О нелинейных гиперболических уравнениях, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 86-103.

УДК 517.95

О НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ, СВЯЗАННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ПОДСТАНОВКАМИ С УРАВНЕНИЕМ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

М.Н. КУЗНЕЦОВА

Аннотация. В настоящей работе проведена полная классификация нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными иХу = f (и,их,иу), сводящихся дифференциальными подстановками специального вида V = <р(и, их) к уравнению Клейна-Гордона vxy = F(v).

Ключевые слова: нелинейные гиперболические уравнения, дифференциальные подстановки, уравнение Клейна-Гордона.

1. Введение

В настоящей статье рассматриваются нелинейные гиперболические уравнения вида

иХу = f (и,их ,иу). (1.1)

Дифференциальные подстановки широко применяются при исследовании интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений. Иногда, при помощи дифференциальных подстановок удается получить решение уравнения из решения другого, хорошо изученного уравнения. Отличительным признаком интегрируемости уравнения является наличие симметрий. В работе [1] было доказано, что нелинейное уравнение Клейна-Гордона

vxy = F (v) (1.2)

обладает высшими симметриями тогда и только тогда, когда оно эквивалентно либо уравнению Лиувилля

vxy = exp V, (1.3)

либо уравнению синус-Гордона

vxy = sin v, (1.4)

либо уравнению Цицейки

vxy = exp v + exp(-2v). (1.5)

В настоящей работе описан класс нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками специального вида с уравнением Клейна-Гордона.

Для того чтобы сформулировать строгие утверждения и определения, отметим следующее. Поскольку, через и мы обозначаем любое решение уравнения (1.1), то все смешанные производные функции и выражаются через

Ux, Uy, Uxx, ^уу, ... (1.6)

M.N. Kuznetsova, On nonlinear hyperbolic differential equations related to the KleinGordon equation by differential substitutions. © Кузнецова М.Н. 2012.

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-97005-р-поволжье-а, 12-01-31208-мол-а) и ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 годы (соглашение №8499). Поступила 26 марта 2012 г.

в силу уравнения (1.1) и его дифференциальных следствий и исключаются изо всех выражений. При этом, переменные (1.6) считаются независимыми, так как их нельзя связать между собой, пользуясь уравнением (1.1) и его дифференциальными следствиями.

3

Определение 1. Соотношение

т / ди дпи ди дти\ .

V = Ф и,—,...,-—,-,...,-—1 (1.7)

\ дх дхп ду дуГ:

называется дифференциальной подстановкой из уравнения (1.1) в уравнение

Уху = д(у,ух,уу), (1.8)

если для любого решения и(х,у) уравнения (1.1) функция (1.7) удовлетворяет уравнению (1.8).

Прежде чем приступить к подробному изложению сути данной работы, кратко коснемся некоторых публикаций, посвященных дифференциальным подстановкам. Как известно (см. [2-4]), одним из критериев интегрируемости нелинейного уравнения является обрыв с двух сторон последовательности инвариантов Лапласа его линеаризации. Такие уравнения принято называть уравнениями лиувиллевского типа. В работах [5,6] были описаны свойства обобщенных инвариантов Лапласа нелинейных уравнений, обладающих дифференциальными подстановками. Одним из наиболее полных обзоров, посвященных уравнениям лиувиллевского типа, является работа [7]. Необходимо отметить работу [8], которая посвящена нелинейным гиперболическим уравнениям, обладающим симметриями третьего порядка. Мы упоминаем здесь именно эти работы еще и потому, что в них представлено достаточно большое количество примеров дифференциальных подстановок, связывающих пары нелинейных гиперболических уравнений.

Дифференциальные подстановки могут быть частными случаями преобразований Бек-лунда (см., например, [9]). В статье [10] описаны пары нелинейных уравнений вида (1.1), линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого и второго порядка, и для каждой такой пары построено соответствующее преобразование Беклунда.

Цель данной работы — описать все нелинейные гиперболические уравнения (1.1), сводящиеся дифференциальными подстановками

V = (р(и,их) (1.9)

к уравнению Клейна-Гордона (1.2). Другими словами, задача состоит в определении функций /, (р и Р.

Полный список искомых уравнений и дифференциальных подстановок представлен во втором параграфе настоящей статьи. Третий параграф посвящен доказательству основного результата. Последний раздел посвящен в некотором смысле "обратной" задаче — описанию уравнений (1.2), сводящихся дифференциальными подстановками

и = ф(ь,ьу) (1.10)

к уравнению (1.1). Кроме этого, для отдельных пар уравнений построены преобразования Беклунда, связывающие их решения.

2. Классификация уравнений, сводящихся к уравнению Клейна-Гордона Основным результатом работы является следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть уравнение (1.1) сводится дифференциальной подстановкой (1.9) к уравнению Клейна-Гордона (1.2). Тогда уравнения (1.1), (1.2) и подстановка (1.9) с точностью до точечных преобразований и ^ 0(и), v ^ k(v), х ^ £х, у ^ г/у, где £ и rq —

постоянные, принимают следующий вид:

иху = uF\F-1(их)), vxy = F (v), v = F-1(ux); (2.1)

иху = sin u\J 1 — иХ, vxy = sin v, v = и + arcsin ux; (2.2)

uxy = exp + иХ, vxy = exp v, v = и + ln (^ux + л/l + uX^j ; (2.3)

Л/72щ

S' (Ux) xV

С — Uy ^U(u,ux)

Vxy = F (v), v = s(ux); (2.4)

Vxy = 0, v = p(u,ux); (2.5)

^xy / \ •> ^xt

Vux (u,Ux)

uxy = ux (ф(и,щ) — uya'(u)), vxy = exp v, v = a(u) + ln ux; (2.6)

Uxy = Ux (ф(u,Uy) — Uya'(u)), Vxy = 0, v = a(u) + ln uX; (2.7)

Uxy = U, Vxy = V, v = Ciu + C2Ux; (2.8)

uxy = 8(uy), vxy = 1, v = c1u + c2ux. (2.9)

Здесь с — произвольная постоянная, с1 и с2 такие, что (с1, с2) = (0,0), функция ф удовлетворяет условию (фи,,фиу) = (0, 0). В случае (2.4) функции s и F связаны соотношением s'(ux)F(s(ux)) = 1; в случае (2.6) функции гф и а удовлетворяют соотношению

фи + ффиу — a1 Uyфиу = exp а,

а в случае (2.7) — соотношению

фи + ффиу — a1 Uy фиу = 0;

в случае (2.9) функция 8 является решением обыкновенного дифференциального уравнения 8(с1 + с2 8') = 1.

