Характеристические алгебры Ли медленного роста и модифицированное уравнение синус-Гордона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 111-118.

УДК 517.957

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ МЕДЛЕННОГО РОСТА И МОДИФИЦИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ

СИНУС-ГОРДОНА

Р.Д. МУРТАЗИНА

Аннотация. Рассмотрено применение характеристической алгебры для описания высших симметрий для модифицированного уравнения синус-Гордона. В терминах образующих характеристической алгебры построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка, обратный к последнему является оператором рекурренции.

Ключевые слова: характеристическое уравнение, алгебра Ли, симметрии, оператор рекурренции.

1. Введение

Характеристическая алгебра Ли [1] модифицированного уравнения синус-Гордона (см. [2]-[4]) (мСГ)

иху = s(u)^1 — ul^J 1 — и2, s" — 2s3 — ^s = 0, ^ = const (1)

порождена образующими

д — д - д д = иу— + sbb------+ D(sbb)—-+ ... и X2 = -—,

ou oux ouxx ouy

где b = yjl — u2x, b = — Uy.

Уравнение мСГ (1) в значительно более громоздкой форме впервые возникло в работе А.В. Борисова, С.А. Зыкова [2]. Последнее заменой (см. [3])

V = arcsin их + arcsin uy + Р (и), Р'2 = 2s' — 2s2 — ß сводится к уравнению синус-Гордона

иХу = еи + е-и

В работе показано, что размерности линейных пространств кратных коммутаторов Li, i = 2,... , 5 уравнения (1) равны одному, а dimL6 = dim L7 = 2.

А также для уравнения мСГ (1) построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка, обратный к которому является оператором рекурренции (см. [9]). Приведены оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая уравнения мСГ.

R.D. Murtazina, Снакаотешятю Lie algebras of slow growth and mSG equation. © Муртазина Р.Д. 2009.

Работа поддержана РФФИ (гранты 08-01-00440-а, 09-01-92431-КЭ-а).

Поступила 26 августа 2009 г.

2. Характеристическая алгебра Ли

Введем понятие характеристической алгебры Ли уравнения (1). Рассмотрим пространство локально-аналитических функций зависящих от конечного числа переменных и,й1 = иу,и1 = их,и2 = ихх,.... На этом классе функций оператор полного дифференцирования по у П в силу уравнения (1) задается формулой

__ й Я _ Я — 3 — 3

О = й2— + щ— + зЪЪ— + 0(8ЪЪ) — + ... + Оп-1(8ЪЪ) — + ..., ии\ ии 01^1 0^2 &ип

где И — оператор полной производной по х.

Положим

3—3 — 3 3

Х1 = щ— + зЪЪ— + ... + Пп-1(зЪЪ)— + ..., Х2 = —,

ии 041 ОЧп ои 1

тогда

в = хх + й2х2. (2)

Характеристическое уравнение (см. [1, 6, 7])

БШ(и,и1,и1,... ,ип) = 0

согласно (2) эквивалентно системе

Х{№ = 0, Х2^У = 0. (3)

С уравнениями (3) естественным образом связана алгебра Ли, порожденная векторными полями Х1 и Х2. Эту алгебру А будем называть характеристической алгеброй Ли уравнения (1).

Так как И и И коммутируют, то, используя (2), получаем

__ ________ ________2 ________/

[0,0] = щз'ЪЪХ2 + з2ЪЪ'Ъ Х2 + ЩзЪЪ Х2 + й2[0, Х2] + [О, Х1] = 0.

Следовательно

— —2 — —2

[И,Х1] = -(щв'ЬЬ + 82ЪЪ'Ъ )Х2 = -(щв'ЬЬ — 82и1Ъ )Х2,

[0,Х2] = —8ЪЪ'Х2.

