О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

А. В. ЖИБЕР, Р. Д. МУРТАЗИНА

О НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ МЕДЛЕННОГО РОСТА

Предложен новый подход классификации интегрируемых нелинейных уравнений, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона построен базис характеристической алгебры. Нелинейное гиперболическое уравнение; характеристическая алгебра; характеристическое уравнение; интеграл;базис

ВВЕДЕНИЕ

Рассматриваются нелинейные уравнения вида

*ху

(1)

В работе [1] показано, что нелинейное уравнение (1) при / = /(«), обладающее высшими симметриями, сводится к одному из следующих:

= а

= а

-2 и

(2) (3)

(4)

Уравнение (2) было впервые проинтегрировано Лиувиллем еще более ста лет тому назад, а уравнения (3) и (4) в конце 70-х годов методом обратной задачи теории рассеяния.

Известно, что симметрийный подход (см.

[2,3]) для классификации скалярных интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений в общей ситуации наталкивается на серьезные трудности и не приводит к успеху. С другой стороны, условием полной интегрируемости в квадратурах уравнений (1) является конечномерность алгебры Ли, связанной с так называемым характеристическим уравнением (характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обратной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры (см. [4]).

Понятие характеристической алгебры для экспоненциальных гиперболических систем уравнений введено в работе [5].

В настоящей работе для решения классификационной задачи используется подход, основанный на исследовании структуры характеристической алгебры.

Рассмотрим набор независимых переменных

II. II | . II | . и-2- и2 •

где

Щ = II,,.. и 1 = и у. V,2 = Щ = II,,

Определим ж-характеристическую алгебру Ли А уравнений (1). Для этого введем понятие симметрии.

Определение. Функция

/•' = /•'((/. (/| . (/| . 11-2. и-2-,!(„.Й„)

называется симметрией уравнения (1), если она удовлетворяет определяющему уравнению

ББР = ^-БР + ^Р. ии\ ои

Здесь О (О) - оператор полного дифференцирования по переменной х{у) в силу уравнения (1).

Например,

00 Я 00 я

«*>

к=О

к=1

дик

Известно (см. [2]), что любая симметрия Р уравнения (1) представима в виде

ір(и,иі, 112

5 ... 5

где (р и Тр, в свою очередь, есть симметрии уравнения (1).

Обозначим через ^ множество локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных и, иг, и,2,- ■ ■ , то есть

3 = {(р = (р (и, щ, и 2 ■... , II,,)- п =1,2,...).

Оператор О на этом классе функций действует по правилу (см. (5))

Я я

к=1

Далее через Х\ и Х2 обозначим следующие векторные поля

00 Я Я

к=1

8и

Отметим, что

Р) — щХ2..1.-V |.

(7)

Х-характеристическая алгебра Ли уравнения (1) есть алгебра А, порожденная элементами и.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00190-а, 05-01-00775-а).

Пусть - линейное пространство коммутаторов длины п — 1, п = 2, 3,__Например, 1/2 - ли-

нейная оболочка векторных полей Хь Х2, а Ь3 порождается элементом [Хь Х2] и т.д. Тогда характеристическую алгебру Ли представим в виде

•«-U£-

г=2

Аналогично вводится у-характеристическая алгебра Ли А уравнения (1)

ОО

г=2

В работе показано, что ограничение на порядок роста размерности пространств Ьп и Ьт, а именно не более чем на единицу, по крайней мере на первых шагах, полностью определяет правую часть уравнения (1). При этом полученный список уравнений совпадает с известным списком интегрируемых уравнений.

1. УРАВНЕНИЯ КЛЕЙНА-ГОРДОНА

В этом параграфе рассматриваются уравнения

Щ-У = 1(и). (1.1)

Оператор полного дифференцирования на множестве функций ^ определяется так:

а

i=0

Справедливо следующее утверждение:

Лемма 1.1. Пусть векторное поле Z имеет вид

д д д

Z — а 1 —---Ь «2 ------Ь «з ~---h • • • ,

UUi UU2 uU%

at = <1,(4. ui, и 2, ...), i = 1, 2,3,...