Теперь остановимся подробно на некоторых из полученных уравнениях. Случай (2.1). При F(v) = expv получаем уравнение

Uxy = UUx, (2.10)

которое сводится дифференциальной подстановкой v = ln ux к уравнению Лиувилля (1.3). Симметрии третьего порядка, интегралы и общее решение уравнения (2.10) можно найти, например, в [8].

При F(v) = sin v получаем уравнение

Uxy = ил/1 — u2x, (2.11)

сводящееся дифференциальной подстановкой v = arcsin ux к уравнению синус-Гордона

(1.4). Симметрии уравнения (2.11) приведены в [8].

При F(v) = exp v + exp(—2v) при помощи точечных замен приходим к уравнению

uxy = 3ub(ux). (2.12)

Здесь функция b определяется соотношением (2ux + b)2(ux — b) = 1. Дифференциальная подстановка v = — 2 ln (wx — b(ux)), которая сводит уравнение (2.12) к уравнению Цицейки

(1.5), является известной (см. [7]).

Случай (2.2). Уравнение uxy = sinU\J 1 — u2x обладает симметриями третьего порядка [8].

Случай (2.3). Интегралы и общее решение уравнения uxy = exp U\J 1 + u2x можно найти, например, в [8].

Случай (2.4). При F(v) = v получаем известное уравнение Гурса

Uxy — 2 у/ UxUy, (2.13)

сводящееся подстановкой v = V2ux к уравнению Гельмгольца vxy = v. Уравнение (2.13) обладает симметриями третьего порядка (см. [8]).

При F(v) = sin v приходим к ¿"-интегрируемому уравнению [8]

Uxy = V2U~yVi -Ux, (2.14)

сводящемуся подстановкой v = arccos(-их) к уравнению синус-Гордона (1.4). Если F(v) = exp v, то уравнение

Uxy = Ux\f2Uy (2.15)

сводится преобразованием v = lnux к уравнению Лиувилля (1.3). Симметрии, интегралы и общее решение для (2.15) можно найти в [8].

Интерес представляет уравнение, полученное при F(v) = expi>+exp(-2v), которое после точечной замены может быть записано так:

Uxy = y/2UUya(ux). (2.16

|,ия a определяется соотношением 2(a + 2ux^2

подстановка

Здесь функция a определяется соотношением 2(a + 2ux)2(a -ux) = 27. Дифференциальная

i ( 2a(ux) — 2ux

2 \ 3

преобразует решение уравнения (2.16) в решение уравнения Цицейки (1.5). Здесь необходимо отметить, что уравнение (2.16) и последняя подстановка приведены в работе [11]. Указанная подстановка позволяет строить высшие симметрии уравнения (2.16).

Случай (2.5). Уравнение иху = с-™упри с = 0 обладает х-интегралом V = (р(и,их), при с = 0 — х-интегралом V = <Пхихх + <иих.

Случай (2.6). После замены V ^ V + 1п2 с2, а ^ а + 1п2 с2 при ф = с\ ехр(—и) + с2 ехр(и) + иу, а = и получаем уравнение

иХу = их(С! ехр(-и) + С2 ехр(и)), (2.17)

которое сводится подстановкой V = и + 1пиж к уравнению Лиувилля уху = 2с2 ехр V. Симметрии, интегралы и общее решение (2.17) можно найти в [8]. Далее, при а (и) = и приходим к уравнению

= ехр(и) - гфи(и,Пу)

иху их I / \

фиу (и,иу)

с у-интегралом V = ф(и,иу) — ехр и.

В общем случае первое уравнение (2.6) обладает у-интегралом

ф2 ~2

и x-интегралом

W = фпуЩу + фуПу — —

w = uxxx 3 uuxx + ( ,'(u) Р-'2(u) \ u2

W = ux — 2u? +Г (u) — 2 ux.

[a (u) —

Случай (2.7). Первое уравнение (2.7) имеет интегралы

W = uxx + (u)ux, W = ф(u,uy).

ux

Все указанные выше уравнения, обладающие интегралами, содержатся в списке уравнений лиувиллевского типа, приведенном в обзоре [7].

3. Доказательство основного результата

Для доказательства теоремы 1 проведем следующие преобразования. Подставляем функцию (1.9) в уравнение (1.2), учитывая формулу (1.1)

^Рии^х + ^ иих ^XX) ^у + фи/ + + <Рихих иХх) / +

, \ (3.1)

+ иих + ¡ихихх + !иу /) = ^(<Р). Поскольку переменные и,их,иу и ихх являются независимыми, а все функции, фигурирующие в соотношении (3.1), не зависят от ихх, последнее равенство эквивалентно следующей системе:

'•РиихЩ + РихПх! + фих /их 0, (3 2)

<рииихиу + + ф

! + Рих Iиих + >$их!иу! = ^ (<Р). Интегрируя первое уравнение (3.2) по переменной их, приходим к системе

<Ри иу + <£их$ = ф{и,иу), ихфи + + фих /%)/ = Г (3.3)

Итак, исходная задача (1.1), (1.2), (1.9) свелась к исследованию системы (3.3). Из первого соотношения (3.3) определям правую часть уравнения (1.1):

¡ = . (3.4)

Фих

Подставляем функцию (3.4) во второе равенство (3.3)

их^ихФи + ФФиу - иуфиу<ри = ^(у). (3.5)

Применим к левой и правой части соотношения (3.5) оператор дудди :

Фииу (^ихих)их - <Риих(Фиуиу)иу = 0. (3.6)

Равенство (3.6) справедливо, если выполнено одно из следующих условий:

Фииу = 0, Риих = 0, (3.7)

Фаиу = 0, (фиуПу)иу = 0, (3.8)

Риих = 0, {<Рихих)их = 0, (3.9)

Фииуфиих = 0. (3.10)

Отметим, что если (<рииЛ =0 и (ффиущ) = 0, то

их у иу

= С\(и) Ыих + Сз(и), ф = с2(и) \пиу + с4 (и).

