Точно интегрируемые модели волновых процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

УДК 517.9

А. В. ЖИБЕР, О. С. КОСТРИГИНА

ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Получен критерий интегрируемости по Дарбу двумерных динамических систем уравнений. Описан класс точно интегрируемых моделей, обладающих полным набором интегралов первого и второго порядков. Характеристическая алгебра Ли; х- и у-интегралы; тензор Римана

Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных двумерных систем

11>ху — Р(и„ (1>х* — Р' * ?' — 1, 2. ... . 7%^.

(!)

Последние описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики.

Изучаемые системы (1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли-Беклунда. Симмет-рийный метод классификации интегрируемых уравнений очень эффективен в случае эволюционных уравнений, однако, при симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации (см., например, [1], [2]).

Для решения задачи классификации интегрируемых гиперболических систем уравнений (1) используется подход, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры Ли.

Рассмотрим набор независимых переменных

у-интеграл т-го порядка — это функция Ш(и,й1,й2, ■ 1-,игп), удовлетворяющая соотношению Б (Ш) = 0.

-интегралы называются независимыми, если функционально

независимы. В статье [3] показано, что максимальное число независимых ж-интегралов равно порядку исходной системы.

Определение 2. Системауравнений (1) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее существует максимальное число независимых х- и у-интегралов,

Понятие характеристической алгебры Ли было введено в [4] для систем гиперболических уравнений вида

(2)

(см. также [5]-[9]).

Определим ж- ^-характеристические алгебры Ли системы уравнений (1). Пусть Р — пространство локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных . Оператор на

функциях из действует по правилу

I) — 1/ I ^‘'^1/ \ ] ■

II. ІЦ.ІЦ.ІІ-2. //•_>. . . . . . . ,

где

д

дії

У> і — иХч и і — Ну^ ІІ2 — ихх ч ^2 — ^ууі * * *

Обозначим через -О(-О) — оператор полно- _і д і д і д

го дифференцирования по переменной у(х). ХГІ+і = Щ~т^ + Р + 0(Е )~^~[

Определение 1. Функция 1¥(и,иі,щ

ит) называется х-интегралом порядка т си- +... + 1) 1(Р‘) 1

стемы (1), если Б(Ш) = 0. Аналогично

Выполнено при поддержке грантов РФФИ №№ 05-01-00775-а,06-01-92051-КЭ-а, 05-01-97910-р_агидель_а

X-характеристическая алгебра Ли уравнений (1) есть алгебра Д порожденная векторными полями Х\, Х2,... ,Хп+\. Аналогично определяется -характеристическая алгебра Ли .

В статье [5] приведены примеры двухкомпонентных динамических систем (1) с конечномерными ж- и у-характеристическими алгебрами Ли. Так, например, для систем уравнений

2 1 1 11 11 '11,.

■И1 = ________________Х у

ХУ ,,1,,2

IlMl,

С

1 2 2 0 U ’11 ’1C.

■ц2 = ______________Х у

ху uh,;2

С = const.

С

і 11г'11„

■и1 =_____х У

ХУ „1 х„2!

UL

1ІҐ

2 2

2 UxUy

НхУ U1 ,,-2

1ІҐ

dim А = dim А = 5.

X- и у-интегралы этих систем имеют вид

и і =

и і =

1 2 ихих

и1 и2 +

1 2 UyUy

•и,1 и,2 +

Ш-2 =

0>2 =

Ші =

1 2 и’хи’х

1lL

Ші =

и 1 2 иуиу

2 ’

UL

11

2-

Ш2 =

Ш-2 =

■IIі Jjxx 1 2 11 11%

!1'х IIіII2 + С

■и1 УУ 1 2 11 11у

■IIі У IIіII2 + С

■IIі "'XX «X

!1'х IIі + II2 ’

■IIі УУ Ul

■IIі У IIі + II2

соответственно.

В настоящей работе получен критерий интегрируемости по Дарбу нелинейных гиперболических систем уравнений (1), приведен список точно интегрируемых моделей по Дарбу с ж- и у-характеристическими алгебрами Ли А и А размерности ётА = ётА = 2п. А также описан класс двухкомпонентных систем (1), обладающих тремя интегралами первого порядка и одним второго.

Теорема 1. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу, если и только если характеристические алгебры Ли А и А конечномерны. При этом, если п/г — число х-интегралов к-го порядка, к = 1,2,... ,т,то

dimA =

п

т

Е

г=1

гщ.

(3)

Приведем краткую схему доказательства теоремы 1.

