Взвешенная производная и дифференциальные уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2003, Том 5, Выпуск 4

УДК 517.927

ВЗВЕШЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ Н ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

М. С. Бичегкуев

В работе рассматривается взвешенная производная и связанная с ней специальная форма дифференциальных уравнений. Устанавливается связь и приводимость этих уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

§1. Взвешенная производная

Пусть а = а(1) — положительная ограниченная однозначная функция на интервале (а, Ь) и пусть число р € [0,1]. Взвешенной производной функции /(£), £ € (а, Ь), относительно функции ар(1) в точке £ будем называть

дР(< + а^АШ + а^тг) - дР(<)/(<) д™ Д*

Взвешенные производные фигурируют в литературе под различными названиями: обобщенная производная (при р = 0) в [1], весовая производная в [2].

Если а(1) ф 0, £ € (а,Ь), из равенства (1.1) получаем связь между взвешенной и «обычной» производными

п - нтп аР(г + + а'-пт) - (*)/(*)

Паф}{Ц- а {Ц (1 2)

Для а{1 о) = 0 при ¿о £ (й) Ь) из (1.1) находим, что = 0, поэтому и в этом

случае верна формула (1.2)

Если а(1) = с для всех £ € (а, Ь), то взвешенная производная функции / представляет собой операцию умножения постоянной с на производную функции /.

Будем предполагать, что функция а достаточно гладкая. Тогда оператор взвешенной производной принимает вид

Оа,Р = а—+ра'. (1.3)

Из (1.3) для гладкой функции / имеем

Яа,р1 = а^/+ра'/ = а^/ +р[(а/)' - а/']

= (1 - + = (! - Р)Па,о1 + рД*д/-

© 2003 Бичегкуев М. С.

Таким образом, оператор взвешенной производной 1)а1р допускает следующее представление

1>в^ = (1-р)1>в1о+р£>в11. (1.3')

Приведем основные свойства взвешенной производной:

(1) Линейность

Оа,р(с 1/ + с29) = С-Фаф + с2Ва,р9-

(2) Если сх, С2 — произвольные постоянные, причем с\ > 0, то

ВС1а,рС2/ = С1С2£>а,р/-

(3) Если функции / и д имеют взвешенные производные то для произведения / ■ д существует взвешенная производная причем

Вафи-д)={ВаЛ1д + дВа^. (1.4)

Действительно, из (1.2) имеем

Замечание 1.1. Формулу (1.4) можно обобщить также следующим образом. Пусть т, п ) 1 и - + — = 1. Если / имеет взвешенную производную И _е_, а д — И то

171 П 1 т 1 п

взвешенную производную Т)а,р произведения (/ ■ д) можно представить в виде

ОаМ ■ 9) = + ¡В ид.

' т ' п

(4) Если / имеет взвешенные производные к = 1,..., п — 1, то /" имеет взвешенную производную причем справедливо равенство

' га—2

\ 1,-1 '

В частности, при р = 0, полагая = -Оа)о, имеем

ВаГ = пГ~1Ва}. (5) Если т 0 и к ^ 0, то справедливы равенства

' ш+1

Оаф{ак[) = Б к к+р/.

а >к+1

Взвешенные производные высшего порядка определим по формуле

Используя равенство (1.2) для них получаем следующее представление:

= а-^оР, (1.5) а \ ( а......

где оператор В? = ( а- а- ... а- = а-

го раз

Предложение 1.1 (формула Лейбница). Пусть / ид имеют взвешенные производные Е до порядка п включительно. Тогда для п-ой производной справедлива формула Лейбница

п к=О

где С% = = к+1)-(п к+г) _ числ0 сочетаний из к по п.

Предложение 1.2. Пусть /3 — положительная дифференцируемая функция на интервале (а, Ь) и 0 ^ д ^ 1. Тогда взвешенная производная допускает представление через а именно, справедливо равенство

^ = + (1-7)

а

где функция

Ь^'. (1.8)

<1 Пользуясь представлением оператора в виде = /3-^ + д(3'7 получаем

а \ аЬ ) а а а

Предложение доказано. >

Следствие 1.1. Пусть тп, п — натуральные числа, тогда

/ О \ ГО ГО

где — функции, зависящие от а(1), /3(£) и их производных.

