp. 53-82). Springer, Vienna. https://doi.org/10.1007/978-3-7091-6296-5_4

15. Asanov, A., Matanova, K., & Absamat, kyzy E. (2022). Uniqueness of the solution of one class of Volterra-Stieltjes linear integral equations of the third kind. Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva [Middle Volga Mathematical Society Journal], 24(1), 11-20. (in Russian). https://doi.org/10.15507/2079-6900.24.202201.11-20

Работа поступила Принята к публикации

в редакцию 06.08.2022 г. 12.08.2022 г.

Ссылка для цитирования:

Беделова Н. С., Асанов А. О единственности решения для линейных интегральных уравнений Вольтерры третьего рода на сегменте // Бюллетень науки и практики. 2022. Т. 8. №9. С. 12-18. https://doi.org/10.33619/2414-2948/82/01

Cite as (APA):

Bedelova, N., & Asanov, A. (2022). On the Uniqueness of a Solution for Linear Integral Volterra Equations of the Third Kind on a Segment. Bulletin of Science and Practice, 8(9), 12-18. (in Russian). https://doi.org/10.33619/2414-2948/82/01