Характеристические кольца Ли дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОЛЬЦА ЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

М. ГЮРСЕС, A.B. ЖИБЕР, И.Т. ХАБИБУЛЛИН

Аннотация. В работе рассматриваются кольца Ли характеристических векторных полей для уравнений в частных производных. Обсуждаются возможные приложения этого понятия в задачах классификации интегрируемых уравнений гиперболического типа с большим чем три числом характеристических направлений, а также к уравнениям эволюционного типа и к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В качестве примеров рассмотрены известные в математической физике модели, такие как, система уравнений ,,п“-волн, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение Бюргер-са, первое уравнение Пенлеве.

Ключевые слова: характеристические векторные поля, характеристическое кольцо,

“

1. Введение

Понятие характеристического векторного поля для гиперболических уравнений впервые ввел в рассмотрение Э.Гурса в известной работе [1] в 1899 году. В этой работе он разработал весьма эффективный алгебраический подход к задаче классификации интегрируемых по Дарбу уравнений в частных производных. Интерес к этой теме возродился после работы [2], где было решена задача классификации интегрируемых по Дарбу систем экспоненциального типа. Здесь же было введено понятие характеристического кольца Ли и показано, что интегрируемость по Дарбу системы равносильна конечномерности ее характеристических колец по обоим направлениям. Характеристические кольца Ли для квадратичных систем рассматривались в работе [3]. Характеристические кольца уравнений солитонного типа исследовались в [3], [4]. В заметке [5] понятие хактеристического векторного поля было обобщено на дискретные уравнения.

После работ [4], [6], [7] стало ясно, что характеристические кольца Ли позволяют идентифицировать интегрируемые модели, поскольку для интегрируемых моделей пространства кратных коммутаторов характеристических операторов имеют минимальный рост. Это свойство характеристических векторных полей можно рассматривать в качестве классификационного критерия.

2. Характеристические кольца уравнений „п-волн“

Рассматривается система уравнений гиперболического типа в частных производных 8 8

(^ + ач — )иг = фг(и1,и2,... ,ип), г = 1, 2 ,...,п. (1)

М. Gurses, A.V. Zhiber, I.Т. Habibullin, Characteristic Lie rings of differential equations. © Гюрсес М., Жибер А.В., Хаеиеуллин И.Т. 2012.

Работа поддержана РФФИ (гранты 10-01-00088-а, 11-01-97005-р-поволжье-а).

Поступила 25 ноября 2011 г.

Здесь а* - произвольные постоянные и ф* - произвольные функции. Когда функции ф* являются квадратичными, то имеем систему уравнений и-волн [8]. Для определения двух

д д д д д д

дЬ + а%° дх д^ дЬ + а%1 дх дг]'

В новых переменных система принимает вил

14 = Ї(Р^ г)?

% = Ф(РЛ? г), (2)

= г^А + ф(р,д, г),

где / = ( /1, р,...,/ я), Ф = (ф1 ,ф2, . . . ,Ф), ф = (ф1,ф2,... ,фт), р = (игі ,иг2,..., и%в), д = (и-71 ,иІ2 ,...,и>1), г = (икі ,ик2 ,...,икт), А = ¿іад(Х1,Х2,...,Хт), У і Хг = 0, где Р = (р 1, Р2,...,Р3), Ч = (ч1, Я2,...,^1), г = (г 1,г'2,..., г'т). Обозначим через Р (Р) множество локально-аналитических функций, зависимых от конечного числа переменных р,д,г,д1, Г1, д2, г_2,..., Яг, П,... (р,д,г,р1, п, р2, Г2,..., Рг, П,...)- Здес ь ^ = Ргд, гг = Ргг_, рг = Ргр, гг = Ргг, і = 1, 2,..., И = щ, Р = -щ. Оператор полного дифференцирования Р

Р

Р = -Ь+т.фг(р ,<*, г) -Ь+£[ Х гі- Хфг(р ,д, г)] +

г=1 г=1 г=1 г г

1 - т її -+ ^Рфг(ра?г)-- + Дхгг2- -рфг(Р^0]+... (3)

