Взвешенная производная и дифференциальные уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 1999, Том 1, Выпуск 3

Юрию Григорьевичу Решетнику к его семидесятилетию

УДК 517.927

ВЗВЕШЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

М. С. Бичегкуев

В работе рассматривается взвешенная производная и связанная с ней специальная форма дифференциальных уравнений. Устанавливается связь и приводимость этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Пусть а = а(1) — положительная ограниченная однозначная функция на интервале (а, Ь) и пусть число р € [0,1]. Взвешенной производной функции /(£), £ € (а, Ь), относительно функции ар(£) в точке £ будем называть

Ши *4*+ <*'-'«№№+ а'-ЩА=. в^т (11)

Д£—^0 /Х'Г

Взвешенные производные фигурируют в литературе под различными названиями: обобщенная производная (при р = 0) в [1], весовая производная в [2].

Если а(Ь) ф 0, £ € (а, Ь), из равенства (1.1) получаем связь между взвешенной и «обычной» производными

Для о) = 0 при £0 = («; &) ИЗ (1-1) находим, ЧТО £>а,р/(^о) = 0; поэтому и в этом случае верна формула (1.2)

Если а(1) = с для всех £ € (а,Ь), то взвешенная производная от функции / представляет собой операцию умножения постоянной с на производную функции /.

Будем предполагать, что функция а достаточно гладкая функция. Тогда оператор взвешенной производной принимает вид

1. Взвешенная производная

1)а „/№= Пт а1 РШ

аР^ + а1 Р(£)Д £)/(£ +а1 Р(£)Д£) — ар(£)/(£) а:1-г>(£) Д£

(1.2)

(1.3)

© 1999 Бичегкуев М. С.

Из (1.3) для гладкой функции / имеем

А*,р/ = + №7 = + Р [(«/)' - «/'] =

= (1 - р)а^/ + Р^-а$ = -р)В<х$! +р£>а,\!-

Таким образом, оператор взвешенной производной -Оа>р допускает следующее представление

£><х,р = (1 -р)£>а,0 + р£>а,1- (1-3')

Приведем основные свойства взвешенной производной:

1°. Линейность

Ва,р(/ + 5') = -^а,р/ + ^а,р9-2°. Если С-| . С2 - произвольные постоянные, причем С1 > О, то

А*а,

рС2/ = С1С2£>а,р/.

3°. Если /, имеют взвешенные производные то для произведения / ■

существует взвешенная производная -Оа,р, причем

(1.4)

А*,р(/-0)=/Яа,!0 + 0А*,|/

Действительно, из (1.2) имеем

£*а,р(/ ■А') = а1~р^оР/ ■ д = «1-р(*)^ («*№/(*)) («"(%№

= а1^р(і) аЦі)/(і)^аЦі)д(і) + аЦі)д(і)-^аЦі)/(і)

= (*)/(*) (*)3'(*) +«1-* (*)/(*) =

= /(*)А*,§0(*) +0(*)А*,§/(*)•

Замечание 1.1. Формулу (1.4) можно определить также следующим образом: пусть т, п ^ 1 и - + - = 1. Если / имеет взвешенную производную 1?а _е_, а $ — -Оа р , то взвешенную производную -Оа,р от произведения (/ ■ ^) можно представить в виде

£*а,р(/ ■ а) = д®а,£- + /Оа>£.д.

4°. Если / имеет взвешенные производные 1?а _е_, к = 1,п — 1, то /п имеет взве-

’ 2^

шепную производную -Оа>р, причем справедливо равенство

= /

п —1

’п —2

Л = 1

В частности, при р = 0, полагая 1?а = -Оа>о, имеем

А,/" = П/""1^/.

5°. Пусть т 5= 0 и к ^ О, тогда

А*,р(«*/) = ^,|+£/•

Взвешенные производные высшего порядка определим по формуле

= Я";1 (А**),

Используя равенство (1.2) для них получаем следующее представление

= а^О™ар, (1.5)

где оператор I)™ = = '

т раз

Предложение 1.1 (формула Лейбница). Пусть /ид имеют взвешенные производные А*,§ Л° порядка п включительно. Тогда для п-ой производной -Оа>р справедлива формула Лейбница

П

°1М ■ я)=Е <#*.*/ • (*•«>

/г=0

где С* = щ™!_ку_ = — число сочетаний из к по п.

