Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 57-64.

УДК 517.9

ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА С КОНЕЧНОМЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ

АЛГЕБРОЙ ЛИ

О.С. КОСТРИГИНА

Аннотация. Рассматриваются характеристические алгебры Ли линеаризаций двухкомпонентных гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью. Получен полный список систем уравнений, для которых размерность алгебры Ли не превышает 9.

Ключевые слова: интеграл системы, интегрируемость по Дарбу, характеристичекая алгебра Ли.

1. Введение

Один из способов классификации интегрируемых по Дарбу гиперболических систем уравнений

иху = F(и, пх,Чу) (игху = Гг, і = 1,2,..., п) (1)

основан на изучении структуры характеристических алгебр Ли этих систем. Впервые этот подход

был предложен в работах [1], [2] для экспоненциальных систем вида

1 п

Пху = агіеи + ... + агиЄи , і = 1,2,...,п. (2)

Введем набор независимых переменных

Пі = Пх, Пі = Пу, П2 = Пхх, П2 = Пуу,... и обозначим через О(В) оператор полного дифференцирования по переменной у (х).

Определение 1. Функция Ш(и, пі, и,2,..., ит) называется х—интегралом порядка т системы (1), если 1)(Ш) = 0. Аналогично, у—интеграл т—го порядка — это функция

Ш(и,иі,П2,..., Пт), удовлетворяющая соотношению П(\¥) = 0.

X—интегралы Ші, Ш2,..., Шк называются независимыми, если ОгШ^ функционально независимы. В статье [3] показано, что максимальное число независимых х—интегралов равно порядку п исходной системы.

Определение 2. Система уравнений (1) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее существует максимальное число независимых х— и у—интегралов.

Классификация нелинейных гиперболических систем уравнений, интегрируемых по Дарбу, основана на следующем критерии (см. [4]).

O.S. Kostrigina, Two-component hyperbolic systems of equations of exponential type with the finite-dimensional characteristic Lie algebra.

© КостригинА О.С 2009.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00440-а).

Поступила 24 августа 2009 г.

Теорема 1. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу, если и только если х— и у— характеристические алгебры Ли А и А конечномерны. При этом,, если п& — число х—интегралов к—го порядка, к = 1, 2,... ,т, то

¿гтА = п + і

т

іпг

г=і

Рассмотрим линеаризацию системы уравнений (1)

Уху = ЕиУ + Рцх^х + ЕиуУу. (3)

Следствие 1. Если система уравнений (1) интегрируема по Дарбу, то характеристические

алгебры линеаризованного уравнения (3) конечномерны.

В настоящей работе рассматриваются системы уравнений (2) для случая п = 2

иху = ацви + саі2ви, Уху = а2іеи + а22ею. (4)

При этом для решения задачи классификации используется иной подход. А именно, исследуется структура характеристической алгебры линеаризации системы уравнений (4).

Получены все уравнения, для которых размерность характеристической алгебры линеаризации не превышает 9. Показано, что правые части этих систем задаются матрицами Картана простой алгебры Ли.

2. Характеристическая алгебра линеаризованной системы Линеаризация системы уравнений (4) имеет вид

Рху = апвир + аі2Є°д, дху = а2іеир + а22&ид. (5)

Далее считаем, что и и V — заданные функции и А = аца22 — аі2а2і = 0.

Определим х— и у—характеристические алгебры Ли системы уравнений (5). Пусть Е — про-

странство локально аналитических функций, зависящих от конечного числа независимых переменных х,у,р, д,рі, ді ,р2, д2 .... Оператор I на функциях из Е действует по правилу

1 = рпУ}0) + діУ2(0) + Хі,

где

у(0) = Д у(0) = А,

і др’ 2 Од1

д д д

Хі = — + (апеир + айв0 д)—-----+ (а2іеир + а22е’и д)^--+ ....

ду дрі дді

X—характеристическая алгебра Ли системы уравнений (5) есть алгебра А, порожденная вектор

А.

торными полями у(0), У2(0), Хі. Аналогично определяется у—характеристическая алгебра Ли

Приведем важное для дальнейшего утверждение.

Лемма 1. Пусть

ГО д д

2 =^ а д-----+ ^ вг аг,вг € Г, г = 1, 2,....

,= 1 дРг ,=1 (Щг

Тогда соотношение

[Б,г\ = о (6)

выполняется тогда и только тогда, когда 2 = 0.