=1 1 =1 1

Рассматривая векторные поля Хг = , г = 1, 2,..., в и

1 - т її -Х,+1 = ^ фг(Р,Я, г)-- + Д х^г\ - -фг{рЛ, 0]-- + =1 =1

- т її -+ ^2Рфг(р ^ г) щ + Д х г2- хгРфг (р ,ъ г) щ +... ^4)

=1 1 =1

т

1 - т ї ї -+ ^Р"ф/(Р,Я,Г) — + ^[Х-г"+1 - (р,„, г)}-д- + ...

г=1 Ч" г=1 г г "

получаем, что Р = Е 1=1 ?1Хг + Х+1.

Определение 1. Кольцо Ли над полем Р, порожденное векторными полями Х\,Х2,Хц+1, называется характеристическим, кольцом Ли по направлению £ системы уравнений (1).

Аналогично определим характеристическое кольцо Ли Кп в направлении г/. Последнее порождается следующими векторными полями

к = д-, * =12,...,;.

3 д т д У1+1 = ^2^(Р Л. г) д~1 +ДА* ^ + фг (Р Л. г) + ■■ (5)

г=1 г=1

д т д

+ Е5П}г(Р.1,г) Ш + £,^<+1 +В'\!,г (р.ц.г)] — + ....

г=1 дРп г=1 1 п

В этом случае оператор полного дифференцирования И то переменной £ на множестве Р

имеет вид И = ^2\=1 Яг\Кг + У1+1.

3. Эволюционные уравнения

3.1. Кольца Ли эволюционных уравнений. Рассмотрим уравнения эволюционного типа

ди ди дпи

д = ^(и,дХ.'".1Х ^ ^

Для определения векторных полей, порождающих кольцо Ли уравнения (6), будем исследовать вспомогательное уравнение

д2и ди дп+1и ,

дЬдх и. дх. . дхп+1 ’ где Р = И/, И - оператор полного дифференцирования по переменной х. Определим оператор И в пространстве локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных и.щ.щ, ..иг, ... (ип = по правилу

д и д д д д

И = ^1Г + Р^~ + ИР^ +... + Ип-1Р^~ +.

дъ ди дщ ди2 дип

Введем векторные ПОЛЯ

х = ди. Х2 = р-Щ + Ирд- +... + Ип-1 ди- +.... ди ди ди2 дип

Определение 2. Кольцо Ли К, порожденное векторными полями — и Х2, называется характеристическим кольцом Ли уравнения (6).

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Если &ш К < ж, то правая часть Р(и. ..... §^++1) уравнения (7) являет-

и

Доказательетво, Так как [И. И] = 0, то, используя [И. И] = [И. + Х<2\^ имеем

[И.Х ] = 0. [И.Х2] = РХ1. (8)

Теперь положим Х3 = [Х\. Х2] и, используя тождество Якоби и соотношения (8), получаем

^-4= (9)

Определим последовательность векторных полей Хг, г = 4.5.... следующим образом:

Хг = [Х\.Хг-1]. Как и выше получаем, что

дг-2Р

{И. Хг] = > = 4. 5.---- (10)

Пусть кольцо Н конечномерно. Тогда найдется т такое, что векторные поля Х2, Х3,..., Хт линейно независимы, а

т

Хт+1 = (11)

г=2

где коэффициенты г = 2, 3,..., т являются функциями переменных и, щ, и2, ....