Предложение 1.2. Пусть (5 — положительная дифференцируемая функция на интервале (а, Ь) и о ^ д ^ 1. Тогда взвешенная производная Аз,д допускает представление через -Оа,р, а именно, справедливо равенство

Аз,д = ^А*,р + /%(/^, ар), (1-7)

где функция

КР,о?)= (]п§) • (1.8)

Доказательство. Пользуясь представлением оператора Аз,д

»а,=/з| + 9/9'

получаем

/3/(1 , , Д /3 д/3'а — ра'(3

т-> (3 ( Л . / п/\ Р -гч

Аз о = — — + 9Р = — А

а \ т /а

а.р

а

= ^Оа,р + рЦ^,ар). а

Предложение доказано.

Следствие 1.1. Пусть т, п — натуральные числа, тогда

( Я \ гп

Ш ВИГП+Е «*(*тет~*

ч ^ к=1

где а/г(£) — функции, зависящие от а(£), /3(£) и их производных.

Предложение 1.3. Пусть 7, (5 — положительные дифференцируемые функции на интервале (а, Ь) и г, д € [0,1]. Тогда

(1.9)

где функции ах(^), а2(£) определяются формулами

а2(і) = ^ [Л(/3,а1^) + /і(тг,ар) + М/З9, «Р)1 , а

аі(і) =7/3[/1(71',аР) ■ Нф<1./ар) + -£>а р/і(/39,ар)].

а

Доказательство, Из равенства (1.7), с учетом (1.8), имеем

Е)угГЕ)ргд]Эогр —

^ + 7М7г,^)А,д

Еа,р —

^,д+7М7г,/3'г)

■^0,д-^а,р —

|Аа>Р + 7^(7г,^) = ^„ +

^>р +/ЗЛ(/^)Д,,р

а

сх,р

^Дар- + ^/і(7г,ар) + ^/і(/3'г,ар) а а а а

А2 +

а,р 1

+

7/3

аШ^г,оР) + ^Аа„Ш9,ар) а

А

а,Р'

Теперь используя равенство Ва>р(]/а = /3/г(/3, ск1 р), получим справедливость равенства (1.9). Предложение доказано.

Предложение 1.4. Если функции а и / имеют производные до порядка п включительно, то справедливо равенство

от (^/) = £с£да(к),р/(т-*>.

(1.10)

к=0

Доказательство. Пусть ш = 1и рассмотрим разность

(£>а,р/У ~ ®<х,р? = (°^/ +Ра'-^ ~ ("^2^ +Ра^/) =

= + а'^ +Ра"^ ~ +Р(У' ^ = а'^ +Ра"^ = В<*'#!■

Таким образом,

(Да,р/)' = Да,р/' + Да,,р/.

Предположим, что равенство (1.5) доказано для т — 1. Тогда

771—1

Егук, тл р(т + 1 — к) . тл г(т — к)

(^т — 1 ^сх(к^г\р1 ^а(&) ,р!

к=О

771—1 771—1

771 — 1

771

I /'УО Г) р(771) ___ \ Л /'Ук; тл г(т — к)

"т" ^ш — \^о.,р1 2^ т, ,р!

к=О

Мы объединили слагаемые, содержащие одинаковые производные и воспользовались равенством С^ = С^п.

Предложение доказано.

Предложение 1.5. Справедлива следующая рекуррентная формула

Доказательство. Пользуясь представлением взвешенной производной (1.3) получаем

I)

(1.11)

Предложение доказано.

Следствие 1.2. Если а — к-раз дифференцируемая функция, то

Доказательство, Последовательно применяя предложение 1.5 получим

,р

а(к !) а^

а^

а

(к-1)

(к-2)

а

а

(к-1)

В(х(к-2) >р + рОР"’

а

(к)

а

а

а(к 2)

+ ра

(к-1)

(к-2) 10(*-2)

+ ра

(Л-1)

а

(л-з)

Ва(к-3) „ + РоР1

а

(к —2)

(к-3)

а

+ ра

(л-2)

а

(к)

+ ра

(к)

а

(Л)

а^"1)

а

(Л)

аО+і)

(г) ' '

а

Да,Р+ра«^Діп .

г=1 '

а

(Л)

а

а^

(к) ' '

а(к-1)'

а^1)4 '

(к-2)

а

+

Следствие доказано.