Доказательство. Условие (6) запишем в виде

ГО гл ОО О О о о

д ^ д д г, д ^ д ^ г, д

,=1 а,) а,+§ °(в<) %=а1 др+в1 (>я+и “,+1 а,+§в<+1 % ■

Отсюда получаем, что а1 = в1 = 0, В(а,) = В(а,+\), В(@,) = 0(вг+\), г = 1, 2,.... Следовательно, а, = в, = 0, г = 1,2,... и 2 = 0.

Лемма доказана.

Рассмотрим коммутаторы

п(1) = [Г1(0),Х1\ = еи[ап^ + + «11«^^ + ^21^1 + .. .\,

1 1 др1 д^1 др2 дд2

Г2(1) = [Г'0),Х1\ = е-К(Р- + „я А + п12г'1 (р2 + а22>4 . \.

Введем обозначения

^(0) 2(0) ^(0) 2(0)

Г1(1) = еи%(1), Г2(1) = е- %21).

Далее, по определению положим

%(п+1) = [%(п),х1\, %2П+1) = [22п),х1\, П = 1, 2,....

Отметим, что векторные поля X, %10), %20), %11), %21) являются линейно независимыми.

С учетом последних обозначений оператор Д будет иметь вид

Д = р1%(0) + д1%20) + X.

Легко проверить, что

[д, %(0)\ = [д, %20)\ = 0,

[%(г), [Д,Х1\ = [%2г), [Д,Х1\\ =0, г = 1,2,....

Покажем справедливость следующих формул:

[Д, Х1\ = -(апеир + а^е-д)2(0) - (а21е“р + а22е-?)%20),

[Д %(1)\ = -и1%(1) - ап2(0) - «21%20),

[Д %21)\ = -^1%21) - а12%(0) - «22%20), (7)

[Д %(2)\ = -и1%(2) + «12е-%(1) - «21е-%21),

[Д %22)\ = -^1%22) - а12еи%51) + а21еи%21).

Из соотношения [Д, Д\ =0 находим

[Д,Х1\ = -[Д,р1210) + 91%20)\ = -рху%10) - Яху%20).

Используя тождество Якоби, вычислим [Д, %11)\ и [Д, %12)\. Имеем

[Д,%(1)\ = [Д,е-иг1(1)\ = [Д,е-и[%(0),Х1\\ = -е-ии1[%50),Х1\ +

+е-и[Д [%(0),Х1\\ = -е-ии1[2(0),Х1\ - е-и[X, [Д,%(0)\\--е-и[%(0), [Х1,Д\\ = -е-и«1[2(0),Х1\ + е-и[2(0),-(апе“р + а^е-?)2(0)\ +

+е-и[2(0), -(а21еир + а22е-д)2>0)\ = -- ац2(0) - а21%;0),

[Д, 2(2)\ = [Д, [2(1), Х1\\ = -[Х1, [Д, 2(1)\\ - [2(1), [Х1, Д\\ =

= [Х1,и1%(1) + а-%(0) + а21%20)\ = (ацеи + а^е-)%(1) - и^--апе“211) - «21е-%21) = «12е-%11) - «21е-%21) - «1%12).

Аналогично вычисляются коммутаторы [Д, %21)\ и [Д,%22)\.

(2) (2)

Лемма 2. Для операторов 21 и %2 верно соотношение

„и

еи%(2) + е- %22) =0. (8)

Доказательство. Согласно лемме 1 равенство (8) выполняется тогда и только тогда, когда

[Д,еи%(2) + е- %22)\ = 0.

Учитывая соотношения (7), имеем

[Д, еи%(2) + е-%22)\ = еии12(2) + еи (-и1%(2) + «12е-%(1) - «21е-%21^ +

+е-^42) + е- (-^1%22) - а12еи%11) + «21еи%21^ = 0.

Таким образом, лемма доказана.

Далее, для удобства введем обозначения

20) = ш(0), %20) = ш2(0), %(1) = ^1(1), %21) = ш2(1),

%(2) = е- ш(2), %22) = еиШ2(2).

По определению положим

^1га+1) = [ш{п), Х1\, п = 2, 3,....

При этом легко показать справедливость следующих равенств:

[ш(п), [Д,Х\\ = 0,

[Д, Ж1(га+1)\ = -[Х1, [Д, ш{п)\\.

Отметим, что векторные поля Х1, ^1(0), Ж^0), ^1(1), , ^1(2) являются линейно независи-

(2) (2) 1 2 1 2 1 мыми, а операторы Ш2 и связаны формулой

ш2(2) = -ш(2).