В силу (11) имеем [В,Хт+1 ] = ^т=2Р(а,1)Х,1 + ^т=2а%[Б,Хг]. Последнее, согласно (10), перепишем так

а т-1 р т т ы-2 р

-^т=тХ1 = ^ Б(а)Х + ^ аi ~^Х1 ■

2 2

Так как векторные поля Х1,Х2,... ,Хт линейно независимы, то получаем, что

ва) = 0, 1 = 2, 3,... ,т (12)

и

ат-1р _ т а^2Р

дит-1 =1^а ди— ■ ^

2

Из этих уравнений следует, что а^ тостоянной иР - квазиполином по переменной

и

Замечание 1. Если кольцо Ли Н эволюционного уравнения конечномерно, то правая часть /(и,и1,... ,ип) есть решение согласно (13) следующего уравнения в частных производных

дт-1 (^ д/\ ^ ( д- ^ д/\

дит-1 {¿-^и%+1 дщ) ди1-2 ¿-^ик+1 дик ) '

\i=0 / i=2 \ к=0 /

Приведем примеры колец Ли уравнений эволюционного типа.

Пример 1. Рассматриваем уравнение вида,

и% = их + и .

Подействовав оператором Б, получаем, что ихЛ = ихх + 2иих.

Из соотношения

д д

(и иl,и2, . . ■) = + / д + БI — + . . .) Р = (ЩХ1 + Х2)р

д и д и1 д и

имеем

А = щХ1 +Х2, (14)

где ¡ = ихх + 2иих.

Лемма 2. Векторное поле У = а1(и,и1,... ,ип1)^ + а2(и,и1,... ,ип2)^ + ... коммутирует с оператором, Б если и только если У = 0.

Доказательство вытекает из формулы

д д д д д д

^, У] = (Па1—------+ Ба2~я---+ Ба3~я-+ . . .) — а1Ъ----а2 а----а3~Я----....

ди1 ди2 диз ди ди1 ди2

Согласно (14) и [Б,Б^ = 0 имеем

¡Х1 +щ[Б,Х1] + [Б,Х2 ] = 0.

Последнее соотношение распадается па два уравнения [Б,Х1] = 0 и [Б,Х2] = -¡Х1.

Введем операторы Х3 = [Х1,Х2], Х4 = [Х1 ,Х3], Х5 = [Х2,Х3]. Легко показать, что [Б,Хз] = -2и1Х1ъ [Б,Х4] = 0. Из утверждения леммы следует, что Х4 = 0.

Так как оператор Х3 = 2и1 + 2и2+ ... ., то

[Б,Х5] = (Хз!)Х1 + [Х2,-2иХ] = (4ици + 2и2)Х1 + 2щХз - 2!Хи или [Б,Х5] = 2и1Х3.

Докажем, что базис кольца состоит из операторов Х1, Х2, Хз, Х5. Видно, что [Х1,Х5] = 0, Рассмотрим Х7 = [Х2,Х5]. Непосредственными вычислениями получим, что [Б,Х7] = -4и\Х1 + 2и1Х5 + 2/Хз, поэтому Х7 = 2и1Х3+2иХ5. Теперь рассмотрим оператор Х8 = [Х3, Х5]. Вычислим [Б,Х8]:

[Б,Х8] = [Х5, [Б,Хз]] + [Хз, [Б,Х5]] = 2Х5(щ)Х1 + 2Хз(щ)Хз = 4щХз.

Сравнивая соотношения [Б,Х8] = 4и1Хз и [Б,Х5] = 2и1Хз.1 имеем Х8 = 2Х5. Отсюда следует, что кольцо Ли данного уранения четырехмерно, и элементы Х1, Х2, Хз, Х5

линейно независимы.

Пример 2. Уравнение Бюргерса

иг = ихх + 2иих.

Соответствующее уравнение (7) имеет вил

ихг = из + 2ии2 + 2и^. (15)

Характеристические векторные поля

Х1 = тк, Х2 = (из + 2ии2 + 2и2) ^ + (и4 + 2ииз + 6и1и2) £¡^2 + ... +

+(ип+1 + 2иип + ...) + ....

Здесь

Хз = [Х1,Х2] = 2Б - 2щХи (16)

где Б = и1 £ + и2 +... + ипк^Т1 + ... ■

Из соотношения [Б, Б] = 0 следует

[Б, ЩХ1 + Х2] = (из + 2ии2 + 2и1)Х1 + щ[Б, Х1] + [Б, Х2] = 0.

