О единственности решений линейных интегральных уравнений типа Вольтерры первого и третьего рода на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

70

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

Краткие сообщения

УДК 517.968.22

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ВОЛЬТЕРРЫ ПЕРВОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА НА ПОЛУОСИ

С. Искандаров1

Устанавливаются достаточные условия единственности решений в пространстве непрерывных на полуоси функций интегральных уравнений Вольтерры первого и третьего рода в случае, когда ядра этих уравнений на диагонали могут быть знакопеременными. Приводятся иллюстративные примеры.

Ключевые слова: интегральное уравнение Вольтерры первого рода, интегральное уравнение Вольтерры третьего рода, единственность решения, метод весовых и срезывающих функций.

We establish sufficient conditions for the uniqueness of solutions in the space of functions continuous on the semiaxis of Volterra integral equations of first and third kinds in the case when the kernels of these equations can be alternating on the diagonal. Illustrative examples are given.

Key words: Volterra integral equation of first kind, Volterra integral equation of third kind, uniqueness of the solution, method of weight and ratting functions.

Задача. Установить достаточные условия единственности решений для интегрального уравнения (ИУ) первого и третьего рода соответственно

f K(t,r)x(r) dr = f (t), (1)

J to

p(t)x(t)+ f K(t,T)x(r) dr = f (t), (2)

to

где (как и всюду ниже) все функции непрерывны и по умолчанию все соотношения имеют место при всех t € J = [to, те), всех r € [to,t] и всех i = 1,... ,n.

Этой задачей занимались многие (см., например, [1-3]), при этом наряду с другими условиями использовалось неравенство K(t,t) > 0 при почти всех t € [0,T] (где T конечно). Мы же изучаем случай, когда это неравенство может не выполняться, т.е. когда функция K(t, t) может быть знакопеременной.

Пусть [4; 5, с. 46-47]

K(t,T) = ЕKi(t,T), R(t,T) = )Ki(t,T)(фг(Ь)фг(т))-1, (3)

i=l

(¿>(Ь) — некоторая весовая функция, а ф^) — некоторые срезывающие функции (они срезают, в частности, знакопеременность, негладкость, рост слагаемых К^(Ь,г) ядра (3)). Лемма [6]. Справедливо равенство

nif(s)K (s, т )x(s) х(т) dTds =

0 0 П !■ t f S

Y, / <P(s)Ki(s,T )(фг (s))-l^i(s)x(s)(^i (T ))-1фг (т )х(т) dTds = t0 t0

1 Искандаров Самандар — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. теории интегродифференциальных уравнений Института математики НАН Кыргызской Республики, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №6

71

= / ^ ('в,Т ^ (в)Х(в)фг (Г )х(т) йтйв =

1 п ( {*' = О Е *<>) ~ / ¿о) Й5+

2 г=Л 0

+ [ Я'гт(г,т)х?(г,т) йт — [ I я"зт(в,т)х2(в,т) йтйвУ хг(м) =1 ^(в)х(в) йв.

¿Ьо ^Ьо ■!¿о / ''т

Теорема 1. Пусть

1) выполнены условия (3);

2) Яг(Мо),Я'гт(¿,т) ^ 0 и существуют такие функции Я*(£),Я**(£) ^ 0, что

Я4(Мо) < Е*(Ь)Ег(1,Ьо), К'ит(М) < Я**(1)Я'гт(¿,т);

3) Яг(Мо), фг(¿) = 0 для почти всех £ € 3. Тогда 'решение х € С(3, М) ИУ (1) единственно.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1, 2 теоремы 1 и '(¿о) = 0, р{Ь)^{Ь) ^ 0, причем '(¿)(р(Ь) = 0 для почти всех £ € 3. Тогда решение х € С(3, М) ИУ (2) единственно.

Доказательство теоремы 1. Пусть Х1,Х2 — два решения ИУ (1). Тогда для разности и = Х\ — Х2 имеем тождество

/ К(¿,т)и(т) йт = 0. Ло

Умножив его на ^(Ь)и(Ь), проинтегрируем в пределах от ¿о до £ (в том числе по частям), введем функции фг(¿), Яг(Ь,т) с условием (3) и, воспользовавшись леммой выше, придем к тождеству

п / гЬ л

ХДЯ(Мо)и?(£,£о) — Ягз(в,Ьо)и.2(в,го)йв+ Ягт(¿,т)и2(г,т) йт—

г=1 \ ^Ьо ¿Ьо

— / / Я!1т(в,т)Щ(в,т) йтйв) = 0, иг(¿,т) = [ фг(в)и(в) йв. (4)

¿Ьо ■)Ьо / т

Отсюда в силу условий 1, 2 теоремы 1 имеем неравенство

п / пЬ \ ¡-г п

0 < У1(г) = £ Яг (Мо )и2 (Мо)+/ Я'гт (¿,т)иг2 (м)йт ^ ]Т(я*(в) + я** (в)) VI (в) йв. (5)

г=1 V Ло / Ло г=1

Применяя к нему лемму Гронуолла-Беллмана, получаем

г Ь

2

0 < ^(¿) = £ (Яг(1,1о )и?(г,1о) + Г Ят (£,т )и2 (¿,т) йт) = 0,

что дает Яг(Мо)и/(Мо) = 0, а с учетом условия 3 теоремы 1 имеем

По

0 = иг(£, £о) = [ фг(в)и(в) йв.

