Научная статья на тему 'О приложениях формулы Фаа-ди-Бруно'

О приложениях формулы Фаа-ди-Бруно Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
310
36
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ФОРМУЛА ФАА-ДИ-БРУНО / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ / УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ / FAA-DI-BRUNO FORMULA / DIFFERENTIAL POLYNOMIALS / INTEGRABILITY CONDITIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Шабат Алексей Борисович, Эфендиев Магомед Хочалаевич

В работе построены две новые модификации классической формулы Фаа-ди-Бруно. Рассмотрены приложения этих формул в теории интегрируемости нелинейных уравнений с частными производными. Обсуждается задача об интегрирование по частям в формальном вариационном исчислении Гельфанда-Олвера-Сандерса.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Шабат Алексей Борисович, Эфендиев Магомед Хочалаевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On applications of Faa di Bruno

Two new modifications of the classical Faa-di-Bruno formula are constructed and applications of the obtained formulas in the theory of integrability of nonlinear partial differential equations In the work we construct two modifications of the classical Faa-di-Bruno formula. We consider the applications of these formulae in the integrability theory for nonlinear partial differential equations. We discuss the problem on integration by parts in the formal Gelfand-Olver-Sanders.

Текст научной работы на тему «О приложениях формулы Фаа-ди-Бруно»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 132-137.

УДК 512.5

О ПРИЛОЖЕНИЯХ ФОРМУЛЫ ФАА-ДИ-БРУНО

А.Б. ШАБАТ, М.Х. ЭФЕНДИЕВ

Аннотация. В работе построены две новые модификации классической формулы Фаа-ди-Бруно. Рассмотрены приложения этих формул в теории интегрируемости нелинейных уравнений с частными производными. Обсуждается задача об интегрирование по частям в формальном вариационном исчислении Гельфанда-Олвера-Сандерса.

Ключевые слова: формула Фаа-ди-Бруно, дифференциальные многочлены, условия интегрируемости.

Mathematics Subject Classification: 37К10

1. Обобщение формулы Фаа-ди-Бруно

Дифференцирование сложной функции $ [и(х),ь(х),..., г(х)\ приводит к красивой формуле, опубликованной Франческо Фаа-ди-Бруно в 1857 г. Правая часть приведённого ниже расширенного варианта этой формулы для производной порядка п > 1 по независимой переменной х от композиции функций:

,<•>_ { ^ *^ В/ = щI+ц 1+...+ § а

/ è^èk2 •••ёкпЛ

\ ^ кг\к2\ ••• кп!

\fci+2fc2H-----+пк п —П /

п\ \ к\\к2\---кп! / 3 ?! ди ?! дь "' п\дг

\ и. I о;— I ,+пкп=п '

записана нами в виде дифференциального оператора с частными производными, действующего па функцию f с аргументами и, V, ... , г. Коэффициенты указанного выше линейного оператора выражены через переменные и, V, ... , х и многочлены от их ж-производных, обозначаемых щ. Эти так называемые дифференциальные переменные

сМ (Ри(х) (М (3ь(х) (М (3г(х)

и3 = —:—, V3 = ———, ..., г3 = ———, ? = 1, 2,... ,п. 1,2

3 Ах3 (х3 3 (х3 '

в формуле (1.1) рассматриваются как независимые переменные, перестановочные друг с другом и с операторами дифференцирования ди,д<„,...,дх. В частности, в случае двух аргументов и, V функции f и п < 4 формула (1.1) даёт:

df [и(х), ь(х)\

/(1) = (èè1)f=(u1du + Щdv)f(u, v)

dx

/(2) = Ь ди + ь2д.€ + и\д1 + 2и1ь1дидь + ь\д1)2] /(и, ь) = \2В2 + В\\ /

/(3) = (б Вз + 3 В2В1 + Д3) ¡, /(4) = (4Ш4 + 4!£>з£>1 + 12.82 + 124^2 + В4) ¡.

Число различных мономов в этих многочленах от п переменных В1,..., Вп определяется диофантовым уравнением

к1 + 2к2 + 3 к3 +-----+ пкп = п, к3 > 0 (1.3)

A.B. Shabat, M.Кн. Efendiev, On applications of Faa di Bruno. © Шабат A.B., Эфендиев м.Х. 2017. Поступила 8 апреля 2017 г.

и совпадает с числом р(п) различных разбиенией (рагШюш) целого числа п > 1, В силу этого (см, [1]):

оо

1 + ^р(п) г = П(1 - # )-1 = 1 + t + 2t2 + Ы3 + Ы4 + И5 + 1И6 + 1Ы7 + 22^ + ...

