Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 104-154.

УДК 517.957

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННОЙ СЕПАРАНТОЙ

А.Г. МЕШКОВ, В.В. СОКОЛОВ

Аннотация. В обзоре приведены результаты классификации интегрируемых однопо-левых эволюционных уравнений порядков 2, 3 и 5 с постоянной сепарантой. Классификация основана на необходимых условиях интегрируемости, вытекающих из существования у интегрируемых уравнений формального рекурсионного оператора. Впервые приведены рекуррентные формулы для всей бесконечной последовательности необходимых условий. Большая часть классификационных утверждений может быть найдена в работах С.И. Свинолупова и В.В. Соколова, однако доказательства публикуются впервые. Результат, касающийся уравнений пятого порядка, является более сильным, чем полученные ранее.

Ключевые слова: эволюционное дифференциальное уравнение, интегрируемость, высшая симметрия, закон сохранения, классификация.

Введение

Этот обзор посвящен классификации интегрируемых эволюционных уравнений вида

дги

иг = ип + Ь (х,и,их,ихх,... ,ип-1), щ = —. (0.1)

охг

Уравнения с таким характером вхождения старшей производной по х часто называют уравнениями с постоянной сепарантой.

Поясним, что понимается под интегрируемостью в настоящей статье. К сожалению, единого строгого определения интегрируемости дифференциальных уравнений в настоящий момент не существует (по поводу разных подходов см., например, [1-3]). Однако для некоторых типов дифференциальных уравнений имеются эффективные критерии интегрируемости, которые не только могут быть проверены для данного уравнения, но и позволяют найти все уравнения из данного класса, удовлетворяющие данному критерию.

Для эволюционных уравнений (0.1) с одной временной и одной пространственной переменной наиболее эффективным критерием интегрируемости является существование высших локальных симметрий. Определяющее соотношение для симметрии - это билинейное тождество, включающее в себя как правую часть уравнения, так и правую часть симметрии. В работах [4,7] был предложен способ «исключения симметрии» из этого соотношения и получения необходимых условий существования симметрий только в терминах правой части уравнения. Эти условия, которые мы называем условиями интегрируемости, записываются в виде так называемых канонических законов сохранения. Основными их

A.G. Meshkov, V.V. Sokolov, Integrable evolution equations with a constant separant. © Мешков А.Г., Соколов В.В. 2012.

Авторы признательны А.В. Михайлову, С.И. Свинолупову и А.Б. Шабату за многочисленные полезные обсуждения. В. С. благодарен институту Макса Планка (Бонн) за гостеприимство. Исследования частично поддерживались грантом РФФИ 11-01-00341-a, грантом поддержки научных школ 6501.2010.2 и грантом Министерства образования и науки РФ (проект 1.2.11). Поступила 20 января 2012 г.

достоинствами является независимость условий от порядка симметрии и инвариантность относительно любых точечных преобразований, не выводящих из класса уравнений (0.1).

В работах [4-7] было показано, как необходимые условия интегрируемости выводятся из наличия у уравнения (0.1) бесконечной серии высших симметрий или законов сохранения. Более подробно техника получения условий изложена в обзорах [8,9]. Здесь мы ее не касаемся. Отметим, что имеется альтернативный способ [10,11] для вычисления канонических законов сохранения через логарифмическую производную формальной собственной функции оператора линеаризации для уравнения (0.1) (см. приложение 3). Эквивалентность этих двух способов для скалярных уравнений следует из теоремы 2.9 обзора [12].

Опишем результаты работы. В главе 1 на простейших примерах мы показываем, как выглядят канонические законы сохранения и как с их помощью можно классифицировать интегрируемые уравнения. В частности, в этой главе решена задача классификации уравнений (0.1) при п = 2. Интегрируемые эволюционные уравнения второго порядка общего вида проклассифицированы в [13]. Результаты последней работы обобщены на случай слабо нелокальных симметрий в [14].

В главе 2 приведено решение задачи классификации интегрируемых уравнений вида

Щ = и3 + F(х,и, щ, и2). (0.2)

К этому классу принадлежит знаменитое уравнение Кортевега - де Фриза

Ut = и3 + uu\. (0.3)

Случай, когда функция F не зависит от и2 и х (см. раздел 1.2), рассматривался в [4, 15]. Результаты главы 2 были анонсированы в [5,6], однако доказательство публикуется впервые. Также впервые найдена рекуррентная формула, описывающая всю бесконечную серию канонических плотностей. В работах [5,6] в явной форме были приведены только 4 первые плотности, которые реально использовались при классификации. Интегрируемые эволюционные уравнения третьего порядка, более общие, чем (0.2), изучались в [9,16,17].

В главе 3 рассматривается вычислительно сложная задача классификации интегрируемых уравнений вида

Ut = и5 + F (u,ui,u2,u3,u4). (0.4)

В заметке [18] анонсировалось решение этой задачи при дополнительном предположении, что четные канонические плотности тривиальны (см. замечание 2). Однако не только доказательство, но и полный список найденных уравнений, в [18] отсутствует. Впервые список уравнений (0.4), обладающих высшими законами сохранения, был опубликован в [9]. В настоящей работе условие тривиальности четных канонических плотностей не используется и, таким образом, решается технически более сложная задача классификации уравнений (0.4), обладающих высшими симметриями. Ответ по существу совпал со списком из [9]. Как и в случае уравнений 3-го порядка, впервые найдена общая формула для всей бесконечной серии канонических плотностей.

Результаты работ [5, 6, 9,18] были получены с помощью тяжелых вычислений, выполненных «руками». Поэтому имелась ненулевая вероятность ошибок, которые могли привести к потере интегрируемых уравнений. С появлением компьютерных систем типа Maple, Mathematika и т.д. возникла возможность частично автоматизировать вычисления. Результаты настоящей статьи были получены с помощью пакета программ Jet, написанного первым автором. Существенных ошибок в списках интегрируемых уравнений обнаружено не было, однако было исправлено несколько типографских опечаток в работе [9].

На первый взгляд кажется, что задача классификации интегрируемых уравнений (0.1) с произвольным п весьма далека от полного решения. Это не совсем так. Всякое интегрируемое уравнение вместе со всеми своими симметриями образует так называемую иерархию

интегрируемых уравнений. В случае уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния [19], все уравнения иерархии обладают одним и тем же L-оператором. Этот факт лежит в основе коммутативности потоков в иерархиях (каждое уравнение иерархии является симметрией для всех остальных). Общее утверждение о «почти» коммутативности локальных симметрий уравнения (0.1) содержится в [20].

В работах [21,22] при предположении полиномиальности и однородности правой части уравнения (0.1) доказано, что его иерархия обязательно содержит уравнение второго, третьего или пятого порядка. Утверждение представляется чрезвычайно правдоподобным и без всяких дополнительных ограничений на правую часть уравнения. Доказательство в общем случае отсутствует, и утверждение имеет статус гипотезы, широко известной специалистам. Никаких контрпримеров к этой гипотезе неизвестно.

По модулю гипотезы, в обзоре описаны все иерархии интегрируемых уравнений вида (0.1). Другими словами, всякое интегрируемое уравнение порядка 4 или порядка > 5 эквивалентно высшей симметрии одного из уравнений, приведенных в настоящем обзоре. Отметим, что вычисление симметрий заданного уравнения является линейной задачей, для решения которой имеется несколько эффективных компьютерных программ. Кроме того, высшие симметрии могут быть найдены с помощью квазилокальных рекурсионных операторов (см. [23] и ссылки там).

Разнообразные результаты по классификации интегрируемых систем эволюционных уравнений можно найти в [8, 24-40]. Дальнейшие ссылки содержатся, например, в обзоре [41].

Отдельной сложной задачей является классификация интегрируемых гиперболических уравнений и систем [42-50].

1. Простейшие классификационные задачи

Все необходимые условия интегрируемости, которые мы будем использовать далее, имеют вид локальных законов сохранения. Напомним [51], что локальным законом сохранения для уравнения (0.1) называется пара функций р и 9, зависящих от конечного числа переменных х,и,и\,... такая, что

d д д д д

— = ^ + ui~--Ъи2^----1----, ио = и, (1.2)

ах дх ди0 дщ ди2

d = д + ^ д + ^ д + ^ д + dt дЬ 0 ди0 1 ди\ 2 ди2 }

Здесь

где

^ = -^—(ип + Р (х,щ, иг, и2,... ,ип-х)^.

Операторы —- и — часто называют полной производной по ж и полной производной по Ь в dx dt

силу уравнения (0.1). Функция р называется плотностью, а в - током закона сохранения.

Соотношение (1.1) называется законом сохранения по следующей причине. Рассмотрим, например, уравнение Кортевега - де Фриза иг = и3 + ииг. Известно, что оно обладает бесконечным набором законов сохранения. В частности, поскольку уравнение можно переписать в виде

Щ = (щ + 2и2)х,

функция и является плотностью закона сохранения. Предположим, что решение и(х, ¿) убывает при |х| ^ то. Тогда имеем

й [

— идьх = 0,

^ .У—те

т.е. площадь под графиком решения не зависит от Аналогично, сохраняются интегралы и от остальных плотностей законов сохранения.

Ясно, что если р - плотность закона сохранения, то плотностью также является

рх = р +—для любой функции к. Две такие плотности мы называем эквивалентными

х

и пишем р ~ рх. Закон сохранения называется тривиальным, если р ~ 0.

Порядок старшей производной, от которой зависит функция ¡(х,и,их,... ,ии), называется дифференциальным порядком этой функции. Дифференциальный порядок обычно обозначают как огё / = к. Порядком закона сохранения называется минимальный из дифференциальных порядков эквивалентных плотностей.

Вывод необходимых условий интегрируемости в виде бесконечной серии так называемых канонических законов сохранения подробно обсуждался в [8-11], альтернативный вариант см. в приложении 3. В этой статье мы часто приводим соответствующие формулы без доказательств. Зато мы подробно останавливаемся на том, как из этих необходимых условий извлечь полный список интегрируемых уравнений вида (0.2), и описываем точечные преобразования, необходимые для приведения произвольного интегрируемого уравнения к одной из канонических форм.

1.1. Интегрируемые уравнения типа Бюргерса. Рассмотрим эволюционные уравнения второго порядка:

Ш = и2 + Цх,и,щ). (1.3)

Канонические плотности для этого уравнения задаются следующей рекуррентной формулой:

2 Рп+х = 0п + ^ Рп—гРг - Рп + $п, — Х + ^ — Рп, П ^ ^ (^

г=0 1 1

Здесь р—х = 0, 8гу - символ Кронекера. Один из способов получения подобных формул описан в приложении 3. Токи, соответствующие этим плотностям, вычисляются последовательно в процессе классификации. При этом препятствия к их существованию накладывают ограничения на правую часть уравнения (0.2), что в конечном итоге и позволяет найти все интегрируемые уравнения (1.3).

Полагая в (1.4) п = — 1, 0, находим два первых канонических закона сохранения:

й д/ й

& дих ¿х

(1.5)

Ж\ах ди — 2{д^х) ) = ^, (1.6)

где ах = 2 в0 и а2 = 4 вх + —ох.

ах

Первая из формул означает, что для любого интегрируемого уравнения (1.3) частная производная от его правой части по их является плотностью закона сохранения. Например, для уравнения Бюргерса и = и2 + иих эта формула дает плотность р = и. Функция ах в этом случае легко вычисляется:

12

= и2 + ^и .

Общий алгоритм вычисления тока при заданной плотности приводится ниже (см. замечание 4).

Продемонстрируем основные приемы работы с условиями типа (1.5), (1.6). Для того чтобы определить характер зависимости правой части уравнения от щ, проще всего исключить неизвестную функцию а\ в (1.5). Для этого применим к обеим частям (1.5) оператор Эйлера

А - А А А ^ А.

5и ди ¿х дщ йх2 ди2

Хорошо известно [51], что

— о — = 0,

5и ¿х

и поэтому

8 й (д}\ 0 д3/ . (1 д3!

0 би^Удщ) ди3 4из ¿х ди3 + (1.7)

где символ 0(2) означает члены, имеющие по производным порядки не выше второго. Последнее равенство должно выполняться для любого решения (1.3). Поскольку не существует обыкновенного дифференциального уравнения по переменной х, которому удовлетворяют все решения уравнения (1.3), соотношение (1.7) должно выполняться тождественно по переменным и,щ,... ,и4. Приравнивая к нулю коэффициент при и4, находим, что уравнение имеет вид

иг = и2 + А(х, и)и\ + В(х, и)щ + С(х, и). (1.8)

Итак, всякое интегрируемое уравнение (1.3) квадратично по щ. Можно проверить, что для уравнения вида (1.8) условие (1.7) эквивалентно двум следующим уравнениям:

(Ср)и = (Вр - рх)х, ри = Ар,

где р = Ви - 2АХ.

Учитывая, что интегрируемость всякого дифференциального уравнения сохраняется при точечных преобразованиях, упростим уравнение (1.8) точечным преобразованием и = ф(х, у), прежде чем продолжать исследование условий интегрируемости. Несложные вычисления приводят к следующему уравнению для :

-1 / I /о / \ 2Ч

Щ = У2 + I —

К Э ^ + АМ)( I) ) + ^ + „).

д2ф +АМ)(%) =0

Очевидно, что уравнение

д 2 д

имеет решение, зависящее от при любой функции А. Поэтому точечным преобразованием можно сделать функцию А в уравнении (1.8) равной нулю. Это преобразование - первый шаг при приведении всякого интегрируемого уравнения к одной из канонических форм. Условие (1.5) для уравнения

иг = и2 + В (х,и)и1 + С (х,и) (1.9)

Ви(и2 + В(х, и)и1 + С(х, и)) = —-аг. (1.10)

принимает следующий вид:

А

¿х

Поскольку для использования условия (1.6) нам необходимо полностью или частично знать функцию аг, вместо применения вариационной производной к обеим частям (1.10) используем альтернативный прием, состоящий в выделении полной производной в левой

части (1.10). Этот прием абсолютно алгоритмичен и может быть запрограммирован на любом языке символьных вычислений (см. замечание 4 на стр. 113). Имеем

Вии2 + ВиВщ + ВиС = А (вищ + 1В^ — их(Вииих + Вих) — ВВХ + ВиС

= ('Виих + 1В2 — Вх) — Вии^А + Вхх — ВВх + В,аС. Подставив последнее выражение в (1.10), получаем

,2 , о ии , о ^ Л Л о 1г>2 , „ _ #

— Вииих + Вхх — ВВх + ВиС = уаХ — Вии1 — 2В + В^ =

Поскольку левая часть зависит только от х, и, их, то функция ф может зависеть только от х и и. Подставляя -Ф = фх + фиих, и приравнивая коэффициенты при и\ и их, получаем

Вии = 0, фи = 0, Вхх — ВВх + ВиС = фх. Полагая В = а(х)и + 3(х), находим, что всякое интегрируемое уравнение (1.9) имеет вид

иг = Щ + (а(х)и + 3(х))их + С (х,и), (1.11)

где

аС(х, и) — аа'и2 + (а'' — ар — а'3)и = ф' + 33' — 0'. (1.12)

При этом

ах = ф + аих + -(аи + 3 )2 — а'и — 0. (1.13)

Если а = 0, то из (1.12) определяется функция С. В этом случае уравнение (1.11) можно упростить точечным преобразованием и ^ и /х(х) + /2(х). Выбрав /х = 1/а f2 = 2а'/а2 — 3/а, мы получаем а = 1, 3 = 0. При этом уравнение (1.11) принимает вид

Щ = ихх + иих + ф' (х). (1.14)

Условия (1.5), (1.6), так же как и все остальные необходимые условия интегрируемости, для этого уравнения выполнены. Уравнение Бюргерса (1.14) сводится к линейному уравнению

Щ = Ухх + ф(х) Ух,

подстановкой Коула - Хопфа и = 2ьх/и + <р(х), где р и ф связаны соотношением

р" + рр' = —ф'.

