Общее решение линейного уравнения третьего порядка и сопровождающее нелинейное уравнение второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изучим, как повлияет непостоянная интенсивность обслуживания по второму направлению (

*

= 2) в состоянии Г(з), на значение оценки у , в случае неизменных остальных параметрах и при

квазиоптимальных Т, Т и Тз. Пусть при этом максимальное число требований, которое может обслужиться в состоянии Г(3), остается таким же, как в случае постоянной интенсивности обслуживания (¡2 = 62). Ниже, в качестве примера, рассмотрены два случая.

Случай 1. Кусочно-постоянная функция ц,2(0 интенсивности обслуживания второго потока в состоянии обслуживающего устройства Г(3), имеет четыре точки разрыва и задается следующим

образом: Тз,1 = 18, Тз,2 = 12, Тз,з = 14, Тз,4 = 18, а соответствующие интенсивности обслуживания

*

принимают значения Ц2,1 = 1,5, Ц2,2 = 1,2, Ц2,з = 0,8, Ц2,4 = 0,6. Значение оценки у в этом случае равно 18,762 единиц времени.

Случай 2. Кусочно-постоянная функция Ц2(0 также с четырьмя точками разрыва задается

следующим образом: Тз,1 = 12, Тз,2 =18, Тз,з = 14, Тз,4 =18, где интенсивности обслуживания

*

принимают значения Ц2,1 = 1,2, Ц2,2 = 1,5, Ц2,з = 0,8, Ц2,4 = 0,6. Оценка у в данном случае равна 19,71з единиц времени.

Результаты имитационного моделирования позволяют сделать вывод, что в случае системы с фиксированным ритмом, наличие непостоянной интенсивности обслуживания (даже по одному

направлению) существенно влияет на такую характеристику, как среднее время ожидания начала

*

обслуживания произвольного требования у . Например, при непостоянной интенсивности

*

обслуживания в первом случае значение оценки у уменьшилось на 6,1з4 единиц времени, или 24,6 процента, а во втором случае на 5,18з единицы времени, что составило 20,8 процента. Таким образом, только за счет введения функциональной зависимости Ц2 = Ц2(0 и не меняя при этом значения входных параметров, можно значительно уменьшить оценку среднего времени ожидания начала обслуживания произвольного требования.

Список использованной литературы:

1. Пройдакова Е.В. Определение условий существования стационарного распределения выходных потоков в системе с циклическим управлением / Е.В. Пройдакова, М.А. Федоткин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. - 2006. - Вып. 1 (4). - С. 92-102.

2. Пройдакова Е.В. Исследование вероятностных свойств выходных потоков в системе управления с приоритетным направлением // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2012. № 5(2). — С. 190-196.

3. Пройдакова Е.В. Численное исследование циклической и приоритетной систем управления конфликтными потоками требований / Е.В. Пройдакова // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 201з. — № з(1). — С. 199-205.

© Пройдакова Е.В., 2017

УДК 517.923

Чочиев Тимофей Захарович

Кандидат физико - математических наук, старший научный сотрудник ЮМИ ВНЦ РАН и РСО - А. г. Владикавказ, РФ, E - mail: madina-rso@yandex.ru

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И СОПРОВОЖДАЮЩЕЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Аннотация

В настоящей работе, методом понижения порядка производной строим общее решение для

НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» ISSN 2411-717X № 1-2017

линейного уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. Последнее удалось получить введением нового эффективного способа решения для сопровождающего нелинейного уравнения второго порядка.

Ключевые слова

Решение, понижение порядка, уравнение, нелинейность, выполнимость, тождественность,

класс Риккати.

П.1. Линейное уравнение третьего порядка.

Упомянутое уравнение в общей форме дается

у''' + А(х)у'' + В(х)у' + С(х)у = f(x), (1.1)

где А(х),В(х) непрерывно дифференцируемые функции, f(x) и С(х) непрерывны. Доказывается теорема. Теорема 1. Если выполнены равенства

Ml -h = A,

\A'1-Ail3 + Bi = B, (1.2)

^Bl — Bil3 = c,

относительно A1, B1 и l3, то уравнение (1.1) допускает понижение порядка производной. Пусть равенства (1.2) удовлетворяют. В уравнении (1.1) А,В, С коэффициентов заменяем левыми частями (1.2). После очевидной группировки легко придем к равенству

(у'' + Aiy' + Biy)' - l3(y'' + Aiy' + Biy) = f(x) являющемуся относительно круглых скобок уравнением первого порядка, из которого для выражения в круглые скобки следует

у'' +А1У' + В1У = e$ol3dx(y1 + J e-Sohdxdx) = F1(x), (1.3)

Где y1 - постоянная. Согласно условию теоремы А1, В1 и 13 известные функции. Полученное равенство (1.3) есть линейное уравнение второго порядка. Мы можем пойти на очередное понижение порядка в (1.3).

