C0-операторныемногочлены и корректная разрешимость уравненийс дробными производными Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 47G99

CO-ОПЕРАТОРНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ И КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В.А. Костин, M-Н. Небольсина, Салим Бадран

Воронежский государственный университет,

Университетская пл. 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected],

[email protected]

Аннотация. В работе устанавливается корректная разрешимость операторных уравнений вида£т=о атАти = f, где А-генератор полугруппы класса С0 операторов, действующих в банаховом пространстве Е, f Є Е. Результаты применяются к задачам для дифференциальных уравнений с операторами дробного дифференцирования в пространствах функций непреобра-зуемых по Лапласу.

Ключевые слова: корректная разрешимость, генератор полугруппы класса Со, гипервозрастающие и гиперубывающие весовые функции.

Введение

В настоящее время все более актуальными становятся приложения дифференциальных уравнений с дробными производными в механике, гидродинамике, теории тепло-массопереноса, радиофизике и т.д. (см. [1]-[5]). Однако, как правило, проводимые при этом исследования касаются только вопросов существования решений соответствующих задач и их интегро-дифференциальных представлений. Вопрос же устойчивости этих решений по исходным данным, один из основных при установлении корректной разрешимости (см. [1]-[5]), в этих работах не обсуждается.

Как известно, понятие корректной постановки задач математической физики, было введено Ж. Адамаром в связи с определением наиболее «естественных» граничных условий для различных типов дифференциальных уравнений, что на языке функционального анализа означает следующее. Пусть и -и Г-метрические пространства. Рассмотрим операторное уравнение

Аи = /, (1)

где / £ Г, и £ и. Задача (1) называется корректной, если выполнены условия:

1) уравнение (1) разрешимо для любых / £ Г единственным образом;

2) оператор А-1, определенный на всем Г, является непрерывным, т.е. имеет место неравенство

IIА-1/||и < М||/Ц*. , (2)

где константа М не зависит от / £ Г.

Важное место в классе корректных задач занимают задачи в которых и и Г плотно

вложены в некоторое банахово пространство В и неравенство (2) понимается в смысле

||. | в. Такие задачи будем называть равномерно корректными. Классические результаты

в исследовании таких задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах получены С.Г. Крейном. Здесь фундаментальную роль играет теория полугрупп преобразований, развитая в работах Э. Хилле, Р. Филлипса, К. Иосиды и др.

В настоящем сообщении устанавливается равномерно корректная разрешимость задач для дифференциальных уравнений с дробными производными. При этом применяемые здесь методы функционального анализа позволяют рассматривать случаи когда не возможно применение преобразования Лапласа, которое является основным в дробнодифференциальных моделях.

§1. Корректная разрешимость С0-полиномиальной задачи

Пусть Е-банахово пространство и А-генератор полугруппы преобразований и (і), і > 0 класса СО, действующей в Е и удовлетворяющей оценке

||и(і)|| < Ме"ші. (1.1)

Это значит, что область определения О(А) оператора А плотна в Е, а область его значений К(А) совпадает со всем пространством Е. Резольвентное множество этого оператора содержит комплексную полуплоскость И,е А > — ш и для степеней резольвенты

Р(А, A) = (А/ — A)-1 выполнены оценки

||Ят(А.^)И < • М

т = 1, 2,..., М и ш из (1.1).

В соответствии с [7], для оператора А определены многочлены

П

Р„(А)и = ^ акАки , (1.3)

к=О

и Є 0(Ага), ак Є С, С — комплексная плоскость. При этом 0(Ага) плотно в Е, и спектр оператора РП(А) совпадает с множеством РП(Л(А)), где Л(А) — спектр оператора А [7] с. 125. Многочлены РП(А) будем называть С0-операторными многочленами (см.[10]).

&

Пользуясь подходом В.П. Маслова, примененного в [6] с.12 к операции А = ——, обо-

аж

значим множество операторов вида (1.3) через К [А], а через К [ж] обозначим множество полиномов над полем комплексных чисел ж Є С,

РП(ж) = X! ак жк. (1.4)

к=О

Также как и в [6] с.12 полином Рп(ж), отвечающий оператору РП(А), будем называть символом оператора РП(А).

Очевидно, что множества К [ж] и К [А] изоморфны, при этом сумма полиномов К [ж] переходит в сумму операторов К [А], а произведение в произведение. В силу этого изоморфизма каждому разложению

т п

\к

Р„(ж) = а„ Д (ж — аі)кі , ^ к = т

і=1 і=1

соответствует представление

т

Рп(А) = а„Д (А — «і/)кі, (1-5)

і=1

где аі-корни полинома Рп(ж), кі-их кратность, /-тождественный оператор.

