Характеристические кольца Ли и симметрии дифференциальных уравнений Пенлеве i и Пенлеве III Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ И СИММЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ I И ПЕНЛЕВЕ III

© А. В. Жибер1'2*, О. С. Костригина3

1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Институт математики с ВЦ УНЦ РАН Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

3Уфимский государственный авиационный технический университет Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.

Тел.: +7 (347) 272 59 36.

*ЕтаИ: [email protected]

В работе рассматриваются двухкомпонентные гиперболические системы уравнений, порожденные обыкновенными дифференциальными уравнениями Пенлеве I иуу = 6и2 + у и Пен-леве III уииуу = уиу — ииу + 5у + Ри + аи3 + ууи4, где а, у, 5 - комплексные числа. Исследована структура характеристических колец Ли и построены высшие симметрии Ли-Беклунда.

Ключевые слова: высшие симметрии, характеристическое векторное поле, характеристическое кольцо, х - и у - интегралы.

Введение

В работе рассматриваются характеристические кольца Ли и высшие симметрии Ли-Беклунда уравнений ПенлевеI

иуу = 6и2 +у (1)

и Пенлеве III

уииуу = уиу — ииу + 5у +

+/3и + аи3 + ууи4, (2)

где а, р,у,8 - комплексные числа. Для определения характеристического кольца Ли обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрим гиперболическую систему уравнений (см. [1])

иху = Р1(х,у, и,их,иу)л = 1,2,...,

п,и = (и1,и2, ...,ип). (3)

Введем набор независимых переменных и1 = их,й1 = иу,и2 = ихх,й2 = иуу,... и обозначим через 0(0) - оператор полного дифференцирования по переменной у (х).

Определение 1 Функция со = а>(х,у,и,щ,... ,ит) называется х— интегралом т — го порядка системы уравнений (3), если

(гт~) ^ 0 Аналогично,

Уди::.,/

д

Х1 = —Л = 1,2,., п, ди\

Х„

ду 1 ди1 к Ян1

ди1,

ди1.,

+ 0к-1(П + ди1

X — характеристическое кольцо Ли уравнений (3) есть кольцо А, порожденное векторными полями Х1,Х2,... ,Хп+1. Аналогично определяется у - характеристическое кольцо Ли А.

Отметим, что понятие характеристического векторного поля для гиперболических уравнений впервые ввел в рассмотрение Э.Гурса в работе [2].

Обозначим через 1п - линейное пространство коммутаторов образующих длины п,п = 1,2,3,... Например, Ь1 - линейная оболочка векторных полей Х1,Х2,... ,Хп+1 а Ь2 порождается операторами Х^ = [Х1,Х]],1,] = 1,2,... ,п + 1 и т.д. Тогда х -кольцо представимо в виде

А

О) =

ж

ш(х,у,и, щ, ...,йр) - у— интеграл р — го порядка системы уравнений (3), если ^1=1 ^ 0

Обозначим через 5 пространство локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных

х,у,й1,и,и1,и2, ...,ик, .... Оператор О на функциях из 5 действует по правилу

О = й^Х^ + Xn+l,

где

Для у —характеристического кольца А имеем представление

А

= 1^

В статье [3] была высказана гипотеза о том, что размерности линейных пространств Ьг (£{) для интегрируемых уравнений растут очень медленно. В дальнейшем эта гипотеза была подтверждена многочисленными примерами интегрируемых непрерывных и дискретных моделей. Свойство минимальности роста кольца стало рассматриваться в качестве классификационного критерия для интегрируемых уравнений. Из работы [4] следует, что это свойство

1=1

1=1

кольца является столь же универсальным свойством интегрируемых уравнений, как наличие бесконечной иерархии высших симметрии.

Определение 2 Симметрией системы уравнений (3) называется набор функций /1 = /1(х,у,и,и1, ..,иг,и1, ...,щ),1 = 1,2, ...,п, удовлетворяющий определяющей системе уравнений

БОГ = (^ + ^ + Р^РЛ = 1,2.....п.

Известно, что любая симметрия Ли-Беклунда [1,1 = 1,2,..., п представима в виде

г = г1+я,

где функции [1 зависят от переменных х,у,и,и1,и2,..., а функции - от переменных х,у,и,й1,й2,... Причем /1 и /21, в свою очередь, также являются симметриями.

Понятие характеристического кольца Ли для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

иу = /1(х,У,и), I = 1,2, .■■,

п,и = (и1,и2, ...,ип) (4)

было введено в работах [5, 6]. Были предложены два определения характеристического кольца системы (4). Первый способ определения основан на замене др1

и1 = ——,1 = 1,2, ...,п, дх

при которой система уранений (4) принимает

вид

рХу = [1(х,у,рх)л =

п,р = (р1,р2,... ,рп). (5)

X и у — характеристические кольца Ли системы гиперболических уравнений (5) называются характеристическими кольцами Ли исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4).

