УДК 517.9
А. В. ЖИБЕР, Р. Д. МУРТАЗИНА
О НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ МЕДЛЕННОГО РОСТА
Предложен новый подход классификации интегрируемых нелинейных уравнений, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона построен базис характеристической алгебры. Нелинейное гиперболическое уравнение; характеристическая алгебра; характеристическое уравнение; интеграл;базис
ВВЕДЕНИЕ
Рассматриваются нелинейные уравнения вида
*ху
(1)
В работе [1] показано, что нелинейное уравнение (1) при / = /(«), обладающее высшими симметриями, сводится к одному из следующих:
= а
= а
-2 и
(2) (3)
(4)
Уравнение (2) было впервые проинтегрировано Лиувиллем еще более ста лет тому назад, а уравнения (3) и (4) в конце 70-х годов методом обратной задачи теории рассеяния.
Известно, что симметрийный подход (см.
[2,3]) для классификации скалярных интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений в общей ситуации наталкивается на серьезные трудности и не приводит к успеху. С другой стороны, условием полной интегрируемости в квадратурах уравнений (1) является конечномерность алгебры Ли, связанной с так называемым характеристическим уравнением (характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обратной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры (см. [4]).
Понятие характеристической алгебры для экспоненциальных гиперболических систем уравнений введено в работе [5].
В настоящей работе для решения классификационной задачи используется подход, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры.
Рассмотрим набор независимых переменных
II. II | . II | . и-2- и2 •
где
Щ = II,,.. и 1 = и у. V,2 = Щ = II,,
Определим ж-характеристическую алгебру Ли А уравнений (1). Для этого введем понятие симметрии.
Определение. Функция
/•' = /•'((/. (/| . (/| . 11-2. и-2-,!(„.Й„)
называется симметрией уравнения (1), если она удовлетворяет определяющему уравнению
ББР = ^-БР + ^Р. ии\ ои
Здесь О (О) - оператор полного дифференцирования по переменной х{у) в силу уравнения (1).
Например,
00 Я 00 я
«*>
к=О
к=1
дик
Известно (см. [2]), что любая симметрия Р уравнения (1) представима в виде
ір(и,иі, 112
5 ... 5
где (р и Тр, в свою очередь, есть симметрии уравнения (1).
Обозначим через ^ множество локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных и, иг, и,2,- ■ ■ , то есть
3 = {(р = (р (и, щ, и 2 ■... , II,,)- п =1,2,...).
Оператор О на этом классе функций действует по правилу (см. (5))
Я я
к=1
Далее через Х\ и Х2 обозначим следующие векторные поля
00 Я Я
к=1
8и
Отметим, что
Р) — щХ2..1.-V |.
(7)
Х-характеристическая алгебра Ли уравнения (1) есть алгебра А, порожденная элементами и.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00190-а, 05-01-00775-а).
Пусть - линейное пространство коммутаторов длины п — 1, п = 2, 3,__Например, 1/2 - ли-
нейная оболочка векторных полей Хь Х2, а Ь3 порождается элементом [Хь Х2] и т.д. Тогда характеристическую алгебру Ли представим в виде
•«-U£-
г=2
Аналогично вводится у-характеристическая алгебра Ли А уравнения (1)
ОО
г=2
В работе показано, что ограничение на порядок роста размерности пространств Ьп и Ьт, а именно не более чем на единицу, по крайней мере на первых шагах, полностью определяет правую часть уравнения (1). При этом полученный список уравнений совпадает с известным списком интегрируемых уравнений.
1. УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА
В этом параграфе рассматриваются уравнения
Щ-У = 1(и). (1.1)
Оператор полного дифференцирования на множестве функций ^ определяется так:
а
i=0
Справедливо следующее утверждение:
Лемма 1.1. Пусть векторное поле Z имеет вид
д д д
Z — а 1 —---Ь «2 ------Ь «з ~---h • • • ,
UUi UU2 uU%
at = <1,(4. ui, и 2, ...), i = 1, 2,3,...