Пусть система уравнений (1) интегрируема по Дарбу. Тогда существует набор ж-инте-

гралов ш1\и, щ

і = 1, 2.

ка s, удовлетворяющий условию

, (дш‘\

det —г )ф 0. \duiJ ^

, п поряд-

(4)

Теперь, в силу (4) от переменных можно перей-

ти к набору независимых переменных

йі,и,иі,... , и8-1, ш,и>1,... , шт,..., где ш = , , В

новых переменных оператор Хп+\ запишется так:

X ~ ,1і А

-Л-Я+1 ---- '*'1

дщ

F’

,;_д_

ди\

о

дії

S — 1

Ясно, что алгебра Ли, порожденная элементами , конечномерна.

Обратно, предположим, что алгебра А конечномерна. Обозначим через линейную оболочку элементов Х\, Х2, • • • , Хп. Ясно, что

А = Ь ф В.

Удобно в дальнейшем рассматривать подалгебру В. Последняя содержит элементы вида

Хі — [ Хі . X j, -)-1 ] —

ai2

JL

дії1

к $ аі1ди\

д

да,2

і = 1, 2,

,п.

1. КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПО ДАРБУ

В статьях [4], [6] показано, что система (2) обладает полным набором -интегралов тогда и только тогда, когда характеристическая алгебра конечномерна. В этом пункте мы обобщаем этот результат на уравнения (1). А именно справедливо утверждение.

Если dimB = п, то В есть линейная оболочка элементов , , и система урав-

нений

_д_

дії1

аи

t д ,

1 ш = 0. * = 1,2.......п

ди!{

имеет п функционально независимых решений , образующих полный набор

и

-интегралов первого порядка. В этом случае, так как dimL = п и т = 1, п\ = п, то формула (3) верна.

Пусть dimД = п + 1. Тогда базис алгебры состоит из элементов , ,

где

Ж?+1 — о:

к

?7+1 т

д

д

а:

77 + 1 777 + 1 ‘Л к

777 + 1

т > 1.

Если т = 1, то система уравнений

_д_

ди!

аа

д

ди!{ к

0,1+11ЩШ~

ш = 0,

і = 1,2...

,п

имеет функционально независимых решений , которые являются -интегра-

лами.

Далее рассмотрим уравнения

_д_

ди’

к $ о

а:

к

д

а,

*2 діі2 к 9 °г'+12ді4

IV = о, IV = о.

(5)

* = 1,2..........п.

Теорема 2. Система уравнений (1), (6) обладает максимальным числом х- и у-инте-гралов первого порядка, если и только если выполнены соотношения

.у, = _д_Гі _ 9 •

п„,,1 /</ Пи,і1 М

рг _______рг рг; ___________ а

1 Р2 зд 1 vjL рд

п, = Аг _ 0 Vі д„р >ч да-і I"1

(7)

рг р5 рг рг; а

рз1 jg 1 рд и*

Здесь Д* • — тензор Римана, а • — сопряженный тензор Римана.

-интегралы задаются формула-

ми

аіг(?і, ї/,і) = А* (?/)?/*, і = 1, 2,... , гг,

где функции А* (гг) — решение системы уравнений

д

дик

а'(«)-г^а;(«) = о.

(8)

Система уравнений (5) имеет 2п — 1 функционально независимых решений

Ж иЛ і = 1,2,

,п

1,

при этом ordW = 2. Таким образом, исходная система (1) обладает полным набором -интегралов . При этом справедлива формула (3), так как , .

Аналогично рассматриваются случаи > 1 и dimД > п + 1.

2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛАМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В этом пункте рассматриваются системы уравнений (1) с полным набором ж- и у-ин-тегралов шг(и, ггх), ¿¡/(гг, иг), г = 1,2,... ,п, то есть с ж- и у-характеристическими алгебрами Ли А и А размерности 2п.

Из уравнений

¿(а;,;) = 0, -0(и>г-) = 0, * = 1,2,... , п

следует, что правая часть системы (1) имеет вид

= —Г|у(гф;,{г1{, г = 1,2.....п.

(6)

Условие совместности уравнений (8) записывается так Др • = 0 (см. (7)).

Отметим, что соотношения (7) эквивалентны равенствам , ,

г, 1,2,... , гг.

Здесь

у у

X,; = [Хі,Хгі+і] = т- — Г'кі(іі)ііх-^—^-У = [^-, Уп+1] = ^ ^

с>г;|

При этом векторные поля ,

Х1,Х2,...,Х„ образуют базис ж-харак-теристической алгебры Ли А, а поля

Ух, ^2, V • , Уп-, У-, ^2, • • • ,Уп задают базис алгебры А.

