Уравнение Лиувилля в исследовании устойчивости систем дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917+517.925

УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ В ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Г, А, Рудых, Д, Я, Киселевич

1. Введение. В настоящей работе исследование на устойчивость движения и построение функций Ляпунова первого, второго и третьего рода [1] для неавтономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

x = X(x,t), x(t)\t=t0= Х, (1-1)

сведено с использованием соответствующего ей уравнения Лиувилля

[2]

д

— f(x,t) + V-[X(x,t)f(x,t)\=0, f(x,t)\t=to = /о (ж), (1.2)

к изучению потока некоторой непрерывной среды (потока изображающих точек системы ОДУ (1.1)) в R" с плотностью f{x,t) Д 0. Здесь x, X (x, t) — векторы из МД G С R"+1 — открытое множество; G = Ях I; Л С R" — область, содержащая точку x = 0;/ = {t : s < t < + то}; s — число или символ —ж; Ц G I; X : G ^ МД X(x,t) G СД'*(G); X(0, t) = 0 для всех t G I;

f0(x) ДО, f0(x) G С1 (Л)- (1-3)

Будем говорить, что для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение А, если X(x, t) G ©Д1'* (G), решения продолжаемы до бесконечности и остаются в области Л при их продолжении как вправо, так и

© 2011 Рудых Г. А., Киселевич Д. Я.

влево по t. При выполнении предположения А через каждую точку xq G О в любой момент времени to G I проходит единственное решение x(t) = x(xo,to,t) задачи Коши (1.1).

Введем ряд обозначений, используемых ниже: х(х, t) = V-X(х, t) — дивергенция векторного поля X(x,t) системы (1.1); x{x{xo,t$,t),t) — дивергенция векторного поля X(x,t), вычисленная вдоль ее решения x{t) = x(xQ,tQ,t)] m(fi) — мера Лебега множества О С М";

D(x(x0,t0,t),t) = det

dx(x0,t0,t)

дхо

якобиан отображения х ^ x(xo,to,t);

S(x, t) = det

dx0(x,t,t0)

dx

— якобиан отображения х ^ xo{x,t,to).

В дальнейшем систему ОДУ (1.1) будем трактовать как закон движения изображающей точки х в фазовом пространстве М".

2. Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения Лиувилля. Ансамблем Гиббса системы ОДУ

(1.1) назовем множество идентичных систем вида (1.1) с одинаковыми правыми частями, отличающихся друг от друга лишь начальными состояниями. Если систему ОДУ трактовать как закон движения изображающей точки х в М", то ансамблю Гиббса системы ОДУ (1.1) будет соответствовать в М" ансамбль изображающих точек. Пусть fito С 0 — компактное множество, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в момент времени t = tg. Каждая из изображающих точек хо G fit0, двигаясь по траекториям системы ОДУ

(1.1) , переместится за время от to до t в новое состояние x(xo,to,t) = T(t,tQ)xQ € fit С fi, где T(t,t0) — оператор сдвига [3] по траекториям системы ОДУ (1.1); fit = {x(xQ,tQ,t) = T(t,tQ)xQ : х0 € fito} — образ множества fito в силу системы ОДУ (1.1). Итак, имеем fit = T(t, to)fito. Функцию /о(х), обладающую свойствами (1.3) будем трактовать как

плотность распределения ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в множестве fito. Как будет показано ниже, текущее значение функции плотности распределения f(x,t) > 0 определяется из задач Коши (1.2) и характеризует состояние ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в образе fit множества fito.

Теорема 1 Пусть для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение А. Пусть fito С О — компактное множество, занимаемое ансамблем Гиббса системы ОДУ (1.1) в начальный момент времени t = tg и характеризуемое функцией плотности распределения f(x) со свойствами (1.3). Пусть каждая из изображающих точек щ G 0to, двигаясь по траекториям системы ОДУ (1.1), переместится за время от ф до t в повое состояние x(xo,to,t) = T(t,to)xo G fit G fi. Пусть множество fit, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в текущий момент времени t G I, характеризуется функцией плотности распределения f(x,t). Тогда функция f(x,t) удовлетворяет задаче Коши (1.2), решение которой существует, единственно и обладает свойствами

f{x,t) >0 ,{x,t) G G, f{x,t) G C£’1] (G), (2.1)

f{x{xa, t0, t, t) = f(x(t0), t0) exp

t

j x(x(xo,to,r),r)dr

t0

= fo(xo)/D(x(x0,t0,t),t), (2.2)

f(x, t) = f{p{x, t, to), t0) exp

t

J x(x(p(x,t,to),t0,T),r)dr

t0

= fo(p(x,t,t0))S(x,t), (2.3)

где p{x,t,to) = T— {t,t0)x = x0.

