Решение неклассических интегральных уравнений Вольтерра i рода с вырожденным нелинейным ядром Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ / PHYSICS AND MATHEMATICS

DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2018.70.029 Асанов А.А.1, Чоюбеков С. М.2

1 Доктор физико-математических наук, Кыргызко-Турецкий университет «Манас»; 2Старший преподаватель, Ошский государственный университет, Республика Кыргызстан РЕШЕНИЕ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА С ВЫРОЖДЕННЫМ НЕЛИНЕЙНЫМ ЯДРОМ

Аннотация

Интегральные уравнения относятся к разделу математики. Важным из приложений является то, что к ним приводится большое число задач из самых разных разделов физики, техники и других наук. В связи с этим в последние годы теория интегральных уравнений бурно развивается благодаря трудам многих исследователей.

Однако уравнения с двумя переменными пределами интегрирования, которые называют неклассическими, мало изучены. Это, наверно, объясняется трудностями в построении резольвенты и в составлении соотношения для нее, т.к. еще не получено аналитическое представление в общем виде за исключением некоторых модельных случаев.

Ключевые слова: интегральное уравнение, формула Дирихле, малый параметр, двойные интегралы.

Asanov A.A.1, Choyubekov S.M.2 1PhD in Physics and Mathematics, Kyrgyz-Turkey Manas University;

2Senior Lecturer, Osh State University, Kyrgyz Republic SOLUTION OF NONCLASSICAL INTEGRAL VOLTERRA EQUATIONS OF FIRST KIND WITH DEGENERATE

NONLINEAR KERNEL

Abstract

Integral equations relate to the branch of mathematics, the important thing of which is that a large number ofproblems a wide range of sections of physics, engineering, and other sciences are reduced to them. Because of this, in recent years the theory of integral equations has been developing rapidly due to the work of many researchers.

However, equations with two variable limits of integration, which are called non-classical, have been little studied.

This is probably due to the difficulties in constructing of resolvent and in constructing a correlation for it since the analytical representation in general form has not yet been obtained except for some model cases.

Keywords: integral equation, Dirichlet formula, small parameter, double integrals.

Интегральные уравнения относятся к разделу математики, важным из приложений является то, что к ним приводится большое число задач из самых разных разделов физики, техники и других наук. В связи с этим в последние годы теория интегральных уравнений бурно развивается благодаря трудам многих исследователей [1], [10].

Однако уравнения с двумя переменными пределами интегрирования, которые называют неклассическими мало изучены. Это, наверно, объясняется трудностями в построении резольвенты и в составлении соотношения для нее, т.к. еще не получено аналитическое представление в общем виде за исключением некоторых модельных случаев.

В данной работе в предположении, что а ( t0) = t0, следуя по методу, предложенному М. Иманалиевыми, А. Асановым [8], устанавливаются достаточные условия регуляризации решения неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода.

Рассмотрим

К ( t, s, u (s) ) ds = f(t) ; te [ to ; T] (1)

где а ( t) e С[ t0, t] ; а ( t0) = t0; а ( t) < t, f ( t) и К ( t, s, u (s) ) - заданные функции на отрезке [ t0 , t] и в области G = { (t, s) : t0 < t < T, а ( t) < s < t } ; т < t, а (т) < а ( t) , u (t) - искомая функция на отрезке [ t0 , t ] .

Пусть

К (t, s, u ( s) ) = К0 (t, s ) u ( s) + К i( s, u ( s ) ) (2)

Тогда уравнение (1) можно представить в виде:

¿( t) К0 (t, s) u ( s ) ds + ¿( t) К ! ( s, u ( s) ) d s = f ( t) ; te [ t0 ; T] (3)

Наряду с уравнением (3) рассмотрим:

£ V ( t, £) + £( t) К0 (t, s ) V ( s, 8) ds + £( t) К ! ( s, V ( s, 8) ) d s = f ( t) + £U ( t 0) ; te [ t0 ; T ] (4)

- некоторый малый параметр.