Другое определение характеристического кольца Ли для системы (4) связано со следующей гиперболической системой уравнений

и1су = р + = 1,2.....п. (6)

В первом параграфе исследуются характеристические кольца Ли систем уравнений (5) и (6), соответствующие уравнению Пенлеве I. Показано, что эти кольца Ли являются кольцами медленного роста. А именно, для системы уравнеий (5) размерность х —кольца равна трем, а для у —кольца показано, что й1т!^1 = 3, й1тЪп =п,п = 2,3,4; <Ит15 < 5. Для гиперболической системы (6), соответствующей уравнению Пенлеве I, показано, что размерность у —кольца равна четырем, а для х — кольца справедливы формулы <ИтЪ1 = 3,<ИтЪк = 1,к = 2,3,4,5,6; сИт^16=1 Ц = 8.

Во втором и третьем параграфах строятся высшие симметрии Ли-Беклунда для системы уравнений (5), соответствующей уравнениям (1) и (2).

1 Кольца Ли уравнения Пенлеве I

Запишем уравнение (1) в виде следующей си-

стемы

иу = Р,Ру = 6и2 + у.

Тогда соответствующие гиперболические системы уравнений (5) и (6) примут вид

Рху = Чx, Чссу = 6рС + У (и = Рсс. V = Чсс) (7)

и

иХу = Ух, УХу = 12иих. (8)

В настоящем параграфе исследуются характеристические кольца Ли систем уравнений (7) и (8).

Для системы (7) х — характеристическое кольцо Ли порождается векторными полями дд Х1 = ^,Х2 =

д

д

др

д q

д

д

Хз = -Т- + qi^— + (6р1 + + q-nr-

ду др.

д

^1 дР-

+ 12р1р2д^ +

Поскольку [Х1,Х2] = [Х1,Х3] = [Х2,Х3] = 0 , то размерность х — кольца равна трем. При этом х — интегралы

ш = ш(у,р1,ц1) и w = w(y,p1,q1) определяются из уравнений в частных производных

(д д , д \

\дУ + Ч1~др~1 + (6р + У^дъ) F = 0' (9)

Отметим, что ш = const и w = const задают интегралы исходного уравнения (1).

Y — характеристическое кольцо Ли системы уравнений (7) задается векторными полями дд

1 д р1 2 д q1

д

д

д

Y3 = т + +qi^r дх др дл1

д

+ (6р2 +у)дд2

д

+ (12piqi + l) — + з

д

+ (12q2 + 72p3 + 12ypi) —

+ (360q-tfl + 12р1

(10)

+ 36yq±)

д

ÖÄC

+

+ (2160р4 + 720p1q2 + 48q1 + 576ур2

д

+ 36У2)Ж+-'

где

д д д

-^ = ^ + ^—,,1 = 1,2.....

дк др; д(}1-1 Легко видеть, что векторные поля 71, К, 73], К, К, 73]], [71, [71, [71,73]]],... линейно независимы и следовательно у —кольцо бесконечномерно.

Поскольку операторы О и О коммутируют, то имеем

\Р, D]F(x, у, р, q, р^ ql, р^ ^ р2^2,.~) =

1

_= 1)(Р2У1 + Ч2У2 + — (Р2У1 + Ц2У2 + Уз)1)Р = (11)

= (ЬР.УЛ + Ч2[У,У2] + [У,Уз] + Ч2У1 + 12ррУ2)Р = 0. Здесь У — это оператор полного дифференцирования по переменной у в пространстве функций зависящих от конечного набора переменных

х,У, Р,Ч,Р1,Ч1,р1,Ч1,р2,Я2,.~

д д д д д У = 1г + р11г + Я1ч- + Я1^- + (бр1:+у)1г-

ду др дц др1 дд

+ р2т^ + Ч2^- + р3 -^ГТ ^2 др1 42 д€¡1 Р3 др2

д

дЦ2

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1 Пусть векторное поле 2 имеет вид

ж

д д

2 = 1Ы+11'дч)

Ъ = а1(у,р1,Ц1),р1 = р1(у,Р1,ц1). Тогда равенство [У, 2] = 0 выполняется тогда и только тогда, когда 2=0. Доказательство. Имеем

ж

[У,2]=1{У(а^У^)

V др-1 д(¡¡-1/

=1

то есть а1 = 0,^1 = 0,а1+1 = У(а1),Р1+1 = У(РдЛ = 1,2, .■■. Следовательно а^ = 0,р^ = 0,1 = 1,2,. и 2=0.

Лемма 1 доказана.