Тогда[0 ,Z] = 0, если и только если Z = 0. Доказательство. Имеем
[D,Z\ =
д д д
= (D(ai)—-----Ь D(a-2)—-------Ь 23(аз) —--1-...) —
UU I OU-2 Оип,
. д д д
(«1 77----Ь 0.2 ------h «3 "7;--
OU U U | OU2
= 0.
Таким образом, получаем, что
01 = 0, 23 (оц ) — 02 = 0, 23 (о2 ) — «3 =0, ... и, следовательно, для .
Лемма доказана.
Далее, так как 23 и 23 коммутируют и [В.~0\ = /Х2 +й1[Л,Х2] + [23, X,],
[П,Х1] = -/Х2, [23, Х2] = 0. (1.2)
Пусть . Используя тождество
Якоби и (1.2) получаем
то
[23, Х3] = —/иХ2.
(1.3)
Положим
i'n — Li, Tt — 3,4,
i=2
Следует отметить, что операторы Хь Х2 - линейно независимы при .
Лемма 1.2. Размерность линейного пространства £3 равна двум тогда и только тогда, когда
Х3 - cXi = 0.
При этом правая часть уравнения (1.1) принимает вид
/(«) = ™Г1\
где а, с- постоянные, а ф 0.
Доказательство. Пусть dim£3 = 2. Тогда, так как
Y - f 3 9
Аз — fu~\---1- JWU1 ^----1- • • • ,
и U UU\
то Х3 = c(«)Xi, согласно лемме 1 и формулам
(1.2) и (1.3) имеем
[23, Х3 - сХг] = —/иХ2 - 23(с:)Х1 + c.f Х2 = 0,
Последнее соотношение эквивалентно следующей системе уравнений
fu-C.f = 0, 23(с:) = 0.
Следовательно — const и / = аеси.
Лемма доказана.
Таким образом, нелинейное уравнение (1.1) с двумерной характеристической алгеброй Ли А сводится к уравнению Лиувилля (2).
Пусть Х4 = [Х2,Х3],Х5 = [Xi,X3]. Используя тождество Якоби и (1.2), (1.3) получаем
[23,Х4] = —/ииХ2, [23,Х5] = /иХ3-/Х4. (1.4)
Далее будем предполагать, что размерность линейного пространства равна трем и покажем, что случай, когда , не реализуется.
Действительно, если dim £4 = 3, то
А [ = с| А | + с-> А з и А5 = с| А | + с->А 3. (1.5)
где сц = сц (и. их. и-2_). с* = с*(и. их. щ_)• i =
= 1,2.
Первое соотношение (1.5), согласно утверждению леммы 1 и формулам (1.2)—(1.4) эквивалентно соотношениям
D(ci) = 0. c±f - fuu + c2fu = 0, D(c2) = 0.
Поэтому — постоянные и
fuu - C-lfu - Clf = 0. (1.6)
Второе соотношение (1.5) эквивалентно следующей системе уравнений
D(ci) + cif = 0, ci/ + c2fu = 0,
D(c2) + c,2f - fu = 0.
Из последнего уравнения следует, что Ъ2 -const, т. е. . Тогда, как показано выше,
.
Пусть теперь . Тогда, используя
Лемму 1.1 и формулы (1.2)—(1.4), получаем, что либо
Х4 = (:±Xi + С2Х3 + С3Х.5 и, следовательно,
D{CX ) - С1С3/ = 0, f uu- Cxf - c2 f и = 0,
D (c2) + c-3 f .u - c2 c3 f = 0, (1.7)
либо
X5 = C1X1 + C2X3 + C3X4
и тогда
_D(ci) = 0, Cl/ + c2fu + c3fuu = 0, D(c2)^fu = 0, D(c.3) + f = 0. (1.8)
Согласно первому и третьему уравнениям (1.7) d, c2 — const, c3 = 0 (иначе /„ = c2f, тогда сИт„£з = 2) и функция / удовлетворяет уравнению .
Если выполнено (1.8), то / = 0.
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.3. Размерностьпространства £4,по-рожденного операторами Хь Х2, Х3, Х4и Х5, равна 4 тогда и только тогда, когда функция / удовлетворяет уравнению вида
fuu -pfu -qf = о, (1.9)
где р, q — const и fu ф fЗf.При этом Х4 = рХ3 + .