■По

Отсюда дифференцированием получаем фг(Ь)и(Ь) = 0 и, учитывая условие 3, имеем и = 0, т.е. Х1 = Х2.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 доказывается аналогично, а именно: вместо тождества (4) приходим к тождеству

п / пЬ гЬ

'(¿Мг)и2(г) + ^ (я(г,го)иг2(г,1о) — (в,1о)и*(в,¿о)йв+ Я1Т(м)иг2(¿,т)йт-

— I / Я1т(в,т)и2(в,т) йтйЛ = 0, иг(г,т) = / фг(в)и(в) йв, ¿Ьо Ьо / ''т

72

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2018. №6

а с учетом условий теоремы 2 получаем аналогичное (5) неравенство

t n

0 < V2(t) = p(tMt)Ht))2 + Vi(t) ^ Y [R*(s) + V2(s) ds,

to i=1

применение к которому леммы Гронуолла-Беллмана дает тождество р{Ь)^{Ь)и?(Ь) + У\(Ь) = 0. Отсюда имеем р(Ь)^(1)и2(Ь) = 0, а так как р(Ь)(р(Ь) = 0 для почти всех Ь € 3, то и = 0, т.е. Х\ = х2. Теорема 2 доказана. Пример 1. Интегральное уравнение

/ eVihTí+VihrT+t4r4r6cos2r+((t+l)-2sint+r+7)l/2sin9ísin9rcosl5r . ф} fc = ¿ ^ Q,

J 0

е

/о

удовлетворяет всем условиям теоремы 1 при п = 1, f € С (М+, М) и

^) = егбсо82гсоёШ, = е^1^4*6 сов2г втШсовШ, !%(}) = + 3)(* + 1)

Пример 2. Интегральное уравнение

íl е^ cos 5t cos 5r sin г . . , „. .

x(t)sint+ -х(т) dr = /(t), t^ 0,

J 0 t - T + 2

удовлетворяет всем условиям теоремы 2 при n = 1, f € C(R+, R) и

<p(t) = é^' sint, p(t)<p(t) = e^1 sin21, ipi(í) = e^eos 51 sin t.

Подчеркнем, что в примерах 1 и 2 ядра ИУ первого и третьего рода знакопеременны, чего, по

нашему мнению, не было в исследованиях других авторов.

Анализируя и другие примеры и учитывая, что f — любая функция из C(J, R), можно высказать

следующие две гипотезы.

Гипотеза 1. В условиях теоремы 1 существует единственное 'решение xGC(J, R) ИУ (1).

Гипотеза 2. В условиях теоремы 2 существует единственное решение xGC(J, R) ИУ (2).

Частные случаи теорем 1, 2 доложены на международной конференции [7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III родов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. 19, № 4. 970-989.

2. Asanov A. Regularization, Uniqueness and Existence of Solutions of Volterra Equations of the First Kind. Utrecht: VSP, 1998.

3. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Докл. РАН. 2007. 415, № 1. 14-17.

4. Искандаров С. Достаточные условия ограниченности и устойчивости решений слабо нелинейных интегро-дифференциальных уравнений первого и второго порядка типа Вольтерра. Неограниченность решений линейных однородных уравнений первого порядка // Исследования по интегродифференциальным уравнениям. Вып. 13. Фрунзе: Илим, 1980. 149-184.

5. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений интегро-дифференциальных и интегральных уравнений типа Вольтерра. Бишкек: Илим, 2002.

6. Искандаров С. Метод весовых и срезывающих функций и асимптотические свойства решений уравнений типа Вольтерра: Докт. дис. Бишкек, 2003.

7. Искандаров С. О единственности решений линейных интегральных уравнений типа Вольтерра первого и третьего родов на полуоси // Междунар. конф. "Современные проблемы математической физики и вычислительной математики", приуроченной к 110-летию со дня рождения акад. А.Н. Тихонова. Москва, 31 окт.-3 нояб. 2016 г.: Тез. докл. М.: Изд. отдел ф-та ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2016. 153.

Поступила в редакцию 11.12.2017