Из (11) следуют соотношения

[У,У1] = —12р1У2,[У,У2] = —У1,[У,Уз] = 0.(12)

Линейное

пространство Ь2 порождается операторами У13 и У23 ■

д д д

У13 =1^+12Р1ТГ+12(

д р

дХ,

■дХ,

+ (216р2 + 12у)

д

дХЛ

+

+ (720р1ц1 + 12)

дХ5

+ (8640р3 + 720

1 д 1

+ 1152ур1)дх~6 + ; д д д У23=^+12Р1^ + 24Ч1-

(13)

д

д Х

д Х

+ (Зб0р2 + зву)

д Х

+

д

+ (1440р1Ч1 + 48)—-+•■■,

дХб

Используя тождество Якоби, получаем [У, У13] = —\Уз. [У,У1]] + [У1. [У,Уз]]. [У.У23] = —[ Уз.[ У,У2]] + [У2,[У,Уз]], или, учитывая (12), имеем

[ У,У13] = —[Уз,—12Р1У2],[У,У2з] = —[У3-У1]. Таким образом справедливы следующие соот-

ношения

[У,У13] = —12Р1У23,[У,У23] = —У

(14)

Линейное пространство Ьз порождается коммутаторами У113,У123,У213,У223. При этом

У213 = У123

и

дд У113 = 12 — + 432р1 —

д Х2 +720ц1

д Х

д

дХ.

+ (25920р1 д

+ 1152у)эх6 + -,

(15)

дд У123=121дГз+ 720Р11дХ5

У 9 о — 24~

д

дХ

+ 1440ц1 ■ + 1440р1

дХ6 д

+

д Х

+

(16)

4 иу16

Как и выше, можно доказать справедливость следующих формул

[У, У21з] = —У113 — 12р1У223,

[У.Уцз] = —12У23

— 24Р1У123,[У,У223]

= —2У123.

Линейное пространство Ь4 порождается операторами У1113,У2113,У1213,У2213,У1223, У2223,

[У1з,У2з], при этом

У1213 = У2113, У1223 = У2213,[У13,У23] = 0

И

дд У111з = 432ва4 + 51840Р1дХ-6 + •; д д У211з = 7201дх5 + 0-1дх6 + -, д

-,У2223

(17)

У2213 = 1440

дХ,

д

= 0--+

дХ6

Можно показать, что

[У, У1113] = —3вр1У2113 — 3вУ123, [У,У221з] = —2У2113 — 12р1У2223.

(18)

Из формул (10), (13), (15) следует, что й1тЪ1 = 3, й1тЪ2 = 2, й1тЪ3 = 3. Покажем, что операторы У223, У 1113, У2113, У2213, У2223 линейно независимы. Если они зависимы, то согласно (15), (17), должно выполняться равенство

У

432 _ 25920 ~24У223 = 1440 Р1У2213.

Согласно лемме 1 последнее соотношение эквивалентно следующему

[У, У1113] — 18[У,У223] = 18Ц1У2213 + 18Р1[У,У2213]. Используя формулы (16), (18), получаем

— 3вр1У2113 — 36У123 + 36У123

= 18Ч1У2213 + 18Р1(—2У2113

12р1У2223)

д

д

ж

д

д

или

q172213 12р1 72223 = 0,

что невозможно. Следовательно операторы 7223,/1113,72113,72213,72223 линейно независимы и й1тЬ4 = 4.

Пространство Т5 порождается коммутаторами 711113,721113,712113,722113,712213, 722213,

712223,722223, причем среди них есть попарно равные операторы, а именно 721113 = 712113,722113 = 712213,722213 = 712223. Таким образом <т!5 < 5.

Основываясь на полученных выше результатах, по-видимому можно сделать предположение о справедливости следующих формул <1тЪк < к,к> 6.

Тогда имеем <1т(11 + Ь2 + —+ 1п)

< 3 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 к,

к=6

или

П

2

П

<Ит(Ь1 +12 + - + Ьп)< — + -+2.

Таким образом, можно выдвинуть гипотезу о том, что у —кольцо системы (7) является кольцом медленного роста.

Далее рассмотрим характеристические кольца Ли системы уравнений (8).

7 —характеристическое кольцо системы (8) порождается операторами

_ д _ д

1 дщ' 2 д д д д д 73 =и11-+12и—+12и—+12й1 — +- )

\ди др1 ди2 др2 )

/д д д \

1 \др дй1 дР2 )'

Ясно, что 73 = и1713 + р1723 и операторы 71,72,713,723 образуют базис у — характеристического кольца. Таким образом, размерность у —кольца равна 4. При этом система уравнений (8) имеет два у —интеграла первого порядка: со = й1 — = р1 — 6и2.

Рассмотрим х — характеристическое кольцо. Оператор полного дифференцирования по переменной у в пространстве функций зависящих от набора переменных и, V, и1, у1,и2,у2,... имеет вид I) = й1Х1 + Р1Х2 + Х3,

где

дд Х1 =Ч7.,Х2 =~,

Х-

= {vi

du dv д д д

+ V2^~+V3 — +'

du

du

2

д u

+

3

ч

дд +12 (uux---+ (uu2 + u2)~--+ (uu3

dv

i

+ 3u.u-

д v д

3

2

д

Поскольку операторы О и О коммутируют, то имеем

[0,0]Р(и,р,и1,р1,и2,р2,...) =

= (О (й1Х1 + р^Х2 + Х3) — (й1Х1 + р1х2 + Х3)Б)Р = (19)

= (й1[0,Х1] + Р1[0,Х2] + [й,Х3] + р1Х1

+ 12ии1Х2)Р = 0. Здесь Х — это оператор полного дифференцирования по переменной х в пространстве функций зависящих от переменных и,р,и1,р1,и2,р2,... д д д д X = и1 — + Р1 — + и2 — +Р2 — +---. ди др ди1 др1

Для оператора X аналогично лемме 1 можно доказать следующее утверждение.