Доказательство Так как для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение А, то x(t) = x(xo,to,t) являются непрерывно дифференцируемыми функциями по совокупности xo,to,t для любой точки

x € fit0 и t € /. Поэтому отображение, осуществляемое оператором сдвига T(t,to) : fito ^ fit и задаваемое соотношениями x(t) = x(xo,t,t), взаимно однозначно, дифференцируемо, а следовательно, и непрерывно в любой точке x* € 010. При этом линейный ограниченный оператор

dx(x0,t0,t)

dxo Xq = X*

действующий из Мп в Мп, является производной Фреше нелинейного оператора T(t,t0) в точке x* € 0to [3,4]. Так как непрерывный образ компакта есть компакт, из компактности множества fito следует компактность множества fit. Из непрерывности и взаимной однозначности отображения T(t,t0) : fito ^ Пt следует, что оператор сдвига T(t,t0) по траекториям системы ОДУ (1.1) определяет гомеоморфизм множества fito С 0 в множество fit С 0. Далее, ввиду того, что отображение, осуществляемое оператором сдвига T(t, to) : fito ^ Clt, непрерывно дифференцируемо и D(x(x0,t0,t),t) ф 0, для любой точки x € 0t существует единственное непрерывно дифференцируемое обратное отображение х = T— (t, ta)x, якобиан которого S(x,t), как будет показано ниже, удовлетворяет задаче Коши

д

—S(x,t) + V • [X(x,t)S(x,t)\ = 0, S(x,t)|t=t0 = 1. (2.4)

Итак, в начальный to и текущий t моменты времени ансамбль изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) содержится соответственно в множествах fito, fit = T(t,to) flto и характеризуется функциями плотности распределения fo(x), f(x, t). Так как множества fito и fit гомео-морфны, образ x(x,to,t) произвольно выбранной точки x € 0to при отображении x(x,to,t) = T{t,to)xo принадлежит в текущий момент времени t € I множеств у fit. Тем самым выполняется интегральный закон сохранения

/ fo(x)dx0= /

ач

п.

f(x, t) dx

(2.5)

для любого t G I, где интегралы, стоящие в левой и правой частях формулы (2.5) — количество изображающих точек в множествах fito и fit. Отметим, что если имеет место равенство (2.5), то согласно [5,6] система ОДУ (1.1) имеет интегральный инвариант порядка n G N. При этом функция f(x,t) > 0 называется ядром или плотностью интегрального инварианта. Используя замену переменных x ^ x(x0,t0,t), преобразуем правую часть соотношения (2.5) к виду

/ HxA>dx = 1 ПхХМ.‘МхМ.‘).<>)<Ьо.

fit fit0

Подставляя это выражение в (2.5), приходим к тождеству

J fo(xo)dx0= J f(x(xo,t0,t),t)D(x(xo,t0,t),t) dx0,

где fo(xo) = f(x(to),to). Так как fito С О — произвольное компактное множество, из последнего соотношения следует зависимость

f(x(t0),t0) = f(x(xo,to,t),t)D(x(x0,to,t),t). (2.6)

Дифференцируя (2.6) по t и учитывая, что f (x(to),to) — постоянная функция, имеем

^■[f(x(xQ,tQ,t),t)D(x(xQ,tQ,t),t)] = 0. (2.7)

Находя производную от D(x(xa, t0,t), t) по t по правилу дифференцирования определителей, нетрудно убедиться, что якобиан D(x(xo, t,t), t) удовлетворяет задаче Коши

d

dt

D{x{xa, t0, t), t) = x{x(x0, ta, t), t)D{x{xa, t, t), t),

D(x(x0,t0,t),t)\t=t0 = 1.