Его решение будем искать в виде

V ( t,£) = u ( t) + f ( t,£) ; (5)

где - решение уравнения (3), а - неизвестная функция

Подставляя (4) из (3) получим

£?(t, £) + ¿(t) K0(t, s)?(s, £)ds = - /^(t)[Ki(s,u(s) + f (s, £)) - K1(s,u(s))]ds - £[u(0 - u(t0)]; te[ t0; T]

В результате несложных преобразований последнее сведем к виду

at, Е) + \ il Ко (S, S) as, £)ds = --е K0(t, s) - К0 (s, s)tf(s, s)ds + + ! £( i} ^o (5, s) f (s, £) ds ( t) [ К ! (s, u (s ) + f (s, £)) - К ! (s, u (s )) ] d s [u (t) - u(t0)] ; t6 [ t0 ; Г] (7)

1 ——ft К (t r)dr 1

Используя резольвенту R (t, s, £) = - - ^ (s, s) e £Js 0 , ядра- - ^o (s, s) и считая правую часть известным,

решение (7) можно представить в следующем виде

at, Е) = - -Е ;¿t)[ K0(t, s) - К0 (s, s)tf(s, s)ds + -E jtao(t) K0 (s, s) s)ds --!/¿t) [К ! ( s, U (s) + f (s,£) ) - К ! (s,u (s) ) ] ds - [u (t) - U (to) ] -

- à í0 4 ) (s, s) e4/>0(^)dT [Ko(s, t) - ^ (t, T)] f (t, £)dx ds +

+ /aS(s)^o(s,s) e-£S>o(T ,T) [Ko (t,T) - ffo (t,t)] f (T,£)dx ds -

-?ü0 C^o (s,s)e-£/>° (T ,T) dT^o(T,T) f (T,£)dx ds +

+ è/o0 /aS(S)^o (s,s)e"1^^ [K!(T,U(T) + f(T, £)) - K!(x,u(x))]dx ds +

+ ! SO ^o (s, s) e(T,T)dT[u(s)-u(to)] ds; t6[ to ; Г] (8)

Вычислим двойные интегралы, при этом воспользуемся формулой Дирихле и будем иметь ввиду, что ds ( - (t, t) dT j = (s, s) d, a ( t) < t

Тогда из (6) получится

a(t) a(t)

ï(t,£)=J H0(t,T,£X(r,£)dT+I H1(t,T,£)Ç(T,£)dT + to to

+ £ а)Я2( t,T,£) f (T,£) d T + ;t" ( °Vo (T,u (t) ,f (T,£) ) d т+У ( t,£) ; t 6 [ to ;Г] (9)

где

Ho (t,T,£) (a - ! (T) ,T) e-Ja-iw^0^^ (Ш)

H^t, T,£) = -±e~e£Ko is's)ds[K0(t,T) - K0(T,T)] -- à Г 1(x) Ko (s, s) e-iS>0(T,T)dT [Ko(t, t) - ^o(s, T)]ds +

о

! fa- 1(xV.rc , d

+ ¿/xa ( Ko( s,s)e"JsK°(T ,T) aT[Ko(t,T)-^o (t,t)] ds + (11)

о

H2(t, r,£) = -\eK° (s's)ds[K0(t, t) - K0(j, t)] -

s

i rt,

-¿Гк0(5,5) -^о (5,т)] (12)

о ^

Ы0(х,и(х),4(х,8),8) = = 1(Т)^о(^^ [К 1(т,и (Т) + £(Т,£)) - К 1 (х,и(х) ) ] ; (13)

11(1, е) = -

-■^^О (5,5) (т ,т) [и ( 0 - и(5) ] (14)

Потребуем выполнения следующих условий:

1 0 а( 0 е С 1 [ С0,т] , а'( 0 > 0 при почти всех [

2 0 При фиксированном Т] , К (1,5) еЬ [а (1) ; Т] и К(1Д) > т > 0 при всех I е [10; Т]

3 0 УС; т (С > т) при всех (¿,5) и (т,5) еС, | ^0(£,т) -^0(5,т)| < 10|£ - 5|, 0 < 10 - соп5С

4° при всех (т,^) и (т,и2) е [С0; Г] X К, | ^ (т,и2 ) -^1(т,и1)| < 11(т)|и2 - и^, 11(т)еС[С0; Г], ^(С, 0) = при

Обозначим С [10;Т ] ( 0<у <1 ) - пространство Гольдера, т.е. функция и (1) определенная в [ С 0; Г] удовлетворяет условию

| и (£)-и (х) |<С | С-х | 7 (15)

Здесь С < 0- некоторая постоянная, зависящая от и ( С) , но не от С и т. Ещё установлено, что и (С) является Банаховым пространством с нормой

