ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 132-137.
УДК 512.5
О ПРИЛОЖЕНИЯХ ФОРМУЛЫ ФАА-ДИ-БРУНО
А.Б. ШАБАТ, М.Х. ЭФЕНДИЕВ
Аннотация. В работе построены две новые модификации классической формулы Фаа-ди-Бруно. Рассмотрены приложения этих формул в теории интегрируемости нелинейных уравнений с частными производными. Обсуждается задача об интегрирование по частям в формальном вариационном исчислении Гельфанда-Олвера-Сандерса.
Ключевые слова: формула Фаа-ди-Бруно, дифференциальные многочлены, условия интегрируемости.
Mathematics Subject Classification: 37К10
1. Обобщение формулы Фаа-ди-Бруно
Дифференцирование сложной функции $ [и(х),ь(х),..., г(х)\ приводит к красивой формуле, опубликованной Франческо Фаа-ди-Бруно в 1857 г. Правая часть приведённого ниже расширенного варианта этой формулы для производной порядка п > 1 по независимой переменной х от композиции функций:
,<•>_ { ^ *^ В/ = щI+ц 1+...+ § а
/ è^èk2 •••ёкпЛ
\ ^ кг\к2\ ••• кп!
\fci+2fc2H-----+пк п —П /
п\ \ к\\к2\---кп! / 3 ?! ди ?! дь "' п\дг
\ и. I о;— I ,+пкп=п '
записана нами в виде дифференциального оператора с частными производными, действующего па функцию f с аргументами и, V, ... , г. Коэффициенты указанного выше линейного оператора выражены через переменные и, V, ... , х и многочлены от их ж-производных, обозначаемых щ. Эти так называемые дифференциальные переменные
сМ (Ри(х) (М (3ь(х) (М (3г(х)
и3 = —:—, V3 = ———, ..., г3 = ———, ? = 1, 2,... ,п. 1,2
3 Ах3 (х3 3 (х3 '
в формуле (1.1) рассматриваются как независимые переменные, перестановочные друг с другом и с операторами дифференцирования ди,д<„,...,дх. В частности, в случае двух аргументов и, V функции f и п < 4 формула (1.1) даёт:
df [и(х), ь(х)\
/(1) = (èè1)f=(u1du + Щdv)f(u, v)
dx
/(2) = Ь ди + ь2д.€ + и\д1 + 2и1ь1дидь + ь\д1)2] /(и, ь) = \2В2 + В\\ /
/(3) = (б Вз + 3 В2В1 + Д3) ¡, /(4) = (4Ш4 + 4!£>з£>1 + 12.82 + 124^2 + В4) ¡.
Число различных мономов в этих многочленах от п переменных В1,..., Вп определяется диофантовым уравнением
к1 + 2к2 + 3 к3 +-----+ пкп = п, к3 > 0 (1.3)
A.B. Shabat, M.Кн. Efendiev, On applications of Faa di Bruno. © Шабат A.B., Эфендиев м.Х. 2017. Поступила 8 апреля 2017 г.
и совпадает с числом р(п) различных разбиенией (рагШюш) целого числа п > 1, В силу этого (см, [1]):
оо
1 + ^р(п) г = П(1 - # )-1 = 1 + t + 2t2 + Ы3 + Ы4 + И5 + 1И6 + 1Ы7 + 22^ + ...
П=1 ] = 1
Доказательство формулы Фаа-ди-Бруио (1.1) в скалярном случае ¡[п(х)\ можно извлечь из цитированной выше монографии [1]. По существу дело сводится к доказательству формулы = Их(где линейный дифференциальный оператор первого порядка:
д д
ВХ = щ дии + —— : и^и^и*^-^^ ... (1-4)
3 = 1 3
и
от дополнительных независимых переменных (1.2).
Для обоснования, указанного в (1.1), обобщения формулы Фаа-ди-Бруно на «векторный случай» ¡[и(х), ь(х),..., z{x)\.J заметим, что для экспоненциальных функций
у ^ ^ (и(х),-и(х),...,г(х)) знд^
log $ = т = аи + + ,..., (1.5)
скалярная и векторная формы, рассматриваемой формулы (1.1) совпадают. В силу соображений линейности это доказывает справедливость общей формулы для линейной комбинации экспоненциальных функций вида (1.5), а значит и в общем случае (см. формулы прямолинейных вычислений в работе [3]).