(2.8)

Подставляя (2.8) в (2.7) и учитывая, что D(x(xo,tg,t),t) > 0, получим

уравнение

4rf(x(xo,tQ,t),t) + x(x(xo,to,t),t)f(x(xQ,tQ,t),t) = 0. dt

(2.9)

Итак, с одной стороны, из (2.9) следует справедливость формулы (2.2). С другой стороны, в силу того, что x(t) = х(хоДоД), из (2.9) получим уравнение Лиувилля (1.2). Теперь используя формулу (2.2), построим решение задачи Коши (1.2). С этой целью запишем характеристическую систему уравнений, соответствующую задаче Коши (1.2). Для этого к системе ОДУ (1.1) присоединим уравнение

^/(жД) = -x(x,t)f(x,t), f(x,t)\t=to = /о(ж) G О1 (О), (2.10)

где ^/(жД) — производная в силу системы ОДУ (1.1). Теперь разрешим n соотношений x(t) = х(хоДоД) относительно n начальных состояний. Это возможно, так как отображение, осуществляемое оператором сдвига T(t,t0) по траекториям системы ОДУ (1.1), является гомеоморфизмом. Более того, выполняются все условия теоремы о существовании неявной функции х = р(хДДо). Итак, имеем хо = T— (t,to)x = p(x,t,to). Очевидно, что p(x,t,to) € (G) представ-

ляют собой n независимых первых интегралов системы ОДУ (1.1). Тем самым из формулы (2.10) с учетом (2.8) следует, что функция f(x,t), вычисленная вдоль решения x(t) = х(хоДоД) системы ОДУ (1.1), удовлетворяет соотношению (2.2). Покажем, что функция S(x,t) удовлетворяет задаче Коши (2.4). Ясно, что функции D(x(x0 До, t),t) и S(x, t) взаимно обратны, т. е.

D(x(xo;to;t);t)S(x,t) = 1, (2-11)

где х € О to их € О t связаны соотноше ниями x(t) = х(хоДоД). Подставляя D(x(x,to,t),t) из (2.11) в (2.8), приходим к справедливости задачи Коши (2.4), причем

S(x, t) = exp

t

j х(х(р(хДД0)До,т),т) dr

t0

(2-12)

Из (2.2) с учетом зависимости (2.12) и соотношений x(t) = х(хоДоД), X = p(x,t,to) получим, что имеет место формула (2.3). Наконец, из

(2.3) следует справедливость (2.1). Действительно, так как fo(p(x, t, to)) = fo(xo) > О, то f(x,t) > 0 для (x,t) £ О, причем функция f(x,t) принадлежит сХ’1^ (О) как суперпозиция функций класса сХ’1^ (О). Теорема доказана.

3. Функции Ляпунова первого, второго и третьего рода для системы ОДУ (1.1). Будем говорить, что для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение В, если все ее решения с начальными условиями xo £ Оto С 0, где 0to — компактное множество, не стремятся к границе 50 области О С R" при t Естественно, что

в случае неустойчивости решения системы ОДУ (1.1) могут при t ^ж сколь угодно близко приближаться к границе 50 области О С R". Введем обозначения: Ф = {х £ R" : х £ О, Xi(x,t) = 0, i = l,n, t > to} — множество особых точек системы ОДУ (1.1); Sg = {x £ R" : x £ О, ||x|| < Д — ^-окрестность точки 0 £ Ф; W(x,t) = l/f(x,t) — функция, характеризующая степень близости фазовых траекторий системы ОДУ (1.1) в О = Ox I. При любом фиксированном t £ I функция W (x, t) является мерой разреженности ансамбля изображающих точек системы ОДУ (1.1) в области О С R". В дальнейшем функцию W(x,t) будем называть функцией разреженности. Пусть Wo(x) = W(x,t)\t=t0 со свойствами

W0(x) >0, W0(x) £ C1 (О) (3.1)

— функция разреженности ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в множестве 0to С О. Тогда нетрудно убедиться, что текущее значение функции разреженности W(x, t) удовлетворяет задаче Коши

5 "' 5

— W(x,t) + '^2xi(x,t) — W(x,t) -x(x,t)W(x,t) = 0,

W(x,t)\t=t0= W0(x) £ C(0).