Тогда

[Б, Х1] = 0 и [Б,Х2] = -(из + 2ии2 + 2и"^)Х1. (17)

Используя (16) и (17), получаем

Х4 = [Х1,Хз] = [Х1, 2Б - 2иХ] = 0,

Х5 = [Х2, Хз] = [Х2, 2Б - 2иХ] =

= 2(из + 2ии2 + 2и1) Х1 — 2(из + 2ии2 + 2и2)Х1 + 2и1Хз.

Откуда Х4 = 0, Х5 = 2и1 Хз. Таким образом, базис характеристического кольца уравнения Бюргерса состоит из операторов Х1,Х2,Хз.

Прмиер 3. Рассмотрим уравнение Кортевега-де Фриза щ = иххх + иих. Уравнение (7) примет вил

ихг = и4 + ии2 + и22. (18)

Для уравнения (18) нетрудно показать, что Х4 = [Х1,Хз] = 0, Х5 = [Х2,Хз] = и1Хз.

Следовательно, базис характеристического кольца Ли уравнения Кортевега-де Фриза состоит из операторов Х1,Х2,Хз.

Пример 4. Для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза щ = иххх + и2их уравнение (7) имеет вил

ихг = и4 + и2и2 + 2ии2.

Операторы Хь Х2, Хз = [Х1,Х2], Х4 = [Х1,Хз] образуют базис характеристического кольца Ли модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза,

3.2. Присоединенные алгебры Ли. Как следует из примеров, приведенных в разделе 3,1, характеристическое кольцо Ли определяет зависимость правой части / =/(и, ,..., кх7) уравнения (6) от переменной и. Здесь мы предполагаем ввести

кх, ,..., кх7' Для этого перепишем уравнение (6) в виде

и\ = ¡1(и1 ,и2,из,... ,ип), (19)

1 2 з п 71

полагая и1 = и, и2 = их, из = ихх,... ,ип =

Тогда из (19) последовательным дифференцированием по х получаем систему уравнений

и1 = /1(и1,и2,..., ип), и2 = /2(и1,и2,... ,ип, ип), из = ¡з(и1,и2,...,ип ,и'п,и'пх), (20)

д п-1„.п

ип = Г(и1 ,и2,...,ип,ипх,ипхх,...,1х-т).

Таким образом, мы от уравнения (6) переходим к эволюционной системе уравнений

и1, и2, . . . , ип

определения характеристического кольца Ли системы (20) рассмотрим систему вида,

ихл = Р'1', Рi = БР, г = 1, 2,...,п. (21)

Характеристическое кольцо Ли системы (20) задается оператором Б:

тт дик д к д к д

Б = ~Ж '№ + Р Щ + БР Щ +

а, именно, векторными полями

д

Х1 = —, Х2 = , ..., Х

д и1 2 д и2 п д ип

к д к д Хп+1 = Р -7Г~к + БР + ....

ди~к ди2

И, наконец, характеристическое кольцо Ли системы (20) мы будем называть присоединенным кольцом Ли эволюционного уравнения (6),

Так, для уравнения Бюргерса

и = ихх + 2иих

имеем их = V, ихх = ,ш. Тогда системы (20) и (21) принимают вил

щ = V + 2иь,

Щ = ,шх + 2ихь + 2иьх,

= 'шхх + 4ихьх + 2иххи + 2и ихх,

и

ихг = гшх + 2и их + 2ихи,

УхЬ = Vхх + 2ихх*и + 2и Ихх + 4ихУх,

'ЮхЛ = Vххх + бихх^х + бихУхх + 2иххх^

соответственно.