Легко видеть, что данный случай является частым по отношению к (3.8), (3.10).

Покажем теперь, что требование (3.10) приводит к условию (3.7). Действительно, согласно соотношению (3.6), имеем

&ихих)их = ('фиуПу)иу '•риих фииу

Так как переменные их, иу независимые, равенство (3.11) эквивалентно системе

Ыхих)их_ {фиуПу)иу

(3.11)

= а(и), ---- = а(и).

фии

Пусть а = 0, тогда

(<РихПх)их = а(и)^иих , (фиуПу)иу = а(и)фУМу. (3.12) Интегрируя каждое уравнение системы (3.12), определяем функции (р и ф:

р = \(и) + к(ук(и)их^, ф = ^(и) + Н(к(и)иу). (3.13)

Требование (3.10) влечет К _ 0. Теперь вернемся к формулам (1.1) и (3.4), которые дают

_ Ф - иури

иху

<Рих

или

РихиХу + иу(ри _ ф.

Последнее соотношение означает, что И(ф) _ ф, где И обозначает оператор полного дифференцирования по переменной у. Подставляя сюда функции (3.13), получаем

й(\(и) + ¡1^к(и)их^ _ у(и) + Н(к(и)иу). Сделаем в последнем равенстве точечную замену

J к(и)¿и _ и, после которой оно примет следующий вид:

И (х(и) + н(их)) _ в (и ) + н и).

Вводя функции ф(и, их) _ х(и) + Н(их), ^(и, иу) _ в(и) + Н(иу), сводим данный случай к случаю (3.7).

Если же а _ 0, то соотношения (3.12) дают

р _ к(и)\пих + е(и), ф _Н(и)1пиу + $(и). (3.14)

Подставляем функции (3.14) в равенство (3.5)

Н н (Н'1пиу + 5')Н + (Н1пиу + 5)--(Ь!1пих + е)Н _ —Р(Н1пих + е).

иу иХ

Откуда Н _ 0, что противоречит условию фииу _ 0. Случай (3.10) исследован.

Далее, перейдем к описанию уравнений (1.1), (1.2) и дифференциальных подстановок, связывающих их решения в случаях (3.7) - (3.9). Справедливо следующее утверждение:

Лемма 1. Пусть выполнено условие (3.7). Тогда уравнения (1.1), (1.2) и подстановка (1.9) с точностью до точечных преобразований и ^ 0(и), V ^ к(ь), х ^ £х, у ^ щ, где С и г] — постоянные, принимают следующий вид:

и _ С1—иуд(и), _ 0, у _ д(и) + 8(их); (3.15)

5 '(их)

*>х) Г,И (

их\ д(и) - иу) , уху _ ехрV, V _ 1пд'(и) + 1пих; ( и)

(3.16)

д" (и) д'(и)

иху _иР'(Р-1(их)), ьху _Р(у), ь_Р-г(их); (3.17)

иху _и, иху _ V, у_ сги + С2их,; (3.18)

иху _ ътиу/Г—Щ., уху _ втV, V _ и + агс8тиж; (3.19)

иху их ( С! ехр(-и) + С2 ехр(и)), ьху _2 С2 ехр V, ь_и + \пих; (3.20)

иху _ ехр(и)^1+и., уху _ ехр(г>), V _ и + 1п (^их + л/1 + и^ ; (3.21)

иху _ "¡{/й , уху _Р (у), у_в (их); (3.22) о [их)

иху _ 0, уху _ 0, у _и + в(их); (3.23)

(р(иу) - СЩ) Сэ С4

иху _ ---—, ьху _ Сэ, V _ си +--их. (3.24)

4 э

Здесь с1, с2 — произвольные, а с, с3, с4 — ненулевые постоянные. Функции Б ир удовлетворяют уравнениям Б'(их)Р(8(их)) = 1 и р'(иу){р(иу) — сиу) = с4 соответственно.

Доказательство. Пусть выполнено условие (3.7), тогда

р = д(и) + з(их), ф = д(и)+р(иу). (3.25)

Подставим функции (3.25) в соотношение (3.5)

ихз '(их)д'(и) + (д(и) + р(иу ))р'(иу) — иур'(иу )д'(и) = з'(их)Р( д(и) + в(их)). (3.26)

В силу независимости их и иу, равенство (3.26) эквивалентно системе

р'(иу )(иуд'(и) — д(и) — р(иу)) = Х(и), з'(их)(ихд'(и) — Р (д(и) + в(их))) = Х(и). (3.27)

Рассмотрим случай

д''(и) = 0. (3.28)

Из условия (3.28) следует, что д'(и) = 0. Пусть

Х(и) = 0, (3.29)

тогда р(иу) = с3, где с3 — произвольная постоянная. Кроме этого, обращаясь ко второму равенству (3.27), имеем

Р(д(и) + з(их)) = ихд'(и). (3.30)

Дифференцируем последнее равенство по переменным и и их

Р'(д(и) + в(их))д'(и) = ихд"(и), Р' (д(и) + з(их))8'(их) = д'(и). (3.31)

При Р' = 0, используя соотношения (3.31) получаем, что д'(и) = 0 и^ = 0. Тогда ф = с4 и р = д(и) + в(их), и мы приходим к уравнениям (3.15). Если же Р' = 0, то из (3.31) следует

»» =с = й,

з'(их)их д'(и)д'(и)

Откуда

з(их) = -1п( сгих), д'(и) = ехр(сд (и) + С2). Подставим функции и в формулу (3.30)

Р(д(и) + з(их)) = их ехр(сд(и) + с^ =

= ехр ( с ( д(и) +— 1п(С1и)--1п сИ + с2

V V с с )

= ехр(^с( д(и) + в(их)) + с2 — 1п с^.