Рассмотрим задачу отыскания решения уравнения

Аи = Р„(А)и = / , (1.6)

где и Є 0(Ага), / Є Е. Здесь справедлива следующая

Теорема 1.1. Если корни многочлена Рп(ж) принадлежат резольвентному множеству оператора А, то задача (1.6) равномерно корректна, ее решение представимо в

виде

т

а — ТТ Д*4 (а

а.

n

Пя‘< (а,, А)/, (1.7)

i=1

где R(a¿, 4) - значения резольвенты оператора А в точках a¿; и справедлива оценка

М

|ап|

n|

1 г=1

□ Существование и единственность решения задачи (1.6) следует из непосредственного применения оператора А к элементу и, представленным соотношением (1.7), и из того, что ядро резольвенты генератора полугруппы класса СО состоит из одного нуля. Для доказательства неравенства (1.8) воспользуемся известным соотношением

,-Xt!

R(A, A)/ = e U(t)fdt , Re A> —w, (1.9)

Jo

из которого следует более общее равенство

p Г<Х> Г<Х> . Р .

Дл(Аг,А)/ = / ... / e-nu ^ u(J>) /dti •••dtp . (1.10)

i=1 Jo Jo i=1

Пользуясь (1.10), оценим

Пя(А„А)/ </ ... e-Z‘-‘ ,‘tl U E ti)

i=1 -70 -70 i=1

p

dt1... dt

p

p

< п„ тА/, , ' 11/11- (1.11) Hi=i(Re A

Наконец, из (1.7), оценки (1.11)), получаем (1.8) и доказательство теоремы. I Следствие 1.1. Если корни ai действительные, то оценка принимает вид

Nl<lpf JI/II- (1.12)

|Pn(-^)|

В качестве другого следствия, рассмотрим задачу о разрешимости уравнения

P„(A)u = Qr (A)f, (1.13)

r

где Qr (A) = £ bjAj — Co-операторный многочлен степени r < n, f G D(Ar). j=o

В этом случае, применяя оператор A-1 в (1.13) получим представление решения

m

u = A-1f = Ц (Ai, A)Qr(A)f . (1.14)

i=1

Отсюда, пользуясь очевидным неравенством

||AR(A,A)H < 1 + |AH|R(A,A)|| , (1.15)

получаем доказательство ограниченности оператора A-1.

2. Гипервозрастающие и гиперубывающие весовые функции

Обозначим через Фт класс монотонно возрастающих при t > 0 функций p+(t) > 0 и таких, что при некотором m > 0 выполняется соотношение

P+(t) - mP+(t) > 0 . (2.1)

Так как из (2.1) при t ^ то следует оценка p+(t) > р0 exp(mt) (р0 > 0), то классы таких

весовых функций будем называть гипервозрастающими, а inf m, при котором выполняется (2.1) будем называть символом гипервеса весовой функции p+(t). Например, для весов вида

p+(t) = texp(exp t), m = 1. (2.2)

Заметим, что веса, как угодно сильно отличающиеся порядком роста при t ^ то, могут

иметь одинаковые символы.

Нетрудно видеть, что символы произведения весов складываются. Так, если m1 порядок роста веса р1, а m2 - веса р2, то для p+(t) = p1(t) ■ p2(t) имеем соотношения

р+ (t) = p1(t) ■ р2(t) + p1(t) ■ p2(t) > m1p1 ■ p2 + m2p1p2 = (m1 + m2)p+

72 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Ед Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 Отсюда при т + Л > 0 следуют оценки

Кроме того, по индукции устанавливается оценка для п-кратного интеграла, п = 1, 2,... ,

Очевидно, что при соответствующем т классы Ф+ содержат как угодно быстро растущие на бесконечности функции.

Классы Ф^. Наряду с классами Ф+, введём также сопряженные классы Фт весовых положительных функций р_(£), монотонно убывающих и таких, что для некоторого т > 0 выполняется соотношение

связи с этим, мы их будем называть гиперубывающими. Заметим, что при t ^ 0 они могут как угодно быстро расти. Например, веса pn(t) = t_n exp(- exp(t)) удовлетворяют условию (2.6) при т = тт(е* + f )•

Число sup m, при котором выполняется (2.6) будем называть символом гипервеса весовой функции p_(t).