Утверждение 1 Пусть для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение А. Пусть 0to С О — компактное множество, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в начальный

момент времени t = t$ н характеризуемое функцией разреженности Wo(х) со свойствами (3.1). Пусть каждая из изображающих точек хо € flt0 > двигаясь по траекториям системы ОДУ (1.1), переместится за время от tg до t в повое состояние х(хо, to, t) = T(t, Ц)х € 0t С О. Пусть множество Qt, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в текущий момент времени t € I, характеризуется функцией разреженности W(x,t). Тогда функция W(x,t) удовлетворяет задаче Коши (3.2), решение которой существует, единственно и обладает свойствами

W(x,t) > 0, (x,t) € G, W(x,t) € СДд) (G), (3.3)

W(x(xQ,to,t),t)

W(x(t0),t0)exp

x(x(x0,to, r),r)dr

to

= Wo(xo)D(x(x0,to,t),t),

(3.4)

W (x, t)

t

W(p(x, t, t0), to) exp

x(x(p(x,t,to),to,r),T)dr

Jo

= Wo(p(x,t,to))/S(x,t),

(3.5)

где p(x,t,t0) = T 1 (t,to)x = x0.

Доказательство этого результата проводится по аналогии с доказательством теоремы 1.

Запишем задачу Коши (3.2) в виде

W(x,t) = x(x,t)W(x,t), W(x,t)\t=t0= Wo(x), (3.6)

где W(x,t) = W(x,t) — полная производная, вычисленная в силу

системы ОДУ (1.1). Из (3.5) следует, что имеет место цепочка равенств

W(x,t)\t=t0 = W0(x) = W0(p(x,t0,t0)),

т. е. p(x,t0,t0) нию

х. Итак, формулы (3.5), (3.6) приводят к соотноше-

' t

W (х, t) = Wa(x) exp

х{х, т) dr

Jo

(3.7)

В дальнейшем относительно начального значения функции разреженности Wo(x) е СДП) будем предполагать, что

Wo(0) = 0, W0(x) > 0, х ф 0.

Данное предположение оправдано тем, что первые интегралы, соответствующие приведенной системе ОДУ (1.1), одновременно обращаются в нуль в особой точке x = 0 е Ф. Ниже также будем предполагать, что начало координат является изолированной особой точкой системы ОДУ (1.1).

Пример 1. Рассмотрим систему ОДУ 2 2

Х\ = Х2, Х2 = -Х2 — Xi (to) = х®, Х2 (to) = х%, t ^ ф > 0. (3.8)

Построим для системы ОДУ (3.8) функцию разреженности, которая будет удовлетворять задаче Коши (3.2), т. е. проверим справедливость утверждения 1 для системы ОДУ (3.8).

Запишем решение системы (3.8):

*i<()(I - щ)+4

и разрешим его относительно xj, x|. Получим

^ = £ (2 “ т9 + ‘" (£ “ 0 *г’ г° = К1 “ £)11 + (2^ “ 0 12■

Найдем дивергенцию системы (3.8):

d d (2 2 \ 2

Д X2 + dx\ dx2 U"2 “ ¥Xl) ~ t

и функцию разреженности, удовлетворяющую соотношению (3.7):

W(x1,x2,t) = W0(xl,x%) exp |У" | W0(xl,x%).

В качестве начальной функции разреженности Wo(xJ(xi,to,t), x§(x2, to,t)) возьмем функцию Wq (xJ(xi,to,t),x§(x2, t,t)) = (xJ+xDT Тогда функция разреженности примет вид

W(x1,x2,t) = (^j (^х1^т(2-т)+ j(l - т]

+ х2Щ{т - 1) + (2т - 1))J ,

где т = txf.

Легко убедиться, что такая функция разреженности удовлетворяет задаче Коши (3.2) для системы ОДУ (3.8):

dW dW dW (2 2 \ 2TI„

ДГ + эДХг + аД (- сх‘) = tw(х" Xxt]-

Таким образом, для системы ОДУ (3.8) справедливо утверждение 1, т. е. существует единственная функция разреженности W(x,x,t), обладающая свойствами (3.3)-(3.5).