Тогда[0 ,Z] = 0, если и только если Z = 0. Доказательство. Имеем

[D,Z\ =

д д д

= (D(ai)—-----Ь D(a-2)—-------Ь 23(аз) —--1-...) —

UU I OU-2 Оип,

. д д д

(«1 77----Ь 0.2 ------h «3 "7;--

OU U U | OU2

= 0.

Таким образом, получаем, что

01 = 0, 23 (оц ) — 02 = 0, 23 (о2 ) — «3 =0, ... и, следовательно, для .

Лемма доказана.

Далее, так как 23 и 23 коммутируют и [В.~0\ = /Х2 +й1[Л,Х2] + [23, X,],

[П,Х1] = -/Х2, [23, Х2] = 0. (1.2)

Пусть . Используя тождество

Якоби и (1.2) получаем

то

[23, Х3] = —/иХ2.

(1.3)

Положим

i'n — Li, Tt — 3,4,

i=2

Следует отметить, что операторы Хь Х2 - линейно независимы при .

Лемма 1.2. Размерность линейного пространства £3 равна двум тогда и только тогда, когда

Х3 - cXi = 0.

При этом правая часть уравнения (1.1) принимает вид

/(«) = ™Г1\

где а, с- постоянные, а ф 0.

Доказательство. Пусть dim£3 = 2. Тогда, так как

Y - f 3 9

Аз — fu~\---1- JWU1 ^----1- • • • ,

и U UU\

то Х3 = c(«)Xi, согласно лемме 1 и формулам

(1.2) и (1.3) имеем

[23, Х3 - сХг] = —/иХ2 - 23(с:)Х1 + c.f Х2 = 0,

Последнее соотношение эквивалентно следующей системе уравнений

fu-C.f = 0, 23(с:) = 0.

Следовательно — const и / = аеси.

Лемма доказана.

Таким образом, нелинейное уравнение (1.1) с двумерной характеристической алгеброй Ли А сводится к уравнению Лиувилля (2).

Пусть Х4 = [Х2,Х3],Х5 = [Xi,X3]. Используя тождество Якоби и (1.2), (1.3) получаем

[23,Х4] = —/ииХ2, [23,Х5] = /иХ3-/Х4. (1.4)

Далее будем предполагать, что размерность линейного пространства равна трем и покажем, что случай, когда , не реализуется.

Действительно, если dim £4 = 3, то

А [ = с| А | + с-> А з и А5 = с| А | + с->А 3. (1.5)

где сц = сц (и. их. и-2_). с* = с*(и. их. щ_)• i =

= 1,2.

Первое соотношение (1.5), согласно утверждению леммы 1 и формулам (1.2)—(1.4) эквивалентно соотношениям

D(ci) = 0. c±f - fuu + c2fu = 0, D(c2) = 0.

Поэтому — постоянные и

fuu - C-lfu - Clf = 0. (1.6)

Второе соотношение (1.5) эквивалентно следующей системе уравнений

D(ci) + cif = 0, ci/ + c2fu = 0,

D(c2) + c,2f - fu = 0.

Из последнего уравнения следует, что Ъ2 -const, т. е. . Тогда, как показано выше,

.

Пусть теперь . Тогда, используя

Лемму 1.1 и формулы (1.2)—(1.4), получаем, что либо

Х4 = (:±Xi + С2Х3 + С3Х.5 и, следовательно,

D{CX ) - С1С3/ = 0, f uu- Cxf - c2 f и = 0,

D (c2) + c-3 f .u - c2 c3 f = 0, (1.7)

либо

X5 = C1X1 + C2X3 + C3X4

и тогда

_D(ci) = 0, Cl/ + c2fu + c3fuu = 0, D(c2)^fu = 0, D(c.3) + f = 0. (1.8)

Согласно первому и третьему уравнениям (1.7) d, c2 — const, c3 = 0 (иначе /„ = c2f, тогда сИт„£з = 2) и функция / удовлетворяет уравнению .

Если выполнено (1.8), то / = 0.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Лемма 1.3. Размерностьпространства £4,по-рожденного операторами Хь Х2, Х3, Х4и Х5, равна 4 тогда и только тогда, когда функция / удовлетворяет уравнению вида

fuu -pfu -qf = о, (1.9)

где р, q — const и fu ф fЗf.При этом Х4 = рХ3 + .