Лемма 3. Справедливо следующее соотношение:

П— 1

[Д, ш(п)\ = -(«1 + + ^](-1)п—,—^п-^хп-г («1 +

=2

п— 1

^ ^](-1)га—,—1СП^23ХП—,—1(«12е- + а21еи)Ш1(,), п = 3, 4,

п—1

^(п)\ = -л,. + ч,.ш/_((п) ^ у^(-1)п—,—1сг—|хп—'г(д‘- + -1 ’-)™Иг)_

=2

п— 1

\п—,— 1/~п—2 \гп—г— 1 л- | ^и\тх;г(г)

) Сп—3Х1

=2

Доказательство. Проверим формулу (9) для п = 3. Учитывая соотношение

[Д, 22)\ = ^е-ш(2) + е-[Д, Ш1(2)\,

а также равенства (7), находим

[Д, М3)\ = -[Х1, е—-(«12е-%(1) - «21е-%21) - «1%(2)) - ^Ш1(2)\ =

= -[Х1, («1 + ^)Ш1(2) + а12Ш1(1) - а21Ш2(1)\ =

= -(«1 + ^1)ш13) + ((а— + 2а21)еи + (а22 + 2а12)е- )ш12). Предположим, что формула (9) верна для некоторого значения п. Проверим ее для п + 1.

[Д, ш(п+1)\ = -[Х1, [Д, ш(п)\\ = Х1(«1 + - («1 + ^1)Ш1(п+1) +

п— 1

^(-1)п—г (сп^|хп—,+1(«1 + V!) + сп—23ХТг(«12е- + «21еи)) ш(г) +

(9)

п-2 1 1 1 п-3 1 12 21 1

=2

п-1

+ ^(-1)п—,+1 (сп-1хп—г(«1 + ^) + сп—|хп—,—1(«12е- + а21еи)) Ш^. =2

Сделав в последней сумме замену г = к - 1, получим

[Д, Ш1(п+1)\ = -[Х1, [Д, Ш1(п)\\ = Х1(И1 + «1)Ш1(п) - («1 + ^1)Ш1(п+1) +

п— 1 + £(-1)п—г (сп—22хп—,+1(«1 + ^) + сп-23^п—г(«12е- + «21еи)) Ш(г)+ =2

п

+ £(-1)п—к (сп—3хп—к+1(«1 + ^) + сп—3хп—к («12е- + «21 е“)) w1k) =

к=3

-(«1 + ^1)Ш1(п+1) + (-1)п—2 (хп—1(«1 + «1) + хп—2(«12е- + а21е“^ Ш(2) +

п 1

+ £(-1)п—г (сп—21хп—г+1(«1 + «1) + сп—|хп—г(«12е- + а21е“)) Ш1(,) +

=3

+ (Х1(«1 + «1) + Сп^3^^ + «1) + сп—33(а12е- + «21 е“)) Ш1(п) =

п

= £(-1)п—г (сп—2хп—г+1(«1 + «1) + сп—|хп—г(«12е- + а21е“)) ш1

п 1 1 1 1 п 2 1 12 21 1

=2

-(«1 + «1)ш1п+1).

Таким образом, согласно методу математической индукции лемма доказана.

Предположим теперь, что характеристическая алгебра Ли системы уравнений (5) конечномерна. Это означает, что найдется п > 2, для которого операторы Х1,ш10), Ж^, Ш^, Ж^,

ш12), ш13) ,... ш1п) образуют базис этой алгебры. Тогда оператор Ж1(п+1) есть линейная комбинация элементов базиса.

Поскольку

<’ = ^ Ш<0) =

1 др 2 дд

а операторы старших порядков имеют структуру

дд

а г о-+ А о + ..., г = 1, 2,...,

дрг ддг

то

п

Ш1(п+1) = ^ АкШ1к) + В1Ш2(1), к=1

где Ак, В — функции переменных «,«, «1, «1, «1, г)1,....

Последнее соотношение эквивалентно равенству

пп

[Д, ш1п+1)\ = £ Д(Ак)ш1к) + Д(В1)Ш2(1) + £ Ак[Д, Ш1к)\ + В1[Д, Ж2(1)\. к=1 к=1

По лемме 3 получаем

Д(А1)Ш1(1) + Д(В1)Ш2(1) + Al(-UlW1(1) - апШ1(0) - «21Ш2(0))+

+А2(а12ш1 ) - а21Ш<( )) + В^-^Ж^ ) - а12ш1 ) - а22Ж^ )) = 0.