В случае а = 0 в уравнении (1.10) левая часть обращается в нуль, поэтому ах — постоянная. Далее из условия (1.6) имеем

¿и+2 ди—

{дщ) )

что равносильно системе уравнений

Сиии = 0 ССии + Схии — (/3Си)х + ф (х) =

Отсюда С = р(х)и + ц(х), и мы приходим к линейному уравнению

Щ = Щхх + 3 (х)их + р(х)и + д(х). (1.15)

Для этого уравнения все необходимые условия интегрируемости выполнены.

Замечание 1. Среди полученных нами интегрируемых уравнений второго порядка (1.14) и (1.15) отсутствует пропотенциированное уравнение Бюргерса иг = ихх + и2х. Причина в том, что это уравнение линеаризуется точечным преобразованием и = 1пV. Это

преобразование — частный случай точечного преобразования, которое было применено к уравнению (1.8) для уничтожения функции А.

1.2. Интегрируемые уравнения типа КдФ. Полученный в предыдущем разделе список интегрируемых уравнений довольно беден. Рассмотрим более содержательную классификационную задачу. Найдем все интегрируемые эволюционные уравнения вида

Щ = и3 + ¡(иг,и). (1.16)

Оказывается (см. раздел 2.1), что для всякого такого интегрируемого уравнения

431 ^ (1.17)

dt \дщ J dx

где о\ — некоторая функция, зависящая от и,их, ...,и3.

Пример 1. Для уравнения мКдФ ut = и3 + и2и\ закон сохранения (1.17) имеет вид

(u2)t = (2ии2 -и\ + 1и4)х. □ Применяя к обеим частям (1.17) оператор Эйлера, получаем

0 = I (д|), = 3и4 {'"* Ц + и1 д^^ ) + 0(3)- (1Л8)

Последнее равенство должно выполняться для любого решения (1.16) и поэтому должно быть тождеством по переменным и,щ,... ,и4. Приравнивая к нулю коэффициент при и4, и пользуясь тем, что f не зависит от и2, находим, что

f(щ,и) = + А(и)и1 + В (и)щ + С (и)

с некоторой постоянной /. Нетрудно проверить, что для такой функции f условие (1.18) эквивалентно системе ОДУ

/А = 0, В"' + 8/В' = 0, (В 'С)' = 0, АВ' + 6/С' = 0.

Следующее необходимое условие интегрируемости имеет вид

д

dt \ди ) dx

откуда

14 № =0. (1.19)

и д и

Последнее условие приводит к дополнительным уравнениям

А = 0, АС'' = 0, (С''' + 2/лС')' = 0, (СС'')' = 0.

В случае / = 0 полученных уравнений достаточно для полного определения функций А, В и С .В результате, с точностью до растяжения и ^ const и, мы приходим к уравнениям

Щ = иххх - 1их + (Cie2u + С2е 2и + с3) их (1.20)

и

и = иххх + CiU% + С2и2х + С3их + С4, (1.21)

где сг — произвольные постоянные.

Если ^ = 0, то, решая приведенную выше систему ОДУ для функций А, В, С, получаем, что уравнение имеет вид

Щ = иххх + сои2х + (сги2 + с2и + с3)их + сАи + с5,

причем

с0с 1 = 0, с0с2 = 0, с4с 1 = 0, с4с2 = 0, С\С5 = 0. Из третьего условия интегрируемости (см. раздел 2) находим дополнительные соотношения:

С0С4 = 0, С2С5 = 0.

В случае с0 = 0 приходим к частному случаю уравнения (1.21). Если же с0 = 0, то возможны два случая: а) с 1 = 0 или с2 = 0, с4 = с5 = 0 и б) с\ = с2 = 0, приводящие к двум следующим уравнениям

иг = иххх + (с 1и2 + С2и + с3)их, (1.22)

иг = иххх + с3их + С4и + с5. (1.23)

Всякое линейное уравнение специалистами по нелинейным уравнениям по определению считается точно интегрируемым. Уравнения (1.20), (1.21) и (1.22) были найдены с помощью необходимых условий интегрируемости. Поэтому то, в каком смысле они действительно интегрируемы, следует обсуждать отдельно. Хорошо известно, что ко всем этим уравнениям применим метод обратной задачи рассеяния. Кроме того, все они связаны с уравнением КдФ иг = и3 + щщ дифференциальными подстановками типа преобразования Миуры [52].

Замечание 2. Условия (1.18), (1.19) выполнены для уравнений (1.16), обладающих высшими симметриями. Если уравнение обладает высшими законами сохранения (существование симметрий при этом не предполагается), условие (1.18) по-прежнему выполняется, а условие (1.19) может быть усилено:

±( д1 и д и

Это следует из общего утверждения [5], согласно которому для уравнений с высшими законами сохранения канонические плотности с четными номерами тривиальны.

1.3. О допустимых точечных преобразованиях. В процессе классификации интегрируемых уравнений мы, как правило, пользуемся точечными преобразованиями, приводя интегрируемое уравнение к той или иной канонической форме. Например, в разделе 1.1 мы использовали точечные преобразования при приведении уравнения (1.8) к виду (1.9), а также при нормировании функций а( х) и 3( х) в уравнении (1.11).

Опишем точечные преобразования, которые применяются при классификации уравнений (0.1).

Всякое уравнение вида (0.1) допускает преобразования

й = <р(и,х). (1.24)

Здесь и далее, если формулы преобразования каких-либо переменных , х или и не указываются, это означает, что соответствующие переменные не меняются. Допускаются также растяжения

х = ах, 1= аЧ. (1.25)

При этом

Р(х, и,щ,и2,...) ^ а—пР(а—хх, и, ащ, а2и2,...).

Для некоторых подклассов уравнений (0.1) допускаются дополнительные преобразования, зависящие от ¿. В частности, если Р(х, Хи, Хщ,..., Хип—х) = ХР(х,и,щ,... ,ип—х), то при произвольных постоянных а и Ь допускается преобразование

и = и ехр(а1 + Ьх). (1.26)

При этом преобразовании ип ^ (дх — Ь)пи, Р ^ Р + аи.

Если, как в разделе 1.2, предполагается, что правая часть Р уравнения (0.1) не зависит от переменной х, то класс допустимых преобразований меняется. Из (1.24) допускаются лишь преобразования вида

й = р(и). (1.27)

Одновременно возникают дополнительные точечные преобразования. В частности, всегда допускается преобразование Галилея

х = х + сЪ, (1.28)

при котором Р ^ Р — сй\. Если функция Р не зависит от и их, то преобразование

й = и + с\х + с2Ь (1.29)

является допустимым. При таком преобразовании

Р (Щ,й2 ,йз, ... ) ^ Р (щ — С1,й2,й3, ...) + с2.

Уравнения, связанные описанными выше преобразованиями, называются эквивалентными. Важно отметить, что наша классификация является чисто алгебраической. Такие свойства решений исследуемых уравнений, как вещественность, нас здесь не интересуют. Поэтому функции и постоянные, входящие в формулы (1.24)-(1.26) могут быть как вещественными, так и комплексными. К примеру, уравнения щ = и3 — Щ и щ = и3 + Щ считаются эквивалентными.

Интегрируемые уравнения могут содержать произвольные постоянные, которые устраняются тем или иным преобразованием. Рассмотрим в качестве примера уравнение (1.21), где С\ = 0. С помощью (возможно комплексного) растяжения и ^ Хи зафиксируем нормировку с 1 = 1. Далее, преобразование и ^ и + ах + ^ приводит к уравнению

щ + @ = иххх + (их + а)3 + с2(их + а)2 + с3(их + а) + с4.

Легко видеть, что при а = — с2/3 и @ = с4 + а3 + с2а2 + с3а получаем с2 = 0, с4 = 0. Постоянная 3 уничтожается преобразованием Галилея, и мы получаем потенциированное

модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза:

3

Щ йххх + йх.

Аналогично, несущественными являются параметры в уравнении (1.22).

2. Уравнения третьего порядка с постоянной сепарантой 2.1. Условия интегрируемости. Для уравнений вида (0.2) бесконечная цепочка ка-

нонических законов сохранения

1 « = Тх м- п = 0-1

может быть задана формулами (вывод см. в приложении 3):

Рп+2

с1 п

— 8п,оРи — Ри1 рп — —рп + 2 рп+1 + ^^ р3 Рп-^

в=0

Е

О^з+й^га

рв рк рп—з—к

А.

¿х

1

1 а

рп+1 + 2 X/р рп-3 + з ¿х р'а

«=0

где два первых элемента последовательности р1 имеют вид

ро = —-

1 2 1 1

р = -Г2__Р +___Р

р1 9^2 З^1 + 3 ¿г 2.

(2.1)

п+1

] ря рп+1-в в=0

п > 0,

(2.2)

1

3

Здесь 8^ — символ Кронекера, Гщ = дГ/диг, где г = 0,1, 2. Токи 9п вычисляются последовательно в процессе классификации. При этом препятствия к их существованию приводят к дифференциальным уравнениям, которым должна удовлетворять правая часть интегрируемого уравнения (0.2).

Нетрудно проверить, что первые четыре условия из этой серии эквивалентны условиям

(Иди2 (х

(2.3)

( (

( дГ /дГ\ Л (

дк "(<&) ) = (х

(да 2 (—У-9 (—\ (—\ 27—\ I ° \ди2) \ди2) \дщ) ди I

х

(2,

( (

а 1 (х 3,

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(

3—а° — 991,... Как будет показано ниже, ( х

приведенным в [6]. При этом а° = —39°, (Г\

этих четырех условий «почти» хватает для получения полного списка интегрируемых уравнений (0.2).

Чтобы эффективно использовать каноническую серию для классификации, полезно сначала изучить возможную структуру плотностей локальных законов сохранения малых порядков для рассматриваемого класса уравнений.

Лемма 1. Если плотность р закона сохранения для уравнения (0.2) имеет дифференциальный порядок огё р = 2, то

Р=Ьи2 + ¡2П2 + ¡3, (2.7)

некоторые функции от х,и, их, причем

где ¡г

( /

(х

21 — 3 1 и2

(2.8)

Доказательство. Уничтожая вычитанием полных х-производных члены с и5 и и4, находим, что

— = — (и + Г) + — а ди дщ

( 4 + (х ) + ди2 ( 5 + (х2 )

( д3р 2 ди32 ' ^уди^диг

и3 д3р 3 2

— — + ~и3

и2 +

д3р д и22 д и

их +

д3р 2 дГ д2р

3 д и2 д и2

д и22 д х

(2.9)

где многоточие означает линейное по и3 выражение. По определению закона сохранения,

последнее выражение должно иметь вид —-а. Ясно, что функция а не может зависеть

х

от производных выше, чем и2, а функция —а имеет по и3 степень не выше единицы.

х

Поэтому, приравняв к нулю коэффициенты при и3 и и3, получаем (2.7) и (2.8). □

Замечание 3. Заметим, что в (2.7) возможно равенство /х = 0. Это относится и к другим аналогичным леммам.

Замечание 4. При доказательстве леммы 1 использовался следующий алгоритм проверки того, является ли данная функция в(х,и,их,... ,ип) полной производной по х (т.е. (

принадлежит —). Во-первых, в должна быть линейна по старшей производной ип.

х

Если это выполнено, то, как легко видеть, из в можно вычесть полную производную так,

что разность имеет порядок, меньший, чем п. Продолжая эту процедуру понижения порядка, мы либо дойдем до ситуации, когда функция нелинейна по старшей производной, либо получим ноль.

Покажем, как можно использовать формулы (2.7) и (2.8) при классификации уравнений (0.2).

Лемма 2. Пусть для уравнения (0.2) выполнено первое условие интегрируемости (2.3). Тогда F — многочлен по и2 не выше второй степени.

dF

Доказательство. Согласно условию (2.3), функция —— должна быть плотностью за-

OU2

кона сохранения. Применяя к ней лемму 1, запишем уравнения (2.7) и (2.8):

°F f 2 , , , ,

= ПЩ + J2U2 + fs,

OU2

д fi . д fi д fi 2 2 , , . , ч

+ + 7^U2 = о Ji(JiU2 + J2U2 + fs).

дх ди0 дщ 3

Так как fi не зависят от u2, то, приравнивая коэффициенты при u2, получаем fi = 0.

д F 2

Проинтегрировав уравнение —— = f2u2 + fs по и2, приходим к требуемому результату. □

д U2

2.2. Список интегрируемых уравнений. Наша основная цель — доказать следующее утверждение [6].

Теорема 1. С точностью до замен вида (1.24)-(1.29) всякое уравнение (0.2), удовлетворяющее условиям интегрируемости (2.1), (2.2) cn = 0,1,..., 5), принадлежит следующему списку:

Щ = иххх + иих, (2.10)

Щ = Uxxx +и2их, (2.11)

Ut иххх + их, (2.12)

Ut = иххх - 1их + (Cié2и + с2е-2и)их, (2.13)

Ut = иххх - + а1(и2х + 1)S/2 + a2ul-, (2.14)

2(их + 1)

Зи2 1 3

Ut = иххх - 2ххх +--2р(и)и*х, (2.15)

2Щх Щх 2 2

х ии 3

Йй

ЗЩх

Щ = иххх - Т^ННч^ -о Р(и)их(и1 + 1), (2.16)

2(их + 1) 2

Ut иххх 2и , (2.17)

3U2

Ut = иххх - —^ + CiU3J2 + С2Щх, Ci =0 или С2 = 0, (2.18)

4их

Зи2

Ut = иххх - ~т— + а(х)их, (2.19)

4их

3 ихх 3 , i—-— , 3 их 6 5/2 t : Ut = иххх - -.--+7иххЫа их + их) + -Г- + -Z Uj Va'

4их С С2 С2

3ихх/2

+--^ (£a" - 2a'2) + f их + со + ciU + С2 и2

2 a

(2.20)

а'" . 3а"2 па" „а'2 со + с1а + с2 с?

где i = ф) -Щ, f = - — + — + 3j - 3 — -

а

U = иххх + 3 и2ихх + 9 ии2х + 3 и4их + иха(х) + - исС(ж),

U = иххх + 3иихх + 3и2х + 3и2их + (щ (х))х + 3 (х), Щ = иххх + а(х)их + 3 (х)и.

(2.21)

(2.22) (2.23)

Здесь (р')2 = 4р3 — д2р — д3, а\, а2, Со, с1, с2, д2, д3 — произвольные постоянные, а, 3 и 7 — произвольные функции.

Замечание 5. Часто вместо уравнений (2.15) и (2.16) рассматривают точечно эквива-

лентные им уравнения

3 и2

щ

Q

2 и7

+ —, их

и

3((Q + и2)х)2

Щ

UTTT ~

8 их (Q + и2х) 2

+ iQ"ux.

(2.24)

(2.25)

В обоих случаях Q = с0 + С\и + с2и2 + с3и3 + с4и4 — произвольный многочлен. Если Ql = 0, то в уравнениях (2.24) и (2.25) можно сделать подстановку и = ¡(у), где (¡')2 = Q(f) . Тогда для V получатся уравнения (2.15) и (2.16), соответственно. При этом

4 2

92 = зС2 - 4с 1С3 + 16С0С4,

9з

8 я 4

32

27с:.2 - 3С1°2С3 - уС0С2С4 + 4Cocí + 4с\с4.