Лемма 2 Пусть векторное поле 2 имеет вид

ж

д д

8Ь = 81(и,р,и1,р1,и2,р2,.,ип.,рп.),е1

= £1 (U, V, и^ U2,V2,..., рк) Тогда равенство [Х,2] = 0 выполняется тогда и только тогда, когда 2 = 0. Из (19) следуют соотношения

[Х,Х1] = 0, [Х,Х2] = 0, [Х,Х3] =

= —v1X — 12uuX7

(20)

Легко видеть, что размерность линейного пространства Ъ1 (Ъ1 = Ъ(Х1,Х2,Х3)) равна трем.

Так как коэффициенты векторного поля Х3 не зависят от переменной V, то коммутатор Х23 = 0. А коммутатор Х13 имеет вид

дддд Х13=12\и1дР-1+и2Ър-2+и3дР-з+и4дР1+^).

Таким образом <тЬ2 = 1. При этом

[Х.Х13] = —[Х3, [Х,Х1]] + [Х1, [XX]], или учитывая (20), будем иметь

[Х,Х13] = [Х1,—р1Х1 — 12ии1Х2], то есть

[ХХ3] = —12ЩХ2. (21)

Из вида операторов Х1,Х2,Х3 и Х13 следует, что коммутаторы Х113 и Х213 нулевые, а коммутатор Х313 имеет вид

( д д д д \ Х313 = 12[р1дР1 + р2др; + р3дРГ3 + р4дР:+^)

2

3

и4

дддд 12 [щ-— + и2-— + и3-— + и4-—+■■■ ).

V ди1 ди2 ди3 ди4 )

Учитывая формулы (20), (21), получаем [Х,Х313] = —[Х13, [XX]] + [Х3, [Х,Х13]] = = —[Х13,—РХ — 12441X2] + [Х3,—12щХ2],

или

[Х,Х313] = 12и1Х1 — 12р1Х2. (22)

Покажем, что операторы Х3, Х13 и Х313 линейно независимы. Действительно, если они являются линейно зависимыми, то существуют функции а,р переменных и,р,и1,р1,и2,р2,... такие, что Х313 = аХ3 + рХ13. Последнее равенство в силу леммы 2 эквивалентно следющему

[ХХ13] = В(а)Х3 + 0(Р)Х13 + а[Х,Х3] + Р[ХХ3].

Или, учитывая (20), (21), (22), имеем

12и1Х1 — 12у1Х2

= Х(а)Х3 + Х(Р)Х13 + а(—р1Х1 — 12ии1Х2) + Р(—12и1Х2).

Приравнивая коэффициенты при независимых операторах Х1 и Х3, получаем систему уравнений Х(а) = 0,12и1 = —р1а.

Из первого равенства следует, что а = сопбЬ. Последнее протеворечит второму уравнению. Следовательно, операторы Х3,Х13 и Х313 линейно независимы и <ИтЪ3 = 1.

Линейное пространство Ь4 порождается операторами Х1313,Х2313 и Х3313. При этом, нетрудно видеть, что Х1313 = Х2313 = 0, а коммутатор Х3313 имеет вид

дд Х3313 = —24у1---+ 288ищ---+ •■■.

ди1

д ул

Используя формулы (20), (22), находим

[^,^3313] = —[Xзlз, М]] + [Xз, [Х,%313]] =

= —[Х313, — 12ии1Х2] + [Х3,12щХ1

12^1X2],

следовательно

[Х.Х3313] = 24Р1Х1 — 288ищХ2 —

—12ЩХ13. (23)

Покажем, что операторы Х3,Х13,Х313 и Х3313 линейно независимы. Предположим от противного, что Х3313 = аХ3 + РХ13 + 8Х313, где а,р,8 есть функции переменных и,у,и1,у1,и2,у2,.... Согласно лемме 2 и формулам (20) - (23) имеем 24р1Х1 — 288ии1Х2 — 12и1Х13

= Х(а)Х3 + Х(р)Х13 + Х(8)Х313 + +а(—у1Х1 — 12ии1Х2) + Р(—12щХ2) + 8(12и1Х1 — 12^1X2).

Приравнивая в полученном соотношении коэффициенты при операторах Х3,Х313,Х1 и Х2,Х13, получаем

Х(а) = 0,Х(8) = 0,24у1 = —р1а + 12и18,

—288ии1 = —12ии1а — 12и1р — 12р18,—12и1 = Х(Р).