С другой стороны, соотношения (7) выражают тот факт, что инварианты Лапласа линеаризованной системы уравнений для системы (1), (6) есть нулевые матрицы.

Для двухкомпонентных систем (1) справедливо утверждение.

Теорема 3. Любая система уравнений (1) (п = 2) с полным набором х- и у-интегра-лов первого порядка точечным преобразованием и = ф(ги) приводитсякследующей

иХу ІУхУу 'У'хУу ^ ір(^ ) )) ; (д)

і = 1,2.

Интегралы системы (9) вычисляются по формулам

^1 г'!х г-!х;

Ш-2 =

р(і;г

q(v

2' -si«1:

Ші = v}j - Vy

U2 =

-V

p(v

Г (V

'q(v

2'v 'r(v2)

■y'

где функции , , и связаны

соотношениями

я (и1) = е_4,1^(?;1), г (у2) = е~г’~д(у2).

3. ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Здесь мы рассматриваем системы (1) при , обладающие тремя интегралами первого порядка и одним второго.

Теорема 4. Любая невырожденная система уравнений (1)с интегралами

ш1 (и, и 1 ), СО2 (и, и 1, 11,2 ),

и1 (и, ?7,i), и2 (и, ?7,i)

(10)

точечной заменой приводится к одному из следующих видов

к —7 _

или

1 1-2 2 \ 1 ґ\ л \

(11)

то из соотношений (12) получаем,что

F1 = ри\ + qii2, F2 = fu\ + ,s?i2.

(13)

Здесь , , , — функции переменных , .

Равенство записывается следую-

щим образом:

0ûliii\ + и^и2 + üûli(pii\ + qu2)

oj2(rul + sul) = 0. (14)

Ясно, что (w^i) + ((¿Гг) Ф 0- Не ограничивая

общности, можно считать, что ш1! ф 0. Тогда

ui

илир^+дг^ = 0,илиpu\+qul ф 0. В первом случае мы приходим к вырожденной системе

U ху — 0, ху — ^ ^'1 Sll^.

Во втором случае из (14) следуют формулы

р = С\Г + C2S + сф\ + C4ÏÏ2,

q = d\f + &2S + (1ф\ + dj?!2,

где С{ = Ci(11), dj = di(u), i = 1,4.

Подстановка последних соотношений в (14) дает

r[iülui{ciu\ + diu{) + '»{иЛ]

S^Cüyi (c2U-i~h d,2Ui)-\~и-і00п2І~\~ ІЗіІ,-[ — ü

Здесь Д В — функции переменных U,U\. Если

uni(ciu-i + di’ti^) + щи -2 = ü

4, *д 4 -l

Чд(с2«1 + d,2U,{) + ll'luK = ü

(15)

то

Доказательство. Из условий (10) следуют соотношения

Чу.1'“ 1 + ?І1 + ^1\РІ + = ü’

üï2i1t\ + й>1-2ІІІ + Ü2iF1 + Ü22 F2 = ü.

Так как

(12)

и\г UlL>

Щ Щ -2 -2 UÛZ1 ÜÜZ2

Ф 0,

с\и\ + diii2 u\ C2ll\ + d,2ll2 II2

= ü.

Следовательно,

ci'»,]/»2 + <ii('»2)2 = c-2('»];)2 + d,2ii\ul и поэтому

d\ = ü, C‘2 = ü, Cl = d,2 = c.

Таким образом

Р = СГ + + C4?í'f,

q = es + д,ф\ +

и мы приходим к системе уравнении

и],.,, = с[ги\

ху

tt'xy 1 M'l

p.

SU2,

(16)

где с = с(и), Р = а 1и\й\ + а-2и\и1 + аз?/2?!,} + + «4'Н2?12, СЦ = <У.г(и), * = 1,4. Систему (16) точечной заменой , можно

привести к виду

- 9

(17)

или

(yp I 0q = о/; i ti.i 1 CYy'2'thl I + aui(p»,]; + + аиз(г»,];

/Зр + /iq = /3uiíli + Ди->'м'і +

+ /5Ц (Pn\ + ^»’í) + Ди2(^'»'1 •

аг + 9 s = виі и\ + 0u2üf +

+ ви\(Р'и\ + ЯиЇ) + ви({г’и\ -

/3 Г + fis = fiuiü\ + Ци2Їі\ +

+ /-Ц (pu 1 + Фі'і) +

При ш1.2 = 0 имеем (см. (19))

1

.Sîi’f),

su

1/,

Sllf)

a = ü, /3 = , в ф 0

(21)

or

Теперь, из (14) при ш12 ф 0 получаем, что

“I

ги,\ + Ей2 = + 72«! + 7з'»'1'»'1 + 74'!12и2.