Далее будем считать, что выполняется условие леммы 1.3. Введем операторы длины 4:

и

Используя тождество Якоби нетрудно показать, что Х7 = рХ5. Поэтому dim £5 5.

Замечание. Если Х7 = 0,то р = 0 и равенство (1.9) принимает вид

f uu - qf = 0.

Тогда уравнение (1.1) сводится к уравнению синус-Гордона (3).

С помощью формул (1.2)-(1.4), получаем, что

[В,Хе] = (А-2 РЛХ5. (1.10)

Легко проверить, что . Теперь вве-

дем операторы длины 5:

Х8 = [Х3, Х5], Хв = [XI, Х6], 1ю = [Х2, Х6].

Оператор Х8 = -рХе + Хю. Поэтому сИт £в < 7.

Далее нетрудно показать, используя (1.2)-

(1.4), (1.10), что

[Я,Хв] = -/Хю+(/и-2 р/)Хв,

[23,Хю] = (</^2р2)/Х5. (1.11)

Отметим, что случай не реализуется. При выполнении условия, что име-

ем

и

тогда уравнение (1.1) приводится к уравнению Цицейки (4).

2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА

В этом параграфе мы приведем краткое описание -характеристической алгебры Ли уравнения

иху = еи + еГи. (2.1)

Введем кратные коммутаторы следующего специального вида

^■11..Л„ = шкх ■ ■ ■ 1Х,, , = [Х^-, 1'].

Тогда линейное пространство есть линейная оболочка элементов где

= 1,... ,п.

Выделим элементы вида

1)7. = Х1...121, гп = Х21...121 -

Теорема. Для уравнения синус-Гордона (2.1) справедливы равенства

при

, к = 3,4,... .

при

(2.2)

При этом линейное пространство £2/. порождается векторным полем Хх 121, а Ь2/.+1 — полями Хь. и

Доказательство. Элементы Х\, Х2 и Х3 определены в §1. Здесь мы, для удобства, положим Х4 = [Х1,Х3]. Тогда пространство Ь5 — есть линейная оболочка элементов Используя тождество Якоби и соотношения

[23,Х1] = -(еи + е~и)Х2, [23, Х2] = 0,

[23,Х3] = -(«“ -й_“)Х2,

[Я,Х4] = -(«“ + «■“№ + (еи - е~и)Х3, (2.3) получаем, что

[Д,[Х2,Х4]] = 0.

Следовательно, согласно Леммы 1, и, поэтому порождается элементом

= Хц-21-

Обозначим Х5 = [Х1, Х4],тогда [£>, Х5] = (е“ —

-е-”)Х4.

Пространство Ьв — есть линейная оболочка элементов Исполь-

зуя тождество Якоби имеем

[Х3,Х4] = [Х2,Хб].

Поэтому порождается элементами

= Хш21, [Х2.Х.5] = Х21121 •

Далее пусть Х6 = [Х\, Х5], тогда

[Я,Х6] = -(*“ - «-“)Х5 + (ви + «-“)[Х2,Х5], [Л,Х21121] = (ри +й_“)Х4.

Линейная оболочка порождается элементами

[ХьХе], [Х2,Х6], [Х3,Хб],

[XI, Х21121], [Х2, Х21121].

Используя тождество Якоби, имеем

[Х3,Х5] = -[ХьХаиа!] + [Х2,Х6].

Нетрудно показать, что

[Д,[Х2,Х21121]] = (ри -«-“)Х4 = [Л,Х5],

следовательно, [Х2,Х2п21] = Х5. А также, так как

[ЯЛХьХит]] =

= -(еи + «-“)[Х2,Х21121] + (еи + «-“)Х5,

[13, [Х2,Х6]] = -(й“+й_“)[Х2,Х21121]+(й“+й-“)Х5,

то и .

Значит порождается элементом .

