Критерий сильной неустойчивости по Ляпунову семейства траекторий системы обыкновенных уравнений относительно множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.917+517.925

КРИТЕРИЙ СИЛЬНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ СЕМЕЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО МНОЖЕСТВА Г, А. Рудых, Д, Я, Киселевич

§ 1. Введение

Рассмотрим нелинейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

x = X{x,t), x(t) |i=s = x0, (1.1)

где x, X(x, t) — векторы из МП G С Rn+1 — открытое множество; G = Ох I; I = {t : s ^ t < t*}; Q С Rn — область, являющаяся проекцией G в Д"; X(x, t) G C1(G ^ Rn); t* — число на полупрямой t > s или символ

В дальнейшем относительно системы ОДУ (1.1) будем использовать два предположения. Будем говорить, что для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение А, если Xj(x,t) G cXt'1^ (G), решения последней продолжимы до бесконечности и остаются в области Q G Rn

t

что для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение В, если все ее решения с начальными условиями x° G О s С О не стремятся к границе 90 области Q при t ^ ж, где 0s С О — компактное множество положительной меры Лебега mes Os >0.

Введем ряд обозначений, используемых ниже: p(x, z) — расстояние между элементами x, z G МП x(x, t) = V • X(x,t) — дивергенция векторного поля X(x,t) системы ОДУ (1.1); x(x(x0, s, t), t) = © 2013 Рудых Г. A., Киселевич Д. Я.

V • X(x,t)|x=x(xojSli) — дивергенция векторного поля X(x,t), вычисленная вдоль ее решения x = x(x°, s,t); flt = {x(x°,s,t) = T(t,s)x° : x° G 0s} — множество переменной структуры из МП T(t, s) — опе-

t

Лебега множества flt С M"; D(x(x°, s,t),t) = det || || — якоби-

ан отображения х° —> x(x°,s,t); S(x,t) = det || дх || — якобиан отображения x(x0, s,t) ^ x°.

В работе устанавливается связь теоремы Лиувилля [2] для системы ОДУ (1.1) с устойчивостью движения по Ляпунову [3]. В частности, получены достаточные условия, обеспечивающие сильную неустойчивость по Ляпунову семейства траекторий Qt с М" системы ОДУ (1.1) относительно компактного множества 0s с М" ее начальных состояний. С использованием теоремы Лиувилля введены в рассмотрение и оценены снизу функции, характеризующие локальную расходимость и неограниченную сгущаемость траекторий системы ОДУ (1.1). Полученные результаты применяются к задаче о входе космического летательного аппарата в атмосферу планеты с неработающим двигателем (пассивный спуск).

§ 2. Теорема Лиувилля для неавтономной системы ОДУ

В дальнейшем систему ОДУ (1.1) будем трактовать как закон движения изображающей точки x в фазовом пространстве М". Ансамблем Гиббса назовем множество идентичных систем вида (1.1) с одинаковыми правыми частями и отличающимися друг от друга лишь начальными состояниями. Итак, если систему ОДУ (1.1) трактовать как закон движения изображающей точки x в М", то ансамблю Гиббса системы (1.1) будет соответствовать в М" ансамбль изображающих точек. Пусть Qs с О — компактное множество положительной меры Лебега mesOs > 0, занимаемое ансамблем изображающих точек

ts

дая из изображающих точек x0 G Qs, двигаясь по траекториям си-

стемы ОДУ (1.1), переместится за время от в до £ в новое состояние х(х0, в, £) = Т(£, «)х0 € О4 С 0, где Т(£, в) — оператор сдвига [1] по траекториям системы ОДУ (1.1); — образ множества 0Я в силу системы ОДУ (1.1); П4 = Т(М)Пя.

Определение 1. Множество переменной структуры П4 С О назовем равномерно стягивающимся к точке х* € 0, если

вир р(х*,х) ^ 0.

жеп 4

Определение 2. Отображение ^ : В С М" ^ М" назовем непрерывным в точке г € Б относительно множества В, если для любой е-окрестпости К(х, е) точки х = ^ существует ¿-окрестность Кг, £) точки г такая, что для всех точек, принадлежащих множеству К(г, О В, справедливо включение

ИК(г,£) П В С К(х,е).