7/ Т/(»)- * = 1,4,

а значит, система (17) имеет вид

Тогда, учитывая (17), из первого и третьего равенств системы (21) находим

¿7 = 0,

,Ч = (Р1(и)и\ + (Р2(и)и‘1, при ви'2 = 0,

Г = '¡/;1 ('»')* + Ф2(!1>)и\ + Фз(и)й1, при ви2 Ф 0.

ІЇ = Г гкя(иг)и^и

У■

і = 1.2.

(18)

Можно показать, что для системы (1), обладающей интегралами второго порядка и , справедливы соотношения

?4 = аш2 + /Зш\ + 7,

U*2 — Oui2 I JIOJ ] І 6,

(19)

где а, /3,7,0, /.*, е — функции переменных«, «ь Из соотношений (19) дифференцированием получаем равенства

і

F^iU12 + FKul = D(a)u}2 + D(/3)u{ F2iU,l + F2, ai = D(e)u2 + D(n)u[

(20)

где многоточием обозначены слагаемые, зависящие от переменных и,и1,й,1. Далее, из (19), (20) с учетом соотношений(13) будем иметь

р(аш2 + ¡Зш\) + (¡(вш2 + цш\) =

= Т)(а)ш2 + Й(/3)ш\: г(а.ш2 + ¡Зш\) + в(вш2 + цш\) =

= Г>(в)ш2 + 0(ц)ш\,

Таким образом, система (17) приводится к одной из следующих:

а'ху = (ai«l + 'а'ху = ги\ + Iі-

либо

u'xy — (а3«1 t 1 Iі.

(22)

(23)

•xy

здесь P = Hiu\ü\ + fl2’u\u{ + fl:íU2ü\ + l¿4U2U2, щ = fii(u, v), a.j = a(u), i = 1,4, j = 1, 3.

Если «2 = 0, то в силу первых уравнений систем (22), (23) имеем

o^iíl] + 00I2Ü2 + ujliaiu\u\ = 0.

Поэтому ш^2 = 0 и а\ = а\(и1). Теперь точечным преобразованием ,

системы (22), (23) приводятся к следующим

и1 = и\и\, и2 = ru\ + Р, (24)

иху = «М, иху = («з«} + u2)s + Р. (25)

Сделав замену и1 = и1, и2 = д(и1, и2) для системы (25), получаем

Uxy — u^u^i и*ху — P. (26)

И, наконец, системы (24), (26) заменой и1 = приводятся к виду

^’х у ^’х у ? Р.

ІІху = '1'‘ху = + I'-

Имеем три случая:

1. При ,

'а'ху = [С1 + С-2 я]?/} + [«1 рв + «2^]«-! + І'

11ху = psv,i + siif + (qu,і + ви2)и,\

•ху

Теперь, при «2 ф 0 замена и1 = и1, и2 = = z(ul,u2) системы (22), (23) преобразует в следующие:

иху = аи\и\, и2 = ru\ + Р, (27)

(28)

Если ж-интеграл первого порядка зависит от переменной , то из (14) получаем, что правые части системы (27), (28) есть однородные полиномы второй степени.

При ш12 = 0 получаем, что а = а(и2) и после точечной замены ,

приходим к уравнениям

М' х у ~~ ^1^1" ^' х у ~~ *

р

(29)

иху = ru\v2, и2у = (аи\ + u2)s + Р. (30)

•ху

Рассмотрим у-интеграл системы (30). Имеем

^и1П 1 + ^иу111 + +

+ ¿0^2 [(о"г*1 + ^1)^ Ри\ М’ 1 Ри(и1] = 0-Последнее соотношение запишем в виде Ха)1 + УСд1 = о.

где

д

д

X — ——-Г + ?Í1 ——т + (cü.S + Р,,1 ) о ,

ди1 Ldü\ к Ul> диІ

д < О N д

Y ~ 713 + (s + 7 «v)

ь''дйГ

Так как система (30) обладает двумя ^-интегралами первого порядка, то [X, У] = 0. Откуда находим, что , а следователь-

но, система (30) имеет «квадратичный» вид.

Если соотношения (15) не выполнены, то либо

либо

г = p(u,)s + q(u,)u,\ + в(и,)и2,

s = p(u,)r + q(u,)u,\ + в(и,)и2.