.. . ^ .. . . ^ . и(т)\

| I и ( С) I I = 5ир е е о , п | и ( С) | + 5 иР г е [г о , т]^)!^; (16)

Далее установим справедливость следующих утверждений: Лемма 1

Если выполняются условия 1 0 - 2 0. Тогда для функции Н 0 (1, е,х) , определенной по формуле (8), имеет место

(i) | Я0 (t, т, £) I dT < 70 > 0; te [ t0; Г] (13)

V0 = supTe и^^Щта, (т) . (17)

Доказательство:

у — ^ 1

f(i) | ад,т,£) I dT </;(^К0 (т,т ) е^м^^т = = co to £

т = a(v) dT = w(v)dv

= if' K0(a(v)Mv))aiv) l^Ko(s,s)ds

£ to if0(v,v) 0V ' y

< 70 i0^0(v, V) e-|i>o(^dv < 70e-^>o(s,s)dsm = 70 .

Доказано. Лемма 2

Пусть Н - (^ х, е) и Н 2 (^ х, е) определены по формулам (9), (10) соответственно. Кроме того, выполняются условия 1 0 — 3 0. Тогда справедливы оценки:

1) I Н-(с,т,£)| <£(2 е- - + 1 ) ;

а х ) е в- = { а х) : ^ < 1: < Т, ^ < х < а ф } ; (18)

2) | Н 2 (Ъх,е)I < а,х) е С2 = { (1,х)< Т,а (9 < х < 1} . (19)

Доказательство

Имея ввиду ¿5 ^ — —о (г,г) ¿¿г) = - — (5,5) и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, получаем соответствующие оценки.

I Н с,т,£)| < ^-Ие^/^о^^ + /а-1(х)М^)Ко(5,5)в4/>"(т,т)сгт^ < £ Т 8

< ¿оО-т) е-!/>о (5,5)^ + ¿о (£ — а- 1 (х)) е1/а-1(/оИЙТ — — ¿0 (* -х) е -1 £ ^0 (5,5^5 + Га_1 (х) ¿о е -1 // ЙТо (Т ,т)сгт ^ <

г ■'х е

< ¿о( с — а- 1 (х) ) е-^а-^х)^^^ + ^/а-1(х)е-1/>о(т,т)йТ^ <

< ч>о (де-«) + С" (х)^е-Т(£-5) ^ < ¿°(2е- 1 + 1 ) ; &х) е С".

1 t

д = — - /а _ 1 (х) - 0,5) ¿¿г; т = 5 и р д (20)

£ а (х) д> о

< ¿o(t-T) „4гт4 (s,s)ds | ¿o(t-s) „-lf>n(T,T)dT

£ е

1 rt

s=t

+ Ь> C^-eSs Ко (T,r)dTds< с ^T

e

S=T

e

Лемма 3

= h. f e-I/s (T ,T)dT ds < Lo . (t т) e G2

Пусть выполняются условия 1 0,2 0 и 4 0 функция N 0 (х, u (х ) , 2 (х, 8) , 8) определена соответственно формулой (11). Тогда имеют место следующие неравенства

| (t) N 0 (х, u (х) , 2 (х, 8) , 8) dx | < 71 , (18)

Lx(a(y))a- (v)

7i=sup о e [0oT] ^ (V,V) . (19)

Доказательство

Если переходить к оценке в (11) соответственно с учетом условий леммы, заметив Sup (^е-77) = 1 , получаем требуемые оценки.

| ifN 0 fr,u (х ) , 2 (х, 8 ) , 8 ) dx | < ;-(0)Ie-|i^«Jpo(^ х X |K!(T,U(T) + f(T,£)) - K1(x,u(x))| < j^le-lia-Ht)K^dS Х х ¿i(t)£)|dr < J* ±e~^tiK°{s,s)dsLi (r)|£(r, £)\a'(v)dv <

Лемма 4

Пусть U( t,£) = -i[u( t) - u( t0) ] e-|itWs,s)ds ^0(s,s)e-|i^o(T,T)dT[u(t) - u(s)] ds; 8 > 0

Тогда 1). Если u (t) 6 С [ t0 ; Г],tf0(t,t)6L1 [ t0; Г], при почти всех tf0(t,t) > 0,te [t0 ;Т ] и < (t) = Jt ( s, s) ds, te [t0 ; Т ] , то на [t0 ; Т ] справедлива оценка

| I U ( t,£) I |<3 I I u ( t) I I + ( £^) = C0 (£) ; 0<P<1 (20)