Далее будем считать, что выполняется условие леммы 1.3. Введем операторы длины 4:
и
Используя тождество Якоби нетрудно показать, что Х7 = рХ5. Поэтому dim £5 5.
Замечание. Если Х7 = 0,то р = 0 и равенство (1.9) принимает вид
f uu - qf = 0.
Тогда уравнение (1.1) сводится к уравнению синус-Гордона (3).
С помощью формул (1.2)-(1.4), получаем, что
[В,Хе] = (А-2 РЛХ5. (1.10)
Легко проверить, что . Теперь вве-
дем операторы длины 5:
Х8 = [Х3, Х5], Хв = [XI, Х6], 1ю = [Х2, Х6].
Оператор Х8 = -рХе + Хю. Поэтому сИт £в < 7.
Далее нетрудно показать, используя (1.2)-
(1.4), (1.10), что
[Я,Хв] = -/Хю+(/и-2 р/)Хв,
[23,Хю] = (</^2р2)/Х5. (1.11)
Отметим, что случай не реализуется. При выполнении условия, что име-
ем
и
тогда уравнение (1.1) приводится к уравнению Цицейки (4).
2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА
В этом параграфе мы приведем краткое описание -характеристической алгебры Ли уравнения
иху = еи + еГи. (2.1)
Введем кратные коммутаторы следующего специального вида
^■11..Л„ = шкх ■ ■ ■ 1Х,, , = [Х^-, 1'].
Тогда линейное пространство есть линейная оболочка элементов где
= 1,... ,п.
Выделим элементы вида
1)7. = Х1...121, гп = Х21...121 -
Теорема. Для уравнения синус-Гордона (2.1) справедливы равенства
при
, к = 3,4,... .
при
(2.2)
При этом линейное пространство £2/. порождается векторным полем Хх 121, а Ь2/.+1 — полями Хь. и
Доказательство. Элементы Х\, Х2 и Х3 определены в §1. Здесь мы, для удобства, положим Х4 = [Х1,Х3]. Тогда пространство Ь5 — есть линейная оболочка элементов Используя тождество Якоби и соотношения
[23,Х1] = -(еи + е~и)Х2, [23, Х2] = 0,
[23,Х3] = -(«“ -й_“)Х2,
[Я,Х4] = -(«“ + «■“№ + (еи - е~и)Х3, (2.3) получаем, что
[Д,[Х2,Х4]] = 0.
Следовательно, согласно Леммы 1, и, поэтому порождается элементом
= Хц-21-
Обозначим Х5 = [Х1, Х4],тогда [£>, Х5] = (е“ —
-е-”)Х4.
Пространство Ьв — есть линейная оболочка элементов Исполь-
зуя тождество Якоби имеем
[Х3,Х4] = [Х2,Хб].
Поэтому порождается элементами
= Хш21, [Х2.Х.5] = Х21121 •
Далее пусть Х6 = [Х\, Х5], тогда
[Я,Х6] = -(*“ - «-“)Х5 + (ви + «-“)[Х2,Х5], [Л,Х21121] = (ри +й_“)Х4.
Линейная оболочка порождается элементами
[ХьХе], [Х2,Х6], [Х3,Хб],
[XI, Х21121], [Х2, Х21121].
Используя тождество Якоби, имеем
[Х3,Х5] = -[ХьХаиа!] + [Х2,Х6].
Нетрудно показать, что
[Д,[Х2,Х21121]] = (ри -«-“)Х4 = [Л,Х5],
следовательно, [Х2,Х2п21] = Х5. А также, так как
[ЯЛХьХит]] =
= -(еи + «-“)[Х2,Х21121] + (еи + «-“)Х5,
[13, [Х2,Х6]] = -(й“+й_“)[Х2,Х21121]+(й“+й-“)Х5,
то и .
Значит порождается элементом .