2. Цепочки Дарбу
Обсудим кратко примененимоеть формулы Фаа-ди-Бруно (1.1) к задаче об интегрировании линейного гиперболического уравнения второго порядка относительно функции ф = ф(х, у)\
[БХБУ + Ь(х, у)Бу + с(х, у)\ф = 0, (2.1)
при помощи теории преобразований Дарбу.
Лемма. Пусть с(п) = с(п;х, у), Ь(п) = Ь(п;х, у) удовлетворяют нелинейной цепочке связанных друг с другом уравнений:
Бх logc(п) = b(п + 1) - Ь(п), ИуЪ(п) = с(п) - с(п - 1), п е Z. (2.2)
Тогда
*1) выполняются следующие уравнения Дарбу:
^с(п)\ху = с(п +1)+с(п - 1) - 2с(п), п е Z, (2.3)
11) формулы
(Бх + Ь(п))ф(п) + ф(п - 1) = 0, Вуф(п) = с(п)ф(п +1), (2.4) переводят решения уравнений (ср. (2.1)) в решения:
[БХБУ + Ь(п)Бу + с(п)\ф(п) = 0, п е Z (2.5)
и коммутируют друг с другом операторы из (2.4).
Пусть выполнены уравнения (2.2). Тогда в силу равенства смешанных производных
БХБУ(^с(п)) = DyDx(logc(п)) = Ьу(п +1) - Ьу(п) = с(п + 1) + с(п - 1) - 2с(п),
что даёт цепочку уравнений Дарбу. Для доказательства 11) определим операторы «сдвига» Т±1 : фф(п) ^ ф(п± 1). Тогда, используя формулы Тс(п) = с(п +1)Т, Т-1 с(п)Т = с(п-1), [ Бх, Б у \ = [БХ,Т \ = [Бу ,Т \ = 0, получаем:
[Бх+Ь(п)+Т-1, Бу-с(п)Т\ = (-сх(п)+с(п)Ъ(п+1)-Ь(п)с(п))Т+с(п)-с(п-1)-Ьу(п) = 0. ►
(2.6)
134
А.Б. ШАБАТ, М.Х, ЭФЕНДИЕВ
Разрешимость линейных уравнений (2,1)), в теории преобразований Дарбу (см, [6]), удаётся связать с условиями замыкания цепочки нелинейных уравнений типа (2,3) для коэффициентов этих линейных уравнений. Для уравнений (2,2) простейшие условия такого рода соответствуют задаче Дирихле и занулению функций с(п) = с(п; х, у) при п < 0 и п > N > 1. В случае N = 1 это даёт скалярное уравнение [^с(1)]жу + 2с(1) = 0, эквивалентное уравнению Лиувилля аиху + 2еаи = 0 с точностью до замены вида с(п) = еаи. Характерное свойство, свидетельствующее об интегрируемости уравнения Лиувилля, формулируется при а = —2 в виде следующего уравнения:
Бу (и2 + и) = 0, щ = их, и2 = ихх. (2,7)
и( х, ) —
уравнения Лиувилля и его дифференциальных следствий, В общем случае экспоненциальных систем вида1
N
ху У ^ ап,]c(j), п € [N], det (ап] ) = 0, (2.8)
3 = 1
задача об условиях существовании «лиувиллевеких многочленов», аналогичных (2,7), была решена в препринте 1981 г, [9]. Точнее, в работе было доказано, что наличие достаточного набора дифференциальных соотношений вида (2,7), с необходимостью приводит нас к матрицам Картана (а^), соответствующим полупростым алгебрам Ли, Представляется
интересным, в дополнение к [9] и работе А.Н, Лезнова [10], связать лиувиллевекие много-2
возможноеть их некоммутативного обобщения. Ограничимся здесь двумя простыми примерами.
Скалярное уравнение иху = Р с произвольной функцией Р = Р(и) позволяет определить оператор Иу, действующий па множестве многочленов от дифференциальных переменных (1.2):
1 я ^ 1
= Р1й1 +°'(Р) ¡и, + Ер0-Ц яи, • Р"" = °'(Р ои) <2'9>
3>2 ^
Коэффициенты (ср. (1.1)) этого оператора, рассматриваемого на решениях уравнения иху = Р(и), однозначно определяются условием коммутирования Их о Иу = Иу о Их век-
х
Легко видеть, что условие Иу(и2 + и\) = 0 даёт Р' + 2Р = 0, т.е. приводит пас к уравнению
Р( и)
в силе во всех случаях разрешимости уравнения
ИУШ (щ,...,ит) = 0, (2.10)
и что общее полиномиальное решение уравнения (2,10) в скалярном случае иху = Р(и) порождается многочленом минимального порядка = и2 + и\ и выражается через многочлены Белла (см. [1]).