Пусть Ьп — линейное пространство коммутаторов, образующих длины п— 1, п = 2, 3,.... Например, Ь2 — линейная оболочка векторных полей Х1, Х2, а Ь3 порождается элементом [Х2, Х1], Ь4 — коммутаторами [Х1, [Х2, Х1 ]], [Х2, [Х2, Х1]] и т.д. Тогда х-характеристическую алгебру Ли А представим в виде

А = £

г=2

Аналогично вводится у-характеристическая алгебра Ли А уравнения (1)

ГО

А = £

г=2

Так как для уравнения мСГ (1) операторы имеют следующий вид

[Х2, [Х2,Х1]] = — ^ (Х} — щ[Х2,Х1]), [Х2, [Хь [Х2,Х1]]] = |[Х1, [Х2,Х1]],

[[Х2,Х1], [Х1, [Х2,Х1]]] = — ^[Х1, [Х1, [Х_2,Х1]]] + [Х2, [Хь [Х1, [Х2,Х1]]]], [Х2, [Х2, [Х1, [Х1, [Х2,Х1]]]]] = Зр1 [Х2, [Х1, [Х1, [Х2,Х1]]]], [Хь [Х2, [Хь [Хь [Х2,Х1 ]]]] = —388% (Х1 — й1[Х2,Х1]) +

+ (382 + [Хь [Х2,Х1]] + ^[Х1, [Хь [Хь [Х2,Х1]]],

то

dim L2 = ... = dim L5 = 1, dim L6 = dim L7 = 2.

3. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордонл

В данном параграфе показано, как с помощью образующих характеристической алгебры описать симметрии уравнения (1).

Определение 1. Функция F = F(и, щ, и1, и2, и2,... ,ип, ип) из S называется симметрией уравнения (1), если она удовлетворяет определяющему уравнению

DDF = s ЬУ DF + sb'bDF + s'bbF. (4)

Каждая симметрия F задает однопараметрическую группу преобразований Ли-Беклунда с касательным векторным полем (см. [5])

д д — д

F— + DF—— + DF— + ..., ди dui dui

относительно которой уравнение (1) остается инвариантным. Множество решений определяющего уравнения (4) образует алгебру Ли, называемую алгеброй Ли-Беклунда уравнения (1).

Известно (см. [6, 8]), что любая симметрия F уравнения (1) представима в виде F = Fi(u,ui, U2,... ,ип) + F2(u,Ui, U2,... ,ип),

где F1 и F2, в свою очередь, есть симметрии уравнения (1).

Вычисление высших симметрий Ли-Беклунда уравнения (1) основано на исследовании характеристических уравнений

DW(и,и1,и2,...) = 0, DW(и1,и,и1,и2,...) = 0. (5)

Далее по другому определим ж-характеристическую алгебру Ли уравнения (1). На множестве локально-аналитических функций из S

DF (u, и1,и2,...)= и1 ■§- + S Ы + D(s ЬЬ) + ... =

_ L ди _ ди\_ V ' ди2

= uiI + *Й£ + (s'ui№ — в^Ъ — Жщ)+..

Поэтому образующие ж-характеристической алгебры Ли уравнения (1) имеют вид

^ д 2,2_ д ^ , д . . , и1и2. д

X = —------в Ь и1—------+ ..., У = $Ь—---------+ (в иф — в —-— ) —-----+ ....

(УН Ои2 ии1 Ь 0112

Тогда О = щХ + ЬУ.

Так как

[ДД] = [В,йхХ + ЬУ ] = 5 ЪЪХ + щ[0,х ] — 5 Ъщ У + &[ДУ ],

то

ХИ = ИХ — 8 ЬУ, У О = БУ + 5 ъх.