Ниже будем использовать уравнение Лиувилля (уравнение неразрывности) [4]

^/(х,*) = Ь/(х,*), ¡(х,1%=5 =/0(х), (2.1)

соответствующее системе ОДУ (1.1) и выражающее закон сохранения ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1). Здесь

" д

ь = = -V •№,*)•] (2.2)

г=1

— оператор Лиувилля, действующий по формуле Ь : М") ^ Ь2 (М"); /о (х) = /(х, в) — функция, удовлетворяющая условиям

/о(х) > 0, /о(х) € (МП, У /о(х) ¿х = 1.

/х

деления ансамбля изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в множестве Пя. Текущее значение функции плотности распределения

f(x,t) определяется из задачи Коши (2.1) и характеризует состояние

t

множества fis. Уравнение Лиувилля (2.1) с учетом (2.2) можно переписать в виде

^f(x,t) = -x(x,t)f(x,t), f(x,t)\t=s = /о (ж), (2.1)'

где -^f(x,t) — полная производная в силу системы ОДУ (1.1). Из уравнения Лиувилля (2.1)' следует зависимость

jtD{x{xQ, s, t),t)= х(х(х°, s, t), t)D(x(x°, s, t), t),

D(x(x0,s,t),t) |t=s = 1.

В работе [5] показано, что функция S(x,t) определяется из решения задачи Коши

%-S(x,t) = LS(x,t), S(x,t)\t=s = 1, (2.4)

dt

где L — оператор Лиувилля, определяемый согласно (2.2).

Теорема 1. Пусть для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение А. Пусть Qs с О — компактное множество положительной меры Лебега mes 0s > 0, занимаемое ансамблем изображающих точек

ts

каждая из изображающих точек x° G 0s, двигаясь по траекториям

st

ипе x(x0,s,t) = T(t, s)x° G Clt. Пусть Qt = {x(xQ,s,t) = T(t,s)x0 :

x G s} s

оператор сдвига T(t, s) по траекториям системы ОДУ (1.1) определяет гомеоморфизм множества 0s с О в множество 0t = T(t, s)Qs. Кроме того, 0t с О является компактным множеством положительной меры t>

t

mesOt = J J x(x,r)dxdr + mes 0s, (2.5)

s fit

lim — lnmesOj = (2.6)

Qt^x* dt

Доказательство. Так как для системы ОДУ (1.1) выполняется предположение А, решения x(t) = x(x°, s, t) последней являются непрерывными и непрерывно дифференцируемыми функциями класса C2 по t C1 пох°, s. Тогда отображение T(t, s) : fis ^ fit, осуществля-

емое оператором сдвига T(t, s) то траекториям x(t) = x(x0, s, t) системы ОДУ (1.1), является взаимно однозначным, причем T(t, s)x° g C1 по совокупности s, t для любой точки x° g fis и t g I. При этом fit = {T(t, s)x0 : x0 g Оs} = T(t, s)fis — множество, занимаемое ансамблем изображающих точек Гиббса системы ОДУ (1.1) в текущий момент времени t g I. Поэтому отображение T(t, s) : fis ^ fit, задаваемое соотношениями x(t) = x(x0,s,t), дифференцируемо, a следовательно, и непрерывно в любой точке ж* g fi s, причем линейный ограниченный оператор

dx(x°, s, t)

дх° x x*

действующий из К" в М", является производной Фреше нелинейного оператора Т(£, в) в точке х* с Оя [1,6]. Далее, так как непрерывный образ компакта есть компакт, из компактности Пя с О следует компактность П4 с О. Из непрерывности и взаимной однозначности отображения Т(£, в) : Пя ^ П4 следует, что оператор сдвига Т(£, в) определяет гомеоморфизм множества Пя в множество При этом в силу того, что отображение, осуществляемое оператором сдвига Т(£, в) : Пя ^ Л непрерывно дифференцируемо и Б(х(х0, в, £), £) ф 0, для любой точки х с п( существует единственное непрерывно дифференцируемое обратное отображение х0 = Т— (£, в)х, якобиан которого 5(х, £) удовлетворяет задаче Коши (2.4).