Уравнение Лиувилля, как уже говорилось, соответствует задаче Дирихле с N = 1 для цепочки Дарбу (2,3), При N = 2 мы находим:
[1аёс(1)]ху = с(2) — 2с(1), [^с(2)]ху = с(1) — 2с(2), (2.11)
1 «проинтегрированных» в известных работах А.Н. Лезнова и М.В. Савельева
2
2 постоянные при измениющнмся у
что соответствует простейшей из матриц Картана с ац = —2 на главной диагонали. Указанная в Лемме факторизация (2,2) этих уравнений приводит к дополнительным уравнениям для Ь(1), Ь(2), Ь(3):
'Бу (Ъ(1)) = с(1), Бу (Ь(2)) = с(2) — с(1), Иу (Ь(3)) = — с(2); Вх logC(l) = Ь(2) — Ь(1), Вх \ogci22) = Ь(3) — Ь(2); (2.12)
ру (ИЪ) = 0, = Ъ(1) + Ъ(2) + Ъ(3).
Из этих уравнений, которые выполняются для задачи Дирихле (2.11) и при N > 2, видно, что в качестве дифференциальных переменных и^ при построении лиувиллевских многочленов из формулы (2.10) можно выбирать
Ьз(п) = 03хЬ(п), з = 1, 2,..., п е N +1]. (2.13)
В частности, при N = 2, определив при помощи уравнений из верхней строчки формулы (2.12) оператор Иу, действующий на множестве многочленов от дифференциальных переменных (2.13), мы находим решения Шт уравнения (2.10) при т = 0, 1:
= Ь(3) + Ь(2) + Ь(1), W1 = Ь2(1) + Ь2 (2) + Ь2(3) + 2Ь 1(2) + 4Ь 1(1),
и при W0 = 0 находим следующий лиувиллевекий многочлен W2:
БуЪ2(1) = С(1) [Ь1(2) — Ь1(1) + (Ь(2) — Ъ(1))2} ,
Бу[Ь2(1) + Ь(1)Ъ(1) — Ъ1(2)Ъ(1)] = с(1) [Ъ2(2) — Ъ2(1)} — с(2) [Ъ(1)Ъ(3) — Ь(1)Ь(2)],
= Ь2(1) + Ь1(1)Ь(1) — Ь(2)Ь(1) + 3[Ь 3(1) + Ь3(2) + Ь3(3)].
Отметим, что указанное выше дополнительное условие W0 = 0 позволяет избавиться от «лишней» переменной Ь(3) и уравнять тем самым число неизвестных Ь(]) и с(]). При N = 3 аналогично строятся (при W0 = 0) три независимых решения (2.10) порядков т = 1, 2, 3 и т.д.
3. условия интегрируемости и задача гельфанда-сандерса
Пусть пП = |~«~| — наименьшее целое > п/2. Собирая в скалярной формуле Фаа-ди-Бруно члены с щ,] е [п'], мы получаем
/(п) = ипи ^п) и«,—1 и!(1) ^п) ип-2и/(2)... + (£) ип>ииК) — е(п)ип,/у] +..., е(п) =
(3.1)
1 I 0, п — нечетный
2 I 1, п — четный
где многоточие в конце формулы (3.1) обозначает слагаемые формулы (1.1), которые соответствуют урезанному диофантовому уравнению (1.3):
п
к1 + 2 к2 +----+ п" к«" = п, п" = -
и содержат только дифференциальные переменные (1.2) с номерами ] е [п"\. Например, при п = 5 мы имеем п' = 3, п'' = 2, и формула (3.1) записывается в виде
п < -
" 2
/(5) = (- + (5>,/(1) + (2) из /(2)) А + и) Пи).
Мы не останавливаемся на обобщении формулы (3.1) на векторный случай, но отметим очевидную аналогию с биномиальными коэффициентами формулы Лейбница:
136
А.Б. ШАБАТ, М.Х. ЭФЕНДИЕВ
(иь)(п) = + (1)и(п 1)ь(1) + (П)и(п 2М2) + • • • + иг;(га)для дифференцирования произведения двух функций и И V.
