Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений

Анатолий В. Жибер*

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, Чернышевского 112, Уфа, 450077,

Россия

Ольга С. Костригина^

Уфимский государственный авиационный технический университет,

К. Маркса 12, Уфа, 450000,

Россия

Получена 18.12.2009, окончательный вариант 25.01.2010, принята к печати 10.03.2010 В работе описаны все п-компонентные нелинейные гиперболические системы уравнений с полным набором х- и у-интегралов первого порядка и двухкомпонентные системы уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним — второго. Получены необходимые условия наличия у двухкомпонентных систем уравнений двух интегралов первого порядка и двух — второго.

Ключевые слова: характеристическая алгебра, интеграл, векторное поле, тензор Римана.

Введение

Для решения задачи классификации интегрируемых гиперболических систем уравнений

иху = Я(и,их,иу) (и1ху = ¥1,г = 1, 2, ..., п) (1)

используется подход, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры.

Впервые понятие характеристической алгебры было введено в работе [1] для экспоненциальных систем уранений вида

1 п

иХху = ац еи + ... + а,гПви , г = 1, 2, ...,п. (2)

Доказано, что характеристическая алгебра системы (2) конечномерна тогда и только тогда, когда А = (а^) — матрица Картана простой алгебры Ли. Отметим также работу [2], в которой показано, что гиперболические уравнения вида

иХ = с)к и vk + 4 ук, V; = V1 + 3кк и,

г = 1, 2 ,...,п, к =1, 2 ,...,п

обладают не одной, а двумя характеристическими алгебрами и эти алгебры естественным образом "склеиваются" в единую алгебру на основе так называемых соотношений нулевой кривизны.

*zhiber@mail.ru tkostrigina@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

В последнее время понятие характеристической алгебры было обобщено на дискретные модели и на этой основе проведена частичная классификация интегрируемых цепочек (см.

[3, 4]).

Для определения характеристической алгебры системы уравнений (1) введем набор независимых переменных ui = ux, u = uy, u = uxx, u = uyy,... и обозначим через D(D) оператор полного дифференцирования по переменной y (ж).

Определение 1. Функция W (u,ui, U2,...,um) называется x-интегралом порядка m системы (1), если D(W) = 0. Аналогично, y-интеграл m-го порядка — это функция W(u, ui, u2,. .., um), удовлетворяющая соотношению D(W) = 0.

X-интегралы W1, W2,...,Wk называются независимыми, если D®Wj функционально независимы. В статье [5] показано, что максимальное число независимых ж-интегралов равно порядку n исходной системы.

Определение 2. Система уравнений (1) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее существует полный набор независимых ж- и y-интегралов.

Обозначим через F пространство локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных ui, u, ui, u2,..., uk,.... Оператор D на функциях из F действует по правилу: D = u|Xj + Xn+i, где

d

X, = —-, i = 1, 2,... ,n,

dui

d d d d (3) X"+i = ui dui + F • dui + D(F') dus +... + D (П du- +.. • •

X-характеристическая алгебра уравнений (1) есть алгебра A, порожденная векторными полями Xi, X2,..., Xn+i. Аналогично определяется y-характеристическая алгебра A.

В статьях [1], [6] показано, что система ulxy = F®(u), i = 1, 2,..., n, обладает полным набором ж-интегралов тогда и только тогда, когда характеристическая алгебра конечномерна. Этот результат обобщается на системы уравнений вида (1) и формулируется следующим образом (см. [7], [8]):

Теорема 1. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу, если и только если характеристические алгебры A и A конечномерны. При этом если n- — число ж-интегралов к-го порядка, к = 1, 2,. .., m, то

m

dim A = n + in,. (4)

i=i

В настоящей работе рассматриваются системы уравнений (1), обладающие интегралами первого и второго порядка.