По определению симметрии уравнения (1) удовлетворяют соотношению (4)

DDF = (-s-rbD - sb-1D + s'bb)F,

которое перепишем так:

( s bbX + u]_DX — s bul Y + bDY — s 'bb + s^b D + s bui (ulX + bY ))F = 0. Последнее эквивалентно двум соотношениям вида XF = 0, DYF = s 'bF — s^DF

D(Y2 + s21 + sfY + c(XY + s 'f) + a(Y+

+s ^ ))F = -s bXYF + (-s s'ui + 2s в'Щ- + 2s2 ^ )F+ + ( s 'j + sf )YF + csbY 2F + c(s" j + s 'f- )F + cs2mYF+

или

XF = 0, D(Y + s-1 )F =(s'b + D(s U1 ))F. (9)

Подействовав на второе уравнение (8) операторами X и Y слева и используя (7), получим, что

D(XY + s )F = s bY 2F + (s"1 + s )F + sVYF (10)

b b b3

и

D(Y2 + s21 + sfY )F = -s bXYF + (-s s'm + 2s s'f + ( )

+2 s 2 ^ )f + (s 'j + sf )YF (11)

соответственно.

Теперь рассмотрим комбинацию

Y2 + s21 + s-jY + c(XY + s ) + a(Y + s-j ))F,

где с = con si, a = a(-,-1). Согласно соотношениям (9)—(11) имеем

+ eUl 62+S()

/” Г> i I Or>r>^ _ . 2 ^ _

62 + 64

1 + a ¿2 )Y F + 'SUl F + 0(0 £ + D |f)F + CS Ul± F + (12)

+D(a)(Y + sf )F + a(s ' j + sf )F = -s bX (Y + sf )F + ( )

+ ( s 'j + ef )(Y + sf )F + (s' j + sf )(a + sf- )F+

+cs b(Y + sf )YF + c(s" j + s'f- )F + D(a)(Y + sf- )F.

Если с = 0, a = -s-1, то (12) приводится к виду

D(Y2 + s2)F =(s'b-s bX )(Y + s-! )F. (13)

На уравнение (13) подействуем операторами X и Y слева, а на уравнение (10) - опера-

тором Y

DX(Y2 + s2)F = sbY3F + b(s3 + s")YF - sbX2YF, (14)

DY(Y2 + s2)F = -sb(YXY + ss')F + &(s' - sX)(Y2+

+82)F - .^D^2 + S2)F, <15)

D(YXY + ss')F = DX (Y2 + s2)F.

Из последнего соотношения видно ,что

(YXY + s s')F = X (Y2 + s2)F + с (с = cons і).

Применим к уравнению (14), предварительно поделив его на sb, дифференцирование D

D ^ 1dX(Y2 + s2)F^J = -4s6X(Y2 + s2)F - 2csb.

Лемма 1. Пусть функция F = F(u,u1, ... ,un) — симметрия уравнения (1). Тогда для векторных полей X, Y, заданных формулами (6), оператор X(Y2 + s2) симметрию F обращает в нуль.

Доказательство. Обозначим X(Y2 + s2)F = A, тогда

D(—DA) = -4sЬА - 2csb. (16)

D ^ (A-Ui + A-1U2) + “T(A UU

—2 + 2Auu1 — i—2 +

Если А = А(и,щ), то соотношение (16) примет вид

¿) ( А“щ + л-“2> + !,■

+Аии2 + Аи1и1и2 + Аи1из) = —45 ЬА — 2сзЬ.

Коэффициент при переменной и3 обращается в нуль только при условии, что Аи1 = 0.

Значит, А = А (и) и (16) перепишем так

1 \ . 1

— Аи и1 + -

или

в' иі 1 иі \ . 1 . ... 2

~2~Г + -ТГ^ Аиі + ^-2

82 0 8 Ь6 ] вО

Отсюда следует, что

D уA-—і + ^(Auu-2 + A-щ) = -4s6A - 2csb (-~2~T + _T^u^i AU + —(A"-2 + A-2) = -4sbA - 2csb.

2 3 j

1 1 1

~t^A —i +—-A = л A = 0.

s b3 s b b2

Тогда A = const, с = -2A и, уточняя структуру выражения X(Y2 + s2)F, получаем, что

A = 0. Лемма доказана.

Значит, X(Y2 + s2)F = 0, и согласно (15)

D(Y + s—- )(Y2 + s2)F = (s'b + D(s -j ))(Y2 + s2)F.

Следовательно, по определению симметрии (см. (9)) (Y2 + s2) F тоже является симметрией уравнения (1).