Вещественную функцию W{x,t) G сХ’1^ (G), определенную bG = f! x I и удовлетворяющую условию W(0, t) = 0 для t G I, назовем функцией Ляпунова системы ОДУ (1.1). С учетом этого из формулы (3.7) следует, что W(0,t) = 0 для t G I. В любой точке х G Sg, х ф 0, и t G I имеем W(х, t) > 0, причем согласно (3.3) справедливо включение W(x,t) G С^ (G). Если в некоторой ^-окрестности Sg особой точки О G Ф существует определенно положительная функция V(x) такая, что

W(x,t) ^ V(x) > 0, x G Sg, t G I, (3-9)

то функцию W(x,t) будем называть, как обычно, определенно положительной. При этом, исходя из задачи Коши (3.6) и утверждения 1, для производной функции разреженности W(x,t), вычисленной в силу системы ОДУ (1.1), имеют место свойства

W(x,t) е ф1] О, W(o,t) = o, t е I,

W(x,t) < 0, если x(x,t) <0, x е Sg, t е I, (3.10)

W(x,t) = 0, если x{x, t) = 0, x е Sg, t е I,

W(x,t) > 0, если x{x,t) >0, x е Sg, t е I.

Теорема 2 Пусть для системы ОДУ (1.1) выполняется предполо-

жение А. Тогда функция разреженности W(x,t) е C?t^ (О), удовлетворяющая задаче Коши (3.2), является функцией Ляпунова первого, второго и третьего рода, если выполняются соответственно условия:

1) W(x, t) удовлетворяет (3.9), x{x,t) ^ 0 для x е Sg, t е I;

2) W(x, t) удовлетворяет (3.9), имеет пулевой верхний предел при x —— 0 и x(x, t) определенно отрицательна для x е Sg, t е I;

3) W(x, t) имеет пулевой верхний предел при x — 0 и x(x, t) определенно положительна для x е Sg, t е I.

Доказательство этого результата непосредственно следует из утверждения 1 и соотношений (3.6), (3.7), (3.9), (3.10). Итак, при выполнении условий 1-3 тривиальное решение x = 0 системы ОДУ (1.1) будет соответственно устойчивым, асимптотически устойчивым и неустойчивым по Ляпунову [1].

Рассмотрим функцию разреженности для системы (3.8): W(x1,x2,t) = ^т(2 - т) + ?(1 - т)^

+ x2(t0(r -1) + (2т -1))^ , (3.11)

где т = Функция разреженности (3.11) обладает свойствами функции Ляпунова для системы (3.8), т. е. для нее выполняется условие

W(0,0,t) = О Vt ф to > 0. Более того, для системы (3.8) с функцией разреженности (3.11) будет выполняться п. 3 теоремы 2 и, следовательно, согласно этой теореме функция (3.11) будет функцией Ляпунова третьего рода для системы ОДУ (3.8).

4. Достаточные условия неустойчивости дивергентного

вида. Ослабим достаточные условия неустойчивости (п. 3 теоремы 2) тривиального решения x = 0 системы ОДУ (1.1) таким образом, чтобы последние выражались лишь через дивергенцию хДД) = V • X(x,t). Итак, пусть Vt0 = m(fito), Vt = тД1t) — меры Лебега областей fito, fit C fi C R", которые занимает ансамбль изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в начальный to и текущий t моменты времени, где fit = T(t,to)fito; T(t,t0) — оператор сдвига по траекториям системы ОДУ (1.1). Тогда справедлива формула [7]

/ t \

Vt= / D(x(x0,t0,t),t)dx0= exp I / хДДоДо,т),тДт

fit

0

^"2^ Vo

dx$.

(4.1)

Теорема 3 Для того чтобы тривиальное решение x = 0 системы ОДУ (1.1) было неустойчивым по Ляпунову, достаточно, чтобы для нее выполнялись предположения А, В и условия

хДД) ДО, x G SEl, щ > 0; lim хДД) = фД),

t^x (4.2)

ФД) g О1 (О), ф(0) = 0, фД) > 0, x ф 0.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что для системы ОДУ (1.1) выполняются условия (4.2), однако тривиальное решение x = 0 последней устойчиво по Ляпунову. Тогда выполняется следующая логическая цепочка:

Де > 0)(Vt0 G I)(33 = ЗД,Д) > 0)(V^ G Ss)(Vt > t0) ||x(x0,t0,t)|| < е.