Последнее соотношение означает, что

Р(у) = ехр {су + с2 — 1п с1). Итак, мы приходим к уравнениям

/ 1 д''(и)\ 1 . с2 1

иху = сиж I д(и) — -иу —(и) ) , Ь= -1пд (и) — — + ~ 1п(сЛих),

ьху = ехр ( сь + с2 — 1п с!). После замены си + с2 — 1п с1 ^ V полученные уравнения принимают вид:

( ^ 9''(и)\ , ,, , Л 1

иху = их \ сд(и) — иу ^ 1 , V = 1пд (и) + 1пих, -уху = ехр V.

Замена сд(и) ^ д(и) преобразует последнюю систему к виду

иху = их(д(и) — иу^-ут-г) , V = 1пд'(и) — 1пс + 1пих, ьху = ехр(-у + 1пс). V 9 (и) )

И, наконец, преобразование сдвига V + 1п с ^ V приводит к уравнениям (3.16). Нетрудно показать, что случай Л = 0 не реализуется. Теперь рассмотрим случай д1 (и) = с, откуда

д(и) = си + с3. (3.32)

Подставим функцию (3.32) в первое соотношение (3.27)

р' (иу) (сиу — д(и) — р(иу)) = Х(и). (3.33)

При д'(и) = 0 равенство (3.33) влечет

р' (щ) = С\. (3.34)

Если с1 = 0, то в силу (3.33) имеем Х(и) = 0 и р(иу) = с2. При этом, обращаясь ко второму уравнению (3.27), получаем

ихд' (и) = Р(си + в(их) + сз).

Замена з(их) + с3 ^ в(их) дает

ихд'(и) = Р(си + в(их)). (3.35)

Положим с = 0, тогда функции (3.25) и соотношение (3.35) принимают вид:

-ф = д(и) + С2, р = в(их), ихд' (и) = Р(в(их)).

Замена д(и) + с2 ^ д(и) приводит к формулам

-ф = д(и), р = з(их), ихд'(и) = Р(з(их)). (3.36)

В силу независимости переменных и, их и требования д'(и) = 0 из последнего равенства (3.36) заключаем, что д'(и) = с4 = 0, откуда

д(и) = с4и + с5. (3.37)

Подставим функцию (3.37) в последнее соотношение (3.36)

Р{в(их)) = сАих. (3.38)

Используя соотношение (3.38), определяем функцию з:

в(их) = Р-1(с4их).

Таким образом, приходим к следующим уравнениям:

иху = -—+ С5 , , V = Р-1(с4их), Ьху = Р(у). -1(с4их)) С4

При помощи преобразований растяжения с4и ^ и и сдвига переменной и + с5 ^ и приводим уравнения к (3.17).

Далее предположим, что с = 0. Дифференцируем равенство (3.35) по переменным и и их независимо

ихд"(и) = сР'(си + в(их)), (3.39)

д'(и) = з\их)Р' (си + з(их)). (3.40)

Исключаем из соотношений (3.39) и (3.40) функцию Р':

/Ы = с д'(и) ихв '(их)'

В силу независимости и и их, последнее равенство эквивалентно системе

= а, -= а, а = 0. (3.41)

д'(и) ихз'(их)

Интегрируя уравнения (3.41) по переменным и, их соответственно, получаем

1 с

д(и) = — ехр(аи + [3) + 8, в(их) = — 1п(7их). (3.42)

а а

Подставим функции (3.42) в (3.35)

'а ( с , , , с

F(cu + s(ux)) = ux exp(au + ¡) = exp ( — (cu + — ln(7ux) — c ln7) + ¡) = v y V c \ — — / /

= exp ^ — {cu + s(ux)) — ln7 + ¡j.

Последнее соотношение означает, что

F(v) = exp ^—v — ln7 + /j .

'a

Итак, мы приходим к уравнениям

i —

uxy = ux [ - exp(—u + ¡) +— 8 — —uy , v = cu +— ln(7ux),

c J —

VxV = exp ^—v — ln 1 + . Преобразования сдвига и растяжения —u ^ u, —v/c ^ v дают

uxy = ux ( - exp(u + ¡3) +—8 — uy

—

v = u + lnux + ln7 — ln vxy = — exp(w — ln7 + 3).

После преобразований u + ¡ — lnc ^ u, v — ln 7 + ¡ + ln — — lnc ^ v полученные уравнения приобретают вид

uxy = ux ^exp u +—8 — u^j , v = u + ln ux, vxy = exp v.

Таким образом, мы получили случай, который является частным по отношению к (3.16). Далее, при ci = 0, обращаясь к формуле (3.34), получаем, что

p(uy) = ciuy + c2. (3.43)

Подставляя функцию (3.43) в (3.33) после замены g(u) + c2 ^ g(u), имеем

ci{ cuy — g(u) — c1uy) = A(u).

Поскольку переменные u, uy независимые, из последнего равенства заключаем, что c = c1 и

A( u) = — i ( u). (3.44)

Подставляем функцию (3.44) во второе соотношение (3.27)

s '(uy ){ux,g'(u) — F (ciu + ca + s(ux))) = — cig (u).