Заметим, что символ возрастания функции p+(t) совпадает с символом убывания функции р- (t) = p+(t)-1.

Весовые функции p-(t) обладают следующим очевидным свойством: р_(то) =0 и для них при Л + m > 0 выполняются оценки

Полумультипликативные гипервесовые функции. Важными подклассами гипервесовых функций Фт и Фт являются функции связанные с полумультипликативными функциями рассмотренными в [11] и [12], с. 154, которые определяются как действительные,

(e^+(f)<-L- (ех‘■ Р+«)У. m + Л

(2.3)

t

(2.4)

0

t

0

р_ (t) + mp_ (t) < 0 .

(2.6)

Нетрудно видеть, что если р+ Е Ф+, то р+ 1 = р- Е Фт.

Таким образом, при Ь ^ то функция р_(£) могут убывать как угодно быстро. В

n = 1, 2,... .

(2.8)

t

измеримые по Борелю функции на К+, удовлетворяющие условию полумультиплика-

тивности

при всех

0 < ^-(Ь + в) < ^-(Ь)^-(в),

¿, в Е Е+ ^-(0) = 1 .

(2.9)

(2.10)

Так как мы будем рассматривать также и функции ^+(Ь), удовлетворяющие условию обратному (2.9), то есть

^+С0^+(в) < (Ь +в), (2.11)

то классы функций, удовлетворяющие (2.9), будем называть левомультипликативными и обозначать Ф-, а классы, удовлетворяющие условиям (2.10) и (2.11), — правомультипликативными и обозначать через Ф+.

Очевидно что из -0+ Е Ф+ следует '0+-1 = ф- Е Ф- и наоборот, из ф- Е Ф- следует "0+ = '0--1 Е Ф+.

На связь классов Ф+, Ф-, Ф+, Фт указывает следующая

Лемма 2.1. Если -0+ (¿) непрерывно дифференцируема и -0+ (¿) > 0, то справедливо включение Ф+ С Ф+/(0); если ^-(¿) непрерывно дифференцируема и ^-(Ь) < 0, то Ф- С Ф

-ф'_ (0)-

□ В случае класса Ф+ из (2.11) следует неравенство

0+(*)[¥,+ (^) - Ч < </'+(* + г») - ф+Ц)

(2.12)

Переходя в этом неравенстве к пределу при в ^ 0, получаем выполнение условия

Ф+ (0)^+С0 < Ф+ СО , (2.13)

доказывающее справедливость леммы в случае классов -0+.

Доказательство для случая ^- следует из соотношения ^- (¿) = ^+(¿0 1-Теперь покажем, что классы Ф^ и Фт шире Ф+ и Ф-, соответственно. Для этого, наряду с функциями, заданными (2.2), рассмотрим функции вида

^1(Ь) = ехр

^2(Ь) = - 1

(2.14)

где функция р(в) монотонно возрастает и удовлетворяет условию р(в) > т > 0. Покажем, что функции (2.14) удовлетворяют условию (2.11). Для этого оценим

^1(Ь + в) = ехр

г>4+з

ехр

ехр

/ Р(С) ^ + Р(т + ¿)

00

>

г

0

0

0

г

г

> exp / р(£) + / р(т) dT = ^i(i) ■ ^i(s). (2.15)

_J0 Jo

Здесь мы воспользовались возрастанием функции <p(s). Аналогичное неравенство для функции ^2 доказывается с помощью соотношения

^2(t + s) = ^1(t + s) — 1 = [^1(t) — 1][^1(s) — 1] + ^1(t) + ^2(t) — 2 >

> [4\{i) - i][V’i(«) - !] = 4’2(t) ■ 4Ф).

Таким образом, tj\ G Ф+, но ^^Ф+, так как ^(О) = 0- Отсюда же следует, что и

^1- G Ф-, но ^2- G Ф-. Кроме того, заметим, что и функции вида (2.2) также не

принадлежат Ф+, в силу того, что для них не выполнено условие (2.11). Такое же замечание относится и к функциям вида ^n(i) = t-n exp(-1). I

В дальнейшем, мы будем использовать только весовые пространства Ф^ и Ф^.

3. Операторы дробного интегрирования и дифференцирования Римана-Лиувилля в пространствах Ср±. На полуоси t G [0, то) будем рассматривать ги-первесовые пространства Ср+ и Ср_ непрерывных функций f (t), для которых конечны нормы

-р+

sup

t>0

sup

t>0

f (t)

p+(t) f (t)

+

p-(t)

Функции f Е Ср+ (0) удовлетворяют условию f (0) = 0. Известно, что Ср± - банаховы пространства.