Допуская, что

[IVA ™

и в (1.3) А1 и В1 заменить левыми частями,

у'' + (l + l1)y' + (I' + И1)у = F1(x), после группировки получим

(у' + 1у)' + li(y' + ly) = F2(x), линейное уравнение первого порядка относительно круглых скобок. Следовательно, для выражения в скобки следует:

X

Гх I J I Г гХ,

У' + 1у = e-Solldx(y2 + J F1(x) e$olldxdx ) = F2(x), (1.5)

где у2 - постоянная. Причем,

( к=А1-1,

[и -12 + А11-В1 = О. (1.Ь)

Второе уравнение (1.6) относится к классу Риккати, решение которого известно и дается [2,3,4]. Следовательно, в равенстве (1.5) по условию все коэффициенты известны, мы можем из (1.5) записать окончательное значение у,

X

У = e-£ldxly3 + J F2(x)e%ldxdx ), (1.7)

Полученная формула (1.7) формально дает общее решение линейного уравнения (1.1). остается узаконить ее! То есть, нам необходимо из (1.2) определить А1,В1 и 13, а после I и 1г из (1.6). Из (1.2) легко заметить, что

% = z-A, (Ai = z) [В1 = В - z' + z2 - Az,

(1.8)

В[ = В' - z'' + 2z'z - Az' - A'z

Если эти значения подставить в третье равенство (1.2), то относительно z получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

z'' - 3zz' + z3 + 2Az' - 2Az2 + (A' + A2 + B)z = АВ + В'-С.

Или, произведя группировку, приведем его к виду

(z' -z2 + Az- В)' + (A- z)(z' -z2 +Az- В) = -С,

(1.9)

Уравнение (1.9) называется сопровождающим нелинейным уравнением линейного уравнения третьего порядка (1.1). Если z удовлетворяет уравнению (1.9), то из (1.8) найдем A1, В1 и I3 и согласно теореме 1, переход из (1.1) к виду (1.3) будет законным.

П.2. Решение сопровождающего нелинейного уравнения (1.9).

В отличии от метода рассмотрения, реализуемого к вопросу решения нелинейного уравнения (1.9) [2,5], приведем более усовершенствованный способ, позволяющий построение точного решения для нелинейного уравнения.

В частности, также как и в работах [2,5], допускается С(х) = 0, то есть

(z0 - Z02 + Az0 - В)' + (A- zo)(z0 - Z0; + Az0 - В) = 0. (2.1)

Отсюда, как легко сообразить

[(z0 - z2 + Az0 - В)еЬХ(А-го)ах] = 0,

где г0 соответствует допущению равенства нулю правой части (1.9). Из последнего следует:

- + Аг0 — В = С0е-%(А-2о)сСх (2.2)

где, С0 - постоянная.

- (Х г1

Умножаем обе части на е ■'о х, тогда относительно экспоненциальной функции придем к линейному уравнению второго порядка

(e-f0z0dx) +A(e-f0z0dx) + Ве-$о z°dx = -С0е

-JgAdx

(2.3)

Уравнение (2.з) изучено в [5] (см. §10). Однако поскольку решение подобных уравнений в литературе не часто встречается, то думается провести его подробное исследование. Если А и В функции представить в форме [5] (^ не путать с (1.4))

А = 11 + 12 ;В = 1[ + 1112, (2.3)1

то относительно ^ и 12 получим:

(11 — 12+А11 — В = 0,

{12= А —11.

Первое уравнение (2.4) относится к классу Риккати исследованного в [5] (см. §7) или в [6] (см. с. 1з-18). С учетом (2.3)ъ равенство (2.з) допускает следующее представление

(2.4)

(e-fo*zodx)' + li (e-f0Xzodx)

+ h

(e-bz°dx) +l1(e-bz°dx)

= - С -

-JgAdx

которое относительно квадратных скобок есть линейное неоднородное уравнение первого порядка: следовательно, для выражения, заключенного внутри квадратных скобок имеем:

x

(e-f0zodx)' + k (e-Sozodx) = e-Sohdx li0 + c0J e-fo(A-l2)dxdx ) = ф1(х)

Или, окончательно для экспоненциальной функции,

-$0zodx = e-so;i1dx(li + J ф1(х)е£1

eJo lidxdx ), (2.5)

НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» ISSN 2411-717X № 1-2017

где 11и Iо - постоянные. Когда х=0, то Ii = 1, а Iq = 1 — zo(0).

