Непостоянная интенсивность обслуживания в системах с фиксированным ритмом и переналадками Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Пройдакова Екатерина Вадимовна

к. ф.-м. н., Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, Нижний Новгород, РФ

Е-тай: pev_1@mail.ru

НЕПОСТОЯННАЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ ОБСЛУЖИВАНИЯ В СИСТЕМАХ С ФИКСИРОВАННЫМ РИТМОМ И ПЕРЕНАЛАДКАМИ

Аннотация

В работе изучается система обслуживания независимых и конфликтных потоков требований в классе алгоритмов с фиксированным ритмом и переналадками. Демонстрируется применение имитационного моделирования, как метода исследования влияния непостоянной интенсивности обслуживания на характеристики функционирования такой системы.

Ключевые слова

Система массового обслуживания, конфликтные потоки, средняя задержка требования, имитационное моделирование, квазиоптимальные параметры.

В работе рассматривается система управления независимыми и конфликтными потоками П1, П2, ..., Пот требований в классе циклических алгоритмов с непостоянной интенсивностью обслуживания. Конфликтность означает, что обслуживание потоков происходит в непересекающиеся промежутки времени. Входные потоки П1, П2, ..., Пт считаем пуассоновскими с параметрами Х1, Х2, ..., Хт соответственно. По потокам П1, П2, ..., Пт разрешены неограниченные очереди. У каждого потока есть основной этап обслуживания и переналадка. Обслуживающее устройство имеет 2т

состояние Г(1), Г(2), ..., Г(2т) известной длительности Т1, Т2, ..., Т2т. В состоянии Г(2;Ч) / = 1,т

пропускается только поток П/ с непостоянной интенсивностью ц,(0 > 0, te [0, Т2/-1]. В состоянии Г(2/) обслуживается также только поток П/, но уже с постоянной интенсивностью ц'. Интенсивности определяют среднее число заявок, обслуживающихся в единицу времени. Вид функций

интенсивности ц,(£), / = 1, т полагался кусочно-постоянным, с конечным числом скачков, равным

п (п > 2). Произвольный вид функции интенсивности обслуживания может быть реализован за счет аппроксимации его кусочно-постоянной функцией. Чтобы задать кусочно-постоянную функцию, состояние Г(2/-1) длительности Т2/-1 представим в виде объединения п виртуальных состояний Г(2/-1) = {Г1(2/1), Г2(2/1), ..., Гп(2/-1)}, следовательно, оно является укрупненным состоянием. В данных виртуальных состояниях интенсивность ц,(0 последовательно принимает значения Ц/,1, Ц/,2, ... ц/,п,

k = 1, п.

Длительности виртуальных состояний Г1(2/-1), Г2(2/-1), ..., Гп(2/-1) равны Т2/-1,1, Т2/-1,2, ..., Т2/-1,п

п

единиц времени соответственно, причем выполняется соотношение у _ Х^т • Пусть /к =

Х2 /-1 /-1,к k=1

[Ц/,кТ2/-1,к], а I' = [ц'; -Т2;], к = 1, п . Обозначим через I/ максимальное число требований потока П/,

которое может обслужиться за время работы сигнала Г(2/-1), тогда , . Алгоритм смены

1/ =

к=1

состояний обслуживающего устройства остается циклическим. В силу этого, для новой модели можно применять те же методы исследований, что и в случае системы с постоянной интенсивностью обслуживания, только с учетом увеличения числа состояний обслуживающего устройства. Ранее, в работах [1, с. 92] и [2, с. 190] автором уже рассматривалась система с фиксированным ритмом, в которой значение интенсивности обслуживания в состояниях Г(2/-1), / = 1,т предполагалось равным постоянной величине.

Для того, чтобы исследовать влияние непостоянной интенсивности обслуживания на

НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ «CETERIS PARIBUS» ISSN 2411-717X № 1-2017

характеристики функционирования управляющей системы с фиксированным ритмом и переналадками, была создана соответствующая программа, являющаяся ее имитационной моделью. При моделировании учитывались условия существования стационарного режима функционирования, найденные автором [1, с. 94] для случая циклической системы с постоянной интенсивностью

2m _

обслуживания: А/T -lj - l'j < 0, j _ ^ j , / _ m . При проведении численного эксперимента также

" r

r_1

были установлены ограничения на некоторые параметры системы: T2 > 6, T4 > 6, Ti > T2, T3 > T4 и T > 80.

В начале работы имитационной модели задавались входные параметры: —количество входных потоков m;

-длительности фаз обслуживающего устройства Ti, T2, ... ,T2m; —интенсивности Xj, j = J^ поступления заявок по потокам;

—интенсивности ц у обслуживания заявок в состояниях Г(2;), j = im;

—длины Xj 0 , j = i, m начальных очередей по потокам;

—вид функций для интенсивностей ц(£) обслуживания требований в состояниях r(2j " 1), j = i, m.