ши (5) = Sup | u ( < - 1 (x) ) — u ( < - 1 (v) ) | ; <- 1 (x)- обратная функция функции < (t) ;

2) Если u (t) 6 С; [ t 0; Л], 0 < 7 < 1 , К (t, t) 6 L 1 [ t0 ; Г], К (t, t) > 0 при te [t0 ; Т] ; < ( t) = ^ К (s, s) ds; то

I I U ( t,£) I I < M0C i8y °

гДе^ = 5ир^|Ь^; ^ = 7 С е-тт- ^

Итак, сформулируем основные результаты: Теорема 1

Пусть выполняются условия 1 0 — 4° и (70 + 7i) b0 < 1 , где

К°(а(х) ,а (т) ) а (т) L (а (v) ) а (v)

70 = SUpT6Mtm ( I к°(т,т)| , 71 = sup t6 [t°Л К0 (v,v)

и b0 = ехр [—(2 е- 1 + 1 ) (Г — t0) ] . Тогда

1) если уравнение (1) имеет решение u (t) 6 С [t0; Г] , то решение v(t, 8) уравнения (3) при £ — 0 сходится по норме

к решению и справедлива оценка

, т

I I v (t,8) — u (t) I I < 71^7^2 [ I I u (t) I I c е- « 1 + Ши (£*)] ; (21)

где Ши (£/?) = sup | t-s| <5 I u (t) — u(s) | ;

2) если уравнение (1) имеет решение , то решение уравнения (3) при сходится по норме С [ t 0; Г] к решению u(t). При этом справедлива оценка

I I v (t, 8) — u (t) I I < 1_(-Tob°yjbo с0су£^, (22)

где C0 = 7 j0 е т' dT; су = sup (t,s) 6 [t ° , т] —^fp—■ Доказательство

В силу лемм 1-4 из уравнения (7) имеем | ?( t,£)| < (70 + 71) I I 4(т,8)I I С + £(°£( 2 е- 1 + 1 ) I ?(т,£)| d т+ ¿(t)^| ? (т,£)| d т + |U( t,£)| ; te [t0 ;Т ] . (23) Отсюда имеем

\ф,г)\ < ¿(26-1 + 1) £ |?(T,£)|dT + (70 + /i)H4(x,6)||c + £)||с

11L

I I 4(т,8) I I с<е^(2е-1+1 (т- ад(т0+У1) I I 4(т,8) I I с + е^(2е-1+1 (т- ^ I I U (t,£) I I c I I ^(к, 8) I I с < iq^j^ I I U ( t £) I I c; ^ [ t0 ; Г]

Теорема 1 доказана.

Список литературы / References

1. Чоюбеков С.М. Регуляризация решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица / Чоюбеков С.М. // Молодой ученый. - Казань. - № 8 (112) - 2016 - с. 34-37

2. Чоюбеков С.М. Об одном классе неклассического интегрального уравнения Вольтерра I рода / Чоюбеков С.М., Бекешов Т.О., Асанов А. // Вестник № 3 Ошского государственного университета - Ош - 2014 - с. 83-88

3. Чоюбеков С.М. О решение неклассического интегрального уравнения I рода в пространстве непрерывных функции / Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. // Вестник № 3, Ошского государственного университета - Ош -2012 - с. 48-54

4. Асанов А. Регуляризация и единственность решения неклассического интегрального уравнения с условиями Липшица / Асанов А., Бекешов Т.О., Чоюбеков С.М. // Вестник спец.вып. КНУ имени Ж. Баласагына - Бишкек - 2011

- с. 108-111

5. Бекешов Т.О. Единственность решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными / Асанов А., Бекешов Т.О. // Материалы Междунар. Конф. «Актуальные проблемы математики и математические моделирования экологических систем», октябрь, 1996 - Алматы.

6. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: Теория и численные методы / Апарцин А.С. // Новосибирск: Наука, Сибирское отделение - 1999 - 193 с.