После замены c3 + s(ux) ^ s(ux) последнее равенство принимает вид

F (ciu + 8(ux)) = ux9'(u) + . (3.45)

S (ux )

Дифференцируем (3.45) по переменным u и ux независимо

ciF' (ci u + s(ux)) =uxg"(u) + -^^, (3.46)

S (ux)

g"(Ux)

s'(ux)F'(cíu + s(ux)) = д'(и) — ci g (и) x . (3.47)

S '2(их)

Из соотношений (3.46) и (3.47) исключаем функцию F':

g"(и) 2 s"(их)

g (и) с2 uxs/3(их). (3.48)

Поскольку и, их независимые, равенство (3.48) эквивалентно системе

д" (и) = _ с2а2 c2s "Ы = с2а2

9 (и) 1 ' uxs'3(ux) 1 ' где а — произвольная постоянная. Или

s "(U )

д" (и) + с2а2д (и) = 0, = а2их. (3.49)

s '3(их)

Если а = 0, то д(и) = tu + ó, s(ux) = 7их + d, ej = 0. Кроме этого, соотношение (3.45) дает

„/ , sn tu + 5 t. td Ci5 F (ciu + s(ux)) = tux + d-= -(ciu + 7UX + d)---1--=

7 7 7 7

e , ч td c\ó

= -( CiU + s(ux))---1--.

7

Последнее соотношение означает, что

. e td c\ó F (v) = - v---1--.

7

Итак, мы получили уравнения

tu + 5 ее d c\ó иху =-' v = clU + 7UX + d, vxy = -v---1--.

7 7 7 7

Преобразования y ^ ty/7, и + | ^ u, v — d + с\¡)/t ^ v дают (3.18).

Если же а = 0, то в силу уравнений (3.49) функции див' определяются следующим образом:

д(и) = A exp(iciau) + В exp(—iCiau), (3.50)

s'(ux) = . . (3.51)

у/ 3 — a2ul

Пусть 3 = 0. Интегрируя (3.51) по переменной их, определяем функцию s:

s(ux) = — ln (iаих + \J3 — а2иЛ + 7. (3.52)

а

Тогда соотношение (3.45) можно записать так:

F (c\U + s(ux)) = cexp{ia(c\U + s(ux))) + D exp(—ia(c\U + s(ux))). Таким образом, приходим к формулам:

A exp(ic\au) + В exp(—ic\au) , .

uxy = 77 \ ' (3.53)

y s'(ux )

v = C\U + s(ux), (3.54)

vxy = Сexp(¿av) + D exp(—гav), (3.55) где s удовлетворяет (3.51) и CD = ABc2¡. Возможны случаи:

CD = 0, (3.56)

С = D = 0, (3.57)

С = 0, В = 0, (3.58)

В = 0, С = 0. (3.59)

Пусть верно равенство (3.56). Тогда в уравнениях (3.51) — (3.55), сделав замену аи ^ и, аь ^ V, аз(их) ^ в(их), приходим к формулам:

иху = (А ехр(гс\и) + В ехр(—г— и2, ь = с\и + в(их), в'(их)

^х )) V X /

*/И -<*х

VР - u2

уху = С ехр(т) + В ехр(—% у), С В = АВ с\[ = 0. Замена и — Ь ^ и, V — а ^ V преобразует последнюю систему к виду:

иху = (А ехр(гс\Ь)ехр({с\и) + В ехр(—гс\Ь)ехр(—{с\и))л/@ — и2Х,

V + а = сх(и + Ь) + в(их), 8'(их) = —1 2 ,

\/Р — Щ

иХу = С ехр({а) ехр({ь) + В ехр(—г а)ехр(—{ у), С В = АВ с1 [ = 0. Выберем а и Ь такими, чтобы А ехр(гс\Ь) = В ехр(—гс1Ь) и Сехр(га) = В ехр(—1а), тогда

--]. 1\п-и*у = °1и)л/3 — и1,

А ехр(г с1 Ь)2г у

1

V = C\U + s(uX), s'(uX)

1

, ч -vxy = sin v, С2 exp(2ia) = А ехр(2гc\b)clfí = 0. С ехр(га)2г

Преобразование растяжения переменной у А ехр(г C\b)2 г ^ у приводит к уравнениям

C\\[fiuXy = sin(c 1 u)\JР - uX

1

V = C\U + s(uX), s'(uX)

Vp -uX

Vxy = Sin V.

Далее, сделаем замену ис\_ ^ и, з(их/с1) ^ з(их), тогда

\fpuXy = sin(u)jp - u,

1

V = u + s(uX), s'(uX)

ci -uX

X y = sin .

Введем обозначение с^у/Ъ = а и после преобразований растяжения переменных ах ^ х, у/а ^ у приходим к уравнениям (3.19).

Пусть выполнено условие (3.57). Подставим (3.54) в (3.55), учитывая (3.53)

с^А ехр(гс1аи)+В ехр(—г^аи^л/З — а2и2 + (А ехр(гс1аи){с1а — В1 с\_а ехр(—г^аи^Пх = 0, откуда [ = 0, А = 0. Уравнения (3.51) - (3.55) принимают вид

иху = Вгаих ехр(—гс^аи), V = сц--\пих + уху = 0.

При помощи замены —гс1аи ^ и преобразуем последнюю систему к виду

1

ихч = В1а ехр(и)их, ь =--и--\пих +—1п(—г с1а)+^, уху = 0.

а а а

1

Далее преобразования и + \п(Вга) ^ и, —гаь + \п(—1С\а) — ^ + \п(Вга) ^ V дают

иху _ ехр(и)их, ь_и — \пих, уху _ 0. (3.60)

Таким, образом мы получили уравнения, которые представляют собой частные случаи уравнений (3.20).