Отметим, что при дробно-линейных преобразованиях

ziu + Z2

и

Z3UI + Z4

(2.26)

многочлен Q меняется по закону

Q(U) = Q ( Zl%t + Z2\ (Z3U + Z4)4(Z1Z4 - Z2Z3) 2. \Z3U + Z4)

Выражения g2, д3 являются инвариантами группы преобразований (2.26). В зависимости от структуры кратных корней многочлен Q может быть приведен преобразованием (2.26) и растяжениями х и t к одной из следующих канонических форм: Q(х) = х(х - 1)(х - к), Q^) = х(х - 1), Q(х) = х2, Q(х) = х, Q(х) = 1 и Q(х) = 0. □

Замечание 6. В уравнении (2.15) допускается вырожденный случай р = const, а в уравнении (2.16) такое же вырождение приводит к частному случаю уравнения (2.14). □ Докажем теорему 1. Отметим, что приведенное ниже доказательство содержит алгоритм приведения произвольного интегрируемого уравнения (0.2) к одной из канонических форм (2.10)-(2.23) точечными преобразованиями.

Доказательство. Согласно лемме 2, всякое интегрируемое уравнение имеет вид

Щ = иххх + А2(их,и,х)и2хх + А1(их,и,х)ихх + Ао(их,и,х). (2.27)

Легко видеть, что плотность закона сохранения (2.4) имеет вид (2.7), где f1 = 3 А2,щ - 4А2. Соотношение (2.8) приводит к двум следующим уравнениям:

9- 36 А2^ + 16 А2 = 0,

ди\ 24 А2

(

дА2 д и

Ui +

д и1

д А2

д х

)+2А1( 3 дА - 4А1)

- 4а2А - 9д2А

- 2 - д х и

2

9

1

д2А2

д и д и1

и1 = 0.

Первое из уравнений имеет решение в виде

Л = -

А дв

где

д 3В ди{

при этом второе уравнение принимает следующим вид:

дВ дВ \ д2В 2МВ + 3 ——+ 3) -ТТ2 = дх ди ) дщ

3В-

d д2В

(2.28)

(2.29)

dx ди2

Из формулы для функции А2 ясно, что старший коэффициент многочлена В(щ) без ограничения общности можно считать единицей. Поэтому имеем три случая:

I. В = и2 + В(х,и)щ + В0(х,и), II. В = щ + В0(х,и), III. В = 1.

Уравнение (2.29) выполнено тождественно в случаях II и III, а в первом случае из него определяется функция А:

3 [дВ дВ\

А = -т^ + щ—

2 В \ дх

д и

Случай I. При точечном преобразовании и = <р(х, у) функция В меняется по правилу В(х, V) = (<руь 1 + <)2 + В(х, 1 + <х) + В0(х, <).

Поэтому, выбрав в качестве <р любое решение уравнения <х = — \В\ (х,<), сведем дело к случаю В = 0.

Возвращаясь к исследованию второго условия интегрируемости (2.4), находим, что

d dt

иШ

2В0,х

и

4 (и2 + Во)3 6

д4Ао

+

3

ди\ и2 + Во

и

д3Ао ди3

д 2Ао

д и2

+ Ф(Во,и,щ)

+ (2.30)

+ г2и22 + Z\4l2 + Zo,

где выражение Ф зависит от производных функции В0 и обращается в нуль, когда В0 — постоянная; Zi — некоторые функции от х,и,щ. Приравнивая к нулю коэффициент при и|, находим, что В0,х = 0 и, следовательно, В = и2 + В0(и). Подходящим точечным преобразованием и ^ <р(и) превратим В0 в постоянную с0, равную либо единице (случай !.1), либо нулю (случай !.2).

Приравнивая теперь к нулю коэффициент при и3 в (2.30), где Ф = 0, В0 = с0, находим функцию А0. В итоге, уравнение (2.27) принимает следующий вид:

Ut иххх

3 иХ л / \

О, 2 , ч +Ао(щ,и,х),

2(и1 + Со)

(2.31)

аз,

где А0 задается одной из двух следующих формул:

1.1. с0 = 1, А0 = а0(и2 + 1)3/2 + а\и\(и2 + 1) + а2щ +

1.2. с0 = 0, А0 = — + ахи3 + а2щ + а3.

и1

В обоих случаях а^ = а^(х,и).

В случае !.1 из дальнейших следствий второго условия интегрируемости вытекает, что а0, а2 и а3 — постоянные, а функция а\ зависит только от и. Кроме того, а'" = —8а1а[, аоа[ — а3а[ = 0. Если а^ = 0, то, уничтожив постоянную а2 преобразованием Галилея, получаем уравнение (2.16). Если а^ = 0, то с точностью до преобразования Галилея имеем уравнение (2.14).

В случае !.2, приравнивая к нулю коэффициент при и2 в (2.30), находим уравнение

5

да1 4 л - 4

д 2 3 д а2 2 д а3 д о щ--— щ + 2^— щ +

д и

д х

д х

д х

0.

0

гч^

Отсюда следует, что а2 — постоянная, а функции а0, а1 и а3 зависят только от и. Постоянная а2 уничтожается преобразованием Галилея, а одну из функций а0, а1 или а3 можно сделать постоянной подходящим точечным преобразованием вида и ^ <р(и).

1.2.1. Если а0 = 0, то, не ограничивая общности, можно считать, что а0 = 1. В таком случае второе условие интегрируемости равносильно трем уравнениям: а'3 = 0, а3а[ = 0, а'1 + 8а1а'1 = 0. Если а\ = 0, то, положив а1 = -3/2р, приходим к уравнению (2.15). Если а!1 = 0, то допускается преобразование и ^ и + , уничтожающее постоянную а3. В этом случае получаем уравнение, совпадающее с (2.15) с постоянной функцией р.

1.2.2. Если а0 = 0, то преобразованием и ^ <р(и) можно упростить а3 или а1. Если а3 = 0, то указанным преобразованием можно уничтожить а1, и мы получаем уравнение (2.17). Если а3 = 0, то преобразованием и ^ <р(и) сделаем а3 постоянной. Тогда из второго условия интегрируемости следует 1 = 0, что позволяет применить преобразование и ^ и + а^Ъ, уничтожающее а3. То есть мы пришли к случаю а3 = 0, рассмотренному выше.

В случае I полная классификация была получена с использованием только условий (2.3) (лемма 2) и (2.4). Это оказалось возможным потому, что р1 — плотность высокого (второго) порядка.

Случай II. В этом случае В = их + В0(х, и). Преобразованием вида и ^ ф(х, и) можно уничтожить функцию В0. Полагая В0 = 0, находим, что

( 32А1 2 дА1 * ~Л' "2 ~ 4 (2Щ-щ - ^«1 +А1) +0(1).

и22 д2 А1 2 д А1

И2 ---2 2

2 и21

Нетрудно проверить, что

й и3 / д3А1 д2А1

<ир° - ^ [2и1 дА +3дит) + ^ + ь, (2.32)

с1 и\и2 (п 3д3А1 2д2А1 дА1 2 ,л

ш г'2 ~ -Ьц Г3 м+и1 щ-+''1 ^ + +0(2)- (2-33)

где кг ид — некоторые функции от щ, и, х. Приравняв к нулю первые члены в этих выражениях, получаем систему, сводящуюся к одному уравнению второго порядка

,д 2А1 дА1 ди\ и1 ди1

Отсюда А1 = а1(х,и)и1 + а2(х,и)л/й\, и уравнение (2.27) имеет вид

3и2

иг = иххх - -т— + (а1их + а2^йх)ихх + А0{пх,и, х). (2.34)

4их

Приравняв к нулю член при и2 в (2.32), получаем два следуюших соотношения:

д 2 д а1 2

—— = аlа2, " д и х

Для уравнения вида (2.34) имеем

- и1~—1 + А1 = 0.

3^ = а1а2, 3-^ + а2 = 0. (2.35)

—Р1 ~ г3и1 + г2и22 + + (2.36)

аъ

где Zi = 2г(и1, и,х). Приравнивая к нулю выражение Z3, получаем для А0 линейное неоднородное уравнение четвертого порядка, из которого определяется зависимость функции А0 от и1:

9 («Ц + *) ■ 3

А0 = — щ3 6 до^ + а12 ) + - а1а2 и15/2 + а3 и12 + а4 и13/2 + а5и1 + а6,

где щ = щ(х,и). Теперь зависимость всех коэффициентов от и1 определилась, поэтому можно производить расщепление уравнений по и1 в условиях интегрируемости. Например, коэффициент Z2 при и2 в (2.36) линеен по и1, поэтому равенство Z2 = 0 приводит к двум уравнениям. Эти уравнения имеют вид

да4 да 1 да5 да3 да2

3^— = аха4 + , 6—--3а2а4 — 12—--+ 2 а^^— = 0. (2.37)

ди дх ди дх дх

Расщепление по и1 в условиях (2.3)-(2.5), с учетом уравнений (2.35) и (2.37), дает еще несколько уравнений. Самые простые из них имеют следующий вид:

а2а3 = 0, а2 3— а2а^ = 0, (2.38)

27 ^ — 18а 1 ^ + 2 а42 = 0, (2.39)

ди2 ди 2

да6 да3 ( да2 . , , ,

6 0, 3—3 = 2 сца3, аЛ 2—^ — аЛ = 0. (2.40)

дх ди \ дх

Для анализа уравнений (2.35)-(2.40) естественно рассмотреть два случая: II.1 а2 = 0 или II.2 а2 = 0.

11.1. Если а2 = 0, то из (2.35) следует а1 = а1(и). Точечное преобразование и — р(и), где р удовлетворяет уравнению 3р" + 2 (р')2а1(р) = 0, обращает а1 в нуль. Принимая во внимание соотношения (2.35)-(2.40), можно записать уравнение (2.34) в виде

Ut = иххх--—— + а3(х)и2 + а4(х)и1/2 + а5(х,и)их + а6(и), (2.41)

4их

где а5 = а(х)+2 и а'3(х). Для этого уравнения условия (2.3)-(2.6) эквивалентны следующим простым соотношениям:

а3 = с3, а4 = с4, а5 = а(х), а6 = С\ + с2и, с3с2 = с4с2 = 0, с3а' = с4а' = 0,

где Ci — произвольные постоянные, а — произвольная функция.

Если с3 = 0 или с4 = 0, то а5 и а6 будут постоянными, которые можно уничтожить преобразованием х — х + а5Ь, и — и + а^Ъ. В результате получаем уравнение (2.18). Если же с3 = с4 = 0, то уравнение имеет вид

3и2

и = иххх — ---+ а(х)их + сi + С2и.

4их

Если здесь с2 = 0, то преобразование и — и + crf уничтожает постоянную с1. Если с2 = 0, то сдвигом и — и — с1/с2 превращаем в нуль с1, а затем преобразованием и — и exp(с21) уничтожаем с2. Таким образом, в любом случае приходим к уравнению (2.19).

11.2. С учетом а2 = 0 полагаем а2 = (3/^/2) exp(ip/2), тогда уравнения (2.35) сводятся к а1 = 3/2'фи и уравнению Лиувилля

фхи + = 0. (2.42)

Далее из (2.38) и (2.40) находим

3 е ^/2дф да 5 3 е^дф а3 = 0, а6 = аб(и), а4 = -, — = — -, (2.43)

а уравнение (2.39) сводится к (2.42). Кроме приведенных выше соотношений, условия (2.3) - (2.6) дают ровно одно следующее уравнение

^ / 2 9

ди (а2аб) + дх

( \

\дх )

о 92а2 2

— 2 а2 -q~2--а5а2

0. (2.44)

Форма уравнения (2.42) слегка отличается от стандартной, поэтому приведем его решение

ф = 1п т-—, а'и' = 0.

(а — и)2

Отсюда получаем формулу для а2, которую запишем в следующем виде:

^а' (х)и'(и)

а2 = 3-.

а —

Тогда нетрудно найти а\, а4 и а5:

О а'' 0 а'2

а5 =--7-^ + q(х),

а — и (а — и)2

где д — произвольная функция. Подставляя а2 и а5 в уравнение (2.44), находим функции а6 и д:

Со + С\и + с2 V2 3 а"2 а"' Со + с1а + с2а2

a6 =-;-, Я. /2 / / '

и' а'2 а а'

где Ci — постоянные разделения переменных.

Поскольку и' = 0, то с помощью точечного преобразования и = у (и) ответ можно несколько упростить. В результате приходим к уравнению (2.20).

Случай III. При В = 1 из (2.28) следует А2 = 0. Тогда полная производная от р0 по t приводится к следующему виду:

— Ро ~ и2-^-"з" + % 3Д я 2 и1 + 3Д о 2 — 2

ш, дщ \ дидщ дхдщ дщ

Приравняв к нулю выражения при и3 и и, получаем соответственно

А1 = а0(х, и) + а^х, и)и1 + а2(х, и)и1

и

3щ + 3— 2 а2(ао + а1Щ + а2и\) = 0. и х

Расщепляя последнее соотношение по и1, находим, что а2 = 0. Таким образом, уравнение (2.27) принимает следующий вид:

и = иххх + (ао(х,и) + а1(х,и) их) ихх + Ао(их,и,х). (2.45)

Для этого уравнения преобразованием вида и ^ <р(х, и) можно свести дело к а1 = 0. После этого упрощения нетрудно получить, что

* ,д4Ап г, / д4Ао д4Ао _ д3А

+ 2 ( д4А0 + д4А0 д2АЛ + dtPl ~ U2hUÄ + и дйдй4 щ + 3дхдй4 - 2 ао1й[) + 0(1)

Отсюда, приравняв коэффициент при и3 к нулю, находим

л 3 2

А0 = а2и1 + а3 и1 + а4и1 + а5,

где аг = аг(х,и). Тогда коэффициент при и2 дает уравнение, расщепляющееся по и1 на два следующих:

д 2 а2

= 0, 2аоа2 = 3 . (2.46)

д и х

Возвращаясь к анализу условий (2.3)-(2.5), можем теперь производить расщепление также и по и1. С учетом (2.46) это позволяет получить, в частности

д3 о д2 а3 д а2 д а3

0 0, —3 = 0, аЛ 3—^ — 2—^ = 0. (2.47)

ди2 ' ди2 ' \ дх ди __

Рассмотрим альтернативные варианты III.1 а2 = 0 или III.2 а2 = 0

111.1. Преобразованием и ^ uß(x) можно нормировать а2(х): а2 = -1/2, что дает а0 = 0, а3 = а(х). Далее из условия (2.4) находим

и

= fa(x) + с\е2и + с2е-2и, а5 = fi(x) — и(4аа' + 3f0),

6

где С\ и с2 — постоянные и, кроме того, ^а = Ci fi = Ci f0 = 0, i = 1, 2.

Если ci = 0 или c2 = 0, то получаем уравнение, отличающееся от (2.13) преобразованием Галилея. Если с1 = с2 = 0, то из условия (2.6) определяются f0 и fi:

2 2 4

fo = ki - 3а2, fi = к2 — ^(kia + a") + — äi,

где к1 и к2 — постоянные. Выполнив в полученном уравнении преобразование 2 [ 3 и ^ и + - а(х)dx, приводим его к виду щ = и3 — их/2 + к1и1 + к2, эквивалентному

частному случаю уравнения (2.13).

111.2. Из уравнений (2.47) находим а0 = Ъ\(х)и2 + b2(x)u + b3(х), а3 = b4(x)u + Ь5(х). В этом случае уравнение (2.45) упрощается преобразованием и ^ и fi(x) + f2(x). Имеются три неэквивалентных случая: III.2.a а0 = 3и2 + Ъ(х), III.2.b а0 = 3и и III.2.c а0 = 0.

В двух первых случаях несложная проверка условий (2.3)-(2.6) приводит к уравнениям (2.21) и (2.22) соответственно.

В случае III.2.c вид уравнения устанавливается из трех условий (2.3)-(2.5):

и = иххх + а3(х)и2 + аА(х,и)их + а5(х,и),

где а4 = Ъ\и2 + Ь2и + Ь3, а5 = Ь4и3 + Ь5и2 + Ь6и + b7, ^ = ^(х), 1 ^ % ^ 7. Из условий интегрируемости (2.3)-(2.6) получается громоздкая система уравнений для функций bi, исследование которой приводит к нескольким развилкам.