Теперь рассмотрим задачу нахождения реккурентной формулы для вычисления алгебры симметрий уравнения мСГ.

Теорема 1. Дифференциальный оператор

Y2 + s2

переводит высшие симметрии порядка n в симметрии порядка n - 2. Оператор рекур-ренции

2

D2 + 2U1T2D - —iD-1(-3D + U1T2D + 3s2—iD+ b2 b2 b4

+3 s s —i — s s + \-2) + s + \—i

определяет алгебру симметрий уравнения мСГ.

Доказательство. Пусть F — симметрия порядка n уравнения мСГ. Тогда из формулы (13) следует, что (Y 2 + s2)F — симметрия порядка n - 2. Следовательно,

(Y2 + s 2)F(2k+1) = akF(2k-1), ak = const, к = 1, 2,....

Подействуем оператором Y2 + 2 на симметрию третьего порядка

F <3> =—з + ^ + —?( - 3 »2 + 2)+f. 2—i,

(Y2 + s2) (щ + ^ + uj (-b2 + §) + |s2—0 =

тогда

= Y(-sUf3 + s"u2lb - s3b3 + 3s-jb(-^s2 + §) + \s3b + s,Uf+

+—2(j 4 - 1 8U2)) + s2 (-3 + 5# + —K-|s2 + 2) + 2А<і) =

= 2 ss"u1(1 - 2-j) + 4s4u1b2 + s,2u1 + As2,u1(3 - 4-"^) - 3s4u1(3 - 4-j). Так как s" = 2s3 — As, то

Отметим, что

(Y2 + s'2) (п3 + ^ + uj (-2s2 + §) + §s2Ui'

= ( s'2 - s4 + As2)-1 = (s'2 - ss" + s4)u1.

(s'2 - s4 + As2)' = 2s'(s” - 2s3 + As),

а соотношение s" — 2s3 + As обращается в нуль в силу условия для функции s уравнения мСГ. Значит, «1 = ^^ = const и

(Y2 + s2)F (3) = ц,F (1\

где ^ = s'2 — s4 + As2 = s'2 — ss" + s4. Соотношение ак = ^ справедливо для любого

к = 1, 2,... и

(Y2 + s2)F (2 к+1) = цF(2к-1), ц = 0.

^2 + s2

Имеем следующие соотношения:

D(Y2 + s2)F = b(s' - sX)YF,

D2(Y2 + s2)F = -^^YF + vb2F - s2b2(Y2 + s2)F+

:17)

+Д(1п Ьв)В(У2 + в2)Р.

Теперь найдем оператор Ь такой, что Р = Ь(У2 + з2)Р. Для этого вычислим В6(У2 + в2)Р и перепишем так:

(Б6 + в2Ь2В - В2(1п Ъв)В + В(1п —)В(1п Ъв)В - В(1п Ъв)В2-

в

-Б(1п — )В2 + В(в2Ь2) - В(1п — )в2Ь2)(У2 + в2)Р = у,щВ(—Р).

3 3 Щ

Поделим левую и правую части последнего равенства на щ и преобразуем к виду В( і Я2) + В( 2? О) + В( £ + \щ) - (Щ ^ + 3*2Щ )С+

+s.s'(1 - 3-5) - A—i)(Y2 + s2)F = fiD(±F).

Подействовав оператором D 1 и умножив на U1, получим

1

1 и умножив на ^

1 (d2 + 1UlpD + s2 + A-2 - UjD-1(§D + ~1~UU2D+

1 (Г)2 л- 2uiu2 П _|_ е2 ^ \„,2 _ Г> — 1(U3 П _L UlU2

+3s2u1 D - ss' + 3ujss' + Au2))(Y2 + s2)F = F.

Следовательно, оператор L принимает вид

L = D2 + 2Uf2D - UjD-1(f D + ^D + 3s2u1D+

+3s^—2 - ss' + Au2) + s2 + A-2.