1. Системы уравнений с интегралами первого порядка

В этом параграфе исследуются системы уравнений (1) с полным набором ж- и y-интегралов первого порядка: w®(u, ui), cD®(u, ui), i = 1, 2,..., n. Из уравнений D(c®) = 0, D(cD 1 ) = 0, i = 1, 2, . . . , n, следует, что правая часть системы (1) имеет вид

F ® (u, ui, ui) = -rj (u)uk ui, i = 1, 2,..., n, (5)

где r-j (u) — символы Кристоффеля. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Система уравнений (1), (5) обладает максимальным числом х- и y-интегралов первого порядка, если и только если, выполнены соотношения

д д

-— Гр - д Гр + Г9 Гр - Г Гр —0 (6)

диi Г kj диЗ Г ki + Г kjГ qi Г ki1 ^ = 0' (6)

дд

-— ГР - д ГР + Г ГР - Г ГР = 0 (7)

дигГ jk диЗ Lik + 1 jkTiq 1 ik1 jq — 0 (7)

Доказательство. Так как для системы уравнений (1), (5) оператор Xn+i представим в виде

Xn+i — u\Yi,

где

дд Yi— диг- ^ ди? + — 1

то вместо х-характеристической алгебры A можно рассматривать алгебру B, порожденную образующими Yi, i — 1, 2,... ,n.

Если система уравнений (1), (5) обладает полным набором х-интегралов первого порядка, то согласно теореме 1 dim B — n, что в свою очередь эквивалентно равенствам

[Yi,Yj ]—0, i,j — 1, 2,... ,n. (8)

Последнее выполняется тогда и только тогда, когда (см., например, [2], [9])

[D, [Yi,Yj ]]—0, i,j — 1, 2,...,n. (9)

Так как D и D коммутируют и в данном случае D — и\У:, то

[D, D] — [D, ulYi] — upDYp - Г^.ukи1 Yp - upYpD — 0.

Отсюда следует, что

[D, Yi] — T^uk Yp, i,k — 1, 2,... ,n. (10)

Отметим, что оператор D имеет вид

„• д : д_ 4

Далее, используя тождество Якоби и формулу (10), находим

D — Ul дй + U диГ + ....

[D, [Yi, Yj]] — -[Yj, [D, Yi]] + [Yi, [D, Yj]] —

— -Yj (^uk )Yp - ^i^Y ,Yp] + Yi (ГРз uk )Yp + Г% uk [YuYp] —

— uk) - Yj (Г^)) Yp + rkj uk [Yi,Yp] - T^k [Yj ,Yp] —

— К — -грЛ^Р) пuk -(A -Г*uk^p) nuk] Yp+

ди ki 1 ди\) kj 1 \ди kj 1 ди\) ki p +Tkjuk[Yi,Yp] - rkiuk[Yj,Yp] —

^ uk Yp + Tkj uk [Yi, Yp] - rluk [Yj ,Yp].

д гр д гр i rq гр rq гр \ „м диi 1 kj - диj 1 ki + 1 kj1 qi - 1 ki1 qj I u1* P т 1 kj™ 1 L-1 a AP\~ 1 kiu' 1 L-1 j ^pj

То есть

[D, [Yi,Yj ]] — Rlj uk Yp +rkj uk [Yi,Yp] - Г^ [Yj ,Yp], i,j — 1,2,...,n, (11)

где

ДР = I д ГР _ д ГР + Г 9 ГР — Г 9 ГР

кУ V дМ* к? дМ Ы + к? 9® к»

— сопряженный тензор Римана. Равенства (8) согласно (9), (11) эквивалентны уравнениям

= о-

Аналогично, рассматривая у-характеристическую алгебру, можно показать справедливость соотношений (7), что означает равенство нулю тензора Римана (Дку =0). С Отметим, что х-интегралы системы (1), (5) задаются формулами мх) = , г =

1, 2,..., п, где функции А,(м) — решение системы уравнений

д

_ ПкА(м)=0-

Условие совместности последней системы уравнений записывается так: = 0.