Пусть Х*+1 = [Х1,Х*], тогда [Л,Х*+1] = (еи-е-“)Х4-(еи+е-“)[Х2,Х4], (2.4) [23,[Х2,[Х2,Х]]] =

(ри-р-и)Х^г + (в“ Н- в-и)[Х2,Х4_!], (2.5)

№Дн+з] = 0, .7 = 3,4,..., (2.6)

[Х,-,Х21...121] = 0, .7 = 3,4,.... (2.7)

Так как

[23, [А2, =

= -(«“ + Й-“)[Х2, [Х2,Х*]] + (Ри + й-“)Хг,

и

[23,[ХЬ[Х2,Х]]] = = -(е“ + е-“)[Х2, [Х2,Х*]] + (Ри + ,■ ")Л\. (2.8)

то

[Х2,Х*+1] = [ХЬ[Х2,Х]]. (2.9)

Предположим, что порождается элемен-

том [Х1, Х2*_2]. Заметим, что

[Х2,х2*_2] = 0.

Тогда линейная оболочка порождается элементами

[Хь Х2*_1], [Х2,Х2*_1],

[Х3,Х2*_2],... , [X,-, Х21...121].

Согласно формулам (2.6) и (2.7) видно, что все эти элементы, кроме первых двух, равны нулю. Значит порождается элементами

и

[Л,[Х2,Х2,_!]] =

= -(й“+«-“)[Х2,[Х2,Х2*_2]] + (й“ + й-“)Х2*_2 = = (Ри + Р и)Х2к-2-

Теперь пусть имеем , порожденное элементами [Х1,Х2£-1], [Х2, Х2^_1], тогда Ь2и+1 — есть линейная оболочка элементов

[ХЬХ2*], [Х2,Х2*], [Х.ЛХа.Ха*-!]],

[Х2, [Х2, Х2*_1]], [Х3, Х2*_1],... , [Х^-,Х21...1-21].

Из соотношений (2.6) и (2.7) следует, что

[Хз,Х2,_!] = [Х4,Х2,_2] = ... = [Х,-,Х21...121] = 0,

а из (2.4), (2.5) имеем

[23, [Х2,[Х2,Х2,_,]]] =

= (ри — р “)Х2д._2 + (Ри + р и)[Х2,Х2д._2] =

= [23, Х^],

то есть

Соотношения (2.8) и (2.9) принимают вид

[Х2,Х2*] = [Х1,[Х2,Х2*_1]] =

= -(«“ + р-и)Х2к-1 + (Ри + р-и)Х2к-1 = 0.

Следовательно порождается элементом

Таким образом, из принципа математической индукции вытекает справедливость равенств (2.2).

Теорема доказана.

Таким образом, базис -характеристической алгебры Ли состоит из элементов

хьх2,х 21 Лз Д41 ^5, ^5 Л 6 . . .

... 1 ^ '1а ■ ^ 2 /;.1 , ^2 п+1, . . . .

Отметим, что в работе [6] уравнение синус-Гордона представлено как квадратичная система и в ней предложен другой базис характеристической алгебры.

3. УРАВНЕНИЯ иху = /(и, их)

-характеристическая алгебра Ли уравнения (1) порождается векторными полями

00 Я я

1=1

а ^/-характеристическая алгебра Ли А полями

дОО г) rs

^1— Wi—----h ) D И І2 — о--

C/W т“І UUi UUi

i=1

дщ

Напомним, что

QO OO n

,4=[jLb l=[jLb £n = \J Li

i= 2 г=2 г=2

n

£n = [_J ^ = 3.4.... .

j=2

где Ln(Ln) — линейная оболочка векторных полей

(^ 21 2-2 ..Лп ) (см. разд. 2).

Классификация уравнений (1) основана на предложении.

Лемма 3.1. Пусть

00 д

X = О!; . «г = «г (и. . и\, и2..... II п. ),

i=l

1" = У" а* = (I ,(ll. II \ . ІІ\ . ІІ2..ип !

' сш-

г=1

і= 1,2,... ,

то [-D,X] = 0 и [Х>,У] = 0 тогда и только тогда, когда

Исследование размерности линейных пространств £п, п = 3,4 приводит к следующему результату:

• dim £3 = 2, если только уравнение (1) имеет вид

UjA(u): (3.1)

• dim £3 = 3, если

U’

иХу = А(их), А'--------= А, А - const; (3.2)

либо

либо

U.,У = <-"А(п.г). .1.1' - их = 0; (3.3)

иху = s(u)ux + В, В — const ф 0; (3.4)

dim £4 = 4, если

иху = н(и)их + В (и); (3.5)

либо

иху = н(и)А(и3

либо

U\

А' - а— = А, А — const;

А

(3.6)

".г,, = <-"А(пх).