Предложение 1.3. Пусть 7, (3 — положительные дифференцируемые функции на интервале (а, Ь), а г, д € [0,1]. Тогда

= + "2 т1,Р + (1-9)

где функции а,1 (£), а,2 (£) определяются формулами

а2(*) = ^ ¡Ц/З, а1-?) + Л(7Г, ар) + Ц^,ар) а I

<1 Из равенства (1.7), с учетом (1.8), имеем

Dp,gDaгP

& тл2

а

а,р

= 1Ёг>з +

и Г* 71 "Т"

а

а,р

+ г,ар) + ^-Ц/З", ар)

а ' а а а

В2

а,р

+

7/3

7г,ар) + -^£>^/1(0«, а?)

а

-Са,р•

Теперь используя равенство = /3/г(/3, а1 р), получим справедливость равенства

(1.9). >

Предложение 1.4. Если функции а и / имеют производные до порядка т включительно, то справедливо равенство

к=О

где Пгп — оператор «обычного» дифференцирования. <1 Пусть ш = 1 и рассмотрим разность

(I2 (I (Р (I

Отсюда получаем

Предположим теперь, что равенство (1.5) доказано для ш — 1. Тогда

I ГО—1

(ва,РЛ(т-г> = £ с* ва(к)^т-1-к)

к=О

го—1

Л

го—1

к=0 го—1

го—1

7-4 £(тп—1—к) | \ Л л ¿(т—к)

^го—1 / ^го—1 а

к=О А;=0

го—1

/тго-1 л -с | \ Л | /о/г—1 \ 7-1 ¿(т—к) | /оО 7-1 -с(го) го

Е^ 7-1 ¿(т—к)

к=0

Мы объединили слагаемые, содержащие одинаковые производные и воспользовались равенством С* + = С* . >

Предложение 1.5. Справедлива следующая реку рентная формула

<л ' (к—1)

а

(к)

к> 1.

<1 Пользуясь представлением взвешенной производной (1.3) получаем

Д*(*о

(к)1+РС + ра(к+Г) - р

,,(*+!) - а«

—1)

(а^)2 а«

—1)

а

(к-1)

£ ей

+ ра

(к)

:Д„(*-1 ).„+ра{к 1}

а

(к)

(к-1)

а

Предложение доказано. >

Следствие 1.2. Если а — к-раз дифференцируемая функция, то

Ва(к\р ~

а

(к)

а

/>„,) - 1><>М X (1п

i=l

а

(О

а(г 1)

<1 Последовательно применяя предложение 1.5, получим

(к-1)

Ва(к),р ~

а« а

1) а

а«

а(к -2)

а«

а(к -з)

+ ра{к"> (

х(к-2)

(к-2) > а(к

Иа(к-2) „ +ра

(к-2)

а

а(к-2) (к) ( а(к-1)\'

+ ра

а

(Л)

ал

(Л—2) \

+ ра

(к-1)

скС5 а«

Д^-з^+ра^ ) + ^ 2)

а

•р

(к) \>

а

а

а

а

i=l

а

а(к+1) \а(к-2) (О

а(г 1)

. >

(1.11)

1)

(к) (а{к-1)\'

Предложение 1.6. Пусть а — дифференцируема на интервале (а, Ь) и т — произвольное натуральное число. Тогда

ал?, = Е л^1 + д.

<1 Непосредственно из предложения 1.4 имеем

= В^а,р{Ва',р1) = Д^'.рД^р 1 + ^«'.рА^р1 = Ду „I?™1 + Д^рДу 2 + Д^Д!?™ 2

'а' ,р-^а,р

а,р

— Ду.рДцр + Д*,рД*',рД*,р + + Д*,р Д)Дз

(1.12)

_ /) /)//' 1 _ /) /) /)//' , /)'-' /) /)//' 3 , , /)/// 1 г) г)

— ^а' а,р ^г иа риа' • • • ^а,р

га

_^ у-» Т~\ТТЪ_^ ТЛТП 7~\

Па',р^а,р + Па,рД- >

Связь между обычной производной второго порядка и взвешенной производной устанавливает

Предложение 1.7. Если а — дифференцируемая функция, то ,d2

a

dt2

= Da,p ~ I1 + 2P)a'Da,p ~ Pa

f \ f / f \ 2'

OL \ ,, ч / «

- + l-p -

a \ a

<1 Представляя вторую взвешенную производную в виде

D^=(ai+Pa') (aJt+P<

о о d , d f, f d 9/9

Ut r, = a + aa — + paa + paa — + pa dtz dt dt

получим

a,p

2 ^ i /1 i о \ ' ^ i «i 2/2

= a + (1 + 2р)а — + раа + p а dt

dt2 d2

= О ¿¡2 + ^ + 2P)a'D<*,p + P

d?