2. Двухкомпонентные системы уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним — второго

В работе [7] показано, что любая невырожденная система уравнений (1) при п = 2 с интегралами

^1(и,М1), ^2(и,М1,М2), Й 1(м,м1), С^2(м,м1) (12)

точечной заменой приводится к одному из следующих видов:

= _Г ку (м)мкм1

= _Ггк7-(м)мкм!, г = 1, 2 (13)

или

= м1м2, = Г(м1,м1,м?)м1. (14)

Здесь рассматривается задача классификации систем уравнений (13) и (14) с интегралами (12).

Лемма 1. Невырожденных систем уравнений (13) с интегралами (12) не существует. Доказательство. Система уравнений (13) точечным преобразованием сводится к виду

= _ГУ(м)м1мi, = _Гку(м)мк- (15)

Так как система (15) обладает двумя у_интегралами первого порядка, то согласно теореме 2 (см. (7)) имеем

Д1 = д Г1 д Г1 = 0 Д112 = дМ!1 21 _ дйТ 11 =0,

откуда находим

Г11 = д^ /(М), Г11 = дМ? /(М)-

При этом /и2 = 0, иначе система уравнений (13) вырожденная. С учетом последних соотношений система (15) запишется следующим образом:

мХу = _м1^(/^ = _Гку(м)мк - 176 -

Последняя система точечной заменой V1 = м1, V2 = _/(м) сводится к виду

= г^2, = АК^И + ^ (16)

Если система уравнений (16) имеет х-интегралы первого и второго порядка, то размерность х-характеристической алгебры равна 5. Обозначим

д д д д д

Х = ^,Х3] = д^Г + "2 ^ + V + ..., Х = [ВД = ^ + + ...,

где операторы X», г =1, 2, 3 определены по формулам (3).

Если ^ = 0, то от набора переменных V1, V2, «];, V2, V1, «2,... перейдем к переменным V1, V2, V1, й1, о2, .... Тогда операторы Х1 и Х2 в новых переменных примут вид

д 2 д_

3

1 д-у1 + 1 д^1, 2 д-у2,

а значит, размерность х-характеристической алгебры системы уравнений (16) равна 4, что невозможно в силу теоремы 1.

Если й12 = 0, то из соотношения

До1 = ^ + + о1, «Х = 0

находим, что = = = 0.

Следовательно, система уравнений (13) не может обладать набором интегралов (12). □

Лемма 2. Система уравнений (14) обладает интегралами вида (12) тогда и только тогда, когда функция Г является решением следующего уравнения:

дг 2 дг дг -| Р (м1) ^ 2 ,

+ м1 + + ■+ Р (м1 )м1 =0. (17)

При этом

о1 = м1, о2 = м2 _ м2— _ + 1Р(м1)е2и(о1)2, (18)

2 2

~ + 2

12

а у-интегралы о1 и о2 определяются из уравнений в частных производных первого порядка

( д 2 д д \ д

Доказательство. X-интеграл первого порядка находим из первого уравнения системы (14)

2

о1 = е-и м1, (20)

откуда следует, что

м1 = о1в"2, м2 = о1е"2 + о1в"2 ч\. (21)

Интеграл второго порядка имеет следующую структуру (см. [5]):

2/ \ /12 1 2\ 1 , и 1 2 1 2\ 2 , т/ 1 2 1 2\

О (м, м1,м2) = ^(м ,м ,И1)01 + ^(м ,м ,м1)м2 + "(м ,м , о ,И1).

Учитывая (21), имеем

Б(-2) = В(<)-Ц + В(ф)п22 + ф (г(^11ви2 + -1еи2и2) + и11В(г^ + Б(Н) = 0.

Приравнивая коэффициенты в последнем уравнении при старших производных, получаем систему

2

Б(<р) + фг еи =0, Б(ф)=0,

или

<ри1 и1 + <и2 и2 + ^и2 Г-1еи + фГеи =0, фи1 и1 + фи2 и2 + фи2 г—1еи =0.