Рассмотрим обратное отображение Т— (¿, в) : ^ Покажем, что Т— (£, в) является непрерывным отображением в произвольной точке х с п( относительно п^. Иначе для любой е-окрестностп К(х°,е) точки х° = Т— (£, в)х существует ¿-окрестность К(х, ¿) точки х такая, что для всех точек х с К(х, ¿) п п4 выполняется соотношение

T— (t, s) G K(xQ,e). Поскольку любое замкнутое подмножество компакта есть компакт, множество ils\K(x°,e) замкнуто, а следователь-

T t, s

подмножество D = T{fiio\K(x0,e)) С ftt является компактным, а значит, и замкнутым подмножеством множества fit. С другой стороны,

T t, s x

жит D. Поэтому существует ¿-окрестность K(x, 6) точки x, в которой

D

T— (K(x, 6) П ftt) те содержит ни одной точки из T— D, т. е. из множества fis\K(S°,£). Тем самым справедливо включение

Иначе для всех x G K(X, ô) П ftt имеет место соотношение T— (t, s)x G K(x°, e). Наконец, в силу произвола выбора точки X G Оt следует непрерывность отображения T(t, s) на множестве 0t. Итак, оператор сдвига T(t, s), удовлетворяющий соотношению 0t = T(t, s)Qs, определяет гомеоморфизм множества 0s С M" в множество 0t С M". Таким образом, T(t, s) — биективное отображение и T(t, s), T(t, s) — непрерывные отображения.

Теперь покажем справедливость формул (2.5), (2.6). Тот факт, что множество 0t = T(t, s)Qs обладает положительной мерой Лебега mes 0t >0, следует из цепочки равенств

T— (K(X, ô) ПОt) С K{Xq,E).

(2.7)

Очевидно, что выражение (2.7) приводит к зависимости

(2.8)

fit

Интегрируя соотношение (2.8) по переменной £ в пределах от в до £ и учитывая, что (тевГ^)|4=8 = тевПя, приходим к формуле (2.5). Доказательство предельного равенства (2.6) очевидно, если учесть, что соотношение (2.8) может быть преобразовано к виду

d , п

J x(x t) dx

— In mes fit = —■—т.—--. (2.9)

dt J dx

fit

Теорема полностью доказана.

Ниже будем использовать выражение

mes fit = (mes fis) • exp ^ J x(x(x0> s, т), r) dr^ , (2-Ю)

справедливость которого следует из (2.7) и интегральной теоремы о среднем, где x0 — некоторая точка из компакта fis.

§ 3. Достаточные условия сильной неустойчивости по Ляпунову семейства траекторий системы ОДУ

Определение 3. Систему ОДУ (1.1), обладающую в области G = fi x I положительно (отрицательно) определенной дивергенцией

X(x,t) > a(x) > 0 (x(x,t) < -6(x) <

назовем расширяющейся (сжимающейся), если x(x, t) < 0, то нерасширяющейся.

Определение 4. Семейство траекторий

fit = (x(x0, s, t) = T(t, s)x0 : x0 G 0s}, s < t < t*,

системы ОДУ (1.1) назовем сильно неустойчивым по Ляпунову относительно множества fis С fi, если каким бы большим ни было число е > 0 и каким бы малым ни было число S > 0, среди множе-t

x{t) = x(xa, s,t), x(t) = x(x°, s,t), xa, x° G 0s, и такой момент времени т = t(e, ô, xa, x0), s < t < t*, что

0 < p(x0, x0) < ô, p(x(t), x(t)) > e.

Ясно, что сколь угодно сильная подверженность задачи Коши (1.1) малым возмущениям ее начального состояния x° G О s является более сильным свойством, чем неустойчивость ее траекторий по Ляпунову [6]. Действительно, в определении 4 речь идет о неограниченном возрастании расстояния между состояниями системы ОДУ (1.1) па возмущенной и невозмущенной траекториях.

t

ОДУ (1.1) было сильно неустойчивым по Ляпунову относительно множества fts С ft, достаточно, чтобы последняя принадлежала классу расширяющихся систем и для нее выполнялись предположения А и В.

Итак, для системы ОДУ (1.1) выполняется цепочка неравенств V • X(x,t) = x{x,t) > a(x) > 0. Выберем e > 0 из условия, чтобы Е-окрестность S*(x0) траектории x(t) = x(xQ,s,t) целиком лежала в области Q, т. е. имело место строгое включение S* С О. Существование Е-окрестности S*(x°) и числа е > 0 вытекает из предположения В. Далее, пусть S(x?,ôQ/2) = {x0 : p(x°,x°) < ô0/2} — максимальный замкнутый шар с центром в точке x0 радиуса ôo/2 такой, что S С О s. Тогда для шара S и его образа S = T(t, s)S в силу формулы (2.10) выполняется соотношение

mes S ^ (mes S) • exp i J x{x{xQ, s, т), r) dт

s

где x(x°,s,t) — решение системы ОДУ (1.1); S = S(x?,ôQ/2); ô0 > q — число, не превосходящее заданного ô > 0. При этом образ SS S SS T t, s S