Ниже речь идёт о примененимоети формул типа (3,1) к задаче об интегрировании по частям произвольных функций ¿'[и], где [и] обозначает конечный набор дифференциальных переменных (1.2). Для этого выделяется линейная по старшим производным часть функции ¡[и] и сравнивается с приведённой выше формулой (3.1). Теоретической вопрос о представимости функции /[и] в виде производной ¡[и] = Ихд[и] эквпволентно равенства нулю «вариационной производной»:
' I = I - Ш +-2. (©Ш + ••• - (З-Ч
Однако в приложениях требуется находить первообразную д[и] от ¡[и] = Ихд[и] и определять препятствия к интегрированию. Задача о препятствиях для интегрирования по частям, основанная на обобщённой формуле Лейбница (3.1), лежит в основе развитого в 80-е гг. в Уфе [7]), [11] симметрийного подхода к проблеме интегрируемости нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными. Простейшим из них является уравнение Лиувилля из предыдущего раздела, к которому следует добавить, как было указано в пионерской работе [8], ещё два уравнения:
их,у = Р (и), Р (и) = еи + га, -1= -1, 7 = -2. (3.3)
Задача об эволюционных уравнений третьего порядка иг = Р(и,и1,и2,и3), интегрируемых в том же смысле, что и известное уравнение Кортевега—де Фриза, относится к задачам, для которых препятствия к интегрируемости, о которых говорилось выше, выделены в явном виде. Некоторое представление о многообразии этих обобщённых уравнений Кортевега—де Фриза даёт приведённый ниже список:
Уравнения типа Кортевега—де Фриза
ut = и3 + Р (и)щ, Р"' = 0, (3.4)
ut = и3 - 1и1 + (ае2и + ре~2и)щ. (3.5)
3щ2 I (щ) ai (щ) .
щ = из - ---1--, , 5 = 0. (3.6)
3и2 + т(и) с15г (и) 2и1 щ ' с1и5
Общая задача о полиномиальных уравнениях иг = Р([и]) произвольного порядка, обладающих высшими симметриями, была исследована в работе [5], в которой для интегрирования по частям использовался альтернативный подход, предложенный И.М. Гельфандом, Существенную роль при этом играли свойства однородности рассматриваемых многочленов Р([и]) и теоремы о делимости, связанные с теорией чисел.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. L.Comtet Advanced Combinatorics // Dordrecht. 1974.
2. Faa di Bruno Note sur un nouvelle formulae de calcul différentiel // Quart.J.M. 1857. 1. P. 359360.
3. Rumen Mishkov Generalization of the formula of Faa di Bruno for a composite function with vector argument // Internat. J.Math. 2000. 24(7). P. 481-491.
4. Жибер A.В., Муртазина P. Д., Хабибуллин И .T., Шабат А.Б. Характеристические кольца Ли и нелинейные интегрируемые уравнения. Москва-Ижевск. 2012.
5. J.Sanders, J.P.Wang On the integrability of homogeneous scalar evolution equations // Journal of Diff. Eq-s. 1998. 147. P. 410-34.
6. Веселов А.П., Шабат А.Б. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора, Шредин-гера // Функц. Анализ и его прилож. 1993. 27(2). С. 1-21.
7. А.В. Shabat, V.V. Sokolov Classificatión of integrable evolution equations // Soviet Scientific Reviews, Section C. N.Y. Harwood Academic Publishers. 1984. V. 4. P. 221-280.
8. Жибер А.В., Шабат А.Б. Ур. Клейна-Гордона с нетривиальной группой // ДАН СССР. 1979. 247(5).
9. Шабат А., Ямилов Р. Экспоненц. системы типа I и матрицы Картана. Preprint. Ufa. 1981. С. 1-22.
10. Лезнов А.Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных в двумерном пространстве // ТМФ. 1980. 42(3). С. 3 13 349.
11. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. О бесконечных алгебрах Ли-Беклунда // Функц. Анализ и его прилож. 1980. 14(4). С. 79-80.
Алексей Борисович Шабат, ИТФ РАН им. Л.Д. Ландау, просп. Академика Семенова, д. 1-А, 142432, г. Черноголовка, Россия КЧГУ им. У.Д. Алиева, ул.Ленина, 23,
369200, г. Карачаевск, Россия Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: shabatab@mail. ru
Магомед Хочалаевич Эфендиев,
КЧГУ им. У.Д. Алиева,
ул. Ленина, 23,
369200, г. Карачаевск, Россия
E-mail: kchrl927@gmail.ru