П=1 ] = 1

Доказательство формулы Фаа-ди-Бруио (1.1) в скалярном случае ¡[п(х)\ можно извлечь из цитированной выше монографии [1]. По существу дело сводится к доказательству формулы = Их(где линейный дифференциальный оператор первого порядка:

д д

ВХ = щ дии + —— : и^и^и*^-^^ ... (1-4)

3 = 1 3

и

от дополнительных независимых переменных (1.2).

Для обоснования, указанного в (1.1), обобщения формулы Фаа-ди-Бруно на «векторный случай» ¡[и(х), ь(х),..., z{x)\.J заметим, что для экспоненциальных функций

у ^ ^ (и(х),-и(х),...,г(х)) знд^

log $ = т = аи + + ,..., (1.5)

скалярная и векторная формы, рассматриваемой формулы (1.1) совпадают. В силу соображений линейности это доказывает справедливость общей формулы для линейной комбинации экспоненциальных функций вида (1.5), а значит и в общем случае (см. формулы прямолинейных вычислений в работе [3]).

2. Цепочки Дарбу

Обсудим кратко примененимоеть формулы Фаа-ди-Бруно (1.1) к задаче об интегрировании линейного гиперболического уравнения второго порядка относительно функции ф = ф(х, у)\

[БХБУ + Ь(х, у)Бу + с(х, у)\ф = 0, (2.1)

при помощи теории преобразований Дарбу.

Лемма. Пусть с(п) = с(п;х, у), Ь(п) = Ь(п;х, у) удовлетворяют нелинейной цепочке связанных друг с другом уравнений:

Бх logc(п) = b(п + 1) - Ь(п), ИуЪ(п) = с(п) - с(п - 1), п е Z. (2.2)

Тогда

*1) выполняются следующие уравнения Дарбу:

^с(п)\ху = с(п +1)+с(п - 1) - 2с(п), п е Z, (2.3)

11) формулы

(Бх + Ь(п))ф(п) + ф(п - 1) = 0, Вуф(п) = с(п)ф(п +1), (2.4) переводят решения уравнений (ср. (2.1)) в решения:

[БХБУ + Ь(п)Бу + с(п)\ф(п) = 0, п е Z (2.5)

и коммутируют друг с другом операторы из (2.4).

Пусть выполнены уравнения (2.2). Тогда в силу равенства смешанных производных

БХБУ(^с(п)) = DyDx(logc(п)) = Ьу(п +1) - Ьу(п) = с(п + 1) + с(п - 1) - 2с(п),

что даёт цепочку уравнений Дарбу. Для доказательства 11) определим операторы «сдвига» Т±1 : фф(п) ^ ф(п± 1). Тогда, используя формулы Тс(п) = с(п +1)Т, Т-1 с(п)Т = с(п-1), [ Бх, Б у \ = [БХ,Т \ = [Бу ,Т \ = 0, получаем:

[Бх+Ь(п)+Т-1, Бу-с(п)Т\ = (-сх(п)+с(п)Ъ(п+1)-Ь(п)с(п))Т+с(п)-с(п-1)-Ьу(п) = 0. ►

(2.6)

134

А.Б. ШАБАТ, М.Х, ЭФЕНДИЕВ

Разрешимость линейных уравнений (2,1)), в теории преобразований Дарбу (см, [6]), удаётся связать с условиями замыкания цепочки нелинейных уравнений типа (2,3) для коэффициентов этих линейных уравнений. Для уравнений (2,2) простейшие условия такого рода соответствуют задаче Дирихле и занулению функций с(п) = с(п; х, у) при п < 0 и п > N > 1. В случае N = 1 это даёт скалярное уравнение [^с(1)]жу + 2с(1) = 0, эквивалентное уравнению Лиувилля аиху + 2еаи = 0 с точностью до замены вида с(п) = еаи. Характерное свойство, свидетельствующее об интегрируемости уравнения Лиувилля, формулируется при а = —2 в виде следующего уравнения:

Бу (и2 + и) = 0, щ = их, и2 = ихх. (2,7)

и( х, ) —

уравнения Лиувилля и его дифференциальных следствий, В общем случае экспоненциальных систем вида1

N

ху У ^ ап,]c(j), п € [N], det (ап] ) = 0, (2.8)

3 = 1

задача об условиях существовании «лиувиллевеких многочленов», аналогичных (2,7), была решена в препринте 1981 г, [9]. Точнее, в работе было доказано, что наличие достаточного набора дифференциальных соотношений вида (2,7), с необходимостью приводит нас к матрицам Картана (а^), соответствующим полупростым алгебрам Ли, Представляется

интересным, в дополнение к [9] и работе А.Н, Лезнова [10], связать лиувиллевекие много-2

возможноеть их некоммутативного обобщения. Ограничимся здесь двумя простыми примерами.