1. Если а3 = 0, то а3 = с0, ^ = b2 = b4 = b5 = Ь6 = 0, Ь7 = с-\_х + с2 + 2Щ + Щ.

Преобразование и ^ и — - J b3dx дает уравнение щ = и3 + соиХ + с-\_х + с2. Из шестого

условия интегрируемости следует с1 = 0; затем преобразованием и ^ и + c2t уничтожаем с2 и получаем (2.12).

2. Если а3 = 0, то bi = const, b4 = 0. Далее вновь возникают развилки:

2.1. Если ^ = 0, то b3, b5, Ь6 и Ь7 выражаются через Ь2(х) так, что преобразование и ^ и — Ь2/(2b^ приводит к уравнению, эквивалентному (2.11).

2.2. Если Ь1 = 0, то получаем b2 = const, b2(b6 — b'3) = 0, Ь2(Щ' + b3b'3 — b2b7) = 0. Если b2 = 0, то преобразование и ^ и — Ь3/Ь2 приводит к уравнению, эквивалентному (2.10). В противном случае получаем линейное уравнение (2.23). □

2.3. Комментарии к списку интегрируемых уравнений. В предыдущем разделе показано, что всякое интегрируемое уравнение (0.2) приводится цепочкой точечных преобразований к одному из уравнений (2.10)-(2.23). Хотя ответ в виде списка не является инвариантным относительно точечных преобразований, условия интегрируемости (2.1), (2.2) таковыми являются. Поэтому для проверки интегрируемости данного уравнения не обязательно приводить его к одному из уравнений списка. Согласно доказательству теоремы 1, достаточно проверить четыре условия (2.3)-(2.6), если уравнение принадлежит классам I или II, и 6 условий (2.2), если уравнение принадлежит классу III. Можно показать, что если правая часть уравнения (0.2) не зависит явно от х, то и для уравнений класса III достаточно проверки условий (2.3)-(2.6).

Дискретными инвариантами группы точечных преобразований являются порядки канонических законов сохранения (2.1), (2.2). Анализ структуры этих законов сохранения показывает, что уравнения разбиваются на две группы. Для первой группы уравнений

(назовем их Б-интегрируемыми1) каноническая серия содержит законы сохранения как угодно высокого порядка. Отметим, что это свойство жестче, чем просто требование существования у уравнения бесконечной серии законов сохранения. Например, линейное уравнение щ = иххх обладает бесконечным набором законов сохранения с плотностями и\, к е N. Однако все его канонические законы сохранения тривиальны.

Для уравнений второй группы ( С -интегрируемые уравнения) среди канонических законов сохранения имеется только несколько нетривиальных. К С -интегрируемым принадлежат уравнения (2.19)-(2.23). Уравнения (2.19) и (2.23) не имеют нетривиальных канонических законов сохранения. Уравнение (2.20) имеет только один нетривиальный кано-

^а'и1 + а'

нический закон сохранения первого порядка р0

. Уравнения (2.21) и (2.22) 2

и — а(х)

имеют по одному каноническому закону сохранения нулевого порядка: р0 ~ и2 и р0 ~ и соответственно.

У Б-интегрируемых уравнений все канонические законы сохранения с четными номерами тривиальны [7], а порядки нечетных законов возрастают с шагом единица, но начальные порядки в этих последовательностях различны. В табл. 1 приведены порядки первых четырех нечетных канонических законов сохранения для всех Б-интегрируемых уравнений.

Таблица 1. Порядки канонических законов сохранения. Для законов сохранения нулевого

порядка в скобках указано, чему эквивалентна плотность

Рг (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14) (2.16) (2.15) (2.17) (2.18)

Р1 0, (~и) 0, (~и2) 0, (- 0) 1 2 2 2 2 1

Рз 0, (~ и2) 1 1 2 3 3 3 3 2

Р5 1 2 2 3 4 4 4 4 3

Р7 2 3 3 4 5 5 5 5 4

Для уравнения (2.18) даны порядки плотностей в случае констант общего положения. В случае с1 = 0 имеем р1 ~ 0, а остальные порядки остаются без изменения. Если с2 = 0, то порядки будут равны: 1, 0 (р3 ~ 0), 2 и 3.

Замечание 7. Уравнения (2.10)-(2.18) интегрируемы методом обратной задачи рассеяния, в то время, как (2.19)-(2.22) линеаризуемы дифференциальными подстановками (см. раздел 2.4). □

Если в постановке исходной классификационной задачи считать, что правая часть уравнения (0.2) не зависит явно от х, то ответ изменится только для С-интегрируемых уравнений. Для уравнений (2.19), (2.21), (2.23) произвольные функции заменяются произвольными постоянными, после чего эти постоянные могут быть уничтожены точечными преобразованиями.

Формула (2.20) содержит два С -интегрируемых уравнения, не зависящих явно от х:

3

и

щ

иххх .

4 их + 1

— Зиххи 1{л/их + 1 +их + 1)

(2.48)

+ 6и их(их + 1) ' +3и их (их + 1)(их + 2),

3

и

иЬ иххх *

4 их + 1

3

ихх (их + 1) сЬи иххл/их + 1

+ з -

их(их + 1)3/2 сЬи + з вЬ2 и

вЬи

их (их + 1)(их + 2) вЬ2 и

вЬи + их (их + 33).

(2.49)

гч^

1 Терминология принадлежит Р. Calogeгo

Уравнение (2.48) получается из (2.20) с а = х, со = с\_ = с2 = 0 преобразованием и ^ и + х. Уравнение (2.49) получается в случае а = е2х, с^ = ^ = с2 = 0 преобразованием и ^ е2(и+х). Других уравнений, не зависящих от х, получить из (2.20) нельзя. Это следует, например, из результатов независимой классификации уравнений вида (0.2), не содержащих явно х.

Ситуация с уравнением (2.22) довольно поучительна. Положим функции 7 и 3 постоянными. Тогда константа 7 уничтожается преобразованием Галилея. Нетрудно проверить, что если 3 = 0, то условия интегрируемости выполнены, но канонические законы сохранения зависят явно от х. Это невозможно если при классификации уравнений, обладающих высшими симметриями, требовать, чтобы высшие симметрии также не зависели от х. В этом случае 3 = 0 и уравнение (2.22) - это просто симметрия третьего порядка для уравнения Бюргерса. Если же зависимость симметрий от х допускается, то постоянная 3 в ответе должна быть сохранена.

2.4. Дифференциальные подстановки, связывающие уравнения списка. Говорят, что дифференциальная подстановка

и = Ф(х,и,и1,... ,ик) (2.50)

действует из уравнения

и = ип + д(х,и,их,... ,ип-1) (2.51)

в уравнение

Щ = ип + ¡(х,г1,г1х,... ,ип-1), (2.52)

если для любого решения и( х, ) уравнения (2.51) формула (2.50) дает решение уравнения (2.52). Число к называется порядком подстановки. Поскольку при к > 0 преобразование

(2.50) не допускает обратного преобразования того же вида, уравнения (2.51) и (2.52) в этом определении неравноправны. Если дифференциальная подстановка имеет вид (2.50), где и удовлетворяет уравнению (А), а и — уравнению (В), то мы изображаем это графически как (В) ^ (А).

Наиболее известной дифференциальной подстановкой является преобразование Миуры и = их — и2, связывающее уравнения КдФ

— иххх I 6 и г1>х

и мКдФ:

— Щххх 6 и Щх.

Другие подстановки, связывающие основные уравнения списка, были найдены в [52]. Вопрос об обратимости дифференциальных подстановок рассматривался в [53].

Порядки возможных дифференциальных подстановок, связывающих между собой Б -интегрируемые уравнения, могут быть найдены из табл. 1. А именно, если уравнения

(2.51) и (2.52) связаны подстановкой (2.50), то порядки канонических законов сохранения с достаточно большими номерами для (2.51) на к больше порядков канонических законов сохранения с теми же номерами для (2.52). Например, если уравнения (2.16) и (2.10) связаны дифференциальной подстановкой, то она действует из (2.16) в (2.10) и имеет третий порядок.

Ниже содержится информация о дифференциальных подстановках, связывающих различные интегрируемые уравнения списка. Поскольку композиция дифференциальной подстановки (2.50) и преобразования Галилея выводит из класса подстановок вида (2.50), то иногда, чтобы найти подстановку, нужно прибавлять член вида их к правой части уравнения (2.51). Все такие случаи оговорены в приведенном ниже тексте.

I. Б-интегрируемые уравнения. Оказывается, что для всех Б-интегрируемых уравнений, кроме уравнения Кричевера-Новикова (2.15), существуют подстановки, действующие

в уравнение КдФ (2.10). Для уравнения (2.15) такая подстановка существует только когда функция Вейерштрасса вырождена или, что то же самое, многочлен Q в формуле (2.24) имеет кратные корни.

Приведем все подстановки в уравнение КдФ. Если из данного уравнения существует несколько подстановок в (2.10), то мы приводим их все. Уравнения (2.15) и (2.16) мы заменяем на (2.24) и (2.25) соответственно, так как после этого подстановки выглядят более симпатично.

(2.11)^(2.10): и = ±г\/6щ + и2 + Л; при этом щ = иххх + и2их + \их.

(2.12)^(2.10): и = 2щ.

3

(2.13)^(2.10): и = 3и2 — - и2 + 2л/—6с2 щ е-и + сге2и + с2е

— 2и

2

(2.14)^(2.10): и

3из

3 и и

3 и22

6 с0 щ и2

v/й2TT (и2 +1)3/2 2(и2 +1) л/и2+1 +3а щ^и2 + 1, где Со = л/{щ~—а2)/2 .

+ 6с0и2 + 3а\ и2+

(2.25)^(2.10): и = Q(а) = 0. (2.18)^(2.10): и

± Л и + уо+

йх I и — а

и2

3 Q/ + 2и2 2 л/0+щ2

)

3 + и2х)х

8 и\ ^ + их)

+ & ■

,- и2 3 _

V —3 с2 + 2с2 иг + - сг^щ. ^/щ 2

Приведенные выше подстановки высших порядков являются композициями подстановок первого порядка. Эти подстановки связывают между собой некоторые из Б-интегрируемых уравнений. Подстановки первого порядка изображены на графе (рис. 1).

Стрелки графа соответствуют следующим подстановкам: (2.14)^(2.13): и = 1П(щ + у/1 + и2 ).

При этом в уравнении (2.14) должен при-

3

сутствовать дополнительный член — а2иг. Постоянные в уравнениях связаны формулами сг = —(аг + а2), с2 = ~(а2 — аг).

где

4

4

Рис. 1. Граф подстановок для Б-интегриру-емых уравнений третьего порядка

(2.25)^(2.13): и = 1п + — 1п(а0 + 2аги + а2 и2). При этом многочлен Q за-

писывается в факторизованном виде: Q(и) = (а0 + 2аги + а2 и2)(к0 + 2кги + к2 и2). Кроме того, в уравнении (2.25) должен присутствовать дополнительный член:

-(а0к2 + а2к0 — 2а!к!)и!, а постоянные с2 и с2 в уравнении (2.13) задаются формулами

2

3

сг = 2( аоа2 — а22),

3

С2 = ^(кок2 — к2).

2

(2.13)^(2.11): и = ±—/6и1 + /с[еи + /2е и, при этом в уравнении (2.13) должен присутствовать дополнительный член: 2 у/С\С2 и1.

4 1

(2.18)^(2.11): и = а + Ьу/щ , Ь = 0, где с1 = - аЬ, с2 = - Ь2. При этом в уравнении (2.18)

3 2

2

должен присутствовать дополнительный член а2щ.

Если в уравнении (2.24) многочлен Q имеет кратные корни, то существуют следующие не отраженные на графе подстановки из этого уравнения :

(2.24)^(2.10): 1) и = (-3 - + —) - 34 - ^, Q = (и - а)2(со + * и + С2П2).

ах \ и1 и -а) 2щ щ у ;

А ( и2 12 П\ 3—%Q 2 2

и = — 3---- -—2--2, п = Со + с\и + С2и2, Q = 6 п2.

ах \ и1 и1 ) 2щ щ

3

(2.24)^(2.13): и = 1пщ - 1п П, П = а0 + а1и + а2и2, Q = -с2к2, с1 = -^(4 а0а2 - а\).

В случае Q = 0 уравнение (2.24) совпадает с уравнением Шварц-КдФ (2.17). Уравнение (2.17) связано тремя различными подстановками с уравнением КдФ:

ч и3 9и2 и3 3и2 и3 3и2 (и2 и1

(2.17)^(2.10): 1) и = 3 -3 - ; 2) и = -3 -3 + ; 3) и = -3 -3 ++ 12 ( ^ -

и1 2 и1 и1 2 и1 и1 2 и1 и и

Все они являются суперпозициями подстановок первого порядка. Кроме приведенных выше, в этих суперпозициях участвуют следующие подстановки из уравнения (2.17): (2.17)^(2.13): 1) и = 1п(и1), с1 = с2 = 0, 2) и = 1п(и1) - 1п(и2 + с1/6), с2 = 0. Еще одна подстановка получается из 2) заменой и ^ -и, с2 о с1. II. С-интегрируемые уравнения.

(2.19)^(2.23): и = /й[, при этом в уравнении (2.23) 3 = .

(2.19)^(2.21): и = у/и1/(2и).

(2.23)^(2.22): и = и1/и, при этом в уравнении (2.23) а = 7.

(2.20)^(2.22): и = -(а' + л/иха') - - а"(а')-1, где £ = а(х) - и. При этом в уравнении

2

(2.22)

13

7 =2 а"'(а')-1 - 4 (а"/а')2 - (со + С1а + с2а2)/а',

1 3 1

3 =^ а(4)(а')-1 - 2 а"а"'(а')-2 + 3 (а''/а')3 - - а"(а1 )-2(со + сла + с^а2).

3. Уравнения пятого порядка

В этом разделе найдены все уравнения вида (0.4), имеющие бесконечные последовательности локальных высших симметрий. В ходе классификации использовались необходимые условия интегрируемости, которые вытекают из существования формальной симметрии [4, 7] и записываются в виде канонических законов сохранения. Нетрудно проверить, что каждое интегрируемое уравнение третьего порядка (2.10)-(2.23) имеет симметрию пятого порядка вида (0.4). Оказалось, что если исключить эти симметрии из рассмотрения, то список оставшихся интегрируемых уравнений совпадает (с точностью до эквивалентности) со списком, полученным в работах [9,18], где изучались уравнения, обладающие высшими законами сохранения.

В разделе 3.1 приведен полный список интегрируемых уравнений (0.4), не являющихся симметриями уравнений более низких порядков. Уравнения списка по форме слегка отличаются от эквивалентных им уравнений из [9,18]. В разделе 3.2 содержится новая

рекуррентная формула для условий интегрируемости. Отметим, что в работах [9,18] явно приведено только несколько простейших условий. Для конкретного уравнения (0.4) условия интегрируемости легко проверить одно за другим с помощью компьютера.

В разделе 3.3 приводится схематичное доказательство классификационной теоремы. Оно содержит алгоритм приведения интегрируемого уравнения (0.4) к одной из канонических форм из раздела 3.1 при помощи точечных преобразований (1.24)-(1.26). Другими словами, в каждом месте, где используются точечные преобразования, мы указываем, что мы с их помощью нормируем. Мы надеемся, что, следуя этому алгоритму и указаниям, содержащимся в тексте, читатель при желании без труда восстановит все детали довольно трудоемких вычислений. Из доказательства задним числом следует, что если уравнение (0.4) удовлетворяет первым десяти условиям интегрируемости, то оно интегрируемо. Отметим, что уравнение иг = и5 + ии1 удовлетворяет первым девяти условиям интегрируемости, но не удовлетворяет десятому.