Моделирование включало в себя два этапа. На первом этапе определялся момент перехода системы в квазистационарный (близкий к стационарному) режим функционирования [3, с. 201]. На втором этапе моделировалась работа системы в квазистационарном режиме для нахождения

численных оценок характеристик системы. В частности были найдены значения Му , / = \ т оценок

*

среднего времени ожидания начала обслуживания требования по потокам и оценка у среднего

/— г- mim --

времени ожидания начала обслуживания произвольного требования, где ^ _^^ ^ /Х^ , j = 1,m .

j=i j / j=i j

Основным критерием качества работы в системах с конфликтными входными потоками является среднее время ожидания начала обслуживания произвольной заявки в стационарном режиме или средняя задержка требования. При численном исследовании предварительно, методом сокращенного перебора, решалась задача оптимизации по критерию у* ^ min. Ниже, в качестве примера, рассмотрен случай двух потоков.

В таблице 1 приведены фрагменты результатов, полученных при значениях Т2 = Т4 = 6, Ц1 (t) = Ц1 = 1, Ц2 (t) = Ц2 = 1, цУ = ц2 = 1,5, X1 = 0,05 и X2 = 0,4.

Таблица 1

~ *

Значения оценок Myj, Му2 и У для различных длин периода Т

Т Т1 Тз MY1 My2 У*

140 6 122 143,851 30,160 42,792

7 121 138,092 31,883 43,684

8 120 136,543 32,491 44,052

110 6 92 117,526 25,537 35,758

7 91 115,694 27,174 37,010

8 90 113,962 29,263 38,674

80 6 62 79,243 18,103 24,896

7 61 78,391 18,945 25,550

8 60 77,854 19,547 26,026

*

Из таблицы 1 следует, что при указанных параметрах минимум оценки у равен 24,896 единицы времени, и он достигается при значениях Т = 80, Т1 = 6, Тз = 62. Данные значения и являются квазиоптимальными для случая постоянной интенсивности обслуживания, когда Ц1(0 = 1, Ц2(0 = 1.

Изучим, как повлияет непостоянная интенсивность обслуживания по второму направлению (/

*

= 2) в состоянии Г(3), на значение оценки у , в случае неизменных остальных параметрах и при

квазиоптимальных Т, Т1 и Тз. Пусть при этом максимальное число требований, которое может обслужиться в состоянии Г(3), остается таким же, как в случае постоянной интенсивности обслуживания (/2 = 62). Ниже, в качестве примера, рассмотрены два случая.

Случай 1 Кусочно-постоянная функция ц,2(0 интенсивности обслуживания второго потока в состоянии обслуживающего устройства Г(3), имеет четыре точки разрыва и задается следующим

образом: Тз,1 = 18, Тз,2 = 12, Тз,з = 14, Тз,4 = 18, а соответствующие интенсивности обслуживания

*

принимают значения Ц2,1 = 1,5, Ц2,2 = 1,2, Ц2,з = 0,8, Ц2,4 = 0,6. Значение оценки у в этом случае равно 18,762 единиц времени.

Случай 2• Кусочно-постоянная функция Ц2(0 также с четырьмя точками разрыва задается

следующим образом: Тз,1 = 12, Тз,2 =18, Тз,з = 14, Тз,4 =18, где интенсивности обслуживания

*

принимают значения Ц2,1 = 1,2, Ц2,2 = 1,5, Ц2,з = 0,8, Ц2,4 = 0,6. Оценка у в данном случае равна 19,71з единиц времени.

Результаты имитационного моделирования позволяют сделать вывод, что в случае системы с фиксированным ритмом, наличие непостоянной интенсивности обслуживания (даже по одному

направлению) существенно влияет на такую характеристику, как среднее время ожидания начала

*

обслуживания произвольного требования у . Например, при непостоянной интенсивности

*

обслуживания в первом случае значение оценки у уменьшилось на 6,1з4 единиц времени, или 24,6 процента, а во втором случае на 5,18з единицы времени, что составило 20,8 процента. Таким образом, только за счет введения функциональной зависимости Ц2 = Ц2(0 и не меняя при этом значения входных параметров, можно значительно уменьшить оценку среднего времени ожидания начала обслуживания произвольного требования.

Список использованной литературы:

1. Пройдакова Е.В. Определение условий существования стационарного распределения выходных потоков в системе с циклическим управлением / Е.В. Пройдакова, М.А. Федоткин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. - 2006. - Вып. 1 (4). - С. 92-102.

2. Пройдакова Е.В. Исследование вероятностных свойств выходных потоков в системе управления с приоритетным направлением // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 2012. № 5(2). — С. 190-196.

3. Пройдакова Е.В. Численное исследование циклической и приоритетной систем управления конфликтными потоками требований / Е.В. Пройдакова // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. — 201з. — № з(1). — С. 199-205.

© Пройдакова Е.В., 2017

УДК 517.923

Чочиев Тимофей Захарович

Кандидат физико - математических наук, старший научный сотрудник ЮМИ ВНЦ РАН и РСО - А. г. Владикавказ, РФ, E - mail: madina-rso@yandex.ru

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И СОПРОВОЖДАЮЩЕЕ НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Аннотация

В настоящей работе, методом понижения порядка производной строим общее решение для