Пусть Х*+1 = [Х1,Х*], тогда [Л,Х*+1] = (еи-е-“)Х4-(еи+е-“)[Х2,Х4], (2.4) [23,[Х2,[Х2,Х]]] =
(ри-р-и)Х^г + (в“ Н- в-и)[Х2,Х4_!], (2.5)
№Дн+з] = 0, .7 = 3,4,..., (2.6)
[Х,-,Х21...121] = 0, .7 = 3,4,.... (2.7)
Так как
[23, [А2, =
= -(«“ + Й-“)[Х2, [Х2,Х*]] + (Ри + й-“)Хг,
и
[23,[ХЬ[Х2,Х]]] = = -(е“ + е-“)[Х2, [Х2,Х*]] + (Ри + ,■ ")Л\. (2.8)
то
[Х2,Х*+1] = [ХЬ[Х2,Х]]. (2.9)
Предположим, что порождается элемен-
том [Х1, Х2*_2]. Заметим, что
[Х2,х2*_2] = 0.
Тогда линейная оболочка порождается элементами
[Хь Х2*_1], [Х2,Х2*_1],
[Х3,Х2*_2],... , [X,-, Х21...121].
Согласно формулам (2.6) и (2.7) видно, что все эти элементы, кроме первых двух, равны нулю. Значит порождается элементами
и
[Л,[Х2,Х2,_!]] =
= -(й“+«-“)[Х2,[Х2,Х2*_2]] + (й“ + й-“)Х2*_2 = = (Ри + Р и)Х2к-2-
Теперь пусть имеем , порожденное элементами [Х1,Х2£-1], [Х2, Х2^_1], тогда Ь2и+1 — есть линейная оболочка элементов
[ХЬХ2*], [Х2,Х2*], [Х.ЛХа.Ха*-!]],
[Х2, [Х2, Х2*_1]], [Х3, Х2*_1],... , [Х^-,Х21...1-21].
Из соотношений (2.6) и (2.7) следует, что
[Хз,Х2,_!] = [Х4,Х2,_2] = ... = [Х,-,Х21...121] = 0,
а из (2.4), (2.5) имеем
[23, [Х2,[Х2,Х2,_,]]] =
= (ри — р “)Х2д._2 + (Ри + р и)[Х2,Х2д._2] =
= [23, Х^],
то есть
Соотношения (2.8) и (2.9) принимают вид
[Х2,Х2*] = [Х1,[Х2,Х2*_1]] =
= -(«“ + р-и)Х2к-1 + (Ри + р-и)Х2к-1 = 0.
Следовательно порождается элементом
Таким образом, из принципа математической индукции вытекает справедливость равенств (2.2).
Теорема доказана.
Таким образом, базис -характеристической алгебры Ли состоит из элементов
хьх2,х 21 Лз Д41 ^5, ^5 Л 6 . . .
... 1 ^ '1а ■ ^ 2 /;.1 , ^2 п+1, . . . .
Отметим, что в работе [6] уравнение синус-Гордона представлено как квадратичная система и в ней предложен другой базис характеристической алгебры.
3. УРАВНЕНИЯ иху = /(и, их)
-характеристическая алгебра Ли уравнения (1) порождается векторными полями
00 Я я
1=1
а ^/-характеристическая алгебра Ли А полями
дОО г) rs
^1— Wi—----h ) D И І2 — о--
C/W т“І UUi UUi
i=1
дщ
Напомним, что
QO OO n
,4=[jLb l=[jLb £n = \J Li
i= 2 г=2 г=2
n
£n = [_J ^ = 3.4.... .
j=2
где Ln(Ln) — линейная оболочка векторных полей
(^ 21 2-2 ..Лп ) (см. разд. 2).
Классификация уравнений (1) основана на предложении.
Лемма 3.1. Пусть
00 д
X = О!; . «г = «г (и. . и\, и2..... II п. ),
i=l
1" = У" а* = (I ,(ll. II \ . ІІ\ . ІІ2..ип !
' сш-
г=1
і= 1,2,... ,
то [-D,X] = 0 и [Х>,У] = 0 тогда и только тогда, когда
Исследование размерности линейных пространств £п, п = 3,4 приводит к следующему результату:
• dim £3 = 2, если только уравнение (1) имеет вид
UjA(u): (3.1)
• dim £3 = 3, если
U’
иХу = А(их), А'--------= А, А - const; (3.2)
либо
либо
U.,У = <-"А(п.г). .1.1' - их = 0; (3.3)
иху = s(u)ux + В, В — const ф 0; (3.4)
dim £4 = 4, если
иху = н(и)их + В (и); (3.5)
либо
иху = н(и)А(и3
либо
U\
А' - а— = А, А — const;
А
(3.6)
".г,, = <-"А(пх).