Формула (2.5) определяет функцию Zq, являющейся решением нелинейного уравнения (2.1). вернемся к уравнению (1.9) и применим к нему известный прием [1], называемый вариацией постоянного, то есть, в (2.1) постоянную С о будем считать С о = Cq(x) и подставив правую часть (2.2) в равенство (1.9), для Cq(x) установим:

Таким образом, равенство (2.2) представимо

zq — z2 + Az0 — B = e-Jo(A-z)dx In —J C(x)eJo(A-z)dxdx ). (2.7)

где у1 - постоянная, а в правой части г неизвестна. Не ограничивая z, зададим ее в форме

С(х) а(х)

где а(х) неизвестна. Подставим (2.8) в равенство (1.9) и в правую часть (2.7),

C(xW ( С(х)\2/ С(х)\

2о + ф0) —(2о + фГ)) +А(2о + ф0) — В

С(хТ

+ {А — 2о — ф)]Х

X

с(х)\ {_ , с(х)\2 . . с(х)

Z° + а(х)) + а(х))

+ A[z.+

а(х)

— В

_ s:(A-z0-m)äXi

zQ — Zq + Az0 — В = e

Равенство (2.8)1 в развернутой форме есть:

(zQ — zQ; + Azq — B)' + (a — Zq--

X

a(x)

C(x)

—J

Vi — I C(x)e о

foiA-zo-a$)dx.

а(х)

(zQ — zQ + Azq —B) +

+

C(x)\ fC(x)\

+ [A — Zq —

а(х)

C(x) а(х)

а(х) )

+ (A — 2Zq)

C(x)

а(х)

+ C(x)

— (^TT) +(a — 2Zq) , л

а(х)) \а(х)1 а(х)

= — С(х)

Умножим обе части на

Очевидно, оно примет вид:

-£{A-z°-aa§j)dx

(zQ — zQ + Azq — B)e

l(Xj

+

C(x)X (C(x)\2 C(x)

-Hl —(-ri) +(A — 2zo)-(-j а(х) I \а(х) I а(х)

AA-zo-aag)^ =

= — С(х)е

Так как а(х) неизвестна, то в (2.9) допускаем 'С(х)

а(х)

O(xj) +(А — 22о)ф)

гхС (х^ , ^

'JoO(xjax = c0e-$o(A-zo)dx,

или

rxC(x) . Jo a(x)

xC(x)

~(A — 2z0)[e J°a(x)

fZ^Pjdx o a

= — C0e-Jo(A-zo)dx.

(2.8)

= — C(x), (2.8)i

dx ). (2.8)2

(2.9)

о

2

''

Отсюда

/■ N Х

хС(х)

S°a(x)dX = Vo + CoJ e-I0X(A-2z0)dx L+J e-!0Xz0dx dx ) d%

e J0 a(x) = y0 + C0 J e-Jo (A-2Z0)dx ( 1 + 0

Пусть Co = -1; для a(x) окончательно напишем

C(x) [y0 - iXe-f0X(A-2z0)dx (i + jXe-ioz0dxdx) dx] f_ a(x) = [ Jo-(---^U (A-2z0)dxt (2.10)

1 + sx e-50 z0dx dx 0

где y0 - постоянная.

Оставшееся соотношение в (2.9) является тождеством. Чтобы убедиться, в нем подставим значение правой части формулы (2.8)2. Сразу придем к тождеству.

Таким образом, построена функция z и она определяется формулой (2.8), удовлетворяет уравнению (1.9); Zo дается формулой (2.5) и является решением уравнения (2.1); a(x) определяется формулой (2.10) и удовлетворяет уравнению (2.9).

По заданной функции z сразу находим неизвестные коэффициенты А1, В1 и 13 (см. (1.8)) и этим теорема 1 доказана, то есть, переход из уравнения (1.1) к уравнению (1.3) является обоснованной. Поскольку второе уравнение (1.6) относится к классу нелинейных уравнений Риккати, исследованного в [5,6], то переход из уравнения (1.3) к уравнению (1.5) также является законным. Следовательно, формула (1.7) является общим решением линейного уравнения (1.1), что нисколько не подлежит сомнению. При всем вышесказанном, решающую роль сыграло построение точного решения для нелинейного уравнения (1.9); в связи с чем, оно названо сопровождающим нелинейным уравнением линейного уравнения третьего порядка (1.1). Список использованной литературы:

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, Госиздат техн. литературы. 1953. 468с Чочиев Т.З. Дифференциальные уравнения высшего порядка. // XII международная научно -практическая конференция. «Отечественная наука в эпоху изменений постулаты прошлого и теории нового времени» ISSN 3385-8879 НАУ часть 3. Екатеринбург 2015 г. с. 18 - 24.

2. Чочиев Т. З. Нелинейное уравнение второго порядка и линейное уравнение третьего порядка// МЦИИ «Омега САИНС» научное образование и инновации, сборник статей МНПК, 28.XII.15, часть 5, Челябинск. С. 23-31

3. Чочиев Т.З. Линейное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами. MATERIALY XII WIEDZYNARODOWEJ NAUKOI - PRAKTYCNEJ KONFERENCJI/ NAUKAWA MYSLINFORMACYJNEJPOWLEKI. 2016. София, Volume 12

4. Чочиев Т. З. Обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, LAP LAMBERT Academic Rubliching. Германия 2015, 157 с.

5. Чочиев Т. З. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка. // XII МНК, ЕНО Итоги науки в теории и практике 2015, ISSN 2411 - 1899. Москва с. 13-18

© Чочиев Т. З., 2017