Предложение 1.6. Пусть а — дифференцируема на (а, Ь) и тп — произвольное натуральное число. Тогда

к=1

(1.12)

Доказательство, Непосредственно из предложения 1.4 имеем

= А£>а,р К;1) = ва,,рв™-' + в(Х,фвгв^р1 =

Г) Т)ш~ 1 _1_ Г) Г) Г)Гп — 2 | 7~)2 7~) тут — 2

— ^(X1 .о1-7г\ Г) “Г -Ы0',р1У0'1,р1Усх.,р ' ™ Г,1УЬ1УГ) —

'а’,р-^а,р

-\т — 1

ск,р

а,р

= в^^в™;1 + ва,рва,,рв™р2 + д^р (да,,р + £>а,рА) Д

__ Г) г)Ш — 1 I Г) Г) 1)111-2 І / )2 Г) Г)Ш — 3_|_

— -*-/а',р-1-/а,р ^ ±уа,Р±уа’гР-^а/р ~г ^а/р-^а’ ,р-*-/а,р _Г

т

+ ■■■ + в^вьва,р = £ в^в^^в^ + в™рвь.

к=1

^гп — 3 а,р

Предложение доказано.

Связь между обычной производной второго порядка и взвешенной производной устанавливает

Предложение 1.7. Если а — дифференцируемая функция, то

(І2

а ^2 — ^а,р 2р)а В(х^р ра

а / \ а

Доказательство, Представляя вторую взвешенную производную в виде

Ва,р = ( а~П + Ра' ) ( а~П + Ра'

(ІІ

(ІІ

получим

d2

,d

<*,Р - df2 ' — dt ' dt

,2

d2 - ~ ' ./ d „2„/2

— ck 0 -j" (1 -j" 2р)ск ~ H- рскск H- p ck — at2 at

II /2

aa — a

a£

2 2/2 / a ^p a + pa =

^)' + d-P»P

a / \ a

Предложение доказано.

Следствие 1.3. Для производной Da = (a j|) имеем

d_

dt

a— I = = D^jP — 2 pa' Da^p — pa2

2. Оператор взвешенной замены переменной

Пусть a = a(t) — положительная функция, определенная на отрезке [а, Ь\ и а^1 интегрируема на [а, Ь\. Положим

І

x=ip(t)=lwy (2Л)

to

Обозначим через t = ф(х) функцию, обратную к х = (p(t), а через Ga>p и Ga>^p,

(О ^ р ^ 1) [2] операторы, определенные на функциях /(ж) и <?(ж) формулами

[/(*)] = Ga,p[f](x) = ap(t)f(t)\і=ф(х), (2.2)

= Ga,-P[g\(t) = a^p(t)g(x)\x=v(t)- (2.3)

Ясно, что

Ga,PGa^p = I = Gaj^pGajp, (2.4)

где / — тождественный оператор.

Предложение 2.1. Для любого натурального числа п справедлива формула

dn

Ga,P[Dna,P\ = (2-5)

устанавливающая связь между оператором взвешенной производной и «обычной» производной.

Доказательство, Пусть п = 1. Тогда из определения функций х = </?(£), £ = ф(х) и с учетом равенства

= а(ф(х))

для гладкой функции / имеем

Оа,р[А*,р/] = = а(^(®))^Оа>р[/] ■ ^ = ^Са,Р[/]-

Отсюда непосредственно получаем

г] г] г1п

м ~ г„„_1 ,, _ « г у\п — 2 _'1'1 и

Оа,Р[К,РЛ = са,р[£>а,р(£>а,р)] = са,Рк,7Я = ^-са,р[£>2,7/] = • • • = ^са,р[/]

а,р^ ^'-c.pl а,р^ ^

Предложение доказано.

Следствие 2.1. Имеет место равенство

Са,рк,р + Я2,;1 +... + £>а,р] = р: + />г' + • • • + А)са,р. (2.6)

Следствие 2.2. Для любого натурального числа п и р,д Є [0,1], причем р ^ д, имеем

ОаАКЛ = Са,Р-,КСа,,]. (2-7)

Предложение 2.2. Для оператора Ва>яВа>р(д ф р) справедливо представление

£>а,д£>а,р = + (<? ~ Р)а'(І)Ва>р. (2.8)

Доказательство, Из предложения 2.1 и равенства (2.4) имеем

Оа^О а,ч[ВалВа,р\ = =

= Са,^д[і?ж(«^р(^Н)АСа,р)] =

= Оа^а^^х^ОІО^р + {д - р)ач~р {ф{х))а'(ф(х))ВхОагР\ =

= Оа^д [а^іФіх^Оа^ОІ ,р] + {д- р)ад^р{'ф{х)) ■ сх {'ф{х))Оа,р[Ва,р]] =

= ^а^[Оа^[В^/р\] + Оа^дОа^Кд — р)а' (і)Ва>р\ =

= в1,р + ІЯ ~ р)а'(^Рацпредложение доказано.