ся компактным множеством при любом фиксированном t G I. Кроме SS S

mes S < (d(S))n,

где

¿(5) = ей р р(х',х") = р(х,х)

— диаметр множества 5 С О; X, X € д5 В силу предположения А решение задачи Коши (1.1) существует, единственно и непрерывно зависит от начальных состояний х° € ОСледовательно, существует единственная функция х(х(х0, в, £),£). При этом отображение х(х0,в;£) = Т(£, в)х° непрерывно, взаимно однозначно и имеет непрерывное обратное отображение Т— (£, в). Далее, так как х = Т(£, в)х0, х = Т(£, в)х0 и р(х°,х°) ^ ¿о < го соотношений х° = Т— (£, в)х, х° = Т— (£, в)х следует, что х0, х0 € д£, где 5 = 5(х0Хо/2) — замкнутый шар. С другой стороны, известно, что мера Лебега (объем) п-мерного шара 5 диаметра д(5) определяется формулой

(21-"Пп/2)

тев5 = с„(сг(5))п, с„ = — , (3.1)

п п/

оо

где Г(х) = / ¿4 — гамма-функция. Таким образом, имеет место

о

цепочка неравенств

4

d(S) > (mesS)1/n > (c„)1/n • d(S) •exp ^n- J x(t) dr j -

= (cX1/n SUP p(x0,X0) ^P ( n- / x(r)dT I -x>,5° es \ ^ /

> WV, x0) • exp ^«T1 J x(r) cir j - |

(c„)1/n,o(x0, x0) • exp(n_1(i - s) inf a(x)) —-j-.

Далее, так как inf a(x) > 0, существуют по крайней мере две точки

же£*

x(t),X(t) G S такие, что выполняется неравенство

p(x(i), X(t)) > (cX^Xx0, X0) exp(a*(1 - s)/n) - e/4,

где а* = inf a(x).

xes*

Теорема доказана.

x

X = f(x,t), x(t)|t=s = X, x G R,

f(x,t) G Cg» (R1 x I), f(0,t) = 0 3'2

обладает асимптотической устойчивостью по Ляпунову, если ОДУ (3.2) является сжимающимся, т. е. V • f(x,t)|x=o ^ — c < 0.

Этот результат следует из теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению [6]. Кроме того, скалярные сжимающиеся ОДУ вида (3.2) характерны тем, что их решения асимптотически устойчивы по Ляпунову при Vf (x, t) |x=o ^ — c < 0, a множество начальных состояний, заданных в R1, стремится к многообразию So размерности нуль в R1. Другими словами, многообразие начальных состояний ОДУ (3.2) стягивается в точку. Однако не всякая сжимающаяся система ОДУ будет устойчивой или, тем более, асимптотически устойчивой по Ляпунову, хотя mes fit (фазовый объем) будет сжиматься.

В качестве примера рассмотрим задачу Коши

x = x2, x = wqxi — 2hx2, xi(0) = x®, x2(0) =

где h > 0, wq >0. Дивергенция векторного поля этой системы ОДУ равна —2 h < 0, а ее решение имеет вид

xi(t) = |x°(7(t) + w—h\(t)) + xa2w-1 \(t) }exp( —ht), x2(t) = |xj(w — w—h2)\(t) + x\(i(t) — w—h\(t))} exp(—ht), где w2 = Wq + h2, ^(t) = ch(wt), \(t) = sh(wt). Таким образом,

lim xi(t) = ж, lim x2(t) = ж

t—t—

xx

x t x t

lim x2(t)/x\(t) = w — h, lim \x2(t) — (w — h)xi(t)] = 0.

t—t—

Таким образом, исследуемая система ОДУ неустойчива по Ляпунову. Однако множество начальных состояний рассматриваемой задачи Ко-ши, заданных в М2, стремится при 4 ^ к многообразию £1 С М1, т. е. вырождается в прямую х = —

По-видимому, тот факт, что множество начальных состояний, заданных в МП стремится то крайней мере к многообразию £п_1 или к многообразию является одной из форм устойчивости движения

по Ляпунову. В связи с этим назовем величину I = к/п коэффициентом сжатия многообразия £„. Тогда сжимающаяся динамическая система, обладающая коэффициентом сжатия I = п/п = 1, для которой соответствующая приведенная система имеет нуль изолированной точкой покоя, является асимптотически устойчивой по Ляпунову.

§ 4. Функции, характеризующие локальную расходимость и неограниченную сгущаемость траекторий неавтономной системы ОДУ

Введем в рассмотрение и оценим снизу функции а(х(х°, в, 4), ^(х(х0, в, характеризующие соответственно локальную расходи-

мость и неограниченную сгущаемость траекторий системы ОДУ (1.1).