Возможны два случая. Если функция г является линейной по переменным и1, и2, то система (14) сводится к виду

иХу = и1и'2, иХу = (а(и1)и'1 + в(и1)и2)и1. (22)

Последняя система уравнений, согласно лемме 1, не может обладать интегралами вида (12). Во втором случае справедливы соотношения

<и2^ - + ф =0, <и1 =0, <и2 =0, фи1 =0, фи2 =0, фи\ =0,

откуда

< = _^и1)и2 + Н(-1), ф = ф(^1). и!1

Следовательно, в качестве интеграла второго порядка можно взять интеграл вида

и2

2 = _ -- и1 + и2 + Н(и\и2,и\и2). (23)

Для интеграла (23) имеем

Т — и1

I-1и

или, в силу (21),

_ги1 -- + В(ги1) + П(Н) = 0,

2

е-

еи

Ги1 и1 + Г и1 и1и2 + Ги2 Ги{" + Ги2 +--— (Ни и1 + Ни2 и\ + Ни Ги^ = 0. (24)

1 1 и1 1

Дифференцируя последнее соотношение по переменной и21 , получаем

2

е-

-и

г +--Г (Ни1 и? и1 + Ни2и1 и1 + ^и2 Ги1) = 0.

/.I1 1 1 11

Если и1 + е и Ни2и2и1 = 0, то мы приходим к системе (22). В противном случае имеем

1 — и 2 1

Ни1и\ =0, Ни2и2 =0, - + е и Ни2и1 и1 =0, (25)

откуда из первых двух уравнений следует

Н(и1,и2,и1,и1) = д(и!,и1) + Е(и1 ,и2,-1) - 178 -

Подстановка последней формулы в третье равенство системы (25) дает

е-"2

1 +--г Q"2"2 u1 =

¡M1 1 1

Учитывая первое соотношение (21), находим Quju2 = —1, следовательно,

(„2)2

Q(uW) = + p(^)u2 + q^1),

и

(u2)2

h(u1,u2,¡1 ,u2) = ñ(u1,u2,^1) — -Ц^- + p(^X)u2 + q(ujl). (26)

Из формул (24) и (26) получаем

(e-u2\2 e-u2

Г"1 + Г"1 u2 + Г"2 r + —— (R"1 u1 + R"2 u2) +--— rp(w1)=°, (27)

11 y ¡M1 I ¡M1

откуда следует, что при p(¡1) = 0 система уравнений (14) сводится к системе (22). Таким

образом, p(¡1) = 0. Далее, поочередно дифференцируя соотношение (27) по переменным

12

¡m1 и u2, приходим к системе уравнений

—2R"1 + ¡1R"1 Ш1 = °, —2R"2 + ¡1R"2^1 = 0, —2R"1 + R"1"2 = °, —2R"2 + R"2"2 = °.

Решение полученной системы определяется по формуле

Ш 1 2 Ь P(u1) 2u2/ Ь2 , c<f 1\ /г)о\

R(u ,u ) = —2— е (¡ ) + S(¡ ). (28)

Воспользовавшись формулами (27) и (28), видим, что фунция Г удовлетворяет уравнению (17). Интеграл второго порядка (18) получается из формул (23), (26) и (28).

И, наконец, из равенства D¡(u,u1) = ° получаем уравнения (19). □

3. Двухкомпонентные системы уравнений с двумя интегралами первого порядка и двумя — второго

В этом параграфе будут приведены условия, при которых система уравнений (1) при n = 2 обладает интегралами

¡1(u, u1), ¡2(u, u1,u2), ¡1(u, u1), ¡2(u,u1,u2). (29)

Верно утверждение:

Лемма 3. Система уравнений (1) при n = 2 с полным набором интегралов (29) приводится к одной из следующих:

u%xy = Ai(u, u1)Ai(u, u1) + Ф^(u)uku1, i = 1, 2, (30)

\uly = B1(u,u1)B1(u,u1 ) + (u)uí u1

uXy = uk ak (u)B2(u,u1) + uk вк (u)B2(u,u1) + Ф2kj (u)uk u\, uXy = uk2yI(u)C1 (u, u1) + uk2S'1(u)C1(u, u1) + T^kj(u)u22uJ1 uXy = ukYk(u)C2(u, u1) + uk¿2(u)C2(u, u1) + Tkj(u)uku-[.