= + (1 + 2P)a'Da,p + pa2

аа" — а'2

а'

2 2 /2 , /2 а — р а + ра

а'У / а'2 ^ '

а / V ск

Предложение доказано. >

Следствие 1.3. Для производной Da = (ajj) справедливо представление

а'\ .„ , f а'х 2 - + 1 -р -а / \ а

"dt I =Da = Da>P ~ 2Pa'Da>P ~ Ра

(1.13)

§2. Оператор взвешенной замены переменной

Пусть а = a(t) — положительная функция, определенная на отрезке [а, Ь] и a интегрируема на [а,Ь]. Положим

x = v(t)=f-L (2.1)

J to а(0

Обозначим через t = ф(х) функцию, обратную к х = <p(t), а через Оаф и Ga^p (О ^ р ^ 1) (см. [2]) операторы, определенные на функциях /(ж) и д(х) формулами

С^Л/Н] = ОаМ*) = , (2-2)

= Оа^Ш = а-Р(Ых)\х=ф) . (2.3)

Ясно, что

= I = (2-4)

где I — тождественный оператор.

Предложение 2.1. Для любого натурального числа п справедлива формула

¿п

устанавливающая связь между оператором взвешенной производной и «обычной» производной.

<1 Пусть п = 1. Тогда из определения функций х = tp(t), t = ф{х) и с учетом равенства

ф'(х) = а(ф(х))

для гладкой функции / имеем

d

Ga,p[Da,pf} = ap(t)al-p(t)-ap(t)f(t)

Отсюда непосредственно имеем

= а{ф{х))Л0 [f]. § = ±GaJ>[f].

t=i>(x) dx dt dx

ИИ Яп

~ Л _ a r< lnn-2^ u

Ga,p[Da,pf] — Ga,p[Da,p{Da,p)] — j^GaiP[D™iP /] — GaiP[D™iP /] — ■■■ — rhr1lGa,p[f]-

dx

Предложение доказано. > Следствие 2.1. Имеет место равенство

dxr<

(2.6)

Ga,p[Da,p + Da,p ^ ^ Da>p\ ~ (Dx + Щ 1 ^^ ^ Dx)Ga,p-

Следствие 2.2. Для любых п € N и р, q € [0,1] при р ^ q имеем

Ga,p[Daiq] = Gaip-q[D2Gaip\. (2.7)

Предложение 2.2. Для оператора DaigDaiP (q ф р) справедливо представление

DaiqDaiP = Dlp + p)a'{t)DaiP. (2.8)

<1 Из предложения 2.1 и равенства (2.4) имеем

Ga,—qGa;q[DaiqDaiP\ = Gai—g[DxGaig[DaiP\] = Gai—g[Dx{°^ p^(x))DxGa;P)] = Ga-q[aq'p^{x))D2xGaiP + {q - р)ая'р{ф{х))а {ф{х))ВхСа1Р\ = Ga^q[aq-p^{x))GaiP[DliP] + {q ^ р)а<1-р{ф{х)) ■ а'{ф{х))Саф[Ваф]\ = Ga,q[Ga,q[DliP]] + Ga-gGa>g[(q - p)a'(t)Da>p} = В2аф + (q - p)a'(t)Da>p. >

Предложение 2.3. Для натурального числа n ^ 1 справедлива формула

Ga,p[Df} = Dp!pGaiP, (2.9)

где функция fj(x) определяется равенством fj(x) = 1 /(а(ф(х))).