Рассмотрим операторы и ф_, заданные дифференциальными выражениями

/+p(t)

dip(t.) dt

/—p(t) — —

dp(x)

dt

(3.1)

и областями определения:

t

D(D+) множество значений оператора J+p — J p(s)ds определенного на C

p+-

0

ОС

Р(©_) множество значений оператора /_р = / р(з)^з определенного на Ср-.

£

Справедлива следующая

Теорема 3.1. Операторы — является генераторами полугрупп и (ж, —Ф±) класса

Со, для которых выполняется оценка

||и(ж, ЗДИк+ < е-тв|Мк± , (3.2)

где т - порядок роста или убывания соответствующего веса.

□ Доказательство проведём для ©+. Для этого рассмотрим интеграл.

J(A)f(t) — / ел<*—">/(s)ds.

(3.3)

t

s

m

C

р

t

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К^Я Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 75

В предположении f Е Ср+ и Л + т > 0 оценим

£ £

|3(Л^ СО! < ^ еЛ(5_£)^ (5)|^5 < ^ ||£р+ ■ е_Л£/ еЛ"р+(5)^5. оо Отсюда, пользуясь оценкой (2.4), после очевидных операций, получаем неравенство

С

ИА)/|к,+ < • (3-4)

'+ Л + т

Таким образом, при Л > — т операторы Я (Л) определены и ограничены на пространстве Ср+.

Меняя порядок интегрирования, нетрудно установить, что для них выполняется резольвентное тождество

3(Л) — 3(р) = (р — Л)3(Л)3(р) . (3.5)

Следовательно (см. [8], с. 299), операторы 3(Л) являются псевдорезольвентами, имеющими общее нуль-подпространство N(3) и общую область значений. Кроме того.

£

нетрудно видеть, что нуль пространство N(3) для 3^(¿) = / f (з)^з состоит из одного

о

нуля, то есть N(3+) = 0.

Отсюда, по теореме 1, [8], с. 300, получаем, что псевдорезольвента 3(Л) является резольвентой оператора — ©+.

Наконец, оценка (3.4), в силу теоремы Хилле-Филлипса-Феллера-Миадеры-Иосиды [8], с. 343, [13], с. 261, показывает, что оператор —©+ является генератором сильно непрерывной полугруппы и (ж, —©+) класса С0 с оценкой (3.2).

Случай ©_ рассматривается аналогично. I Из теоремы 3.1 следует

Теорема 3.2. Для операторов определены дробные степени ©а, 0 < а < 1

равенствами

фО^) = 81П^ТГ) уЛа-1(Л/ + 2)±)-12)±^ЙЛ (4.6)

о

для р Е Р(©±).

□ Доказательство следует из формулы Балакришнана (см. [7], с. 358), записанной для А = —©±, и оценки (2.3). I

Далее, подставляя в (3.6) резольвенты

£

(Л/ + ©+)_1)р(^) = Я(Л, — £+)^ = I

о

и

(Л/ + ®_)_1)р(*) = Я(Л, — £_)^ = — У еЛ(£_в)р(в)^

£

получаем представление операторов ©а через дробные производные в форме Капуто (см. [1], с. 168)

£

= —--------- [(Ь — з)~а1р'(з)с1з, (3.7)

Г(1 - а)

о

ОС

Их можно записать и в форме Римана-Лиувилля

£

= ^(гЬ) 1 /((“ ■ <3-9>

о

СЮ

= Г(Т“^а) Ж /С* “ • (3.10)

£

в случае (3.9) в силу равенства р(0) = 0, а в случае (3.10) - в силу соотношений

ОО

(в — ¿) “^(з)^ = Т “рТ(т + ¿)^т =

Іо

СЮ СЮ СЮ

= J т~а^Хт + і)(1т = ^ У т~а^(т + і)сІт= ^

0 0 І

Заметим, что отрицательные дробные степени :Э+а операторов в силу [13], с. 275,

определены соотношением

СЮ

= 8Ш^ I Л~аД(А, -£)±)у^А , 0 < а- < 1. (3.11)

0

Операторы являются генераторами С0-полугруппы. Отсюда, пользуясь неравенством (3.4), получаем оценку

СЮ

и~_а и 8Іп(ап) Г ^А .. 1 .. .. . .