где функция удовлетворяет следующей системе уравнений
с^А + 2с\А' = Auif-f Л2, сі(1 — АЛ)(иіЛ' — Л) + А" = 0;
(З.Т)
либо
иху = <-".1
где функция удовлетворяет следующей системе уравнений
А" + с;»А(. 1 - щА') = 0, с:3(Л' — А. 1) + с'?1А = 0;
(3.8)
либо
II.г и .1 (>.,-)• (3.9)
Уравнения вида можно запи-
сать так:
vy с". их = (p(v).
Последнее сводится к уравнению
vxy = vxip(v). (3.10)
Задача об интегрировании уравнений (3.2),
(3.3) и (3.7)-(3.9) сводится к интегрированию обыкновенного уравнения, поэтому далее мы их рассматривать не будем.
Интерес представляет уравнение (3.6).
Линейное пространство i’4 порождается полями
У, У2, 1з = [і:2ЛІ],
и
Для уравнения (3.6), как отмечено выше, dim £4 = 4, а именно
У4 =
а
АЦт)
(У - иіУі).
(3.11)
Далее рассмотрим пространства £5, £е, порожденные операторами
и
соответственно.
Для уравнения (3.6) имеем
л- аиіл- л- аиг
16 —----> 5 і >10 — + *81
поэтому dim i’5 = 5, dim i’6 ^ 7. При dim і’6 = 6 получаем, что
и
При уравнение (3.6) растяжением независимых переменных функции приводится к
виду
иХу = 3 иА(их). (их — -4) (,4 + 2ихУ = 1,
которое связано с уравнением диф-
ференциальной подстановкой (см. [7])
V = 111(>.,
-4).
Если dim £{ = dim і’, = і, і = 4.5, то
= н{и)А{их
. І их
С-1,S' — С-2.Ч1 = 0.
Cl, С2, А — const.
(3.12)
При А = 0 для функции s = sin и уравнение (3.12) связано с уравнением vxy = sin v дифференциальной подстановкой v = arcsin их + и, а при s = и — подстановкой .
Отметим, что полученный список интегрируемых уравнений совпадает с известным списком.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жибер, А. В. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой / А. В. Жибер, А. Б. Шабат // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 5, С. 1103-1107.
2. Жибер, А. В. Системы уравнений их =
= р(и, v)y vv = q(u, v), обладающие симметриями / А. В. Жибер, А. Б. Шабат // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, № 1. С. 29-33.
3. Жибер, А. В. Квазилинейные гиперболические
уранвения с бесконечной алгеброй симметрий / А. В. Жибер // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 4. С. 33-54.
4. Лезнов, А. Н. Группа внутренних симметрий
и условия интегрируемости двумерных динамических систем / А. Н. Лезнов, В. Г. Смирнов, А. Б. Шабат // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51, № 1. С. 10-21.
5. Шабат, А. Б. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана / А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Предпринт. Уфа : Башкирск. филиал АН СССР, 1981. № 1.20 с.
6. Жибер, А. В. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры. Задачи математической физики и асимптотика их решений /
A. В. Жибер, Ф. Х. Мукминов // Сборник науч. тр. БНЦ УРО АН СССР. Уфа, 1991. С. 14-33.
7. Жибер, А. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа / А. В. Жибер,
B. В. Соколов //УМН. 2001. Т. 56(1). С. 63-106.
ОБ АВТОРАХ
Жибер Анатолий Васильевич,
проф., вед. науч. сотр. ИМ УНЦ РАН. Дипл. математик (Ново-сиб. гос. ун-т, 1969). Д-р физ.-мат. наук по диф. уравнениям (защ. в ИМиМ УрОрАН, Екб., 1994). Иссл. в обл. совр. группового анализа диф. уравнений.
Муртазина Регина Димовна,
аспирантка каф. математики. Дипл. магистр математики (УГАТУ, 2004). Готовит дис. о точно интегрируемых нелинейных моделях и характеристических алгебрах под рук. проф. А. В. Жибера.