Пусть выполнено условие (3.58). Подставляя (3.54) в (3.55), учитывая (3.53), приходим к равенствам

Ас\л/ 3 — а2и2 + 1С\аихА _ 0. (3.61)

С\Ву/Р — а2и2 — В1с\аих _ И ехр(—в(их){а). (3.62)

Из (3.61) следует, что А _ 0. При этом, В _ 0, т.к. И _ 0. Перепишем соотношение (3.62), учитывая (3.52) так:

-сг 3 — а2и2 — гаих)

И х гаих + л/ 3 — а2и2

Последнее равенство верно лишь при условии Всг3/И _ 1. Итак, систему (3.51) — (3.55), используя формулу (3.52), можно представить в виде

UXy

В exp(-гclau)^ß — a2uX,

v = С\и--ln(—г auX + л/ß — a2uX) + с,

i а

vxy = D exp(—iav), = 1.

В

Преобразование растяжения переменной —гаи ^ и приводит к уравнениям

иху _ —гаВ ехр(сги)л/3 + и2,

V _ — — — — 1п(их + \/3 + и1) + с, г а г а у '

В

ъху _И ехр(—гаь), _ 1.

После преобразования —гаь ^ V получаем

и

Xy

—гаВ exp(c\u)\Jß + UX,

V = ClU + ln(ux + л/ß + uX) + c,

vxy = —iaD exp(w).

Или _

uXy = В exp(clu)^ß + uX,

V = Ciu + ln(uX + л/ß + uX) + c,

VXy = D exp(v).

Подставляя функцию v в последнее уравнение, получаем, что с1В = D exp(c), и полученные уравнения приобретают вид

uXy = В exp(clu)^ß + uX, v = c^j, + ln (^uX + л/ß + uX^J + c, vXy = clВ exp(w — c).

Преобразование сдвига v — с — v дает

uXy = В exp(clu)^ß + uX, v = c^j, + ln (^uX + л/ß + uX^j , vXy = clВ exp(w).

Замена clи — и, преобразование растяжения переменной ах — х при а, таком, что ßcl/а2 = 1, преобразование сдвига v + ln cl — lna — v и, наконец, преобразование и + 1пВ —У и, v + 1пВ — v приводит к уравнениям (3.21).

Теперь рассмотрим случай (3.59). Уравнения (3.51)- (3.55) принимают вид

А ехр(г ^аи) + В ехр(—г ^аи)

иХу

в'(их)

и = С\_и + з(иж), в'(их) =

у/р — а2и2х

иху = С ехр({ аи). Подставим функцию в последнее уравнение

с^А ехр(г^аи) + В ехр(—{^аи^л/Р — а2и2х+

+г ^а^А ехр(г с-\_аи) — В ехр(—гс1аи))их = С ехр(ю( с-\_и + з(их ))).

Откуда

^Ал/ Р — а2и2 + г С]_аихА = С ехр({ а), ^В^/ р — а2и2 — г ^ащВ = 0. Поскольку Р = 0, то В = 0 и, следовательно

иху = А ехр(г С]_аи)л/ Р — а2и2,

V = с1и + — 1п (атх + л/Р — а2и2^ , иху = С ехр(г аи).

Сводится к предыдущему.

Теперь рассмотрим случай Р = 0. Из формулы (3.51) получаем, что

в(их) = С2их).

*>х I

а

Подставим функцию в систему (3.53) — (3.55)

иХу = (А ехр(г^аи) + В ехр(—гс1аи))гаих, (3.63)

и = с1и +--1п( с2их), (3.64)

а

ъху = Сехр(гаи) + Б ехр(—гаи). (3.65)

Подставим функцию (3.64) в (3.65), учитывя (3.63)

с^А ехр(г^аи) + В ехр(—г^аи))гаих+

+г ^аих^А ехр(г слаи) — В ехр(—% слаи)) = С с2их ехр(г а С]_и) +--ехр(—% ас1и).

С2.их

Отсюда получаем, что Б = 0, Сс2 = 2с1аАг, и уравнения (3.63)-(3.65) можно представить в виде:

иху = (А ехр(г^аи) + В ехр(—г^аи)) гаих,

V = с1и +--1п( с2их),

а

2 с-\_аА%

VхУ =-ехр(г аи).

2

Применим замену переменных г аи ^ и, ис \_г а ^ и и после преобразования сдвига и — 1п(с2) + 1п(С]%а) ^ и придем к уравнениям вида (3.20):

иХу = (Аехр(и) + В ехр(—и))их, и = и + \пих, иху = 2Аехр(-у).

Теперь предположим, что д(и) = с1, где с1 — произвольная постоянная. В данном случае, вспоминая (3.32), перепишем (3.27)

р'(иу)(сиу — ^ — р(иу)) = \(и), —в '(их)Р(си + в(их)) = Х(и). (3.66)

1

Поскольку переменные и, их, иу — независимые, из (3.66) делаем вывод, что \(и) = — с2, и переписываем (3.66)

р'(иу){сиу — С1 — р(иу)) = —С2, —8'(их)р(си + з(их)) = С2. (3.67)

Дифференцируем второе равенство (3.67) по переменной и:

5 '(их )с Р'( си + з(их)) = 0.

Следовательно, с = 0 либо Р' = 0.

Пусть = 0, тогда второе равенство (3.67) дает

в'(их)Р( в(их)) = С2.

И мы приходим к уравнениям:

С1 +Р(иу) ^

иху =-—Г—, (3.68)

V = в(их), (3.69)

уху = Р (у). (3.70)

Подставим (3.69) в (3.70), учитывая (3.68)

р'(иу)(С1 +р(иу)) = С2

8 <(их) в '(иху

Итак, имеем

С1 +Р(иу) , , , ,

иху = -,, , , V = S(иx), Уху = Р (У), ( )

5 '(их)Р{ 8(их)) = С2, р'(иу) (С1 + р(иу)) = С2. Замена р(иу) + с1 ^ р(иу) приводит к уравнению р'(иу)р(иу) = с2, решением которого

является

Р(иу ) = \/2 С2Щ + Сз. Замена и ^ и — с3у/(2с2) преобразует систему (3.71) к виду

иху = ^ 2 * , У = в(их), Уху = Р (у), з'(их)Р (в(их)) = С2.