Доказательство. Если ю„2 = 0, то от набора переменных м1, м2, м1, ... перей-

12 112 1 ! дем к переменным м1, м2, м1, о1, о2, о1,... и интеграл второго порядка запишем в виде (см.

[5])

О2(м, м1, м2) = «(м1, м2, м1, О1)м2 + в(м1, м2, м1, О1)^1 + 7(м1, м2, м1, о1), «(м1, м2, м1, о1) =0.

Имеем ))о2 = 1)(а)м2 + а)(Е1) + — (в)^ + -0(7) = 0. Выписывая слагаемые при старших производных в последнем равенстве, получаем ))(a)"1 + а(Е„1м1 + Е^ о1) + ))в^1 = 0, или ))(а) + аЕ1^ = 0, ))(в) + аЕ^ = 0. Последнюю систему перепишем следующим образом:

а„1 м1 + а„2 м1 + а„ Е1 + аЕ„ = 0, в„1 '"1 + в„2 й1 + в„1 Е1 + = 0.

Рассмотрим первое уравнение системы (33):

(аЕ 1)„1 + а„1 м1 + а„2 м2 = 0. Полагая а = "„1, "„1 =0, " = "(м1, м2, о1), приходим к уравнению

"„1Е1 + Н„1 м1 + Н„2м1 = С(м, м1, о1),

(33)

откуда следует

Е1 = -—(С(м, м^о1) _ "„1 м1 _ "„2м2). "„1

Подставляя функцию Е1 во второе уравнение системы (33), получаем

СШ1 + Сп(м1, м2, ю1) + м1 ^("1,"2,"1,w1) + м^^1, м2, м1, о1) =0,

(34)

где

1 „,2 „Д , ,1\ _ ^„1 „1ш

п(м , м , м1, о )

в„1 _ "„1^1

"„

^(м , м , И1, О ) = в„1 _ "„1Ш1 _

"и1 (в„1 + "„Х )

/ 1 2 1 ь , "„2 (в„1 + "„1"1)

б(м ,м ,м1,ю ) = в„2 _ "„2Ш1----.

"„1

Дифференцируя соотношение (34) по переменной м1, приходим к уравнению

Если п„1 = 0, то

и, следовательно,

где

Сп„1 + м1М„1 + м2е„1 =

2

С = _

1 М„1 2 ^„1 ¡1—1 _ м2—1 П„1 П„1

Е1 = м^^, т) + м^^, м1),

"„2

М„1 "„1 е„1 Р =---ТТ~, ^ =---и

П„1 "„1 П„1 "„1

При п„1 = 0 имеем = =0 и

СШ1 + Сп(м1, м2, о1) + м1^(м1, м2, о1) + м1б(м1, м2, о1) = 0

(35)

"

„

Решение последнего уравнения имеет вид

О = Н(и1, и2, ш1)Н(и1, и2, м}, и1) + м}г(м1, и2, ш1) + М^и1, и2, ш1).

Полагая

Н . ГУ -Г г — Ни1 -= А, Н = А, -—

р,

«— К2

Н„1

<1,

находим

¥1 = А(и, и1)А(и, и1) + и1р(и, и1) + и2<(и, м1). (36)

При этом формула (35) — частный случай (36).

Если ш12 = 0, то, воспользовавшись соотношением Вш1 = 0, легко показать, что ¥1 и1 ' ' ' ' имеет вид (35). По другой характиристике аналогичным способом получаем

¥1 = К (и, щ)К (и, М1) + и'1р(и, и1) + и2<(и, и1).

(37)

Если А, и1, и2 линейно независимы, то существует набор функций Аг(и) и постоянных Ъг, сг, г = 1, 2, 3 таких, что

А1(и) Ъ1 с1

В = А2(и) Ъ2 с2 =0

Аз(и) Ъз сз

ААДи) + рЪг + двг = KQi(u) + тг(и)и1 + Тг(и)и21, г = 1, 2, 3.