Из первых трех уравнений следует, что а = —24,8 = 0. Подставляя найденные значения а и 8 в четвертое уравнение, находим, что р = 48и. Последнее протеворечит условию —12и1 = Х(@). Следовательно <ИтЪ4 = 1.

Пространство Ь5 есть линейная оболочка коммутаторов Х13313,Х23313,%33313, [^13,^313]. Используя тождество Якоби а также формулы (21) -(23), можно показать справедливость следующих формул

[Х,%13313] = —288ЩХ2,[Х,Х23313]

= 0,[Х,[Х13,Х313]] = —288ЩХ2.

Тогда, в силу леммы 2 и равенства (21), получаем

X13313 = 24%13, ^23313 = 0, №13,^313] = 24%13.

В свою очередь, для оператора Х33313 имеем

№,^33313] = —[^3313,[^,^3]] + [^3,[^,^3313]] =

= —[X3313,—^1X1 — 12441X2] + [Х3,24Р1Х1

Преобразуя последнее уравнение приходим к равенству

[Х,Х33313] = 57вии1Х1 — 57виу1Х2 — в0р1Х13

288ии1Х2 — 12и1Х13].

12и1^313,

с помощью которого получаем, что операторы Х3,Х13,Х313,Х3313 и Х33313 линейно независимы и следовательно <ИтЬ5 = 1.

И, наконец, рассмотрим пространство Ь6 =

^(^133313,^233313,^333313, [х13,х3313]). Нетрудно

проверить справедливость следующих формул

Х233313 = 0,%133313 = 48Х313,[Х13, Х3313] = 24*313,

[ХХ333313] = 1152ПУ1Х1 + в912и2щХ2

— 129вии1Х13 — 120р1Х313

— 12и.1Х3313.

Как и выше, можно доказать, что операторы Х3,Х13,Х313,Х3313 и Х333313 являются линейно независимыми и <ИтЪ6 = 1.

Таким образом, мы показали, что

п

МтЬь = 1, к = 2,3,4,5,в; (Ит^у = 8,п = в.

=1

По-видимому, последние формулы справедливы для любого к и п, а именно

п

МтЬь = 1,к >2; (Ит^у Ь1=п + 2,

=1

и х —кольцо системы уравнений (8) является кольцом медленного роста.

2 Симметрии уравнения Пенлеве I

В этом параграфе вычисляются высшие симметрии для системы (7).

Рассмотрим х —симметрии вида

/ = !(х,У,Р,Ч,Р1,Ч1,.~,Рп,Чп),д

= д(х,у,р,ч,р1,41,.~,рп,4п), (Рт = [,Чт = д). От переменных х,у,р,ц,р1,ц1,... ,рп,цп,... перейдем к переменным х,у,р,ц ш, ш, ш1, ш1,..., шп-1, шп-1, .... Тогда симметрии [ид можно записать в виде

/ = [(х, У, Р, (, ы, ш, Ш1, ж1,..., Шп-1, Шп-1), д = д(х,у,р,ц,ш,ы,ш1,ж1, ...,шп-1,ып-1), где ш и ш - х — интегралы первого порядка системы уравнений (7), а шк=Вкш,шк = Вкш,к = 1,2,..

Определяющая система уравнений имеет вид

ВВ[ = Вд,ВВд = 12р1В[. (24) Далее введем обозначения

= Р(х,у,р,ц,ш,ш,ш1,ш1, ...,шп,шп), Вд = С(х,у,р,ц,ш,ш,ш1,ш1,... ,шп,шп). Тогда система уранений (24) примет вид

ВР = С.ВС = 12р1Р. (26)

Из соотношений (25), (26) получаем, что Рр = Рц = Ср = = 0 и, следовательно, уравнения (26) эквивалентны следующим

Ру = С,Су = 12р1Р. (27)

Поскольку, система уравнений (7) имеет х — интегралы первого порядка, то существует

(25)

(29)

функция к = к(у,ш,ш) такая, что р1 = к. Таким образом, из (27) получаем

Руу = 12к(у,ш,ш)Р. (28)

Рассмотрим симметрию первого порядка f = ръд = ql.

Имеем

F = = Бк = кшш1 + куж1, и уравнение (28) преобразуется следующим образом

кШууш1 + Куу™1 = 12к(кшШ1 + к^). Откуда получаем, что

ксоуу 12кксо,кууу 12кк'\^.

Следовательно функции кш и ку являются частными решениями уравнения (28). Покажем, что решения кш и ку являются линейно независимыми. Действительно, если кш = с(ш,ш)ку, то к = к(у,а(ш,ж)) = к(у,Ш). И следовательно, система (7) имеет интеграл Ш = у,р1), что невозможно в силу (9).