3 (их)

Применяя преобразование растяжения переменной у ^ с2у, затем, сделав замены з(их) ^ с2з(их) и Р(с2в) ^ Р(Б), приходим к уравнениям (3.22).

Пусть = 0, тогда Р = з, где з — произвольная постоянная. Второе соотношение (3.67) дает

$'(их) Сз = С2.

Если здесь с2 = 0, то с3 = 0 и из первого соотношения (3.67) получаем

р'(иу) (сиу — С1 — р(иу)) = 0.

Откуда р(иу) = сиу — с1. Получаем

иху = 0, у = си + з(их), уху = 0.

Преобразование растяжения переменной си ^ и и замена в(их/с) ^ $(их) приводит к уравнениям (3.23). Если же с2 = 0, то Р = с3 = 0, и получаем

С1 + р(иу) — сиу

иху = --(-)-, У = си + 8(их), Уху = Сз,

з (и,х)

'(их) = %, р'(иу) (сиу — С1 — р(иу)) = — С2.

Или

( ci + p(uy) — cuy) c3 c2

uxy = -, v = cu +--ux + c4, Vxy = c3,

У c2 , Л ca У

p'(uy )( cuy — ci — p(uy )) = — c2.

Преобразования сдвига p + ci ^ p, f — c4 ^ f приводят к уравнениям (3.24). Лемма доказана.

Итак, случай (3.7) исследован полностью. Теперь рассмотрим условие (3.8). Справедливо следующее утверждение:

Лемма 2. Пусть выполнено условие (3.8) и pUUx = 0. Тогда уравнения (1.1), (1.2), (1.9) приобретают следующий вид:

ux

—(u)F'^F i{ux—'(u))j — (u)uxuy

xy !( \ ' xy

— ( u)

, Vxy = F (v), v= (F-i(ux—' (u))). (3.72)

c — uy^u(u,ux)

uxy = -;-T-, Vxy = 0, v = (p(u,ux). (3.73)

fux (u, ux)

Доказательство. Пусть верно (3.8). Тогда нетрудно видеть, что

ф = а(и) + с1пиу. (3.74)

После подстановки функции (3.74) в соотношение (3.5), последнее может быть представлено в виде:

£

их<их а' (и) + (а (и) + с1пиу)--с<<и = <ихР (<<).

иу

Поскольку функции, фигурирующие в полученном равенстве, не зависят от переменной иу, то коэффициент при выражении 1п иу должен быть равен нулю, т.е. с = 0, и, следовательно

иха'(и) = Р(<р(и,их)).

Из последнего соотношения определяем функцию < , задающую искомую дифференциальную подстановку

< = Р-1{иха'(и)).

При а = 0 приходим к уравнениям (3.72). Если же а' = 0, то ^ = 0, и мы получаем уравнения (3.73). Лемма доказана.

И, наконец, для завершения классификации требуется исследовать случай (3.9). Имеет место следующее утверждение:

Лемма 3. Пусть выполнено условие (3.9) ифииу = 0. Тогда уравнения (1.1), (1.2), (1.9) точечной заменой вида V ^ к(ь) сводятся к уравнениям

иху = их(ф(и,иу) — иуа (и)), иху = с1 ехр V, V = а(и) +1пих (3.75)

соответственно. Здесь с1 — произвольная постоянная, а функции ф и а связаны соотношением фи + ффиу — а'иуфиу = с\ ехр а.

Доказательство. Предположим, что выполнено требование (3.9), тогда

< = а(и) + с1пих. (3.76)

Здесь с = 0, поскольку мы рассматриваем такие подстановки, что <их = 0. Подставим

функцию (3.76) в соотношение (3.5), тогда последнее можно представить в виде:

£

сфи(и,щ) + ф(и,иу )фиу (и,иу) — ща' (и)фиу (и,иу) = —Р{а(и) + с1пиж). (3.77)

иг

В силу независимости переменных их и иу (3.77) эквивалентно системе

Р{а(и) + с 1пих) = 1и7(и), (3 78)

сфи(и,иу) +^(и,иу)фиу (и,иу) - а(и)иуфиу (и,иу) = 7(и).

Применим к левой и правой части соотношения (3.78) оператор :

Р'(а(и) + с1пих) ■ — = —. (3.79)

их

Теперь перепишем (3.79), учитывая первое уравнение (3.78), так:

Р' (а(и) + с1пих) = 1^ (а(и) + с1пих). (3.80)

Используя соотношение (3.80), делаем вывод, что сР' (у) — Р(у) = 0. Интегрируя последнее уравнение, определяем функцию Р, задающую правую часть уравнения Клейна-Гордона (1.2):

Р(у) = с2 ехр(-у/с).

Подставляя функцию Р в соотношение (3.78), получаем, что у(и) = сс2 ехр(а(и)/с). Таким образом, мы приходим к уравнениям

и

иху = —(ф(и,иу) — иуа(и)), V = а(и) + с1пих, уху = с2 ехр(-у/с), сфи + ффиу — а'иуфиу = СС2 ехр (а/с).

Замена ф/с ^ ф, а/с ^ а, у/с ^ у, а затем с2/с ^ с1 преобразует полученные уравнения к виду (3.75). Лемма доказана.

Итак, доказательство Теоремы 1 следует из Лемм 1-3.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОДСТАНОВКИ ВИДА и = ф(у, Уу)

В настоящем параграфе мы рассматриваем, как уже было сказано выше, задачу в некотором смысле "обратную" по отношению к задаче первой части работы. Наша цель найти все уравнения (1.2), сводящиеся дифференциальными подстановками (1.10) к уравнению (1.1). Справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Пусть уравнение Клейна-Гордона (1.2) сводится дифференциальной подстановкой (1.10) к уравнению (1.1). Тогда уравнения (1.2), (1.1) и подстановка (1.10) с точностью до точечных преобразований у ^ к(у), и ^ 0(и), х ^ £х, у ^ г]у, где £ и г] — постоянные, принимают следующий вид:

Уху = Р (у), иху = Р1 {Р 1(их))и, и = Уу; (4.1) ф"(ф-1(и)) иу

Уху = 1, иху = ,,п и ,х , и = ф(Уу); (4.2)

фЧф-1(и))

Уху = о, иху = 0, и = су + 1л( Уу); (4.3)

уху = 0, иху = —их ехри, и = 1пуу — 1пг>; (4.4)

Уху = у, иху = и, и = слу + С2Уу; (4.5)

Уху = 1, иху = 1, и = у + суу. (4.6) Здесь с — произвольная постоянная, с1 и с2 такие, что (с1, с2) = (0, 0).