Скалярное уравнение иху = Р с произвольной функцией Р = Р(и) позволяет определить оператор Иу, действующий па множестве многочленов от дифференциальных переменных (1.2):

1 я ^ 1

= Р1й1 +°'(Р) ¡и, + Ер0-Ц яи, • Р"" = °'(Р ои) <2'9>

3>2 ^

Коэффициенты (ср. (1.1)) этого оператора, рассматриваемого на решениях уравнения иху = Р(и), однозначно определяются условием коммутирования Их о Иу = Иу о Их век-

х

Легко видеть, что условие Иу(и2 + и\) = 0 даёт Р' + 2Р = 0, т.е. приводит пас к уравнению

Р( и)

в силе во всех случаях разрешимости уравнения

ИУШ (щ,...,ит) = 0, (2.10)

и что общее полиномиальное решение уравнения (2,10) в скалярном случае иху = Р(и) порождается многочленом минимального порядка = и2 + и\ и выражается через многочлены Белла (см. [1]).

Уравнение Лиувилля, как уже говорилось, соответствует задаче Дирихле с N = 1 для цепочки Дарбу (2,3), При N = 2 мы находим:

[1аёс(1)]ху = с(2) — 2с(1), [^с(2)]ху = с(1) — 2с(2), (2.11)

1 «проинтегрированных» в известных работах А.Н. Лезнова и М.В. Савельева

2

2 постоянные при измениющнмся у

что соответствует простейшей из матриц Картана с ац = —2 на главной диагонали. Указанная в Лемме факторизация (2,2) этих уравнений приводит к дополнительным уравнениям для Ь(1), Ь(2), Ь(3):

'Бу (Ъ(1)) = с(1), Бу (Ь(2)) = с(2) — с(1), Иу (Ь(3)) = — с(2); Вх logC(l) = Ь(2) — Ь(1), Вх \ogci22) = Ь(3) — Ь(2); (2.12)

ру (ИЪ) = 0, = Ъ(1) + Ъ(2) + Ъ(3).

Из этих уравнений, которые выполняются для задачи Дирихле (2.11) и при N > 2, видно, что в качестве дифференциальных переменных и^ при построении лиувиллевских многочленов из формулы (2.10) можно выбирать

Ьз(п) = 03хЬ(п), з = 1, 2,..., п е N +1]. (2.13)

В частности, при N = 2, определив при помощи уравнений из верхней строчки формулы (2.12) оператор Иу, действующий на множестве многочленов от дифференциальных переменных (2.13), мы находим решения Шт уравнения (2.10) при т = 0, 1:

= Ь(3) + Ь(2) + Ь(1), W1 = Ь2(1) + Ь2 (2) + Ь2(3) + 2Ь 1(2) + 4Ь 1(1),

и при W0 = 0 находим следующий лиувиллевекий многочлен W2:

БуЪ2(1) = С(1) [Ь1(2) — Ь1(1) + (Ь(2) — Ъ(1))2} ,

Бу[Ь2(1) + Ь(1)Ъ(1) — Ъ1(2)Ъ(1)] = с(1) [Ъ2(2) — Ъ2(1)} — с(2) [Ъ(1)Ъ(3) — Ь(1)Ь(2)],

= Ь2(1) + Ь1(1)Ь(1) — Ь(2)Ь(1) + 3[Ь 3(1) + Ь3(2) + Ь3(3)].

Отметим, что указанное выше дополнительное условие W0 = 0 позволяет избавиться от «лишней» переменной Ь(3) и уравнять тем самым число неизвестных Ь(]) и с(]). При N = 3 аналогично строятся (при W0 = 0) три независимых решения (2.10) порядков т = 1, 2, 3 и т.д.

3. условия интегрируемости и задача гельфанда-сандерса

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть пП = |~«~| — наименьшее целое > п/2. Собирая в скалярной формуле Фаа-ди-Бруно члены с щ,] е [п'], мы получаем

/(п) = ипи ^п) и«,—1 и!(1) ^п) ип-2и/(2)... + (£) ип>ииК) — е(п)ип,/у] +..., е(п) =

(3.1)

1 I 0, п — нечетный

2 I 1, п — четный

где многоточие в конце формулы (3.1) обозначает слагаемые формулы (1.1), которые соответствуют урезанному диофантовому уравнению (1.3):

п

к1 + 2 к2 +----+ п" к«" = п, п" = -

и содержат только дифференциальные переменные (1.2) с номерами ] е [п"\. Например, при п = 5 мы имеем п' = 3, п'' = 2, и формула (3.1) записывается в виде

п < -

" 2

/(5) = (- + (5>,/(1) + (2) из /(2)) А + и) Пи).