Итак, пусть 5 = Т(4, в)£(х0, ¿о/2) — образ замкнутого шара

характеризующую локальную расходимость ансамбля траекторий Гиббса системы ОДУ (1.1), выходящих из окрестности точки х0 € О Очевидно, что чем больше а(х(х0, в, £),£), тем сильнее расходятся траектории из ансамбля. Оценим снизу функцию а(х(х0, в,£), ¿). Согласно формуле (2.10) имеем

5(х0,<*0/2) = (х0 :(0(х0,х0) < ¿о/2}, где ¿о = ¿(5); 5 С Оя С П. Предположим, что = рассмотрение функцию

11т ¿«/¿о,

¿о

¿(5). Введем в

.

тев5 = тев£(х0, ¿о/2) • ехр х(х(х0, в, Т),Т) ¿Т

Принимая во внимание тот факт, что mes S ^ №)") получим следующую оценку снизу функции (4.1):

a(x(x°,s,t),t) > — Вп -ехр | - [ х(х(х°, s, т), т) dr (4.2)

2 W )

где Bn = [2/пГ(п/2)]1/n. Таким образом, если

t

Hm J x(x(x0, s, т), т) dr = го,

s

то из формулы (4.2) следует, что

iim a(x(xo,s, t), t) = го.

С другой стороны, пусть S(x, £t/2) = (x : p(x,x) ^ £t/2} С ^t — замкнутый шар с центром в произвольной точке x G О t С О диаметра d(S(X, £t/2)) = £t. Тогда для каждой точки x G S(X,£t/2) существует единственная точка x° = T— (t, s)x G fis, где T— (t, s) : x ^ x(x0,s,t), t G I. Пусть S — образ шара S(X,£t/2) при отображении

S = TS(x,£t/2), причем d(S) = £q, d(S(x,£t/2)) = £t. Введем в рассмотрение функцию

e(x(x0, S, t), t) = l™ £o/£t, (4.3)

t G I

сгущаются (сближаются) между собой траектории системы ОДУ (1.1), берущие начало в окрестности точки x0 G Оs. Иначе говоря, функция (4.3) характеризует сгущаемость ансамбля траекторий Гиббса системы ОДУ (1.1). Далее, из соотношения S = TS(x,£t/2) и формулы (2.10) следует зависимость

—.....(- /)■

где X — некоторая точка из множества Я. Так как (е0)п ^ те в т. е. £о > (тев Я)1/п, с учетом формулы (3.1) получим, что

£о > • ехр ( -- [ х(х(х°, в, г), т) ¿т ] ,

2 \П! )

где Вп = [2/пГ(п/2)]1/п. Тем самым для функции (4.3) имеет место следующая оценка снизу:

/3(ж(ж°,ММ) > -ехр ( -- [хЫх°^,т),т)(1т | . (4.4)

2 \П{ )

Кроме того, если

г

Нт J х(х(х0, в,т),т) ¿т = —ж, в

то из формулы (4.4) следует, что

Нт [3(х(Х, в,Ь),Ь) = +ж.

Итак, функция

г

Ь(г,х0,в) = ! х{х{Х,в,т)т)<1т (4.5)

в

характеризует как локальную расходимость, когда Нт X, в) = ж, так и неограниченную сгущаемость, когда \\т Ь(Ь, X, в) = —ж, траекторий системы ОДУ (1.1), где X Е ОИтак, имеет место следующий результат

Теорема 3. Пусть для системы ОДУ (1.1) выполняются предположения А, В и Ит Ь(Ь,Х,в) = ж для X Е Пя. Тогда семейство

г

Ляпунову относительно множества Пя С О.

§ 5.Пример, связанный с оценкой снизу функции сгущаемости траекторий

Рассмотрим движение космического летательного аппарата с неработающим двигателем (пассивный спуск) на основном участке траектории входа в атмосферу планеты [7-9]. Основной участок траектории входа в атмосферу планеты характерен тем, что именно на нем аэродинамические нагрузки и интенсивность теплопередачи достигают своих максимальных значений. В работе [7] показано, что при определенных предположениях система ОДУ, описывающая плоское движение космического летательного аппарата на основном участке траектории входа в атмосферу планеты, имеет вид

аю I ¿т J

Л = + (5.1)

аю сх V

Здесь V = — скорость аппарата в текущий момент времени ЦН — высота аппарата над поверхностью планеты; в — угол наклона траектории аппарата к плоскости местного горизонта; ро — плотность атмосферы планеты на высоте Н = 0; г — радиус планеты; т — масса аппарата; д — ускорение силы тяжести; в — характерная площадь аппарата; сх — коэффициент лобового сопротивления; су — коэффициент подъемной силы; Л — логарифмический градиент плотности атмосферы.