Таким образом, общее решение уравнения (28) имеет вид F = кшА(х,ш,ж,ш1,ж1, ...,шп,№п) + +куВ(х, ш,ш, ш1,ж1, ...,шп,шп). И, наконец, из уравнений (25), (27), (29) следует, что локальные высшие х — симметрии Ли-Беклунда системы (7) определяются по формулам / = Б-1(кшА + куВ),д = Б-1(кШуА + кууВ), где функции А = А(х, ш, ж, ш1, w1,..., шп, жп) и В = В(х,ш, ж, ш1, ж1,..., шп, жп) удовлетворяют соотношениям

8 8 — (к ША + куВ) =— (кшА + куВ) = 0.

Далее вычислим у —симметрии

р = ф(х,у,р^,р1^1,.:. ^п^п^-ф _

= ф(х,у,р^,р1^1,...,рт^т),

&Т = <^т = ф)

для системы (7).

Пусть порядок по переменным р^,р1,Ц1,р2,Ц2,... функций Бр и Бф равны п и т соответственно. Тогда из определяющей системы уравнений

БЮр = Оф,ОЮф = 12р1Бр (30) следует, что п + 1 = т и т + 1 = п и, следовательно,

Бр = Р(х,у,р1^1),Бф = в(х,у,р1^1). С другой стороны Ор(х,у,р^,р1^1,...,рп^п)

д < д < д д

дд

+(6р12+у){др-2+т;)р+(12р^1 1 д д \

Следовательно функция < удовлетворяет системе уравнений

д < д < д д

^ = а(х,у),др = ао(х,у),[ж+^)

= а1(х,у),

Р

д д д д + = а2(х, у),...,( — + ——)

\dp-2 dqj \дрп dqn_J

д

dqi

д

дрп

д qn-i

= ап(х,у). Откуда нетрудно получить, что р = р(х,у) + р0(у)р + р1(у)р1 + ■ + РпЬ>)рп +

Р

(31)

+к(у,ш,и>1,..., сОп—1), где со = р1 — q является у — интегралом системы (7).

Аналогичная формула справедлива для функции ф:

ф = у(х,у) + Го(У)р + Г1(У)р1 + "•

_ +_Ут(У)рт + (32)

+Н(у,Ш,Ш1,...,Шт-1). Поскольку функции р = к(у, со, со1,..., соп-1) и ф = Н(у,со,ш1,...,Шт-1) задают симметрии системы (7) при любых к и Н, то из формул (31) и (32) получаем, что

Р

к=0

= ß(x,y) + l ßk(y)pk,^

0

= v(x, у)

т

1 Yk(y)Pk

(33)

+

к=0

также являются симметриями. Подставляя (33) в определяющую систему (30), находим, что

Р = Р(У),ф = ф(У).

Таким образом, у —симметрии системы уравнений (7) вычисляются по формулам р = к(у, со, Ш1,..., соп-1), ф = Н(у, со, Ш1,..., Шт-1).

3 Симметрии уравнения Пенлеве III

Система уравнений (5), соответствующая уравнению Пенелеве III, имеет вид

рху = qx,yрxqxу = yq2x— Pxqx + 8У + РРх + арХ + гур^. (34)

В этом разделе строятся высшие симметрии для системы (34).

Х — характеристическое кольцо Ли системы (34) порождается векторными полями дд

Х1 =1Г ,Х2 = 1Г, др д q

дд

Х3 = ir + qiir-

3 д у i д pi

qi2 qi 1 1

Pl

+ \— — — +8— + В-+а-

Кр1 у р1 у у

+Yр2)wl+■■■.

Так как коэффициенты векторного поля Х3 не зависят от переменных р и q, то размерность х—кольца равна трем, при этом х —интегралы ш = ш(у,р1, q1) = ж(у,р1, q1) определяются из уравнения в частных производных

fd д (q2 qi.1,1, Pi \ду др1 \р1 у Pi у у д

+ YPt)-dq-)<b = o.

Отметим, что ш = const и w = const задают интегралы исходного уравнения (2).

Для системы (34) рассмотрим высшие х — симметрии

f = f(x. у. p> q> Pi- qi>-> Pn. qn). a

= 9(х.у.Р.9.Р1.91.-.Рп.9п). (P- = f.q- = в)-

От переменных x^.p.q.p^q^ ....pn,qn,... перейдем к переменным х.у-p.q ш. w. ш1. wi.... шп-1. wn-i..... Тогда симметрии f и g можно записать в виде

f = f(x. у. p. q. ш. w. Mi. wi... Шп-i. Wn-i).

g = в(х.у.р.9.ш.w. Mi.Wi. ...Mn-i.Wn-i).

Определяющая система уравнений для системы (34) имеет вид

DDf = Dg. DDg = (2 — --)Dg Pi у

Pi у

, ql -

Pi Pt

+ 2a—+3Ypl )Df. у i

(35)

которую можно записать следующим образом

DF = G.DG = (2 — — -)G Pi у

1

(36)

Pi у

V P^t Pt

Pi

+ 2a--+ 3YPi ) F.