Схема доказательства. Подставим функцию (1.10) в соотношение (1.1), учитывая (1.2)

(4.7)

vvVy + фWy Vyy)vx + ф-uF + (фъу vVy + фщ Vy Vyy)F + t^VyF' Vy

= ¡(ф, фььх + i^vyF, фуУу + ф Vy VyyJ .

Обозначим первый, второй и третий аргумент функции / через а, Ь и с соответственно. Применим к левой и правой части равенства (4.7) оператор -:

О'Юуу

ф™у Ух + фчу %Р = ¡сфъу. (4.8)

Применим к левой и правой части равенства (4.8) оператор : ¡Ссф^у = 0. Если ф^ = 0, то вместо дифференциальной подстановки получаем точечную замену и = ф(ь). Поэтому

¡(а,Ь, с) = а(а, Ь)с +@(а, Ь). (4.9)

Подставим функцию (4.9) в соотношение (4.8)

ф'0'0у Ух + фьуьуР = а(ф,фььх + фЬуР (ь))фЬу. (4.10)

Равенство (4.7) в силу (4.9), (4.10) принимает вид

+ фмуР) Уу + фу Р + ф„уР'%

Uy-

а[ф,ф„ьх + ф^)фгиУу + Р{ф,фьух + ф-uyF).

(4.11)

Таким образом, задача (1.2), (1.1), (1.10) свелась к исследованию соотношений (4.10), (4.11). Применим к равенствам (4.10), (4.11) оператор jf^:

аььф1 фvy = 0, аъьф^Уу + ßbb ф1 = 0. (4.12)

Равенства (4.12) выполнены, если выполнено одно из следующих условий:

фь = 0, (4.13)

фь = 0, аьь = 0, ßbb = 0. (4.14)

Исследование условий (4.13), (4.14) приводит к уравнениям (4.1) - (4.6).

Используя Теоремы 1 и 2 для некоторых пар уравнений, можно построить преобразования Беклунда. Например, уравнения иху = —их expu, vxy = 0 связаны преобразованием Беклунда v = \пих — и, и = ln(vy/v). Далее, уравнения

иху = F' (F-1(ux))u, vxy = F (v) (4.15)

связаны преобразованием Беклунда

v = F-1(их), и = vy.

Согласно работе [10], линеаризации уравнений (4.15) связаны преобразованием Лапласа первого порядка. В качестве примеров мы приведем уравнения

иху = (А — ßnbn-1(ux))u, vxy = Av — ßvn, n> 0, (4.16)

где А и ß — произвольные постоянные, а функция b удовлетворяет уравнению АЬ(их) — ßЬп(их) = их. Преобразование Беклунда, связывающее решения уравнений (4.16), имеет вид

и = Vy, v = Ъ(их).

Необходимо отметить, что второе из уравнений (4.16) является вариантом [12] так называемого уравнения 4 в физике элементарных частиц. Уравнение ^4 и соответствующее преобразование Беклунда получается при n = 3. Эта модель важна в физике твердого тела и в физике частиц с высокой энергией [13]. Далее, мы получаем уравнения

, ( w ч 1 Ь(их) \ , Л 1 . v\

иху = ±1 cosb(ux) + ) и, Vxy = ±( sinv + ^sm-^J , (4.17)

где функция b удовлетворяет соотношению ± sin b(ux) + 2 sin =ux. Преобразование

Беклунда задается формулами и = vy, v = b(ux). Второе из уравнений (4.17) — двойное уравнение синус-Гордона, со знаком плюс имеет применение в нелинейной оптике, со знаком минус применяется в нелинейной оптике и при изучении В-фазы жидкого гелия [13].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Жиберу А. В. за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. Т. 247, № 5. 1979. С. 1102-1107.

2. I.M. Anderson, N. Kamran The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane // Preprint. Montreal: Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Montreal. 1994.

3. I.M. Anderson, N. Kamran The variational bicomplex for hiperbolic second-order scalar partial differential equations in the plane // Duke Math. J. V. 87, № 2. 1997. Pp. 265-319.

4. Жибер А.В., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН. Т. 343, № 6. 1995. С. 746-748.

5. Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // ТМФ. Т. 120, № 2. 1999. С. 237-247.

6. Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // ТМФ. Т. 127, № 1. 2001. С. 63-74.

7. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. Т. 56, вып. 1. 2001. С. 63-106.

8. Мешков А.Г., Соколов В.В., Гиперболические уравнения с симметриями третьего порядка // ТМФ. Т. 166, № 1. 2011. С. 51-67

9. Хабиров С.В. Бесконечно параметрические семейства решений нелинейных дифференциальных уравнений // Математический сборник. Т. 183, № 11. 1992. С. 45-54.

10. Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // УМЖ. Т. 1, вып. 3. 2009. С. 87-96.

11. Искандарова М.Н. (Кузнецова М.Н.) Нелинейные гиперболические уравнения и уравнение Ци-цейки // Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых. Математика. Уфа, БГУ. Т. 1. 2009. С. 183-193.

12. A.A. Soliman, H.A. Abdo New exact solutions of nonlinear variants of the RLN, the PHI-four and Boussinesq equations based on modified extended direct algebraic method arXiv: 1207.5127v1 [math.NA]

13. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж, Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 694 с.

Мария Николаевна Кузнецова, Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: kuznetsova@matem.anrb.ru