Откуда находим

А

KQl + т 1и1 + пи2 Ъ1 в1 KQ2 + Т2м1 + Т2М1 Ъ2 С2 KQз + тзи1 + Т3М1 Ъз сз

В

и функция А представима в виде

А = íp(u)K(и, М1) + ^(и)и1 + х(м)м2.

(38)

Если у>(м) = 0 и K, и1, и2 линейно зависимы, то равенства (36), (37) можно записать следующим образом:

¥1 = (^(и)и1 + х(и)и\)А(и, М\) + М1р(и, М1) + М21(и, М1), ¥1 = и'1р(и, М1) + ^¿¡(и, М1), откуда вид функции ¥1 таков:

¥1 = аг(м)м1А(м, и1) +Г1 и1и1.

(39)

В случае, если у>(и) =0 и K, и1, и1 линейно независимы, получаем, что K, и1, и2 линейно зависимы и уравнения (36), (37) принимают вид

¥1 = (ф(и)и1 + х(и)и2)А(и, М1) + М1р(и, М1) + и2<(и, М1), ¥1 = (^¿)(и)и1 + Х(и)М2)K(и, М1) + м1р(и, М1) + м2</(м, М1),

поэтому

¥1 = и!{ 71(и)С1(и,М1) + ик^1(и)С1(и,М1) + ЕЬ (и)и'к М,

(40)

и

и формула (39) является частным случаем (40). Если у>(м) = 0, то равенство (38) запишем следующим образом:

К(м, м1) = п(м)А(м, м1) + к(м)м1 + Л^)^. (41)

Переобозначив пА ^ А, к + р ^ р, Л + ? ^ из формул (37), (41) получим

Е1 = АК + м1р5(м, м1) + "1(/(", м1).

Если А, м2 линейно независимы, то существует набор А», 1», г = 1, 2, 3 таких, что

)=

А1 (м) &1 ¿1 А2 (м) ^2 ¿2

Аз (м) &з 1з

=0

А»(м)К&» + = А»(м)А + м1р»(м) + м^^), г = 1, 2, 3.

Следовательно,

К(м, м1) = пК^А^, м1) + к(")"l + Л(м)м1.

С учетом полученного равенства и формулы (41) уравнение (37) примет вид

Е1 = ^(м)А2(м, м1)А2(м, Й1) + "1p5l(", м1) + м^^, м1). Из уравнений (36), (42) получаем, что функция Е1 имеет структуру:

Е1 = А1(м, "1)A1(","1) + фУ (м)^м1.

(42)

(43)

Аналогично рассматриваются случаи, когда системы функций А, м11 , м12 и А, м11, м21 линейно зависимы.

Таким образом, для системы (1) при п = 2 с интегралами (29) функция Е1 задается формулой либо (40), либо (43).

Аналогично, как и выше, получаем, что функция Е2 имеет ту же структуру, что и Е1 :

Е2 = йк72(")C2(", м1) + "k¿2(")C'2(", м1) + Я/у(")"k"i

либо

Е2 = В1(м, м^В^м, м1) + Фку (м)^м 1.

Из последних соотношений, а также равенств (40), (43) следует доказательство леммы 3. □ Далее, на интегралы первого порядка мы накладываем условия

"й)) Ч ^ ^й)) =0,

1

2

1

2

(44)

О^)) Л дмН =0,

которые означают, что интегралы о1 и о1 точечной заменой м1 = <^>(р, д), м2 = ^(р, д) не приводятся к виду о1 = ^(р, д,Р1), о1 = ^(р, д,р?1).

и

При выполнении условий (44) с использованием уравнений Вш1 = 0, Вш1 = 0 можно уточнить вид правых частей систем (30)-(32). А именно: системы (30), (31) сводятся к виду

иХу =А(и, и1)А(и, М1) + Фку (и)и,ки°1

■2 =^(и)А(и, М1)А(и, М1) + Мкук(и)А(и, М1) + икфк (и)А(и, М1)+ (45)

+ Ф ку (и)ики{,

u

а система (32)

u

u

ху-ulxi(u)B(u, ui) + ulel(u)B(u, Щ) + Ф ^(u)uf u{

.2

xy

=A(u)B (u, ui)B(u,ui) + uk xl (u)B(u, ui) + ul el (u)B (u, ui)+ (46)