3.1. Список интегрируемых уравнений.

Теорема 2. Предположим, что нелинейное уравнение (0.4) удовлетворяет двум условиям: 1) существует бесконечная последовательность высших симметрий

ип = С1(и,...,иП1), г=1,2,..., щ+1 > щ > ••• > 5; (3.1)

2) не существует симметрий (3.1) с порядками 1 < щ < 5. Тогда уравнение эквивалентно некоторому уравнению из следующего списка:

иг = и5 + 5ииз + 5и1и2 + 5и2и1, (3.2)

25

иг = и5 + 5ииз + —и1 и2 + 5и2и1, (3.3) 5

иг = и5 + 5щ из + -и\, (3.4)

3

15 2 5 з /л

иг = и5 + 5щ и3 +—и2 + 33Щ, (3.5)

иг = и5 + 5(и1 — и2)и3 + 5и2 — 20ии1и2 — 5и\ + 5и4и1, (3.6)

иг = и5 + 5(и2 — и21)и3 — 5и1и2 + иI, (3.7) иг = и5 + 5(и2 — и2 + \1е2и — \2^е-4и) из — 5и1и22 + 15(\1е2и + 4X2е-4и) щщ

) — ии>1 и>2 \ п^

+ и1 — 90\2е-4и и + 5(\1е2и — \2е-4и)2 иъ иг = и5 + 5(и2 — и1 — Х21_е2и + Х2е-и) и3 — 5и1и2 — 15Х1е2и и1и2 + и\ + 5(\2е2и — Х2 е-и)2и1, \2 = 0,

и2и4 . Л , \ 2

иг = и5 — 5--+ 5—2—+ ^--+ V2Щ из — 5 —г + щ

и1 и12 и1 1 и21 2

г- г- 2 2 5

— 5--+ 5(!1^2и1 + ^2и1

и1 1 2 1

щщ 15 и2з 65 и^щ Л 135 и42

иг = Щ — 5-------+ ---2Г- + ^--+ ^и1 из — —:—з

и1 4 и1 4 и12 и1 1 16 из1

_ /7ш и,2иЛ 2 _и1 2 2 5

— 5 --^ )и2 — 5 Щ + 5^1^2и~\_ + V2

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

5 U2U4 5 и\ .и2,и3 Ьи2Щ п 1/2 , ^ 35 и2

Ut = и5 — ------+ 5—2—,, — 5(ui — 2ßu{ + ß )и3 — — —з

ч_2

.3

I V-/ Q I V.M ti»! ^LAj U>1 I LÄI I U>3 Q

2 щ 4 щ и2 2у/щ 1 16 из

5 Щ (3ß2 ß 1 \ 2 . 5 3 о 55/2 2 2 40 3 3/2

---+ 5^ — + 4)4 + 5и3 — 8ßu5/2 + 15ß2u2 — 40 ßV

3 и3/2 ' 41 2 ' 3 1 ^ 1 ' ^ 1 3

5 — и1 5 2 — и1 2 2 2

Ut = U5 + - -T2-U2U4 + - -T2-U3 — 5 и (f + щ)и3

2 f2 4 f2

(3.12)

5 — и1 5 2 — и1 2 2

Ut = U5 + 2 p U2U4 + 44 —j— U3 + 5 ß (U1 + f) U3

, 5 4U12 — 8uJ + f2 2 , 5 2 — 9и1 + 18u2f -

+ 4-J-U2U3 + ^-j-U4 (3.13)

+ 54 (4f — 3UftU1 + f? и2 + ß2(u1 + f)2 (2 f(u1 + f)2 — 1),

5 4Щ — 8uJ + f2 2 5 2 — 9uf + 18uff 4

+ 4-J4-U2U3 + й-f*-U2 (3.14)

5 5и1 — 2 ulf — 11uJ2 — 2 2 5 , 2 0 + 4 и-j2-U2 — (U1 — 2u1f + 5f )U1U2

+ 5и;2иЛ2(3щ + f)(f — U1),

5 f — U1 , 5 2f — U1 о 5 4и2 — 8uJ + f2 2

щ = U5 + 2 p U2U4 + 4 -J-U3 + 4 -J4-U2U3

5 2 — 9и13 + 18u12f 4 2и13 + u12f — 2u1f2 + 1 2

+ 16 -p-U4 + 5и -J2-U2 (3.15)

— 10шщ(3и^ + 2и\ + 2 f2) — 10и' (2 f2 + uxf + u12)u1u2 + 20и2и1(и13 — 1)(и1 + 2 f),

5 — U1 5 2 — U1 2 2 + U21

Ut = U5 + - —U2U4 + --T2— U3 — 5 с-2— U3

2 j2 4 j2 и2

5 4Щ — 8uJ + f2 2 5 2 — 9и13 + 18u2°f 4

+ 4 -J-и2и3 + ^-J-U4

m по ^ой 5 11UJ2 + 2 u\f + 2 — 5и3 2

— 10 Ш (3u1f + 2и1 + 2f)u3 — -4C-—-U (316)

2u3 + u2f — 2uJ2 + 1 „ 'U2 + 5 f2 — 2uJ

+ 5 и-—-U2 + 5 си ---U1U2

f2 и3

— 10 и' (2 f2 + uj + U12)U1U2 + 20ш2и1(и1 — 1)(щ + 2 f)

+ cu1f3(2u1 + f) +5 c2U1f2 (3U1 + f)(f — U1) =

+ 40--+ 5---, c = 0.

и и4

Здесь X1, X2, ß, ß1, ß2 и с — параметры, функция f(u1) является решением алгебраического уравнения

(f + U1)2(2f — щ) + 1 = 0, (3.17)

а и (и) — это любое непостоянное решение дифференциального уравнения

и'2 = 4и3 + с. □ (3.18)

Замечание 8. Все уравнения из списка теоремы 2 Б-интегрируемы. В ходе доказательства теоремы установлено, что всякое С-интегрируемое уравнение (0.4) является симметрией некоторого С-интегрируемого уравнения третьего порядка из списка (2.10) - (2.23). □

Замечание 9. Если в уравнении (3.8) А1 = А2 = 0, то оно совпадает с (3.7). Если в уравнении (3.9) А1 = А2 = 0, то оно тоже совпадает с (3.7), а если А2 = 0, то (3.9) совпадает с (3.8) при А2 = 0 и замене А1 ^ —А2 в последнем. □

Замечание 10. Если в уравнении (3.10) /2 = 0, то подстановка и = с-1приводит его к виду:

2

VI = у 5 — 5--+ 5—— + 5/

1

(

УУ3 — У1У2

У1

[)

— -2Т — 5/2-,

(3.19)

1

где / = /1 с, с = у/—/2. □

Замечание 11. Если в уравнении (3.11) /2 = 0, то преобразование и = с-1 приводит его к виду

Щ = — 5

У2У4 Щ

15у2 , „ъ&з

4.У 1

+ 65-

4у 1

135у4 г /уу3 1 7уу2\ г 2у2

—-у +5/[ - + - У2 — 7 — — 5/ ~

16уЗ \ у1 2 4 у2 ) у1

(3.20)

где / = /1 с, с = 2у/—/2. □

3.2. Условия интегрируемости. Следующее утверждение можно извлечь из работ [9,18]:

Лемма 3. Для любого нелинейного интегрируемого уравнения (0.4) первые четыре условия интегрируемости можно записать в следующем виде:

С дР С

С, ди4 ¿х

&0,

I12

/дР\2_5дР\ \ ди4) ди3 I

диз дР

с

х

с 15 дРдР — 25.

сй I ди3 ди4 ди2

4

(д^) )

с

¿х

°2,

с

с

~т 25

(.сИР)2 + 5(5

\ сСх ди4) ди4 \ (

С дР

+ 10-

д Р

ди4\ Сх диз ди2

4

- 7

дР дР

д и д и4 2

)

+

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

+7

(д£\4 (дР\ \дщ) \диз/

- 125

дР

д и1

с х

^з,

с с

где ---оператор полной производной по х, а —--эволюционное дифференцирование

с х

по в силу уравнения (0.4). □

Приведенные условия вытекают из существования формальной симметрии. Но технически удобнее воспользоваться изложенным в приложении 3 методом вычисления плотностей канонических законов сохранения

с

~ЛР™ = ~Т~ У™, п = 0,1, аъ ах

(3.25)

при помощи логарифмической производной формальной собственной функции оператора линеаризации уравнения (0.4). Этот подход позволяет получить следующую рекуррентную формулу:

2

1

Рп+4 — _ - [Рио &п,0 + Ри1 $п,-1 + РП2 п, 2 + Риз &п, —

3+

Ри4 $п,-4 + Ри1 Рп]

п+з п+2 1 п п+1 / а \ с

2^2 р'рз— 212 — ргрзркргрш+^2 (ах рч ах рз

о о о о V /

+ ¿р*( ах рЗ) ах рк — 12 р^ркр1- Ы

о V / о

с

х

рп + 2 р п+1 + ^2

__Р

_ ± и

из

п+1

сР С 3 С \ л ч л ч л

—2 рп + 3 сх рп+1 + 3р п+1 + 2 ¿х!^ № + 31^ р*р3 + 1^ р^рк

х

2 сСх

(3.26)

5Ри4

а3 л а2 а а2 ^ с

~п,рп + рп+1 + 6~трп+2 + 4рп+з + ргрз +6-г У, рр+

ах3 ах2 ах ах2 ах

о о

х2 п+1

п+2 п+1 п / а \ а с п п

+6 ^ ргр3 + 4 ^ ргрз рк — ^ ( -х рг) ~Т рз + 2 ^ ргрзрк + ^ ргр3ркр1 о о о а х х х о о

а

х

п+1

п+2

1 а3 а2 -с ^ а2 -с

рп + ¿-2 рп+1 + 2 -хрп+2 + 2^ рг -Г~2р3 + 2 ¿Т^ ргрз + 3 ргрз

5 Сх3

а х2 х о о о

2 а

+2рп+3 + --т-

3 а х

п 1 п / С \ С п+1 1 п

^ ргрз рк + 1 ^ ( СТ рг) -х рз +2 ^ ргрз рк + 1 ^ ргрз ркр1 о о V / о о

о о о о

где п ' —4, рк = 0, Ук < 0, — символ Кронекера, Рщ = дР/диг. В формуле (3.26) использовано следующее обозначение

п

^ агЪз . . .

■ Рг

Е

агЬз ... рг

г+з+-----+г=п

г'т, з'т,..., г'т

для кратных сумм. Все индексы суммирования в формуле (3.26) неотрицательны.

Рекуррентная формула (3.26) публикуется впервые. Нетрудно проверить, что первые четыре условия интегрируемости из последовательности (3.25) эквивалентны условиям (3.21)- (3.24).

Условия (3.26), (3.25) можно использовать для классификации более эффективно, если предварительно изучить структуру плотностей локальных законов сохранения для уравнений вида (0.4). Напомним, что символом О(п) обозначается функция дифференциального порядка не выше п. Кроме того, мы используем символ Рп(ик) для обозначения полинома степени п от переменной ик, коэффициенты которого имеют дифференциальный

порядок меньше к. Далее систематически используется эквивалентность /—д ~ — д —— /,

вытекающая из — ( /д) ~ 0. В частности, имеем

а х

а х

ип+1 ( и, . . . , ип

п—1 д (

) ~—Еиг+1 диг 1Сип

=о

откуда следует, в частности, что ип+1О(п) ~ О(п).

Лемма 4. Если плотность р локального закона сохранения для уравнения (0.4) имеет дифференциальный порядок п ^ 3, то справедливо следующее уравнение:

^д^р = 2 д^рд^^ ¿х д—п 5 д—п д—4

Доказательство. По определению имеем

& ^ др ( <!к \

= зщк{ик+5 + ^кр). к=0 к 4 у

Используя отношение эквивалентности, можно понизить порядок этого выражения до п + 2. Вначале покажем, что

2 +1И ~ +1).

к

Для этого достаточно преобразовать член высшего порядка. Считая, что п ^ 3, получаем: дР & др д 2р

-п+3 ~ --п+2^ - = --п+2-п+1т;-^--+ ип+20(п)

дип-2 ах дип-2 дипдип-2

1 2 ^ д 2р й 2 ип+1 - -п+1 Тх0(п) = 0(п + 1).

Таким образом,

с1 др др др с[п д р (1п 1

дип п+ъ + дип_ 1 п+А + дип ¿хп + дип_ 1 с1хп-1 + ( + ) ( )

п-

п-

Преобразуем первое слагаемое:

др сР др й ^ д2р

г=0

12 „ п Я3

а-1 = 77—-п+5 ~ = —п+3^ / т;—'Т:—-1+1

дип ах2 дип ах дипдщ

( » д2р ^ д3р \ -п+3 I -д^^2 + 2- дипдигди;М+1из+1

\ г=0 ъ,3=0 /

1 2 d д2р й I п-1 д2р ^ д3р \

2 -п+2¿х дип - -п+2¿х дй—щиг+2 + дипдщди^1 щ+1

1 \ г=0 ъ,3=0 /

2 11 <1 д2р д2р ^ д3р \ ~ -ип+2\ 2 + ди ди 1 +2^ -ш + ип+20(п + ^

\ п г=0 /

п+2 у 2 ¿х д-п д—пд—п-1 5 2 Л д 2р д 2р 2 . п( . п

~ -2ип+2Тх д—п - д—пд—п-г —п+2 + 0(п + 1).

Второе слагаемое в (3.28) преобразуется аналогично предыдущему:

-2р — 2 +^ -3р — Л

I ^ д—п-1 дщ и%+2 .4-1 д-п-1д-гд—^г+1из+1

\г=0 1,3=0 /

^ = -п+4 ~ -п+2\2^ -и л д- -г+2 + д- -и д— -г+1Щ+1

ии,п— 1 \ . п— . . „ и "те—

\г=0 1,3=0

д2 2 2 2

-п+2 + -п+20(п +1) ~ -----п+2 + 0(п + 1).

дипдип_ 1 дипд—п-1

Предыдущие выкладки верны, если п ' 2. Для преобразования оставшихся двух членов из (3.28) важно, что п ' 3:

др сСп ( -С2 др \ сСп—2

а3 = ^ — Р -( др-\—Р дип сСхп \сСх2 дип ) сСхп—2

д2р гл, пЛ (дР

дипип+2 + О(п +1)) (ди^2 + О(п + 1 д2 д Р 2 д2 р Р 2

ой2 дй ип+2+ип+2О(п+1) + О(п+1 - дО2 ои4 ип+2 + О(п+^

а == др Сп—1 / С др \ сСп—2 Р =_ / С др

дип—1 сСхп—1 \<Схдип—1) Схп—2 \Сх дип—

= ип+2О(п + 1) + О(п + 1) - О(п + 1).

Сложив полученные выражения для а1,... ,а4, находим

г) (о^ + О(п +1)

— 2 (д2^ ор (ррл 1гр-ип+2\ди2 ди~4 — 2 -х дип) +О(п + 1).

Так как квадратичное по старшей производной выражение не может быть полной производной какой-либо функции, то получаем (3.27). □

Следствие. Если в условиях леммы 4 п > 3, то плотность р квадратична по ип. В самом деле, левая часть уравнения (3.27) содержит слагаемое рипипипип+1, дифференциальный порядок которого выше чем 4, если п > 3. Порядок остальных членов ниже и, следовательно, рипипип = 0.

Применим полученный результат к классификации уравнений (0.4). Лемма 5. Пусть уравнение (0.4) удовлетворяет условию (3.21). Тогда функция Р квадратична по и4.