Введем в рассмотрение новое независимое переменное и(Ц) = ю(£о) — ю(Ц), где ю(£о) = юо — скорость аппарата в начальный момент времени Ц = ¿о- Тогда исследуемая система ОДУ (5.1) принимает вид

гШ ли \а ли \ Гс*8Ро, ч -хн]^1 — = /(/1,м)0, ¡(к,и)= ~и)е

¿6 су д-(у0- и)2/г

(Щ ~ и)~г =--/(^ и)

аи сх щ — и

(5.2)

где и(Ц) = — — монотонно возрастающая по времени Ц функция; и(£о) = ид = 0,0 ^ и < юо — V, юо = ю(Цо). Пусть Н(и$) = Но,

0(мо) = — начальные условия для системы ОДУ (5.2). Тогда истинные (фактические) траектории космического летательного аппарата на основном участке входа в атмосферу планеты могут отличаться от модельных (расчетных) в силу ряда причин. Анализ этих причин приводит к задаче о локальной расходимости, рассеивании траекторий системы ОДУ (5.2). Одна из причин локальной расходимости траекторий системы ОДУ (5.2) заключается в сколь угодно сильной подверженности модели (5.2) малым возмущениям ее начальных состояний ^о, 0о-

Теперь с помощью формулы (4.4) оценим снизу функцию сгущаемости (4.3) траектории системы ОДУ (5.2) с начальными условиями ^(0) = ^о, 0(0) = С этой целью вычислим функцию (4.5) для системы ОДУ (5.2). Итак, из (5.2) следует, что справедлива цепочка равенств

V и

Ь(м, ^о, 0о, 0) = А У /(^м),м)0(м) ¿м = А^ Л(т) о о

= А[^(м, ^о, 0о) - VI = -А[^о - Мм, V, 0о)], (5.3)

Где — начальная высота входа в атмосферу планеты; ^(и) = ^м, ^о,0о) — высота, соответствующая текущему значению независимой переменной м. Так как А > 0 и На — ^(м, 0о) > 0, из формулы (5.3) следует, что Ь(м, ^о,0о,О) < 0. Тем самым из соотношений (4.3), (4.4) следует, что сам факт снижения на основном участке траектории космического летательного аппарата в атмосферу планеты оказывает стабилизирующий эффект. Действительно, в этом случае уменьшаются возмущения траекторий системы ОДУ (5.2), связанные с возмущениями ее начальных состояний ^о,0о, причем из формулы (5.3) следует, что данный стабилизирующий эффект тем больше, чем больше лога-

А>

^о — ^(м, ^о, 0о) > 0.

Пусть, например, космический летательный аппарат снижается в атмосферу Земли и — ^(м, ^о, 0о) = 84 км. В случае снижения в ат-

мосферу Земли можно считать, что Л « (1/7000)м-, vq « 7850м/сек. В этом случае h0, #о,0) = — 12. Тогда то формуле (4.4) для n = 2 получим следующую оценку: 0) ^ 357.

Настоящая работа дополняет исследования, проведенные в [10].

ЛИТЕРАТУРА

1. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

2. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

3. Демидович В. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 2003.

4. Steeb W. Н. Generalized Lioville equation, entropy, and dynamic systems containing limit cycles 11 Physica A. 1979. V. 95, N 1. P. 181-190.

5. Рудых Г. А., Киселевич Д. Я. Свойства интегральной кривой и решения неавтономной системы дифференциальных уравнений // Вестн. Самарск. гос. техн. ун-та. 2012. С. 7-17.

6. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

7. Ярошевский В. А. Приближенный расчет траектории входа в атмосферу. I // Космические исследования. 1964. Т. 2, № 4. С. 507-531.

8. Ярошевский В. А. Приближенный расчет траектории входа в атмосферу. II // Космические исследования. 1964. Т. 2, № 5. С. 679-697.

9. Ярошевский В. А. Вход в атмосферу космического летательного аппарата. М.: Наука, 1988.

10. Рудых Г. А., Киселевич Д. Я. Уравнение Лиувилля в исследовании устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 125-139.

г. Иркутск

15 декабря 2012 г.