Сравнивая коэффициенты правой и левой частей последнего равенства при векторных полях Ж^, Ж2(0), Ш1(1), Ж2(1), получаем систему

-ацА.1 - «12^1 = 0,

-«21А - а22^1 = 0,

Д(А1) + «12^2 - «1^1 = 0,

Д(В1) - «21^2 - «1^1 = 0.

Отсюда находим А = В =0 и А2 = 0. Таким образом, доказано следующее предложение.

Лемма 4. X-характеристическая алгебра А системы уравнений (5) конечномерна тогда и

(3)

только тогда, когда либо = 0, либо

Ш1(п+1) = £ Акш1к), Ак = Ак(«,«,«1,«1,«1,«1,...), п = 3,4,....

к=3

При этом, ^гшА = 6, либо ^гшА = п + 4, п = 3, 4,... соответственно.

Теперь, пользуясь леммами 3 и 4, выпишем необходимые и достаточные условия конечномерности характеристической алгебры системы (5).

При ^гшА = 6 получаем

Х1(«1 + «1) + «12е- + «2^“ = 0, (10)

а в случае ^гшА = п + 4 (п > 3) имеем (-1)п 2Хп 2 ((«11 + 2a2l)eu + («22 + 2«12 )е- ) =

п

'^р\

£ Ар(-1)р-3хр-3((аи + 2й2і )еи + (а22 + 20^),

р=3

(-1)п-і (С'Пі2іХП-і+1(иі + VI) + + а2іеи^ = (11)

£ Ар( —1)Р-І-1 + VI) + Ср-2зХ[-г-1(аі2Є" + Й2іеи)) +

р=і+1

+^(А), і = 3,4,..., п — 1,

(п — 1)Хі(иі + VI) + аі2е^ + а2іеи = ^(А„).

Можно показать, что для системы (11) неизвестные А есть функции переменных йі^і,...,

ига-г+1, "^га-і+1, і = 3, 4,...,п 1.

Теорема 2. Если характеристическая алгебра Ли системы уравнений (5) конечномерна, то система (4) приводится к виду

■иЖу = 2еи + аі2е^, "ху = —еи + 2е^. (12)

Доказательство. Точечной заменой и ^ и + 1п(2/ац), V ^ V + 1п(2/й22) система (4) может

быть преобразована

"ху = 2еи + аі2е^, = Й21 еи + 2е^.

Рассмотрим первое равенство системы (11)

( —1)га-2(й11 + 2й2і) (йп-2 + f (Й1, "2, . . . , Йп-з)) еи +

+ ( —1)П-2(й22 + 2012)^-2 + ^і^, . . . ^п-зЖ =

= Аз(Й1, VI,Й2,Й2, . . . ,Йп-2, Vra-2)((all + 2й21)еи + (022 + 2йі2)е^) +

+е“^(Й1, Vl,U2, V2, . . . ,Йп-3,Йп-з) + е^^(Й1, Vl,U2, V2, . . . , Й„-3, V„-з).

Приравнивая коэффициенты при множителях еи и е^, получаем

( — 1)п-2(ап + 2й2і)ига-2 = Аз(й11 + 2й2і) + (/("і, VI, "2^2,... , Йп-3, ^-з),

( — 1)п-2(022 + 2012^-2 = Аз(й22 + 20і2) + ^("і, VI, Й2,Й2, . . .,^-3,^-3).

Если (ац + 2й2і)(я>22 + 2012) = 0, то Аз = (—1)п-2и„-2 + 9? = (—+ г?, что невозможно. Следовательно, возможны случаи либо (ац + 2а2і) = 0, (022 + 2аі2) = 0, тогда

аіі = 022 = 2, 012 = 021 = —1; либо (011 +202і) = 0, (022 + 2012) = 0, тогда 011 = 022 = 2, 021 = —1;

либо (011 + 202і) = 0, (022 + 2012) = 0, тогда 011 = 022 = 2, 012 = —1.

При этом случаи 2 и 3 сводятся один к другому заменой и ^ V, V ^ и.

Теорема доказана.

п

п

3. Классификация систем уравнений Далее будем рассматривать системы уравнений вида (12).