Оператор L является оператором рекурренции, который позволяет описать алгебру симметрий

LF(2k-1) = F(2k+1), F(1) = u5, г = 1, 2,....

Теорема доказана.

Отметим, что оператор рекурренции был получен в работе Кузнецовой М.Н. [9] с использованием преобразования Беклунда.

4. Вырожденное уравнение мСГ Если ^ = 0, т.е. s'2 - ss" + s4 = 0, тогда функция s уравнения (1) определяется так:

s =------у=-------, A, с = const.

cos(v A- - с)

Согласно (17) имеем

тогда любой оператор

(Y2 + s2)F = 0, (X - -)YF = 0,

s

X гі y Л X12 Y32 X%k Y3 k

на алгебре Ли-Беклунда высших симметрий представляется в виде

ahji...ik3k Y + Pii3i...ik3k.

Так как оператор И (У + 5 ) не изменяет порядок симметрии Р (см. (9)), то оператор

У + в 'І понижает порядок Р на единицу.

Теперь покажем, что не существует оператора, являющегося полиномом от переменных X и У, переводящего симметрии в симметрии меньшего порядка уравнения

1

1 — и2\/1 — и2. (18)

cos и V V

Допустим, что комбинация аУ + 0 есть оператор, переводящий симметрии в симметрии меньшего порядка. Тогда

aY + /3 = a(Y + ) (19)

b

и первое соотношение (9) принимает вид

уа\У + s

или

x(a(Y + sj )f) =0

(х(а) + (У + sj)F = 0.

Следовательно,

b

X (а) + а— = 0 или а = -.

s s

Для оператора (19) второе соотношение (9) имеет вид

° (<у+ч) (¥+8т>)F=

= (rt+D(4 0; (Y+*т )F-

Если порядок функции (Y + s 'L )F равен n, то порядок функции (У + s ^| (У + s 'Ц )F равен п — 1. C другой стороны получаем, что

(У + s^-) - (Y + s^-)F = щ (Y + s^-)F. (20)

b s b b

Значит, порядок левой части соотношения (20) равен п — 2, а правой части (20) - п — 1. Отсюда следует, что не существует оператора вида aY + /3.

Определение 2. Решения W (щ,и,щ,щ,...), W (и,щ,...) характеристических уравнений (5) называются х и у-интегралами уравнения (1).

Оказывается, существует оператор, который симметрии уравнения (18) переводит в у-интеграл.

Теорема 2. Оператор

b

—У + и\ s

симметрию F переводит в интеграл W уравнения (18). А оператор

(í+1)>—¡° (‘))

интеграл — в симметрию.

Доказательство. Операторы X и У функцию

обращают в нуль. Поэтому

Значит,

— интеграл уравнения (18).

Теперь приведем оператор, который переводит интеграл в симметрии уравнения (18). Дифференцирование Б интеграла ^ определяется дифференцированием Б правой части соотношения (21)

Теорема доказана.

Автор выражает благодарность Жиберу А.В. за многочисленные обсуждения.

1. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. Т. 51, вып 1. 1982. С. 10-21.

2. Борисов А.Б., Зыков С.А. Одевающая цепочка дискретных симметрий и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. Т. 115, вып. 2. 1998. С. 199-214.

3. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. Т. 56, вып 1. 2001. С. 63-106.

4. Муртазина Р.Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды института математики и механики УрО РАН. Т. 13, вып. 4. 2007. С. 102-117.

5. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. 1983. 280 с.

6. Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 58, вып. 4. 1994. С. 33-54.

7. Жибер А.В., Гурьева А.М. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. Т. 6, вып. 2 (13). 2005. С. 26-34.

8. Жибер А.В., Шабат А.Б. Системы уравнений их = p(u,v), vy = q{u,v) обладающие симметриями // Доклады АН СССР. Т. 277, вып. 1. 1984. С. 29-33.

9. Кузнецова М.Н. Симметрии уравнения эллиптического синуса // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Математика. Уфа: БашГУ. 2007. С. 170-179.

Регина Димовна Муртазина,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450025, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Отсюда следует, что

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