Доказательство. Применив следствие леммы 4 к канонической плотности р = Ри4, получаем

д Р

= ?1 + /2 и4 + íзи\,

где функции /1 , ¡2 и ¡3 не зависят от и4. Подставив это выражение в (3.27), находим:

2

-Г- ¡3 =3 ¡3( ¡1 + I 2и4 + !3 и1).

х 5

Левая часть этого уравнения линейна по и4, а правая часть квадратична, поэтому ¡3 = 0. Это дает Р = ^ + ¡1и4 + - /2и4, где функции ¡г не зависят от и4. □

3.3. Схема доказательства основной теоремы.

Лемма 6. Пусть уравнение (0.4) удовлетворяет условиям интегрируемости (3.21), (3.22) и (3.23). Тогда функция Р линейна по и4.

Доказательство. Согласно лемме 5, функция Р квадратична по и4: Р = ^ + ¡\_и4 + — f2и24. Отсюда нетрудно получить, что

р2 ~иЦ2( 16 Л2 — 15 Ц ) + ¿14 + О(3).

Согласно следствию из леммы 4 кубичный по и4 член должен быть нулем и, следовательно

16 <2 1 г 12 .

дк = 16 Г2 ди3 15 12'

С учетом этого уравнения находим

Р1 ~—У2 + 0(3).

14 3 2

Для этой плотности соотношение (3.27) имеет следующий вид:

1

Тх?2 = 512( ь +12—4).

Отсюда вытекает уравнение

-А = 1 2

д-3 5 ]2,

3

которое вместе с предыдущим дает ¡2 = 0. □

Итак, если выполнены условия интегрируемости (3.21) - (3.23), то уравнение (0.4) имеет вид

Щ = -5 + щЬ(и,-1,-2,-3) + /о(-,-1,-2,-3). (3.29)

Лемма 7. Если функция третьего дифференциального порядка р(—,—1,—2,—3) является

плотностью закона сохранения для уравнения (3.29), то она не более чем квадратична по -3.

Доказательство. Полагая в (3.27) п = 3 и^ = ¡о + ¡1и4, получаем

'1д 2р 2д 2рЯ (3.30)

х д и23 5 д и23

Учитывая, что /1 не зависит от и4, находим отсюда, что ризизиз = 0. □

Следствие 1. Функция /1 в (3.29) линейна по —3. В самом деле, из ^ = /0 + ¡-\_—4 и (3.21) следует, что — плотность закона сохранения для уравнения (3.29). Поэтому, по доказанному выше, эта функция имеет вид /1 = д1 + д2—3 + д3—"^, где дг = дг(—,—1,—2). Подставляя это выражение в (3.30) вместо р, получаем д3 = 0. □

Следствие 2. Если в уравнении (3.29) /1 = д1 + д2—3, где д^ = дг(—,—1,—2), и это уравнение имеет закон сохранения с плотностью второго дифференциального порядка, то выполнено уравнение:

й д2 р 2 д 2р

х д и22 5 д и22

(91 + 92—3). (3.31)

Утверждение легко проверяется прямым вычислением. □

Предложение 1. Если выполнены условия интегрируемости (3.21)-(3.23), то уравнение (0.4) имеет следующий вид

—г = —5+А1—2—4+А2—4+А3—2 + (А4—2+А5—2+А6)—3+А7—2+А8—2+А9—2+А10—2+Ап, (3.32) где Аг = Аг(—,—1).

Доказательство. В силу следствия 1 леммы 7, уравнение (0.4) имеет вид (3.29), где /1 = д1(—, —1,—2) + д2(—, —1,—2)—3. Рассмотрим далее плотность р1 закона сохранения (3.22). Нетрудно проверить, что

2 ,2 + д ¡1 +д ¡1 +д ¡1 д ¡0 Р1 ~ 7 Л + ^7"—1 + + -

5 ди0 ди1 ди2 ди3

В этом выражении все члены, кроме последнего, не более чем квадратичны по — 3. По лемме 7 рассматриваемая плотность должна быть квадратичной по и3 и, следовательно, функция /о кубична по — 3:

Iо = 94 + 95—3 + дв—2 + 97—3, 9г = 9г(—, -1,-2).

С учетом полученных результатов, плотности законов сохранения (3.22) и (3.23) эквивалентны следующим выражениям:

2 д 2 2 р1 - и3 5

(5|2 + 2 ^ — I5 *) + рг — 50^ — 25Щ + 30д2щ + 8д3 — 90д^ + Р(«3)-

Согласно лемме 7, коэффициент при Щ во второй формуле должен быть нулем. Кроме

3

того, из условия — р1 — 0 возникают еще четыре уравнения, связывающих функции д2, д7

и их производные по и2. Из этих уравнений нетрудно получить, что д2 = д7 = 0.

Таким образом, Р = д1и4 + д4 + д5и3 + дб«3. Теперь плотность закона сохранения (3.21) равна д1, и мы можем подставить р = д1 и д2 = 0 в (3.31):

д2 1 2 д2 1 сСх ди2 5 ди2

Отсюда, как и выше, получаем линейную по старшей производной функцию д1 = А1(и, щ)и2 + А2(и, щ).

С учетом полученных результатов, условие (3.23) дает дб = А3(и,и1). Затем из условия д 3

(3.22) получаем , = 0. И наконец, учитывая все полученные результаты, находим из

и32 д 5

условия (3.23), что 5 =0. □

д и52

Для исследования уравнения (3.32) полезна следующая

Лемма 8. Уравнение (3.32) не изменяет своей формы при точечных преобразованиях вида и = р(у). □

Некоторые из формул для преобразования коэффициентов Аг имеют простой вид:

А^у) = р'А^и), а2(у) = А2(и) + (р"у2А1(и) + 5р" (<р' )—1уъ

А3(у) = р'А3(и), А4(ь) = р' 2А4(и), А7(у) = у' % (и). (3.33)

Другие формулы значительно сложнее, и мы их опускаем.

Можно проверить, что шесть первых плотностей канонических законов сохранения для уравнения (3.32) эквивалентны следующим:

ро = — 1(А1и2 + А2), р1 — В,1 = ф1 и2 + Ф2 и2 + Ф3, (3.34) 5

р2 — Я.2 = Ф4и3 + фъи2 + фби2 + ф7, р3 — К3 = фё«2 + Ф^«4, + фюЩ + ... , (3.35)

р4 — К4 = фпщи3 + Ф12Щ + Ф13Щ + . . . , (3.36)

23

р5 — Къ = Ф1 и2 + Ф15Щ3 + (ф1б«2 + ф17«2 + фы)«2 + ф19иб, + ..., (3.37)

где коэффициенты фк выражаются через функции Аг и их производные. Например, ф1 в (3.34) и (3.37) имеет вид

1 ( 2 дА3 \

ф1 = 255 И — 5А4 + 10 8^) .

Лемма 9. Если уравнение (3.32) имеет закон сохранения с плотностью р(и,и1,... ,ип), имеющей дифференциальный порядок п ' 2, то

р — а1(и, и1)и2п + а2(и,и1,..., ип—1), (3.38)

при этом

д а1 д а1

5—- = 2а1А1, 5—- —1 = 2аА. (3.39)

д—1 д—о

Для п = 3 и п = 4 вид плотностей нетрудно уточнить. Если п = 3, то

2 4 3 2 / \

р ~ а1—3 + а2—2 + а3—2 + а4—2 + а5, а^ = аг(—,—1), причем а1(А1 - 2А3) = 0. Если п = 4, то

р ~ а1—4 + а2—3 + (а3—2 + а4—2 + а5)—3 + 3(—, —1,—2), аг = аг(—, —1),

где 3 — многочлен шестой степени по — 2. □

Следствие. Коэффициенты ф4 в (3.35), фп и ф13 в (3.36) равны нулю.

Форма уравнения (3.32) существенно зависит от порядков его канонических законов сохранения. Среди интегрируемых уравнений (3.32) возможны уравнения двух следующих типов:

I. Уравнения, не имеющие высших канонических законов сохранения. Другими словами, все канонические плотности для уравнений первого типа эквивалентны плотностям нулевого или первого дифференциального порядка.

II. Уравнения, имеющие высшие канонические законы сохранения с порядками ^ 2.

В случае I следует приравнять к нулю все нетривиальные члены высших порядков в плотностях канонических законов сохранения. Поэтому в выражениях (3.34)-(3.37) должно быть ф1 = ф4 = ф5 = ф8 = ф9 = ф1о = • • • = 0. В частности,

2 ч2 дА3 А4 = -А1 + 2 —3. 5 д—1

Из уравнения ф4 = 0 можно выразить А7 через А1 и А3, а из ф5 = 0 выражается А8 через А1 ,А2,А3 и А5. Из шести условий р^ ~ кг(—,—1), г = 1,..., 6 можно извлечь громоздкую систему дифференциальных уравнений для оставшихся функций Аг. В этой системе имеется следующая замкнутая подсистема уравнений для А1 и А3:

А3 4А. =1А1 (3.40)

Второе из этих уравнений имеет два решения А1 = 0 и А1 = -1(—1 + а(—))-1. Если а(—) = 0, то точечным преобразованием — ^ <р(—) можно нормировать а = 1. Таким образом, возможны три следующих случая:

55 1.а. А1 = 0; 1.Ь. А1 = -2--1; 1.с. А1 = -1 + 1)-1.

Случай Га. Из уравнений ф^ = 0 следует, что А2 = д1(—) + д2(—)—1. Используя точечное преобразование — ^ <р(—), можно считать, что д2 = 0 (см. (3.33)). После этого все оставшиеся функции Аг(—,—1) оказываются полиномами с постоянными коэффициентами. Для определения этих коэффициентов было проверено 10 условий интегрируемости (3.25). Выяснилось, что существует только три интегрируемых уравнения рассматриваемого типа:

—г = —5 + —4С1 + С2—3 + С3—2 + С4—1 + С5— + Св,

—г = —5 + 5—2—4 + 10——3(—3 + 4—1) + 25——2 + 10—2(5—1 + 12—3—1 + —в)

+ 140—2—3 + 70—5—21 + 5—8—1,

—г = —5 + 5——4 + 10— —3 + 15—1—3 + 10—2 + 10— —2 + 50——1—2 + 5— —1 + 30— + 15—]^.

Второе из этих уравнений является симметрией уравнения (2.21), где а = 0. Третье уравнение — это симметрия уравнения Бюргерса —1 = —2 + 2——1 (а также симметрия уравнения (2.22), где 3 = 1 = 0).

Случай ГЪ. Существует только одно интегрируемое уравнение из этого класса

5—2—4 —2—3 5—3 35—2

Щ = —5 + 5~—2Г - 4—1 - 16—2 + к—.

2 — 1 — 1 4 — 1 16 — 1

Оно является симметрией уравнения (2.19) при а(х) = с.

Случай Ге. Из условий интегрируемости можно найти А2 = ¡(и)(и1 +1) + д(—)у/—1 + 1, где £ и д — произвольные функции. Если д = 0, то все функции А^ не зависят от —, и поэтому возможно преобразование — ^ — - х, приводящее к случаю ЬЪ.

Если д = 0, то существуют два очень громоздких С-интегрируемых уравнения, являющихся симметриями уравнений (2.48) и (2.49), соответственно.

В случае II уравнение (3.32) имеет по меньшей мере один высший закон сохранения, поэтому, в соответствии с (3.39), можно записать А1 и А2 в виде

А = 4 Ш. А = 4¡ч = /М <3.«)

В результате уравнение (3.32) принимает следующий вид: 5

Щ = —5 + 2(1п1о)х—4 + А3—3 + (А4—22 + А5—2 + Ав)—3 + А7—4 +А8—2 + А9—2 + А10—2 +А11, (3.42)

где А^ = Аг(—,—1). Первый канонический закон сохранения для этого уравнения тривиален:

р0 =---— 1п /о, вп =---- 1п /о.

10 2 Ах ,/0' 0 2 (И -10

Второе условие интегрируемости (3.22) приводится к следующему виду: (И о „ А (А4 2 дА3 5 г 42

^ 2<~(Аа 2дА3 5 (д!о\Л +3„ +2„ +

<И Ах \ ¡о и д—1 210

Приравняв к нулю коэффициент при —4, получаем

А< = 2 ^ + + «'о. (3.*>

где с1 — постоянная интегрирования. Функция Z1 линейна по — 2, поэтому из равенства Z1 = 0 следуют два уравнения:

1

1

д2 0 д 0 2 д 0 2 д А3 3

25 - 45 [ д-1) +10А3^д—Г1 - 14 ^ - 6 ^

25 и - 30—1^°^0 + 5 ^(3 + 2 —1А3) - 2 /2—1^- - 3 ПАЪ

д2 д 2 д А3 2

-—---30—1---— + 5 — (3 + 2—1А3) - 2 ¡0-1^— ое

д —1 д — д —1 — д — д —

(3.44)

0. (3.45)

Функция Z2 кубична по —2, поэтому из равенства Z2 = 0 получаются четыре уравнения, также содержащие множитель 1. Поэтому естественно рассмотреть два случая: 1 = 0 и с1 = 0. Кроме того, ввиду леммы 9, возникает еще одна развилка: А1 - 2А3 = 0 или А1 - 2 А3 = 0. Таким образом, имеем четыре следующих случая:

II.а. С1 = 0, А3 = ^1; 11.с. С1 = 0, А3 = 1А1 + ¡1;

11Ь. С1 = 0, А3 = 2а1, п.а. С1 = 0, А3 = 2А1 + А,

где 1 = 1( —, —1), 1 = 0.

Случай 11.а. В этом случае плотность в условии (3.23) записывается в следующем виде

3 г-3

Р2 — Щ ¡0

5 К

2&А

0 ди3

+ 5 Л дЛ ^ - 5

ди1 ди\

т у

\duxj

- 16АТ$

+ Р2 Щ ).

В силу леммы 9 коэффициент при и3 должен быть нулем, этим определяется функция А7:

А7

5

16 /03

3/о + дЪ д21о дщ

10 ди3

0 сЦо _( ди V

3 ди23 \ди3)

(3.46)

С учетом (3.46) четвертое условие интегрируемости (3.24) приводится к следующему виду:

&

-ГР3 ~и5/о~т

&х

Г2 _ 2 Г3 и ди* 2 и

у

\дщ)

+ Рзи\ + и\щ(Р2и2 + Р3) + и240(2) + 0(3) — 0

где Рг - некоторые функции первого дифференциального порядка. Приравняв к нулю член при и2, получаем ¡0 = (^си^ + а(и)и3 + [(и)} , где с — постоянная, а а и [ — произвольные

функции. В результате уравнение Р3 Таким образом,

0 выполнено автоматически, а Р2 = 0 дает с = 0.

5

¡о = (а(и)щ + [(и)) 3, Аз = - -

а

2 аи3 + ['

А2 = --

5 а'и2 + [и3

2 аи3 + [

Из формул преобразования (3.33) для А3 и А2 видно, что замена и ^ <р(и) позволяет упростить /о. Если а = 0, то без ограничения общности /0 = 1; если [ = 0, то, не ограничивая общности, можем положить а =1; если а[ = 0, то можем считать, что [ = а. Итак, возникают три следующих неэквивалентных случая:

1 а(и)

11.а.1. ¡о

1;

11.а.2. ¡о = -; П.а.3. /(

0=

и3 и3 + 1

Случай 11.а.1. Равенства с3 = 0, /о = 1 приводят к соотношениям А3 А = А7 = 0. Третье условие интегрируемости (3.23) имеет вид

А2 = А3

& ^ и2 & (3 А дА5

&1 4&х \ ди

+ 1и4А5(3А8 - ^ ) + Р2Ы — 0.

В этом выражении коэффициенты при и и и3 следует приравнять к нулю. В то же время плотность в условии (3.24) имеет вид

3

— и '2\ 2

дАя д2А<

ди3 ди23

+ Р2Ы.