Напомним, что алгебра Ли А линеаризованной системы уравнений (5) порождается векторными полями Хі, ^і(0), ^2(0), ^(1), Ж^, , поэтому гіішА > 6. В этом параграфе будут

описаны системы уравнений, для которых гіішА ^ 9.

Результат этого параграфа формулируется следующим образом.

Теорема 3. Размерность х—характеристической алгебры А линеаризованной системы уравнений (5) не превышает 9 тогда и только тогда, когда коэффициент 0і 2 принимает одно из следующих значений: —1, —2 или —3. При этом, гіішА = 6, 7, 9 соответственно.

Доказательство. Доказательство теоремы для случая гіішА = 6 очевидным образом следует из равенства (10).

Если гіішА = 7 (п = 3), то ^(4) = Аз^1(3) и система (11) сводится к виду

—Хі ((0 і і + 202 і)еи + (022 + 20 і 2)е^) = Аз((0 і і + 202 1 )еи + (022 + 201 2)е^),

2Х 1 (и 1 + V 1) + 01 2е^ + 02 1 еи = ^(Аз).

Подставляя в последнюю систему значения 0 і і = 022 = 2, 02 і = —1, получаем

—(2 + 20і2К VI = Аз(2 + 2012),

(4 + 30і2)є^ + еи = ^(Аз),

откуда находим А3 = —VI, 012 = —2.

Если гіішА = 8 (п = 4), то ^1(5) = А3Ж1(3) + А4Ж1(4) и система (11) запишется

X2 ((0 і і + 202 1 )еи + (022 + 20 і 2)е^) = Аз((0 і і + 2021 )еи + (022 + 20і2)є^ ) —

—А4Х1 ((0 і і + 202 1 )еи + (022 + 20 і 2)е^)),

—3Х2(й і + V і ) — 2Хі (0 і 2е^ + 02 і еи) = ^(Аз) + 2А4Х1 (и і + V і ) +

+А4 (01 2е^ + 02 1 еи),

3Х 1 (и 1 + V 1) + 01 2е^ + 02 1 еи = ^( А4).

Для системы (12) последние соотношения преобразуются следующим образом:

(2 + 2012^ ^2 + V2) = Аз(2 + 20і2)є^ — А4 (2 + 20^)е^ VI,

—еийі — (6 + 5012 К VI = А4(еи + (4 + 30і2)є^ ) + ^(Аз), (13)

2еи + (6 + 40і2)є^ = ДА4).

Из первого уравнения видно, что А3 = V2 + V2 + A4Vl. Подставляя найденное значение А3 во второе уравнение системы (13), получаем

А4 (2 + 012) = —3(2 + 012

Так как 012 принимает значение —2 только когда гіішА = 7, то А4 = —3Vl и ^(А4) = 3еи — 6е^, что протеворечит последнему уравнению системы (13). Таким образом, система (11) при п = 4 не имеет решения.

И наконец, если гіішА = 9 (п = 5), то ^1(6) = А3Ж1(3) + А4Ж1(4) + А5Ж1(5). В этом случае система (11) для значений 0ц = 022 = 2, 021 = —1 сводится к виду

—(2 + 2012 XV3 + 3г;2Vl + йз)е^ = Аз(2 + 20^)е^ — А4(2 + 2012)^^ +

+А5(2 + 2012)^ + V2)ev,

("1 + Й2 )еи + (8 + 7al2)(V2 + V2 К = А4(еи + (4 + 30^)е^ ) —

—А5 (йіеи + (6 + 50^^^) + ^(Аз),

—3еийі — (12 + 90і2)є^ V = А5(2еи + (6 + 40і2)є^ ) + ^(А4),

3еи + (8 + 5012^ = ^(А5).

Решая полученную систему аналогично системе (13), находим

А5 = —йі — 5Й1,

А4 = 4v2 — 3U1v1 — 8V52,

= — г3 — 4vf — 2u1v2 + 6v1 г2 + й1г»2,

Ö-12 = —3.

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана // Уфа: Препринт БФ АН СССР. 1981.

2. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51, № 1. С. 10-21.

3. Гурьева А.М., Жибер А.В. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ. Т. 6, № 2 (13). 2005. С. 26-33.

4. А.В. Жибер, О.С. Костригина, Точно интегрируемые модели волновых процессов // Вестник УГАТУ. Т. 9, № 7 (25). 2007. С. 83-89.

Ольга Сергеевна Костригина,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450025, г. Уфа, Россия E-mail: kostrigina@mail.ru