Мы не останавливаемся на обобщении формулы (3.1) на векторный случай, но отметим очевидную аналогию с биномиальными коэффициентами формулы Лейбница:

136

А.Б. ШАБАТ, М.Х. ЭФЕНДИЕВ

(иь)(п) = + (1)и(п 1)ь(1) + (П)и(п 2М2) + • • • + иг;(га)для дифференцирования произведения двух функций и И V.

Ниже речь идёт о примененимоети формул типа (3,1) к задаче об интегрировании по частям произвольных функций ¿'[и], где [и] обозначает конечный набор дифференциальных переменных (1.2). Для этого выделяется линейная по старшим производным часть функции ¡[и] и сравнивается с приведённой выше формулой (3.1). Теоретической вопрос о представимости функции /[и] в виде производной ¡[и] = Ихд[и] эквпволентно равенства нулю «вариационной производной»:

' I = I - Ш +-2. (©Ш + ••• - (З-Ч

Однако в приложениях требуется находить первообразную д[и] от ¡[и] = Ихд[и] и определять препятствия к интегрированию. Задача о препятствиях для интегрирования по частям, основанная на обобщённой формуле Лейбница (3.1), лежит в основе развитого в 80-е гг. в Уфе [7]), [11] симметрийного подхода к проблеме интегрируемости нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными. Простейшим из них является уравнение Лиувилля из предыдущего раздела, к которому следует добавить, как было указано в пионерской работе [8], ещё два уравнения:

их,у = Р (и), Р (и) = еи + га, -1= -1, 7 = -2. (3.3)

Задача об эволюционных уравнений третьего порядка иг = Р(и,и1,и2,и3), интегрируемых в том же смысле, что и известное уравнение Кортевега—де Фриза, относится к задачам, для которых препятствия к интегрируемости, о которых говорилось выше, выделены в явном виде. Некоторое представление о многообразии этих обобщённых уравнений Кортевега—де Фриза даёт приведённый ниже список:

Уравнения типа Кортевега—де Фриза

ut = и3 + Р (и)щ, Р"' = 0, (3.4)

ut = и3 - 1и1 + (ае2и + ре~2и)щ. (3.5)

3щ2 I (щ) ai (щ) .

щ = из - ---1--, , 5 = 0. (3.6)

3и2 + т(и) с15г (и) 2и1 щ ' с1и5

Общая задача о полиномиальных уравнениях иг = Р([и]) произвольного порядка, обладающих высшими симметриями, была исследована в работе [5], в которой для интегрирования по частям использовался альтернативный подход, предложенный И.М. Гельфандом, Существенную роль при этом играли свойства однородности рассматриваемых многочленов Р([и]) и теоремы о делимости, связанные с теорией чисел.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L.Comtet Advanced Combinatorics // Dordrecht. 1974.

2. Faa di Bruno Note sur un nouvelle formulae de calcul différentiel // Quart.J.M. 1857. 1. P. 359360.

3. Rumen Mishkov Generalization of the formula of Faa di Bruno for a composite function with vector argument // Internat. J.Math. 2000. 24(7). P. 481-491.

4. Жибер A.В., Муртазина P. Д., Хабибуллин И .T., Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. Москва-Ижевск. 2012.

5. J.Sanders, J.P.Wang On the integrability of homogeneous scalar evolution equations // Journal of Diff. Eq-s. 1998. 147. P. 410-34.

6. Веселов А.П., Шабат А.Б. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора, Шредин-гера // Функц. Анализ и его прилож. 1993. 27(2). С. 1-21.

7. А.В. Shabat, V.V. Sokolov Classificatión of integrable evolution equations // Soviet Scientific Reviews, Section C. N.Y. Harwood Academic Publishers. 1984. V. 4. P. 221-280.

8. Жибер А.В., Шабат А.Б. Ур. Клейна-Гордона с нетривиальной группой // ДАН СССР. 1979. 247(5).

9. Шабат А., Ямилов Р. Экспоненц. системы типа I и матрицы Картана. Preprint. Ufa. 1981. С. 1-22.

10. Лезнов А.Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных в двумерном пространстве // ТМФ. 1980. 42(3). С. 3 13 349.

11. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. О бесконечных алгебрах Ли-Беклунда // Функц. Анализ и его прилож. 1980. 14(4). С. 79-80.

Алексей Борисович Шабат, ИТФ РАН им. Л.Д. Ландау, просп. Академика Семенова, д. 1-А, 142432, г. Черноголовка, Россия КЧГУ им. У.Д. Алиева, ул.Ленина, 23,

369200, г. Карачаевск, Россия Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: shabatab@mail. ru

Магомед Хочалаевич Эфендиев,

КЧГУ им. У.Д. Алиева,

ул. Ленина, 23,

369200, г. Карачаевск, Россия

E-mail: kchrl927@gmail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.