постоянная.

Коэффициент при и3 должен быть нулем по лемме 9. Из указанных трех равенств следует А8 = Ая(и), А5 = 3 (А8 + С2)щ + д3(ии); 02 А + с2) = 0, С2 д3 = 0, где С2 С учетом всех изложенных результатов находим

р4 — и2 А'я + Р2Ы. Это дает = 0 по лемме 9, поэтому получаем:

А' = С3, А5 = 3(С2 + С3)и3 + д3(ии); С2 (С2 + С3) Теперь условия (3.22) и (3.24) записываются в виде:

0,

2 3

0.

& 2

&ър3 — щ

& 2

&1Р3 — и2

х

Ш - 2 ^ +Р5(и-2> — 0

дАо д2Ав 9

6

1

&х \ ди3

ди\

+ -(С2 - С3)и3 - - С3д3Щ - -д3) + Р3М — 0.

5

5

5

2

Приравняв к нулю выражения при —3 и — находим А6 и Ад:

Аб = ((¡1 + С4)—1 + д2 —1 + д3, Ад = -(с2 - с^)—1 + 3С3д1—1 + -(С5 + 10^ + д^щ + д4,

5, 3 „ 1 ■ 5 1 ■ 5

где дг = д^и) — произвольные функции.

Далее из третьего и пятого условий интегрируемости следует, что с3 = с2 = 0. Затем из третьего условия интегрируемости определяется функция А10 в виде многочлена третьей степени по —1 , а из четвертого условия интегрируемости определяется функция А11 в виде многочлена пятой степени по —1. Для определения коэффициентов многочленов А6, Ад, А10 и А11 были проверены 10 условий интегрируемости. Эта технически несложная работа требует перебора большого числа вариантов при решении уравнений. Результатом явились Б-интегрируемые уравнения (3.2) - (3.9), а также интегрируемые уравнения, являющиеся симметриями уравнений (2.10) - (2.13).

Случай П.а.2. Полученные выше формулы для А1, А2, А3, а также (3.43) и (3.46) остаются верными. Подставив в них С1 = 0 и /0 = и- , получаем:

5 5 5 35

А = --—, А2 = 0, А3 = --—, А4 = -г, А7 = -

2 — 2 3 4 — 4 —2 7 16 —3 Нетрудно проверить, что условие интегрируемости (3.23) записывается в следующем

виде:

2

1/2 ^ —2

-1[ 6л +6 дА8 + дА5 2 д2АЛ +6 дА8 +8А5 2 д2А5

—2 6А8 + 6—1---+ ---2-1—^) +6-1—----2—1-——

\ д—1 д—1 д—2J д— д— д—1д—

1 3 2 ( „ дА8 2д2А8 2д3А5 д2А5 дА5\

+ -и33и2П-2( 78 А8 - 42—1-тт^ - 60—2+ 20-2—4 - 16—1^-5 + +

6 3 1 \ д—1 1 д—2 1 д—1 д—2 д—1)

+ —3Я(—,—1) + Р3(—3) - 0.

+

Кроме того,

д А д2 А д А

Р3 - -3—-2{ 4—11 д-8 + 12А8—1 - 2—2- 3—1 -Щ5 + 4АА + Р2(—2).

2 3 3

Коэффициенты при —4 и—^—2 в (3.23), как и коэффициент при —3 в р3, должны обращаться в нуль. Это дает нам четыре уравнения, решение которых имеет вид

2 1 2 2 А5 = д1 + —=, —8 = -

/Щ\ 2—1 3и

3/2 1

где дг = дг(—). Несколько более громоздкое условие интегрируемости (3.22) дает

Аб = С2 + д3—1 + 2 С3/щ + 2 д'2Щ/2 + д11—21. С учетом этих результатов закон сохранения (3.24) принимает следующий вид:

а 2 (д2Ад , 3 дАд д1 + 15 д[ 5 д2 + д^ 3 -3 -5/2Л ^

мр3-—4—2\1й2 + —г д—9 - —5—,---- С2—1 +С3Щ )) +

2 ( д2Ад дАд 2 , , 1 , , 2 . 1 Л

+ —4{ —щ —1 + 2 ~дЩ - 5 ^ (5 Ъ + ^ - 5 — т1 + 15 ^ - 5 Ш2 +4 *)

+ Р3(—3) - 0.

Члены с —4 должны быть нулями, что дает

л 1 Я2 Я4 д1 , 4 - . С3 3 С2

Ад = ^4 - - 43 + — + ~2 +-^.—1 + Ч1—1 + ^У—1 (5 Ъ + Ч1Ч2) -

10 —1 15 1 41 1 25 ^ 2 ' /й[ 4—1

Далее из условий (3.22) - (3.24) находятся А3о и А33, но эти выражения мы не приводим из-за их громоздкости.

Для уточнения постоянных коэффициентов и вида функций (и) было проверено десять условий интегрируемости. Этим условиям удовлетворяют уравнение (3.12), и уравнение, являющееся симметрией уравнения (2.18).

Случай 11.а.3. Ход вычисления в этом случае в точности тот же, что и в 11.а.2, но имеются небольшие различия в формулах. Общие для случая 11.а формулы принимают здесь следующий вид:

5 5 а' и3 5 . 5 35

А3 = , А2 = —-, А3 = - —, А4 = —, А7 = -

2С 2 2а 3 4С 4 £2' ' 16С

где = ( и) — произвольная функция, = и3 + 1. Условие интегрируемости (3.23) имеет вид

& 2 ^дА' дАъ В2А5 15 а'\ 2 / дА8 А 3дА5

&ЦР2— ^с^Л' + ч + ^ - 2е + ыр) + и2и3 (6 -ти +3 С -¡и

-2 д2А5 + - 6- —Ап + 15 (2 а'2 - аа")\ +

ди3ди а ди3 а а £ 2 а2^2 )

+ Qз(u,uз)u3u2 + Q2(u,uз)u3 + Р2 (и3) — 0. Это условие вместе с формулой для плотности закона сохранения (3.24)

* — (4 ^ ^ + ^ А - Ж - 3' ^ + 4А5 - ^) + ^

и с учетом соотношения Q3 = 0 приводит к четырем уравнениям, решение которых имеет следующий вид:

л , ^ л У3 2 Я2 . 4а'

А5 = Я3 + , А' = -^-х-рп^ +

у/1' ' 2£ 3 е/2 5а е'

где = ф(и). Далее, из условия интегрируемости (3.22) определяется функция А6, а из условия интегрируемости (3.24) - функция Ад. Затем из условий (3.22) - (3.24) находятся А3о и А33. Все эти выражения, содержащие произвольные функции от и, довольно громоздки, и мы их опускаем.

&

Из пятого условия интегрируемости — р4 — 0 следует а' = 0, = 0, ^ = 0 и т. д. Лишь в

& 2

выражении А33 остаются две произвольные функции от и. Условия интегрируемости 5-7 приводят к обширной системе алгебраических уравнений для констант и двух оставшихся функций. Из этой системы следует, что все функции Аг не зависят от и. Поэтому можно выполнить преобразование и ^ и - х, приводящее к случаю 11.а.2. Таким образом, в рассматриваемом случае нет новых интегрируемых уравнений.

Случай 11.Ь отличается от предыдущих тем, что канонический закон сохранения (3.22)

имеет второй порядок. Из условия (3.22) следует, что

5

¡о = --— (и3 + а(и)и3 + Ь(и))-3, аЬ' = 2а! Ь,

2 С-3

а функции А5, А7, А8 и Ад выражаются через /о:

А5

А7

А'

15 д2^ , 5 ди --и3 -

2 ¡о диди3

/о2 ди

( f ^о \ I к - дй~3и3)

С3д/о 5 д3!о 35 д2¡од¡о ,

+ ТТ^Т^Т^--„„ ,о О о о--Г

5

(дк

4 дщ ' 8 ¡о ди3 321о ди2 дщ ' 8 ¡3 \дщ

5

лл г о ® Л 2 (141о - 3—— щ

24 о

. ^д ¡о + —~^и3

ди3 ) диди3

5 д ¡од ¡о

д 2 ¡о +5и3

12 о2

5 ¡о

д31о д2^ д¡о

о г , о 8 к

3 ¡о + 8 -— щ

диди\

д^/о д/о \ ди23 ди )

+

3 ди 24 ди ди3 \ ди3

Формула для Ад опущена из-за ее громоздкости.

Принимая во внимание формулы (3.33) и явный вид функций А3 и А2, нетрудно заметить, что если функции и не равны нулю, то их можно превратить в постоянные точечным преобразованием и ^ р(и). Если а = 0, то с точностью до точечного преобразования имеем либо = 0, либо = 1. Если = 0, то, положив = 2, получаем = 0. Таким образом, возникают три следующих возможных случая:

11.Ь.1. /0 = -

5

2 3 и 23 53

2

II.Ь.2. /0 = -

5

2 С3(и2 + 1);

П.Ь.3. /о = - — ((и3 + 1)2 + с)-3,

2 3

где — постоянная.

Случай 11.Ь.1. Из условий (3.22) и (3.24) получаем

2 2 45 3

А5 = А8 = 0, А6 = С2 + д3Щ + д2и3 , А7 = --Щ,

1

3

8 5

Аю = (13и3 + д2и- , Ад = -- д3Щ -- С2и- -- д2и- ,

22

3

2 1

л 1 ( П 3 2 1 ^2 3 3 1 1 2—3 ( 1 1 // 1

М 3 = 5[(11 + 10 + 5<11111 - 5 °2д2из - 10 д2и- + \15т2 - 3 + ^

1

1

о

где г = ( и) , 2 — постоянная.

Проверка условий 6-10 показывает, что существуют только два интегрируемых уравнения, которые являются симметриями уравнений (2.15) и (2.17). Случай 11.Ь.2. Из условий (3.22) и (3.24) следует, что

А5 = А8 = 0, А6 = д + С2щ^и2 + 1 + (3<? + С3)и2, А7 = -щ

5 19 9 и2

8 3 (и2 + 1)3

д = д(и)-,

3 2д + С3 Ад = ~Щ 0 , , +

2

2 3 и2 + 1 2

- 1 с2\1"2 + 1 - 2(3д + С3)и3, Ао = д'щ(3и2 + 2),

А3 = 4 ^(3 д + С3)(и2 + 1)Ъ/2 - 1 С2(2 д + С3)(и2 + 1)3/2 + ¿(3 д2 + 2 сА д) щ+ 25 5 10

+ 50 (10 д'' + (3<1 + с3)2 + с*)и5 + ю (5(1' + 6 д2 + 5 ^ д + с\) и3 + С5, С2 д' = 0.

Проверка условий 6 - 10 показывает, что существуют только два интегрируемых уравнения, которые являются симметриями уравнений (2.14) и (2.16).

Случай 11.Ь.3. Второе условие интегрируемости (3.22) позволяет показать, что все функции Аг не зависят от и. Поэтому преобразованием и ^ и - х уравнение (3.42) сводится к уравнениям из случаев 11.Ь.1, если с = 0 и 11.Ь.2, если с = 0. Таким образом, в рассматриваемом случае нет новых интегрируемых уравнений.

Случай П.е. Плотность в (3.23) эквивалентна кубичному по —2 выражению (3.35). Условие гф4 = 0 позволяет выразить А7 через /0 и /1. Далее находим

— 02 - ^1—2 + Z2) Щ + °(3). Из уравнений Z1 = 0, Z2 = 0 находим два уравнения вида

которые можно явно проинтегрировать. Подставив А и А8 во все выражения, находим р3 - а—3 + °(2). Так как 2А3 - А1 = 2 /1 = 0, то по лемме 9 имеем а = 0, что дает уравнение Риккати

= М ¡о) Л2 + Р2 (к) ¡1 + ^3( ¡о),

где и >^3 зависят как от /0, так и от производных /0 по —1 первого и второго порядков.

Аналогично предыдущему находим р4 - —33((1—2+Q2) + °(2), и полагаем Q1 = 0, Q2 = 0. Второе из этих уравнений определяет А5, а первое дает обыкновенное дифференциальное уравнение с производными 0 по —1 , содержащее 1. Из четвертого условия интегрируемости

А И'

+ —3(Р10 —3 + Р11 —22 + Р12 —2 + Р13) + —2°(2) + °(2) - 0

^ Р3 - —2(Р1 —2 + Р2) +—34Р3 + —1—3(Р4 —2 + Р5) + —24(Ре —2 + Р7—2 + Р8) + —4Рд+

получаем уравнения Р.\ = 0, г = 1,... , 13, среди которых имеется много уравнений, содержащих только ¡1, /о и производные /0 по — 1. Выразив все производные /0 из части уравнений, и подставив их в остальные уравнения, получаем противоречие 0 1 = 0.

Это означает, что в условиях П.е не существует интегрируемых уравнений.

Случай П.й. Напомним, что в этом случае функции А1 и А2 имеют вид (3.41), который обеспечивает тривиальность первого канонического закона сохранения. Функция А4 выражается формулой (3.43), а так как с1 = 0, то имеем еще два уравнения (3.44) и (3.45). Кроме того, А3 = А1/2 + /ь ¡х = 0.

После исключения А3 уравнение (3.44) принимает следующий вид:

" А Ш - » (0 + ^ д- - 28 Л2- - 12 „/« = 0. (3.47)

3.48)

а уравнение (3.45) позволяет выразить А5 через /о и /1:

. 15 д2/о 5 д/о ( дА 0 „ 2 \ 2 дЬ

А5 = --3—1я--3 ¡о - 2 —1 -То Л ) - о-1 ^г.

2 3 о д—д—1 3 ¡2 д— \ д—1 ) 3 д—

С учетом изложенного второе условие интегрируемости (3.22) имеет следующий вид: &

— 01 - -3^1 -3 + Z2-2 + Zз -2 + Z4) + Z5-72 + Рб (—2) - 0. аъ

Из уравнения Z1 = 0 выражается А 7:

55 /о1 -3!о Iо 2 Лос, д!о 0/1 , , \ д2!о г-

А =-Щ - 1М I185 дй, +841о Ь) - (3.49)

¡о3 I М ООП г г I \ лл „ f3-Jо

392

^ - 230 0 - 44,^ М)

а из уравнения Z2 = 0 — As:

55 ! д 3fo 5 f02 д fo d2fo f-1 д fo

As = ™ Jo Щ 2--— U\—--X-Y + -— (30ciuifo - 7h)^ (3.50)

28 1,0 1дпдп2 84 ldu du22 ' 126K 1 lJ- Jl'du

fo ,nn f , oa„. f f \ д J0 55 t-3„. I UJ0 \ "Jo

fo-2 f25 дfo 4Q0f+36 f A ^fo 55 з (дЬ\2дfo

m[25ui 8Ui - 490 fo + 36uifofl oU8Ui - 21 fo ui{ auoj TU

+ 5 ^° 2 (272 щ /1 - 63)_ 1А ^Л {31 щ _ 7 ^ 504 дщ ди 63 ди \ дщ

Из уравнений Z3 = 0 и = 0 выражаются соответственно А9 и А о через функции Аб и их производные. Эти выражения мы опускаем ввиду их громоздкости.

Уравнение Z5 = 0 имеет вид обыкновенного дифференциального уравнения пятого порядка для ^ относительно переменной щ. Другие следствия второго условия интегрируемости содержат производные функций ^, fl, Аб и А1 по двум переменным щ и щ и слишком сложны для анализа.