7. Апарцин А.С. Применения интегральных уравнений Вольтерра для моделирования стратегий технического перевооружения электроэнергетики / Апарцин А.С., Караулова И.В., Маркова Е.В. и др. // Электричество, 2005 - № 10

- С. 69-75

8. Асанов А. О решениях систем нелинейных двумерных интегральных уравнений Вольтера первого рода / Иманалиев М.И., Асанов А. // ДАН 1991 - Т. 317. № 1. - С. 32-35

9. Иманалиев М.И. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра I- рода / Иманалиев М.И., Асанов А. // Исс. по инт-дифф. Урав-м - Фрунзе: Илим 1988, - Вып.21 - С.3-38

10. Лаврентьев М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.Р. // М: Наука, 1980.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Choyubekov S.M. Regulyarizatsiya resheniya neklassicheskogo integral'nogo uravneniya s usloviyami Lipshitsa [Regularization of Solution of Nonclassical Integral Equation under Lipschitz Conditions] / Choyubekov S.M. // Molodoj uchenyiy [Young Scientist]. - Kazan - No. 8 (112) - 2016 - pp. 34-37 [in Russian]

2. Choyubekov S.M. Ob odnom klasse neklassicheskogo integral'nogo uravneniya Vol'terra I roda [On Class of Nonclassical Integral Volterra Equation of First Kind] / Choyubekov S.M., Bekeshov T.O., Asanov A. // Bulletin No. 3 of Osh State University. Osh, 2014, pp. 83-88 [in Russian]

3. Choyubekov S.M. O resheniye neklassicheskogo integral'nogo uravneniya I roda v prostranstve nepreryvnykh funktsii. [On solution of Nonclassical Integral Equation of First Kind in Space of Continuous Functions] / Asanov A., Bekeshov T.O., Choyubekov S.M. // Bulletin No. 3, Osh State University, Osh, 2012, pp. 48-54 [in Russian]

4. Asanov A. Regulyarizatsiya i yedinstvennost' resheniya neklassicheskogo integral'nogo uravneniya s usloviyami Lipshitsa [Regularization and Uniqueness of Solution of Nonclassical Integral Equation under Lipschitz Conditions] / Asanov A., Bekeshov T.O., Choyubekov S.M. // Bulletin, special issue of KNU named after J. Balasagyn. Bishkek, 2011, pp. 108-111 [in Russian]

5. Bekeshov T.O. Yedinstvennost' resheniya integral'nogo uravneniya Vol'terra pervogo roda s dvumya nezavisimymi peremennymi [Uniqueness of Solution of Volterra Integral Equation of First Kind with Two Independent Variables] / Asanov A., Bekeshov T.O. // Materials of Intern. Conf. "Topical problems of mathematics and mathematical modeling of ecological systems" - Almaty, 1996 [in Russian]

6. Apartsin A.S. Neklassicheskiye uravneniya Vol'terra I roda: Teoriya i chislennyye metody [Nonclassical Volterra Equations of First Kind: Theory and Numerical Methods] / Apartsin A.S. // Novosibirsk: Science, Siberian Branch, 1999.-193 p [in Russian]

7. Apartsin A.S. Primeneniya integral'nykh uravneniy Vol'terra dlya modelirovaniya strategiy tekhnicheskogo perevooruzheniya elektroenergetiki [Applications of Integral Volterra Equations for Modeling Strategies for Technical Re-equipment of Electric Power Industry] / Apartsin A.S., Karaulova I.V., Markova E.V. and others // Electricity, 2005, - No. 10 -P. 69-75 [in Russian]

8. Asanov A. O resheniyakh sistem nelineynykh dvumernykh integral'nykh uravneniy Vol'tera pervogo roda [On solutions of systems of nonlinear two-dimensional Voltaire integral equations of the first kind] / Imanaliev M.I., Asanov A. // DAN 1991. 317. No. 1. P. 32-35 [in Russian]

9. Imanaliev M.I. Regulyarizatsiya, yedinstvennost' i sushchestvovaniye resheniya dlya integral'nykh uravneniy Vol'terra I- roda [Regularization, Uniqueness and Existence of Solution for Volterra Integral Equations of First Kind] / Imanaliev M.I., Asanov A. // Iss. by int.-diff. Urav-m - Frunze: Ilim 1988. - Is.21 - P.3-38 [in Russian]

10. Lavrentyev M.M. Nekorrektnyye zadachi matematicheskoy fiziki i analiza [Inadequate Problems of Mathematical Physics and Analysis] / Lavrent'ev M.M., Romanov V.G., Shishatskii S.R. // M: Science, 1980 [in Russian]