+ f lj (u)uk ui. Справедливо утверждение:

Лемма 4. Системы уравнений (45), (46) с полным набором интегралов (29), удовлетворяющих условию (44), точечными заменами сводятся к уравнениям

uXy = -rlj (u)ukui, i = 1, 2. (47)

Для системы (47) ж-характеристическая алгебра Ли порождается операторами

X-j = ——г, Хз = upYk,

j duy 3 i p'

где

д д

Y = —__гр v,k— + i = 12

Y = du-i ikjui dup + ...' i = 1j 2.

Согласно теореме 1, если система уравнений (47) обладает ж-интегралами вида (29), то dim A = 5, что в свою очередь эквиваленто тому, что векторные поля Yi,Y2 и Y3 (Y3 = [Yi,Y2]) линейно независимые и

[Yi,Y3 ]= Ai(u,ui,ui)Y3. (48)

Равенство (48) можно переписать в виде

[В, [Y, Y3]] = A-[В, Y3] + D(A-)Y3. (49)

Используя уравнение [В, В] = 0, находим

[B,Yi]=rkiukYp, i = 1, 2,

[В, Y3] = Rpki2uk Yp + (rki + r2k2)uk Y3.

(50)

Теперь, учитывая соотношения (48) и (50), получаем, что равенство (49) эквивалентно системе

д - - - -дМЦ ^Рк12 + -^12^ — Щ12ГЫ = Аг(и)^к12,

г) Я

J -1 г2 ч _ г? iГ1 _1_ г2 ^ — __ Л. („л _ -г?

flki2 + dui(rki + rk2) - rki(r1i + Г22) = ^Ai(u) - rk 1 A?(u)

дд — Дк12 + дМ2 (Гк1 + Г2к2) — Гкк2(Г11 + Г^2) = А2(и) — Г^Ад(и).

Последние соотношения являются необходимыми условиями для существования х-интегралов (29) у системы уравнений (47). Аналогично получаются условия существования у-интегралов.

Работа поддержана грантами РФФИ № 08-01-00440-а, № 09-01-92431-КЭ-а.

Список литературы

[1] А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов, Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана, Уфа, Препринт БФ АН СССР, 1981, 20 с.

[2] А.В. Жибер, Ф.Х. Мукминов, Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры, Задачи математической физики и ассимптотика их решений, Уфа, БНЦ УрО АН СССР, 1991, 14-32.

[3] I.T. Habibullin, Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations, Symmetry IUntegrabillity Geom, Methods Appl., 1(2005), papers 023, 9 pp.

[4] И.Т. Хабибуллин, А. Пекан, Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей, Теоретическая и математическая физика, 151(2007), №3, 413-423.

[5] А.М.Гурьева, А.В. Жибер, О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений, Вестник УГАТУ, 6(2005), № 2 (13), 26-33.

[6] А.Н. Лезнов, В.Г. Смирнов, А.Б. Шабат, Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем, Теоретическая и математическая физика, 51(1982), № 1, 10-21.

[7] А.В. Жибер, О.С. Костригина, Точно интегрируемые модели волновых процессов, Вестник УГАТУ, 9(2007), № 7 (25), 83-89.

[8] А.В. Жибер, О.С. Костригина, Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли, Труды ИМ УНЦ РАН, (2007), вып. 5, 195-201.

[9] О.С. Костригина, Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли, Уфимский математический журнал, 1(2009), № 3, 57-64.

Characteristic Algebras of Nonlinear Hyperbolic Systems of Equations

Anatoly V. Zhiber Olga S.Kostrigina

We describe all n-component systems of nonlinear hyperbolic equations with a complete set of integrals of the first order and two-component systems of equations with three integrals of the first order and one integral of the second order. Necessary conditions for the existence of two integrals of the first order and, two integral of second order for two-component systems of equations are obtained,.

Keywords: characteristic algebra, integral, vector field, Riemann tensor.