Предложение 2.3. Для натурального числа п ^ 1 справедлива формула

где функция (5 (х) определяется равенством

Р(х) = 1

а(ф(х))

Доказательство, Доказательство предложения проведем методом математической индукции. Пусть п = 1. Тогда из определения оператора Оаф (2.2) и равенства

(1.3) имеем

~ 1 л 1 1 ^ гл т а'(Ф(х)) _, г ,

Оа,р[Вгу\ - ОагР Ва,ру р ^ у] - ^х)) Оа,р[Ва,ру\ р Оа,р[у] -

1 1

= Т71 р\у\ + рВх( —- —) ■ 0(х р\у\ = Г) 1 р(*а,р[у\ = Ер рОа р[у]-

а{%р{х)) а{%р{х)) а(ф(х))^ * ^ * *

Пусть формула (2.9) справедлива для п — 1, тогда

Оа,р[В^у\ = = В^О^у] = Впр-\Вр,рОа,р[у]) = В^О^у].

Предложение доказано.

Следствие 2.3. Имеем место равенство

Оа,р[£)" + В™ 1 + ... + Вг\ = [Вр>р + В+ ... + Вр^Оа^. (2.10)

Замечание 2,1, Пусть 0@гР — оператор взвешенной замены переменной, тогда из (2.9) имеем

а‘С/ [СШВД] = [с*~ы]

ИЛИ

о^К-^Юу]] = ВпгУШМ)), (2-П)

X

где ф\ — обратная к функции г = Ф\{х) = / а(ф(£))с1£.

ха

3. Уравнения с взвешенными производными

1°. Рассмотрим уравнения вида

®а,РУ + а1^>а,р1у + °2 ^а,р2у + • • • + 0,п-1Ва,РУ + «пУ = 0, (3.1)

где а^{к = 1 , п) — постоянные. Уравнение такого вида (при р = 0 и а(1) = £) встречаются, например, в теории установившихся капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды [3]. Применяя к (3.1) преобразование Оаф с учетом следствия 2.1, получим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

ВхОа^р[у] + счВ™ 1Оа,р[у\ + ... + ап^1ВхОа,р[у\ + апОа,р[у\ = 0, (3.2)

где функция Оа^р[у\ определяется формулой (2.2). Полагая Оа^р[у\ = екх, получим характеристическое уравнение (3.2)

кп ^ ™Ь ... + ап—\к ап — 0.

Если ,кп — корни характеристического уравнения, то уравнение (3.1) имеем

частные решения

у = а^р (£) ехр ( к{ 1, г = 1, п.

V ] Ф)/

*0

2°. Из следствия 2.3 получаем, что любое линейное дифференциальное уравнение

3°. Пусть а — а(1) и (5 = (3{Ь) — непрерывные положительные функции на отрезке [с, <1\ и числа р, д € [0,1].

Введем следующие обозначения

Теорема 3.1. Пусть для последовательности чисел {(7/,} найдутся числа с', в! и натуральное число щ, что Є (с', (і') при к > щ. Обозначим через а' = тіп{а^ : 1 ^ к ^ «о} и а" = тах{а/г : 1 ^ к ^ «о}. Если функции а(Ь),(3(Ь0 положительны и непрерывны па некотором отрезке [с,<1\, содержащем точки а', а", с' ,<і', то ряды (3.6) и (3.7) абсолютно и равномерно сходятся, по крайней мере, на отрезке [с', (і'} и допускают взвешенное дифференцирование (по крайней мере для і Є (с', сі')), причем

Доказательство. Из теоремы 3.1 получаем, что общее решение уравнения взвешенными производными В и Ва,р вида

(В™ + а\(і)В" гу + ... + ап-\{і)Ві + ап(і))у(і) — /(і)

приводимо к уравнению с взвешенными производными

{Вр,р + аі(Ф(х))^>1/з>р1 + • • • + а-п-1 (Ф(х))Вр,р + ап(ф(х)))Оа,р[у\ — Са,р[/].

(3.3)

Легко видеть, что для любого к = 0, 1, 2, ... справедливы равенства

Аз,дАа,р^2& — и2к+2і В0^Ва^рІІ2к+1 = ‘Ч2к-1-

(3.4)

(3.5)

Рассмотрим следующие ряды

СЮ

к(ХАг) = ио(1) + «2 (г) + • • • + U2k.it) +... = ^«2* (г),

(3.6)

сю

За./З (Ї) = Щ (Ї) +щ(і) + ...+ и2к+1 (І) + ... = У2 и2к+1 (і) •

(3,7)

■В^,цВа!рКа^(і) — Ка^(і) ВцлВ^в^) = Ба^).

(3.8)

(3.9)

В 0,дВа>рУ — У

(3.10)

представимо в виде

у = С1Ка>$(і) + С2За>$(і),

(3.11)

где ( (.'■> — произвольные постоянные.