4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Здесь рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

(¡и и

— ¡Лх,у,и1,и2,...,ип), г=1, 2,...,п. (22)

Для введения понятия характеристического кольца Ли для уравнений (22) будем пред-

и1 , и , . . . , ип х

х

д2щ = ОЛ .^ГГА. Г—. ('23')

дудх дх ^ дик дх '

Известно, что гиперболическая система (23) обладает парой характеристических колец х Х

х — Л. х — »Х д

д и1 2 д и2 п д ип

д д д Хп+1 = о—+ Р^7ГТ + + ...,

ду ди\ ди\ дигз

а у - характеристическое кольцо Ли У - полями

г—1’ г—2’ г—п’

д ■ д д — д уп+1 — о—+ и%^^Г~г + Р^7т=Г + БР~рг^ + ...,

дх д— ди\ д—2

где Б (Б) - оператор полного дифференцирования по переменной х(у), функции Р.1 - суть

. - . . ________к ■

правые части уравнений (23), ик — Бки\ Щк — Б и\ г — 1, 2,... ,п, к — 1, 2,....

х

Ли системы дифференциальных уравнений (22),

Х

&шХ < го, то правые части /,1 системы (22) являются квазиполиномами переменных

и1, и2, . . . , ип

В качестве примера рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

иу — !(У,и). (24)

Нетрудно показать, что если характеристическое кольцо Ли уравнения (24) конечно-

( , и) и

Например, размерность кольца Ли уравнения

иу — а0(у) + а1(у)и + а2и2 (25)

равна 4 и если и-решение уравнения (25), зависящее от параметра х, то выражение

з —

з -32г те зависит от у, то есть

2 7%

иххх 3ихх _ <•/ \

-----------— •>(х).

их 2 и

Приведем пример уравнения Риккати (25) с кольцом Ли размерности 3, Таким примером является уравнение

иу — а1(у)и + —. (26)

х

шение

их х их

-------2— — !'(х).

их и

Замечание 2. Другой способ определения характеристического кольца Ли системы (22) основан на замене вида

д

и — ^—, г — 1, 2,... ,п. д х

Тогда система (22) примет вил

д 2уг { Гу 1 дьп \ ,

гхггу— ^\х,у,^х,...,^х). ^ ^

х

(27) будем называть характеристическими кольцами Ли исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (22),

В заключение рассмотрим в качестве примера уравнение Пенлеве I

иуу — 6и2 + у. (28)

Уравнение (28) можно записать в виде системы уранений

иу — V, уу — 6и2 + у

или, полагая

и — Рх, V — дх,

будем иметь

Рху — Ях, Яху — 6р2х + у. (29)

Тогда х—характеристическое кольцо Ли Х системы (29) порождается векторными по-

лями

Х — д Х — д

Х1 — ТГ“ , Х2 — ТГ“ ,

др дд

д д 2 д д д Хз — т; + 41^ + (6р 1 + У) о + 12^ + 12р 1р2т; + ..

д д 1 1 д 1 д 2 д 2

Х х—

ш — ш(у,р1, д1) и V — ы(у,р1, д1) (Бш — 0,Б^^ — 0)

определяются из уравнения в частных производных

'В В В N

аЦ + В^ + (е»2 + ^ WJF = 0-

Отметим, что ш = const и w = const задают интегралы исходного уравнения (28), Далее у—характеристическое кольцо Ли Y системы уранений (29) задается векторными полями

Y = -В- Y = А

1 Bpi’ 2 B^i ’

В В В В 2 В 2 В

Y3 = т. +Р1Ъ + ^1~рГ + + (6p 1 + у)^г + (6p 1 + +

Вх Вр Вд Вр^ Вд i Вр2

В В В

+ (12p\gi + + (12pigi + + (12 Ял + 72pi + 12Ур\)^т + • • • •

Од 2 Bpз Вд з

Легко видеть, что векторные поля

Уь [УьУз], Y1, [Y1,Y3]], [Уь [Yi, [У1,Уэ]]],...

линейно независимы. Таким образом, dim У = го, Однако система ураенний (29) имеет у_интегр^ щ = р1 _ q, Вычислим высшие у—симметрии

f = f{x,У,P,q,Ръ ЯъР2, Ъ^..,Р™ 0-п)-, g = g{x,y,p,q, р^ p^ q^..^ р^ qm ),

{Рт = f, qr = g)

для уравнений (29).