<1 Доказательство проведем по индукции. Пусть n = 1. Тогда из определения оператора Саф (2.2) и равенства (1.3) имеем

Ga,p [Dty] = G*-

1 a'(t) '

[Mt) a>pV^pMt)y,

-DxGr

1 ^ rn и а'{ф{х)) Г1 r

а(ф(х)ГаА- а'рУ] Ра(ф(х))ЬаА

+ рВх\а(ф(х)) ) ' °а'р[у] = ВШШ'р°а'р[у] = DP>PGa*W-

а(ф(х)) х а'р[»> ' ^Х\а(ф(х) Пусть формула (2.9) справедлива для п — 1, тогда

= Са^Г^у)] = Б^Са^у] = Б^1 {Б рфСаф[у}) = Предложение доказано. >

Следствие 2.3. Имеет место равенство

Ga,p[DГ + Dr1 + ■ ■ ■ + Dt] = [Dlp + D^1 + ■■■ + DPiP]GaiP. (2.10)

Замечание 2.1. Пусть GptP — оператор взвешенной замены переменной, тогда из (2.9) имеем

Gp#Z[Gaj>X[Dty\] =

или

G^Z[G^X[DM = DZvMMz))), (2-П)

где ф\ — обратная к функции z = щ{х) = f^ се(ф(£))

§3. Уравнения с взвешенными производными

1. Рассмотрим уравнения вида

Ва,рУ + Ва7р2У + °2В1ф2У + ' ' ' + Ctn-\Da^V + CtnV = 0, (3-1)

где а^{к = 1,...,«) — постоянные. Уравнения такого вида (при р = 0 и a(t) = t) встречаются, например, в теории установившихся капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды [3]. Применяя к (3.1) преобразование GaiP, с учетом следствия 2.1, получим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Ы + ''' + а [у] = 0, (3-2)

где функция GaiP[y] определяется формулой (2.2). Положим Ga;P[y] = екх. Тогда получим характеристическое уравнение (3.2)

к11 + aik11-1 + ■ ■ ■ + an-ik + an = 0.

Если ki,...,kn — корни характеристического уравнения, то уравнение (3.1) имеет частные решения

rt ds

у = а р exp ki / —— , % = 1,..., п.

V Ло Ф)/

2. Из следствия 2.3 получаем, что любое линейное дифференциальное уравнение

(.D? + ai {t)D»~ly + ■■■ + an-i(t)Dt + an(t))y(t) = f(t) приводимо к уравнению с взвешенными производными

(£>£р + а1{'ф{х)Щ-^ + ■ ■ ■ + an-i(ïp(x))Dp;P + ап{'ф{х)))Са1Р[у\ = GaJ>[f].

3. Пусть а = a(t) и /3 = f3(t) — непрерывные положительные функции на отрезке [с, d] и числа р, q € [0,1].

Введем следующие обозначения

... 1 Г f^^dC (к 2 3 )

Легко видеть, что для любого fe = 1,2,... справедливы равенства

Дз,<?Д-х,рЩк = «2^+2, (3.4)

0/з,яВа;Ри2к+1 = Щк-1- (3-5)

Рассмотрим следующие ряды

К,

= u0(t) + u2(t) + ■ ■ ■ + u2k(t) + ■ ■ ■ = ¿«2fc(í), (3-6)

к=0

LAJ

^а./З^) = Ul{t) +m{t) н-----Н----= (3.7)

к=О

Теорема 3.1. Пусть для последовательности чисел {а^} найдутся числа с', d! и натуральное число по такие, что € (c',d') при k > по- Обозначим через а' = min{a,k : 1 ^ к ^ по} и а" = та: 1 ^ fe ^ по}. Если функции a(t), fj(t) положительны и непрерывны на некотором отрезке [c,d], содержащем точки а', а", с', d', то ряды (3.6) и (3.7) абсолютно и равномерно сходятся, по крайней мере, на отрезке [c',d'} и допускают взвешенное дифференцирование (по крайней мере для I (г (с', d')), причем

DMDa,pKa^(t) =Kaj(t), (3.8)

D¡3,qDaíPSaí¡3(t) = Satp(t). (3.9)

<1 Покажем, что общее решение уравнения со взвешенными производными и Da>p вида

D¡3,qDaiPy = у (3.10)

представимо в виде

y = C1Ka¡p(t) + C2Sa¡p(t), (3.11)

где С\, С2 — произвольные постоянные.