Действительно, линейная зависимость функции Ка^ и Заф очевидна в случае «2 = ак Для к > 2 на отрезке Тогда имеем

1

-^а,/?(®2) ~cyP(t), Ва,р-^-а,^{0'2) 0; ■^а,р'^а,(з(®2) !•

Для функции (3.11) получим

<11

у{а2) = Сіа-р(а2) + С2а~р(а2) I Р~9(О<х0~ЧО<%

у,{а2) = С1-[ - ^ + Г^Ма^Ы]

аі

а-р(а2), а~Ца2) /ПСИС)^

аі

&2

-^ра\а2)оГр~1{а2), -ра'(а2)аГр(а2) / (ҐСІ(£,)оГр¥1(0(1£,+(Ґ(1(а2)оГ1(а2)

а і

= ГУ-Р-1

= а^1(а2)ГЦа2)фО.

Следовательно, формула (3.11) дает общее решение уравнения (3.10) при произвольных постоянных С\ и С2.

4°. Рассмотрим уравнение вида

В\у + аі(£)Ау + а0(і)у = 0,

(3.12)

где ах, а о — любые непрерывные функции. Имеет место

Теорема 3.2. Любое уравнение (3.12) может быть представимо в виде (3.10), если функция а удовлетворяет уравнению

о!1 (1 р)с%

а функция (5 — равенству

1 / Г \ (р+1)а

аі{г)-------а0(г) - ( ехр( «і(С)^С)

ІО

= 0,

(3.13)

(3 = а ехр ( J ах (£)(!£

ІО

(р +1)9

(3.14)

а числа р € (0,1], д € [0,1] — фиксированы.

Доказательство, Используя представление (1.3) взвешенной производной, получим

Аз,<гА*,г>У = (/?А + д/3')(«Ау + ра'у) =

= а/ЗИ^у + [(1 + р)Ра' + + (рда' (3' + р(3а")у.

Тогда уравнение (3.10) принимает вид

В\у +

/1 г \а' &

(1 + ,!)« +<17

і а'Р' а" і А п Ау + ря—т- + р----------д у = °-

ар а ар}

Сравнивая (3.15) и (3.16), получаем

а і (і) = (1 + р) ^ + я^ = (лп{а1+р ■ (З4)^ ;

а! Р' а" 1

ао(*) =РЯ~ 1 -5- +Р дар а------ар

Из равенства (3.14) имеем

а ■ (3 =

ехр(J ах (£)(!£)

Учитывая равенство

£_1

Р Я

а

а-і(і) + (1 +р)~ а

вытекающее из (3.16), имеем

(3.15)

(3.16)

(3.17)

а' а"

ао{і) =раі{г) +р{1+р)-------Ьр—

а а

ехр(J аі(0<%)

І0

_ 1 (Р + 1)<?

ИЛИ

(у11 + (1 + Н-

- ~ра,(і) - ^ехр ( І

іо

(р+1)<?

а = 0.

(3.18)

Таким образом, для нахождения функций а и (3 получим систему ' . ч_____I

* \ (р +1)9

о,11 + (1 + р^оі! На ■ (3 =

°і№ - - ( ехр(/аі(С)(іС)

\ £о

і

а = 0,

ехр(/сц(£)с^)

І0

(р+1)<?

Теорема доказана.

Положим в (3.13)

\ /Г \ (i+p)«

h(t) = cii(t)---ao(t)^exp( ai(C)^CJ • (3.18)

to

Тогда уравнение (3.13) принимает вид

a" + (1 + p)a' + h(t)a = 0. (3.19)

Разделив обе части на а, получим

сх" о1

— + (l+p)- + h(t)=0. а а

Введем следующие обозначения

а' . а"а^(а')2 а"

z = —,z' =---------2^- =---------(—)2.

а а* а а

Тогда окончательно получим уравнение Риккати [4]

z (1 p)z z2 h(t) — 0.

Таким образом, уравнение (3.12) приводимо к виду (3.10), если функция — удовлетворяет уравнению Риккати (3.20), а функция (3 определяется равенством (3.14).

Литература

1. Муравьев П. А. Обобщенная производная и ее применение к решению обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем.—1962.—№ 1 (26).—С. 89-101.

2. Глушко В. П., Савченко Ю. Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ.—1985.—Т. 23.^С. 125-218.

3. Секерж-Зенькович Я. И. К теории установившихся капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды // ДАН СССР.^1956.^Т. 109, № 5.—С. 913-915.

4. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.—Минск: Вышэйшая школа, 1974.