Определяющая система уравнений имеет вил

DDf = Dg, DDg = 12р xDf. (30)

Пусть порядок по перемнным p,q, р1, q1, р2, q2,... функций Df и Dg равны пит, соответственно. Тогда из (30) следует, что п + 1 = т и т + 1 = п, поэтому

Df = F{x,y,pu ql), Dg = G{x,y,pu q1). (31)

Далее

niv ____ _ _ ч d f d f ( d d\

Df{x,y,p,q,Ръq^P2,q2,...,p^qJ = ^z+ p^ + 41 ( q=t +

dx dp \dp 1 dq

+(6p1 + ÿ)(Ü + <4)f + (12p 1111 + 1) (si + 4)f + ""

Теперь из (31) и (32) получаем соотношения:

(32)

df df ( d d \ — = aix, v), — = anix, v), ------+—

— = a{x, y)^ = ao{x, y)^ [ ^ + ^)f = al{x, У),

U x up \Bp1 UQ J

д д д д ж+м) ^ ^ ^ *

Откуда нетрудно получить, что

f — р(х, у) + @о(у)р + ^1(у)р1 +... + Рп (у)рп + Ну ... ,шп-1). (зз)

9 — l(х, у) + Ъ(у)р + 11(у) Р1 + ... + 1ш(у) Рт + Н (у ,ш,шl,.. .,шт-1). (34)

Так как функции f — к(у,ш,ш1,... ,шп-1 и д — Н(у,ш,ш1,... ,шт-1 являются симметриями системы (29) при любых к и Н, то из формул (33) и (34) получаем, что

п т

1' — р (х, у) + ^2рк (у)рк, д — 1(х, у) + ^1к (у)рк (35)

к=0 к=0

также являются симметриями.

Подставляя (35) в определяющее уравнение (29), убеждаемся, что

f — f(У), q — 9(y).

—

f — к(у,Ш,Ш1, . . . ,Шп-1), д — Н(у,Ш,Ш1, . . . ,Шт-1).

Заключение

Хорошо известно, что интегрируемые уравнения характеризуются наличием бесконечной последовательности высших симметрий. Этот фундаментальный факт лежит в основе современной теории интегрируемости (см,, например, [9] [11]), В настоящей работе обсуждается альтернативный подход к интегрируемости, использующий понятие характеристического кольца Ли, ассоциированного с уравнением,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Е. Goursat, Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l’Université de Toulouse 2e série, tome 1, n0 1 (1899) pp.31-78.

2. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. 23 с.

3. Жибер A.B., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991. С. 14-32.

4. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху = f (и,их) // ФИМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. Т. 12. № 7. 2006. С. 65-78.

5. Habibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.: Methods Appl. V. 1. Paper 023. 2005.9 pages.

6. I. T. Habibullin, E. V. Gudkova Classification of integrable discrete Klein-Gordon models // Phvsica Scripta. 83. 045003. 2011. arXiv : nlin/1011.3364.

7. Хабибуллин И.Т., Гудкова Е.В. Алгебраический метод классификации S-интегрируемых дискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. Т. 167. N8 3. 2011. С. 407-419.

8. Zakharov V. E., Manakov S. V. The theory of resonance interaction of wave packets in nonlinear media f f Soviet Physics JETP. V. 42. 1975. P. 842.

9. A.B. Михайлов, А.Б. Шабат, Р.И. Ямилов, Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, УМН 42:4 (1987) 3-53.

10. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. 1990. С. 213-279.

11. M.Gürses, A.Karasu, and R.Turhan Nonautonomous Svinolupov Jordan KdVSystems // J.Phvs.A. V.34. 2001. P. 5707-5711.

Метин Гюреее,

Билкентекий университет,

06800, Билкент, Анкара, Турция E-mail: gurses@fen.bilkent .edu.tr

Анатолий Васильевич Жибер,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: zhiber@mail.com

Исмагил Талгатович Хабибуллин,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия

E-mail: habibullinismagilSgmail. com