(4.3)

Другими словами, (4.3) означает, что любая траектория системы ОДУ (1.1), начинающаяся при t = to в Ss, те выходит из сферы Se при

t Будем считать, что е < £\. Рассмотрим преобразование фЬ) =

x(xo,to,t) = T(t,to)xQ для системы ОДУ (1.1), переводящее за время от to до t область Sg в область Пусть Vto ,Vt — лебеговы меры

областей Sg и fit- Тогда из формулы (4.1) с учетом того, что область fit в силу устойчивости содержится в Sg, т. е. справедливо включение fit С Se, имеем

^jVt = J x(x(x0,to,t),t) exp

«г

t

J x(x(xo,tQ,T),T)dT

t0

dxo

= J D(x(xo,to,t),t)x(x(xo,to,t),t) dxo = j x(x,t)dx ф J x(x,t)dx. Ss S>t Se

Кроме того, справедлива цепочка равенств d

t—► оо dt '' t-

lim —Vt = lim [ x(x,t) dx = [ lim x(x,t) dx = [ ф(х) dx. t—dt t—J J t—J

Из условий на функцию фт) следует, что / фф dx > 0. Таким об-

Se

разом, функция Vt те убывает и найдутся такие постоянная a > 0 и момент времени Д > to, что j^Vt X «• Отсюда следует, что

lim —Vt = оо,

t—™ dt

а это противоречит тому, что fit С Se. Теорема доказана.

Пример 2. Рассмотрим систему ОДУ

xi =

(sint)2

e t )xi

— e 1x2 + xj + xix2,

(sint)2 _t

X2 = I —73------e * I X\

(sin Д2 „_t\ , я , _.2

(sint)2

e xo + x-, xo + xo

(4.4)

t

t

t

Покажем, что для системы ОДУ (4.4) справедлива теорема 3. Дивергенцией системы (4.4) будет функция

. . „(sint)2 „ _t . 9 . 9

x(xi,X2,t) = 2V—^-----Ь 2e * + 4х^ + 4х^,

для которой выполняются условия (4.2):

х(х, x,t) > 0, lim x(xi, х, t) = 4x± + 4x% = ф(х\, х),

t—

ф(0,0) = 0, ф(х\,Х2)>§ Ух±фО,Х2фО.

Теперь проверим неустойчивость тривиального решения системы (4.4). С этой целью построим функцию Ляпунова для системы (4.4) и покажем, что для нее справедлива теорема Ляпунова о неустойчивости [1]. Рассмотрим функцию V(x,X,t) = t(xf + х|), которая будет определенно положительной для всех t > 0. Вычислим ее производную в силу системы (4.4):

VX, X2,t) = Xi + х% + t(2xiXi + 2^X2)

= (Xi+X2)(l+2t ^^ ^ +2t(xf+X2))+4txiX2

Функция V[х\,х,t будет определенно положительной при t 6 [0',t*], где Щ- < t* < т. е. при t ^ t* выполняется условие третьей теоремы Ляпунова:

V(Xl,X2,t)V(Xl,X2,t) > 0.

Следовательно, тривиальное решение системы (4.4) неустойчиво по Ляпунову при t

Настоящая работа дополняет результаты, полученные в [8,9], и примыкает к исследованиям, проведенным в [10].

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Изд-во Моек, ун-та, 1998.

2. Steeb W. И. Generalized Liouville equation, entropy, and dynamic systems containing limit cycles // Physica. 1979. V. 95A, N 1. P. 181-190.

3. Красносельский M. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений.М.: Наука, 1966.

4. Треногий В. А. Функциональный анализ.М.: Физматлит, 2002.

5. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гостехиздат, 1949.

6. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982.

(sint)2

-t

— e

t

7. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

8. Рудых Г. А. Обобщенное уравнение Лиувилля в исследовании устойчивости неавтономных систем // Динамика нелинейных систем. Новосибирск.: Наука, 1983. С. 142-152.

9. Рудых Г. А. Связь теоремы Лиувилля для неавтономной системы дифференциальных уравнений с устойчивостью движения / / Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск.: Наука, 1984. С. 157-170.

10. Жуков В. П. Полевые методы в исследовании нелинейных динамических систем. М.: Наука, 1992.

г. Иркутск

20 ноября 2010 г.