у i

где

Df = F(х.у.p.q.ш.w.ш1.w1.... .Mn.wn). Dg = G(х.у.p.q.ш.w.ш1.w1.. .шn.wn). Ясно, что Fp = Fq = Gp = Gq = 0 и система

(37)

(36) эквивалентна следующей

Fy = G.Gy = (2P± — -)G

Pi у

, ql -

P^i Pi

Pi

+ 2a--+ 3yp■

у i

(38)

l)F.

Поскольку, система уравнений (34) имеет х — интегралы первого порядка, то существуют функции к = к(у,ш,ш) и Н = Н(у,ш,ш) такие, что р1 = к,ц1 = Н. Тогда второе уравнение (38) можно записать в виде

F

'уу

f Н 1\

Н

h—у)Fy

Н2 1

+( —Н2—5Н2 h

(39)

+ 2а-+ 3YH2 )F. у

Для симметрии первого порядка

f = Pi.g = qi

уравнение (39) преобразуется следующим образом

= (2Н — у) (Н°'уш1 + hwyw0 +

Н2 1 h

h2 h2 у

HcoyyMi + hwyywi = \2Л — у) (Н^уш1 + hwywi + [ —Т! — 5 + 2а- + 3YH2 ) (hMMi + hwwj.

или

Н0>уу = (2Н — у) НшУ

Н2 1 h

+ [—Н2 — 5Н2 + 2а-у

+ 3Yh2 )Нш.

Н 1

= (2Н-^)

wy

Н2 1 h

+ [—Н2—5Нi+2a-

bwyy

+ 3ук2) кш.

Следовательно функции и являются частными решениями уравнения (39). Нетрудно показать, что они являются линейно независимыми и поэтому общее решение (39) имеет вид F = кыА(х,ш,ш,ш1,ш1, ..,шп,шп) + +кшВ(х, ш,ш, ш1,ш1, ..,шп,шп). И, наконец, из уравнений (37), (38), (40) следует, что локальные высшие х — симметрии Ли-Беклунда системы (34) определяются из уравнений / = 0-1(кшА + КВ),д = 0-1(кшуА + КуВ), где функции А = А(х, ш, ш, ш1, ш1,..., шп, шп) и В = В(х,ш, ш, ш1, ш1,..., шп, шп) удовлетворяют

соотношениям

5 - _ 5

(40)

— (к ША + кшВ) =— (кшА + кшВ) = 0.

У — характеристическое кольцо Ли системы уравнений (34) задается векторными полями дд

1 д р1 2 д (1 д д д д ¥3 =дх + р1~др + (1~д(} + (1~дрР^ +

л. (1 ^ х 1 ^ а1 л. Р2 ■ Л д ■ + 1----+5--+ В-+ а--+ ур? I-т- +—.

\Р1 У Р1 У У ) д(1 Легко видеть, что у — кольцо бесконечномерно. Однако система уравнений (34) имеет

у —интеграл первого порядка ш = P± — q. Вычислим высшие у —симметрии

<р = ф(х.у.p.q.p1.ql....pn.qn)1Ф _

= *ф(х.у. P.q.Pi.qi. .■■ .Pm.q-m).

(P-- = <p.q- = ф)

для системы (34).

Пусть порядок по переменным P.q.P1.qi.P2.q2.... функций D<p и Dф равны n и m соответственно. Тогда из определяющей системы уравнений

DDp = Dф. (41)

DDp = {2 — — 1)Dlp

\ Pi У)

Pi У

V р2 р1 Pi- Л

h 2а--h 3yp2 I Dp

У '

следует, что п + 1 = m и m h 1 = т, следовательно,

Dp = F(x,y,Pl,ql),Dp = G(x,y,pl,ql). С другой стороны Dp(x,y,p,q,pl,ql,...,pn,qn)

д p д p д д =д;+pl^+ql{ж+^)p +

2

др дq)

1l,*1,*1, Р2 , з\( д h \---h S—h ß-h а — + YPi Иttt

\Pl У Pi У У ) \др2 д

д

Поэтому функция p удовлетворяет системе уравнений

д p д p д д = а(х,у) ~д^ = ао(х,у) \ш +Ö^)p

дх

др ^др-L дq)

= al(x,y), д д д д

,W2 + Wl)p = а2(x,y).....w^^)

= ап(х,у). Откуда нетрудно получить, что

p

(42)

= ß(x,y) h ßо(y)P_+_ßl(y)Pl h — hßn(y)Pn h h(y,üJ,Wl,...,Wn-l). Аналогичная формула справедлива для функции p:

p = Y(x,y) h Yо(У)P h YlWPl h —

_ hYm^Pmh (43)

hH(y,M,Ml,...,Mm-l).

Поскольку функции р = к(у, со, со1,..., соп-1) и ф = Н(у,Шо,оо1,... ,сот-1) являются симметри-ями системы (34) при любых к и Н, то из формул (42) и (43) получаем, что

p= ß(x,y)h ^ ßk(y)Pk,p

о

= Y(x,y)

m

^ YkMPk

к=о

h

(44)

к=о

также являются симметриями. Подставляя (44) в определяющую систему (41), находим, что

p = p(y),p = p(y).