где функция удовлетворяет следующей системе уравнений

с^А + 2с\А' = Auif-f Л2, сі(1 — АЛ)(иіЛ' — Л) + А" = 0;

(З.Т)

либо

иху = <-".1

где функция удовлетворяет следующей системе уравнений

А" + с;»А(. 1 - щА') = 0, с:3(Л' — А. 1) + с'?1А = 0;

(3.8)

либо

II.г и .1 (>.,-)• (3.9)

Уравнения вида можно запи-

сать так:

vy с". их = (p(v).

Последнее сводится к уравнению

vxy = vxip(v). (3.10)

Задача об интегрировании уравнений (3.2),

(3.3) и (3.7)-(3.9) сводится к интегрированию обыкновенного уравнения, поэтому далее мы их рассматривать не будем.

Интерес представляет уравнение (3.6).

Линейное пространство i’4 порождается полями

У, У2, 1з = [і:2ЛІ],

и

Для уравнения (3.6), как отмечено выше, dim £4 = 4, а именно

У4 =

а

АЦт)

(У - иіУі).

(3.11)

Далее рассмотрим пространства £5, £е, порожденные операторами

и

соответственно.

Для уравнения (3.6) имеем

л- аиіл- л- аиг

16 —----> 5 і >10 — + *81

поэтому dim i’5 = 5, dim i’6 ^ 7. При dim і’6 = 6 получаем, что

и

При уравнение (3.6) растяжением независимых переменных функции приводится к

виду

иХу = 3 иА(их). (их — -4) (,4 + 2ихУ = 1,

которое связано с уравнением диф-

ференциальной подстановкой (см. [7])

V = 111(>.,

-4).

Если dim £{ = dim і’, = і, і = 4.5, то

= н{и)А{их

. І их

С-1,S' — С-2.Ч1 = 0.

Cl, С2, А — const.

(3.12)

При А = 0 для функции s = sin и уравнение (3.12) связано с уравнением vxy = sin v дифференциальной подстановкой v = arcsin их + и, а при s = и — подстановкой .

Отметим, что полученный список интегрируемых уравнений совпадает с известным списком.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жибер, А. В. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой / А. В. Жибер, А. Б. Шабат // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247, № 5, С. 1103-1107.

2. Жибер, А. В. Системы уравнений их =

= р(и, v)y vv = q(u, v), обладающие симметриями / А. В. Жибер, А. Б. Шабат // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, № 1. С. 29-33.

3. Жибер, А. В. Квазилинейные гиперболические

уранвения с бесконечной алгеброй симметрий / А. В. Жибер // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 4. С. 33-54.

4. Лезнов, А. Н. Группа внутренних симметрий

и условия интегрируемости двумерных динамических систем / А. Н. Лезнов, В. Г. Смирнов, А. Б. Шабат // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51, № 1. С. 10-21.

5. Шабат, А. Б. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана / А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов // Предпринт. Уфа : Башкирск. филиал АН СССР, 1981. № 1.20 с.

6. Жибер, А. В. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры. Задачи математической физики и асимптотика их решений /

A. В. Жибер, Ф. Х. Мукминов // Сборник науч. тр. БНЦ УРО АН СССР. Уфа, 1991. С. 14-33.

7. Жибер, А. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа / А. В. Жибер,

B. В. Соколов //УМН. 2001. Т. 56(1). С. 63-106.

ОБ АВТОРАХ

Жибер Анатолий Васильевич,

проф., вед. науч. сотр. ИМ УНЦ РАН. Дипл. математик (Ново-сиб. гос. ун-т, 1969). Д-р физ.-мат. наук по диф. уравнениям (защ. в ИМиМ УрОрАН, Екб., 1994). Иссл. в обл. совр. группового анализа диф. уравнений.

Муртазина Регина Димовна,

аспирантка каф. математики. Дипл. магистр математики (УГАТУ, 2004). Готовит дис. о точно интегрируемых нелинейных моделях и характеристических алгебрах под рук. проф. А. В. Жибера.