II ± ^ 4.™^ ІІ^Ирі = ^г11^1Ь+- (3 )

0

Аа(А + т)" р± та" р±'

показывающую ограниченность операторов в пространствах Ср±, соответственно.

Далее, подставляя в (3.11) значение резольвент Я (Л, —©±), также как и в случае (3.9), (3.10), получаем для представления в виде дробных интегралов Римана-Лиувилля

£

5)-а<р = 1у = ^ I{г - з)а~1ф)(18, (3.13))

о

——1-<р — — ^ ~ ^ 1(Р(5)^5- (3-14))

I

Важным фактом, следующим из (3.12)-(3.14) является

Следствие 3.1. Пространство Ср± является инвариантными относительно операции дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

Как известно см. [9], с.92 для пространств Ср± со степенными весами р(£) = (1 + ¿)7 этот факт не имеет места.

4. Дифференциальные уравнения рационального порядка.

Применим результаты разд. 1-3 к задаче нахождения функции и(х), х £ (0, то), имеющей все производные порядка Ш7, 0 < 7 < 1, т = 0,1,...,п и удовлетворяющей уравнению

П

У, и(х) = /(х), а„ = 0. (4.1)

т=0

где / £ СР±.

Нетрудно видеть, что следствием теоремы 1.1 является

Теорема 4.1. Задача (4.1) равномерно корректно разрешима в пространствах Ср±, соответственно. Ее решение имеет вид

1 п

и(х) = —V] ДА'г(а'г,1)Х)/(ж), (4.2)

п / ^

. , , . ^

ап • п

г=0

и справедливо неравенство

м

тг* ПГ=1 (^е °'г + тУ

1«11р± < _^ТТп , _и-И/11р± ’ (43)

где а - корни многочлена Рп(а) = ^т=0 атат, к - их кратности, т - символ веса р+ или р— соответственно.

Замечание 4.1. Уравнение (4.1) в случае производных Капутто рассматривается в [1] с. 222, когда /(х) преобразуема по Лапласу, при этом приводится представление решения

рх

и(х) = / С(х — в)/(з)^з , (4.4)

0

где С(з) - соответствующая функция Грина.

Таким образом, оценка (4.3) показывает ограниченность интегрального оператора (4.4) в пространствах Ср+.

Отметим, что для разрешимость задачи (4.1) вообще ранее не рассматривалась.

Литература

1. Учайкин В.В. Методы дробных производных / Ульяновск: Изд. «Логос», 2002. - 512 с.

2. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации // М.: Логос, 2002. - 664 с.

3. Бабенко Ю.И. Методы дробного интегродифференцирования в прикладных задачах теории тепломассообмена // СПб.: НПО «Профессионал», 2009. - 584 с.

4. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен: Методы расчета тепловых и диффузных потоков / Л.: Химия, 1986. - 144 с.

5. Mainardi F. The time fractional diffusion equation / Изв. ВУЗов, Радиофизика. - 1995. -87;1-2.

6. Маслов В.П. Операторные методы //М. :Наука, 1973. 544 с.

7. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / М.: Наука, 1967. - 464 с.

8. Иосида К. Функциональный анализ: Учебник / пер. с англ. В.М,Волосова. М.: Мир. 1967. - 624 с.

9. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 687 с.

10. Костин В.А., Небольсина М.Н. О корректной разрешимости краевых задач для уравнения второго порядка // ДАН. - 2009. - 428;1. - С.20-22.

11. Гельфанд И.М. Об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах и интегралах // Матем. сборник. - 1941. - 9(51). - C.51-66.

12. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р.Филлипс. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. - 829 с.

13. Забрейко П.П. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносльский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский. М. Наука, 1966. -499 с.

14. Костин Д.В. К решению задачи о распространении сигналов во фрактальных средах в классах функций не преобразуемых по Лапласу / Д.В. Костин, В.А. Костин, А.В. Костин. Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012. Материалы международной конференции, Воронеж, С. 109-111.

Co-OPERATOR POLYNOMIALS AND CORRECT SOLVABILITY OF EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVES

V.A. Kostin, M.N. Nebolsina, Salim Badran

Voronezh State University Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. Correct solvability of operator equations of the ^m=0 amAmu = f type where A is the semi-group generator of the class C0 which contains operators acting in the Banach space of E, f € E is established. Results are applied to problems of differential equations with operators of fractional differentiation in spaces of functions not transformed according to Laplace.

Key words: correct solvability, semi-group’s generator of the class C0, hyper increasing and hyper decreasing weight functions.