или

?C„ = + /3(u)u2)s

,’xy

p

•xy — 1**1 1 F'nj“ 1 P Ф 0.

2. Прир(и) = 0иг = q(u)u\ + в(и)и\

2 г 2

U.T.„ = I?íx

' Ргії]5'

(31)

а'ху = C-2S11 ] + Р

2 - 2

Р

(32)

3. При и

' 1 -1 ^ху — C\U-^

ч tl'xy 1

Ь aíra2 Р

в(и)и\ р

(33)

Точечной заменой уравнения (31)-(33) приводятся к виду

М'ху

11>ху — /' (' ( К Í /|

$и\) + Рь (34)

Здесь , — однородные полиномы второй степени по переменным , . Для систе-

мы (34) верны предыдущие рассуждения.

Таким образом, любая невырожденная система (1) с интегралами (10) точечной заменой приводится к либо к системе(18), либо к системе (29). Тем самым теорема доказана.

Замечание. Система (11) обладает интегралами вида (10) тогда и только тогда, когда функция является решением следующего уравнения

дг

ди

, дг ди\

_ дг

'щ

•и\

P'í«1)

P(ul)ñl = ü.

При этом

ш1 = е U 4l\,

2 2 Ш = U-2

í/,f

DOJ1

ш

И)

2\2

^Р{и1)е2ь~ (йГ

а -интегралы и определяются из уравнения в частных производных первого порядка

V -2 9 _ д \_ п

М---ь ?І1ТТГТ + ї’ТТГо ш — 0.

су и с)и-^ с)и у

Для таких систем уравнений -характеристическая алгебра Ли имеет размерность 5, а размерность -характеристической алгебры Ли равна 4.

ВЫВОДЫ

Для системы нелинейных уравнений на основе понятия характеристической алгебры Ли предложен тест на проверку интегрируемости в квадростурах.

Построены все -компонентные волновые уравнения, имеющие законов сохранения первого порядка специального вида ( - -интегралов).

Найдены новые примеры двухкомпонентных систем уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго.

Предложенные интегрируемые модели могут быть использованы при исследовании волновых процессов, в частности, для проверки и обоснования вычислительных экспериментов в этой области.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жибер, А. В. Системы уравнений их = = р(и,ь), уу = д(и,ь), обладающие симметриями / А. В. Жибер, А. Б. Шабат // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, № 1. С. 29-33.

2. Жибер, А. В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий / А. В. Жибер // Изв. РАН. Сер. ма-тем. 1994. Т. 58, № 4. С. 33-54.

3. Гурьева, А. М. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений / А. М. Гурьева, А. В. Жибер // Вестник УГАТУ. 2005. Т. 6, № 2 (13). С. 2633.

4. Лезнов, А. Н. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем / А. Н. Лезнов, В. Г. Смирнов, А. Б. Шабат // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51, № 1. С. 10-21.

5. Костригина, О. С. О нелинейных гиперболических системах уравнений с конечномерной характеристической алгеброй Ли / О. С. Ко-стригина // Труды теор. и мат. физики : тр.

38-й рег. молодежн. конф. 29 янв.-2 фев. Екб.: УрО РАН, ИММ, 2007. С. 164-168.

6. Шабат, А. Б. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана: препринт / А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов. Уфа : БФ АН СССР, 1981. 20 с.

7. Habibullin, I. T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations / I. T. Habibullin // Semmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2005. V. 1, № 23. P. 1-9.

8. Жибер, А. В. О характеристических алгебрах Ли уравнений иху = f(u,ux) / А. В. Жибер, Р. Д. Муртазина // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 7. С. 6578.

9. Жибер, А. В. Квадратичные системы, симметрия, характеристичекие и полные алгебры / А. В. Жибер, Ф. Х. Мукминов // Задачи математической физики и ассимптотика их решений : сб. науч. тр. БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1991. С. 14-32.

ОБ АВТОРАХ

Жибер Анатолий Васильевич, проф., вед. науч. сотр. ИМ УНЦ РАН. Дипл. математик (Новосиб. гос. ун-т, 1969). Д-р физ.-мат. наук по диф. уравнениям (защ. в ИМиМ УрОРАН, Екб., 1994). Иссл. в обл. совр. группового анализа диф. уравнений.

Костригина Ольга Сергеевна, асп. каф. математики. Дипл. инж.-мат. (УГАТУ, 2005). Готовит дис. о нелин. интегрируемых гиперболич. сист. уравнений и характери-стич. алгебрах Ли.