Действительно, линейная зависимость функции Ка р и Sa g очевидна в случае а2 = a¡¡ для fe > 2 на отрезке , d\. Тогда имеем

1

Ка,р(а2) = , DaiPKafi(a2) = 0, Da;PSa^(a2) = 1. Для функции (3.11) получим

у(а2) = Cia-P(a2) + С2а-Р(а2) Г ГЧО^'1 (0

J и

У'{а2) = Cl{^ да + ( " С + P-q(a2)a-l{a2)

a"f(o2) a"f(o2) faa; di

-ра,(а2)а-Р-1(о2) -pa'(a2)a-P(a2) faJ p-q(0^p+40 + ^"«(аз)«"1 (a2)

= a^p^1(a2)/3^q(a2) Ф 0.

Следовательно, формула (3.11) дает общее решение уравнения (3.10) при произвольных постоянных С\ и С2-

4. Рассмотрим уравнение вида

1>42У+ 01(*)АУ + 00(*)У = 0,

(3.12)

где ах, ац — любые непрерывные функции. Имеет место

Теорема 3.2. Любое уравнение (3.12) может быть представимо в виде (3.10), если функция а удовлетворяет уравнению

а" + (1 +р)а' + ^ах(г) - ^а0(£) - ^ехр ^ ах (£)(!£

_4_ч

(р+1)? \

)=0,

функция /3 — равенству

(3 = а ехр ( / ах (£) Н0

(р+1)?

а числа р € (0,1], д € [0,1] — фиксированы.

<\ Используя представление (1.3) взвешенной производной, получим

Вр рУ = (/ЗА + qfЗ,){aDty +ра'у)

= а/ЗИ^у + [(1 + р)/3с/ + q/3'a}Dty + ^а0 + рра")у.

Тогда уравнение (3.10) принимает вид

а' р'

а

р' а" 1 \

— + V---г 1

Сравнивая (3.15) и (3.16), получаем

ах (*) = (1 + р) ^ + = (1п(а1+р ■ ^ '

а' р' а" 1

= РЯ— ■ -г +Р---

ар а ар

Из равенства (3.14) имеем

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

а ■ (3 =

ехр ( / ах (£)(!£

(р+1)?

Учитывая равенство

/3 q

вытекающее из (3.16), замечаем, что

а

«!(*) + (1 +р)~ а

а' а"

ао{1) = ра\{Ь) +р{1+р)--Ьр

а а

ехр ( / ах (£)(!£ го

(р+1)?

или

о-1 (t) ^ ^ехр ^ 0,1 (£) (¿С

а" + (1 + р)а +

Таким образом, для нахождения функций а и /3 получим систему

(р+i)?

а = 0.

(3.18)

а" + (1 + р)а' +

ai(t) - ^a0(t) - ( ехр ( f*Q <ц(£) (i£

(p+1)?

а = 0,

a • (3 =

exp ( j/o oi (£)

(p+i)?

Теорема доказана. > Положим в (3.13)

1

h(t) = ai{t)--a0{t) - exp

p

oi(e)rfe

(i+р)?

Тогда уравнение (3.13) принимает вид

а" + (1 +р)а' + Н{г)а = 0. Разделив обе части последнего равенства на а, получим

а

а

а

+ (1 +p)— + h{t) = 0.

а

Введем следующие обозначения

а' , а" а — (а') z = —, 2; =-s-

/\2

а

аг

а а

Окончательно получим уравнение Риккати [4]

z' + (1 + p)z + z2 + h(t) = 0.

(3.19)

Таким образом, уравнение (3.12) приводимо к виду (3.10), если функция ^ удовлетворяет уравнению Риккати (3.19), а функция /3 определяется равенством (3.14).

Литература

1. Муравьев П. А. Обобщенная производная и ее применение к решению обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем.—1962.—Т. 26, № 1.—С. 89-101.

2. Глушко В. П., Савченко К). Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Итоги науки и техники. Сер. Математический анализ.—1985.—Т. 23.-С. 125-218.

3. Секерж-Зенькович Я. И. К теории установившихся капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды // Докл. АН СССР.—1956.—Т. 109, № 5.—С. 913-915.

4. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.—Минск: Вышэйшая школа, 1974.—564 с.

Статья поступила 25 апреля 2003 г.

Бичегкуев Маиреек Сулейманович, к. ф.-м.н. г. Владикавказ, Северо-Осетинский госуниверситет, Институт прикладной математики и информатики ВИЦ РАН.