Таким образом, у —симметрии системы уравнений (34) вычисляются по формулам p = h(y, СО, CÚ1, ..., Cún-l), p = Hiy,CÚ, Cúl, ..., Cúm-l).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№14-01-97008 р-поволжье-а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kostrigina O S, Zhiber A V Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations // J. Math. Phys. 52, 033503 (2011); doi:10.1063/1.3559134 (32 pages).

2. Goursat E. Recherches sur quelques e'quations aux de'rive'es partielles du second ordre, Annales de la faculte' des Sciences de I'Universite' de Toulouse 2e se'rie, tome 1, n о 1 (1899) p. 31-18.

3. Жибер А. В., Mуртазина Р. Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения uxy = f(u, ux) /^ÜM. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. 2006. Т. 12. №7. С. 65-18.

4. Жибер А. В., M^^^rn^ Р. Д., Хабибуллин И. Т., Шабат А. Б. Характеристические кольца Ли и интегрируемые модели математической физики // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. №3. С. 17-85.

5. Гюрсер M., Жибер А. В., Хабибуллин И. Т. Характеристические кольца Ли дифференциальных уравнений // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4. №1. С. 53-62.

6. Жибер А. В., Mуртазина Р. Д., Хабибуллин И. Т., Шабат А. Б. Характеристические кольца Ли и интегрируемые урав-нениея. M.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. С. 316.

п

Поступила в редакцию 07.06.2016 г.

CHARACTERISTIC LIE RINGS AND SYMMETRIES OF DIFFERENTIAL PAINLEV'E I AND PAINLEV'E III EQUATIONS

© A. V. Zhiber1'2*, O. S. Kostrigina3

'Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Institute of Mathematics, RAS 112 Chernyshevsky St., 450008 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

3Ufa State Aviation Technical University 12 K. Marx St., 450008 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 272 59 36.

*Email: [email protected]

Lie rings of characteristic vector fields and higher symmetries of Lie-Backlund of two component hyperbolic systems of equations generated by ordinary differential Painlev'e I

uyy=6u2+y

and Painlev'e III

yuuyy=yuy2-uuy+Sy+fiu+au3+yyu4

equations are considered, where a, p, y, 5 are complex numbers.

The notion of characteristic vector field for hyperbolic equations was first introduced by Goursat E. in his famous work "Recherches sur quelques e'quations aux de'rive'es partielles du second ordre". A deep relationship between the properties of characteristic Lie ring and the integrability of an equation (i.e. the presence of higher symmetries of Lie-Backlund) was realized in the work by A.V. Zhiber and R.D. Murtazina "On the characteristic Lie algebras for the equations uxy=f(u,ux)". In this work it was found that the linear spaces of multiple commutators forming characteristic ring for such integrable equations like Sine-Gordon equation, Tzitzeica equation, etc. grow very slowly in the first steps, saying precisely A(1) =A(2) =A(3) =A(4) =1. It was conjectured that such behaivor of the dimension of linear space of multiply commutator a multiple of k A(k) is intrinsic for all integrable equations. Later the idea was specified and justified by numerous examples of integrable continuous and discrete models. Characteristic Lie ring for the Painlev'e I equation is defined by the hyperbolic system of equations

Pxy=qx, qxy=6px2+y (u=px, v=qx),

or

uxy=vx, vxy=12uux.

In this work, it is shown that characteristic Lie rings of this systems are rings of slow growth. The higher symmetries of Lie-Backlund were described for hyperbolic systems of equations corresponding for Painlev'e I and Painlev'e III equations. The described characteristic Lie rings and Lie-Backlund algebras can be used for the classification ordinary differential equations with the Painlev'e property.

Keywords: higher symmetries, characteristic vector field, characteristic ring, x - and y - integrals.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Kostrigina O S, Zhiber A V Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations. J. Math. Phys. 52, 033503 (2011); doi: 10.1063/1.3559134 (32 pages).

2. Goursat E. Recherches sur quelques e'quations aux de'rive'es partielles du second ordre, Annales de la faculte' des Sciences de I'Universite' de Toulouse 2^e se'rie, tome 1, n 1 (1899) p. 31-78.

3. Zhiber A. V., Murtazina R. D.FPM. Gamil'tonovy i lagranzhevy sistemy. Algebry Li. 2006. Vol. 12. No. 7. Pp. 65-78.

4. Zhiber A. V., Murtazina R. D., Khabibullin I. T., Shabat A. B. Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2012. Vol. 4. No. 3. Pp. 17-85.

5. Gyurser M., Zhiber A. V., Khabibullin I. T. Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2012. Vol. 4. No. 1. Pp. 53-62.

6. Zhiber A. V., Murtazina R. D., Khabibullin I. T., Shabat A. B. Kharakteristicheskie kol'tsa Li i integriruemye uravnenieya. M .-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovanii, 2012. Pp. 376.

Received 07.06.2016.