Далее, в силу леммы 9 из выражений (3.35) для р2 и р3 следует, что ф4 = 0 и = 0. Эти два уравнения имеют следующий вид

70^ - - 28ЫЩ (3 51)

{65 (Ю )2 - 6 ^ - 2-аз)

д2 o

25 fo^o - 10Щ (^5Ц - fo /1) + f2(15 Cl fo + 28 ft = 0. (3.52)

дп2 ^ дщ дщ ^^ I 1 0

Выразив из (3.52) вторую производную /0, и подставив ее в (3.51) с учетом (3.47), получаем ^ = —4/(55С\)$1. После исключения /0, уравнения (3.47) и (3.52) сводятся к следующему уравнению

25 л Й - 7< f)2 + 10 л2 Ш + 8 И = 0 <3-53>

а уравнение (3.51) и упомянутое уравнение Z5 = 0 являются следствиями уравнения (3.53) Выполнив подстановку f1 = 5/(4^ в (3.53), получаем уравнение

дщ I ^ дщ) + дщ , ( )

общий интеграл которого записывается в виде

( f + ui + a)2(2f -ui - a) + b = 0, (3.55)

где а и b — произвольные функции переменной u.

С учетом всех полученных результатов, включая дифференциальные следствия уравнения (3.55), нетрудно проверить, что

—pi - u2 f-w(3a + 3ui - 5 f)(3a'b - ab') + Р5Ы2), at

где штрих означает производную по u. Таким образом, 3a'b = ab', что влечет а = сbi/3, с = const, если b = 0.

Этот результат позволяет обратить обе эти функции в постоянные точечным преобразованием u = <p(v). В самом деле, так как 2 fi = 2A3 - Ai, то, согласно формулам (3.33),

¡3(ь) = </3(и). Следовательно, функция / — /-3 преобразуется по закону ¡'(у) = < 3(и). Выполнив преобразование в уравнении (3.55), получаем

[] + У3 + а(и)р'-3]2[2/ - У3 - а(и)<р'-3] + Ь(и)р'-3 = 0. (3.56)

Если а = Ь = 0, то никакого преобразования не требуется, и мы имеем

( ¡+щ)2т -щ) = 0.

Если же Ь = 0 и а = 0, то, полагая < = а, приводим уравнение (3.55) к виду

( ¡ + щ + 1)2(2! -и3 - 1) = 0.

Если Ь(и) = 0, то а(и) = к Ь3/3(и), где к — постоянная. Выбрав < = Ь3/3, мы получаем уравнение (3.55) в следующем виде:

( / + и3 + а)2(2/ -и3 -а) + 1 = 0, (3.57)

где — постоянная.

Таким образом, с точностью то точечного преобразования величины а и Ь в (3.55) -постоянные, причем возможны три случая

II.в.1. / = -и3 - а; II.в.2. / = ^(и3 + а); II.в.3. ¡'(и3) удовлетворяет (3.57).

В каждом из этих случаев параметр а принимает одно из двух значений: а = 0 или а = 1.

Используя уравнение (3.54), можно исключить высшие производные / из выражений, для функций Аг, найденных выше. Это приводит к достаточно компактным выражениям:

5 5 5

7,Л А2 = 0, А3 =ц(1 - 2П А4 =4Г2 т'2

5

А = 0, А7 = -—Г3(2Г- 1)(28Г2 + 20/'+ 1), А' = 0, 16

А 1 {2д 3Аб + К(6{' + 3)д 2Аб 1дА6 3/'

Ад = 2/ Щ6 + 4 + 1)~дй[ - 4- уАб,

А* = и312+ к/(2Г + 1)^ - к/+ иг + 2/П дАб

диди2 2 диди3 2 ди

причем эти формулы верны для каждого из трех случаев П.ё.1, 11^.2 и П.ё.3.

Случай 11^.1. Если а =1, тогда из условий интегрируемости следует, что Аг = Аг(и3), уг. Следовательно, допускается преобразование и ^ и - х, и мы приходим к случаю а = 0. В случае а = 0 многочисленные развилки приводят к единственному интегрируемому уравнению (3.11).

Случай 11.^2. Если а = 1, тогда точно так же, как в предыдущем случае, мы приходим к случаю а = 0, а в случае а = 0 получаем уравнение (3.10).

Случай 11.^3. Рассмотрим этот случай подробнее. С учетом полученных выше результатов второе и четвертое условия интегрируемости имеют следующий вид:

а

~Глр3 ~и5&3 + + и23Ц3 + и2Я4 + 0(1) - 0, (3.58) И

-пР3 -и\(Р3 + и2Р2) + и3(Р3 + и2Р4)+ (3.59) аъ

+ и2(Р5 + щР6 + и2Р7 + и23Р') + и72Рд + РбЫ - 0.

Здесь функции Qi и Рj зависят только от ио и и3. Для эквивалентности этих выражений нулю необходимы равенства Qi = 0, Рj = 0 для всех I,]. Условия Q3 = 0, Р2 = 0, Р4 = 0, Р' = 0 и Рд = 0 представляют собой линейные однородные обыкновенные диффен-циальные уравнения для функции А6(и3), а и входит как параметр. Первые два уравнения

имеют пятый порядок, порядки остальных равны 6, 7 и 9 соответственно. Путем исключения старших производных из двух первых уравнений приходим к уравнению

Р>2 а

2РГ-тгг + Ш' + 1)(21' - 1)^ + (1 - 3Г)А6 = 0

дЛв

ди\

ди3

Все оставшиеся уравнения являются его дифференциальными следствиями. Общее решение приведенного выше уравнения имеет следующий вид:

А6 = 7(и)(/ + и3 + а)2 + 10 ш(и)(и3 + а) ¡,

(3.60)

где — произвольные функции.

Подставив решение (3.60) в уравнение Q2 = 0, получаем

70 аш' (и3 + а) ¡3 + а-/ 7/4 + 14(и3 + а) ¡3 + 7(и3 + а)2/2 + / - и3 -а

(3.61)

Вычисление результанта многочленов (3.61) и (3.57) по переменной и3 дает

34300 ш'2 (20 ш' + 9У) ¡32 + 980 ш' (165 ш'<у' + 350 ш'2 + 3У2)/9

- 7у'(930ш'у' + 2100 ш'2 - 12)+ 12 (210 ш' + 59-/)/3 - ~/3

0

0

Поскольку ш и — функции от и, а — непостоянная функция от и3 , все коэффициенты этого многочлена должны равняться нулю. Отсюда следует

а-у' = 0, аш' = 0.

Далее рассмотрим уравнения, содержащие А33. К ним относятся Q3 = 0, Q4 = 0, Р5 = 0 и Р6 = 0. Два первых из них имеют второй порядок: из первого можно выразить д2А33/ди2, а из второго — д2А33/диди3. С помощью Q3 = 0 можно исключить А33 из Р6 = 0, и это дает уравнение для функции ш:

2

ш = 6 ш .

Отсюда и из аш' = 0 следует, что аш = 0.

Исключая высшие производные А33 из Р5 = 0, получаем уравнение вида

~лЛ'щ3 = Р3( ¡,и3Г/,ш' )Р-3( !,щ3 г/,ш'),

где Р3 и Р2 — такие многочлены по переменным / и и3, что Р3(¡,и3,0,0) = 0 и Р2(/,и3, 0,0) = 0. Это означает, что если а = 0 и = ш' = 0, то А6 и А33 не зависят от и. Это ведет к тому, что все Аг зависят только от и3. В таком случае допускается преобразование и ^ и - ах, уничтожающее а в уравнении (3.57). Следовательно, достаточно рассмотреть только случай а = 0.

При а = 0 уравнения для Aii становятся не слишком громозкими: В 2 А 1

^ =jj (f'' + 47ш)(8 f4 + 16 щ f + 8ul2f2 + 3f + Ul)

+ (9 f4 + 18щр + 9 U!2f + 4f + ui) 5 J

- j ш2(14 f4 + -3 Ui f - 31u!2f2 + 9 f - 3u\),

ВА11 J ш (2 f + pui - f4Ui2 - 3 f3 - 7uif2 - -)

Bu 1 - f3 + uxf2 -ui2f + 1

2 (- f3 + 3 ui f2 + ui2f + 1)(- fJ + 3ju) 1 - f3 + uif2-ui2f + 1 •

Интегрируя первое уравнение,1 мы получаем

А11 — (8 f + 2 f2 -ui2 + 16uif4 + 8 ui2f3)(4 fj + f')

+ f2(18 ui2f3 + 36uif4 + 7 f2 + 18 f - ui2)

- 4ш2(- f5 + 3 f2 -uif4 - 8 ui2f3 + ui2) + aui + ß,

где a и ß — произвольные функции от u. Из второго уравнения следует, что a и ß — постоянные. Используя преобразование Галилея, можно считать, что a = 0.

Подстановка выражения для BAii/Bu в уравнение Q4 = 0 приводит к двум дополнительным уравнениям для f и ш В итоге полная система уравнений для этих функций имеет следующий вид:

ш'' = 6ш2, (3.62)

ff" ' = 8'' ш + 4'ш', (3.63)

('+ 15ш)''+ 10('+ 10ш)ш' = 0, (3.64)

Найдя явный вид всех функций A¿, и используя уравнения (3.62) - (3.64), нетрудно проверить до конца условия интегрируемости 1-4. Эти условия приводят к единственному ограничению ßJ = 0, где ß — постоянная, входящая в Aii.

Если ш' = 0, то ß = 0. Если же ш' = 0, то из (3.62) следует ш = 0, а из (3.64) - f = const. В этом случае коэффициенты уравнения (3.42) не зависят от u, поэтому допускается преобразование u ^ u + ßt, уничтожающее постоянную ß в Aii. Таким образом, ß = 0 при любых ш и '.

Если ш = 0, то, положив ' = 5ß, мы получаем уравнение (3.13).

Если ш = 0, то из (3.62) следует, что ш' = 0. В таком случае порядок уравнения (3.62) понижается, и мы получаем уравнение ш'2 = 4ш3 + с, совпадающее с (3.18). Так как ш' = 0, то из (3.64) следует ' + 15ш = 0, поэтому можно выразить f' из (3.64). Это позволяет исключить производные функций f и ш из (3.63). В итоге получаем следующее уравнение

(7 + 30ш)(7 + 5ш)(7 + -0ш)[(7 + -0ш)(7 + 5ш)2 + 1-5 с] = 0, (3.65)

где с — постоянная из (3.18).

Если f = -30 ш, то из (3.64) вытекает ш = 0, что противоречит предположению. Если f = -5ш, то получаем уравнение (3.14), а если f = --0ш, то — уравнение (3.15).

1 Метод интегрирования указан в приложении 2.

Рассмотрим случай

(^ + 20ш)(^ + 5ш)2 + 125 с= 0. (3.66)

Кубика (3.66) является рациональной и параметризуется следующей подстановкой:

ш = ш + с.ш~2, ^ = -5с.ш~2 - 20ш,

где с = -27 с. Подставляя эти выражения в (3.62) - (3.64), находим, что ш удовлетворяет уравнению (3.18) с постоянной с вместо с. Подставив уже найденные функции Аг в уравнение (3.32), воспользовавшись выражениями для ш и 7, и переобозначив ш ^ ш, с ^ с, получаем уравнение (3.16). □

3.4. Дифференциальные подстановки, связывающие уравнения списка.

Как отмечено в разделе 2.4, при вычислении дифференциальных подстановок полезно знать порядки канонических законов сохранения. В табл. 2 указаны порядки нескольких канонических законов сохранения для уравнений списка (3.2) - (3.16).

Четные плотности не отражены в табл. 2, потому что они все оказались тривиальными р2п ~ 0. Для уравнения (3.12) порядки плотностей минимальных порядков, эквивалентных р3 и р9, указаны для случая констант общего положения, если же х = 0, то р3 ~ 0, р9 ~ 0.

Таблица 2. Порядки канонических законов сохранения. Для законов сохранения нулевого прядка в скобках указано, чему эквивалентна плотность

Рг (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9)

Р3 0, (~ и) 0, (~ и) 0, (~ 0) 0, (~ 0) 0, (~ и2) 1 1 1

Р3 ~ 0 ~ 0 1 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0

Р5 1 1 2 2 2 3 3 3

Р7 2 2 3 3 3 4 4 4

Р9 ~ 0 ~ 0 4 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0

Р33 4 4 5 5 5 6 6 6

Рг (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) (3.14) (3.15) (3.16)

Р3 2 2 1 2 2 2 2

Р3 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0

Р5 4 4 3 4 4 4 4

Р7 5 5 4 5 5 5 5

Р9 ~ 0 ~ 0 3 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0

Р33 7 7 6 7 7 7 7

Дифференциальные подстановки, допускаемые Б-интегрируемыми уравнениями пятого порядка, изображены на рис. 2.

Ниже приведены подстановки для уравнений с константами общего положения. (3.13)^(3.6): и = щ- + у- (I + и3).

\2 1

(3.15)^(3.9): и = 1п(/ + и3) - 1п р. При этом ш = —+ - \2 р, а постоянная с в уравнении

4<р2 2

27

(3.18), которому удовлетворяет ш, равна с =--А^.

16 3 2

(3.10)^(3.9): и = 1пи3, х3 = А2, Х2 = -А23.

(3.16)^(3.9): и (3.16)^(3.8): и (3.16)^(3.6): и (3.14)^(3.8): и

Рис. 2. Граф подстановок для Б-интегрируемых уравнений пятого порядка

1

1п(¡ + Щ) - 1п(2шА-3), с=4А3А22. 1п( ¡ + и3) + 11п(-4шА-3), с = 1 А3А2.

и2 !'ш' 1 г .

—--+ —(3^С-ш)и3.

2 ш 2 ш

1п( / + и3) + 2 1п Р. При этом ш -

- п"3, ¡3 = А3, ¡2 = -А2.

-а3р + 4а2р~2} с = -108А2А2.

(3.11)^(3.8): и

(3.7)^(3.6): и = и3. (3.9)^(3.2): и = -и2 -и\ ± 3 А3еищ - А2е2и + А2е-и.

(3.12)^(3.6): и = л/щ -При этом уравнение (3.12) должно содержать дополнительный член 5 ¡4и3.

(3.8)^(3.3): и = 2и2 - и2 ± 6 А2е~2ии3 + А3в2и - А22е-4и. (3.6)^(3.2): и = -и3 -и2.

(3.6)^(3.3): и = 2и3 - и2.

(3.4)^(3.2): и = и3.

(3.5)^(3.3): и = и3.

Кроме этих, существуют еще подстановки при специальных значениях параметров, входящих в уравнения.

Пример 2. (3.8)^(3.6): й = и3 + \]-А3 еи ± А2е2и, А3А2 = 0. В каждом из случаев А2 = 0 или А3 = 0, логарифмическая подстановка и ^ - 1пи или и ^ - — 1пи приводит к линейному уравнению первого порядка относительно и. То есть функцию и можно выразить через и при помощи одной квадратуры.

Если положить здесь А2 = 0, А3 ^ -А^, то получим подстановку (3.9)^(3.6) с А2 = 0. Пример 3. (3.13)^(3.8): й = 1п(/ + и3), А2 = 0, А3 = Здесь также можно выразить и через и при помощи одной квадратуры. Действительно, как нетрудно проверить, кривая третьего порядка (3.17) имеет следующее параметрическое представление:

и3 = 1 (2 е" + е~2ь) ,

¡=1 (е" - е-2")

причем V = и. Таким образом, имеем и = ^ I [2 ё"' + е

-2 и

) dх.

Приложение 1. Дискретные симметрии функции Вейерштрасса ш

Уравнения (3.13) - (3.16) можно записать в различных формах. Отметим, во-первых, что в статье [9] эти уравнения записаны в терминах функции К = / +и,, удовлетворяющей уравнению 2Кз — ЗщК2 + 1 = 0.

Кроме того, существуют преобразования, сохраняющие форму уравнения (3.18). Действительно, рассмотрим функции ш и Ш, удовлетворяющие уравнениям вида (3.18):

2

ш

= 4 ш3 + с,

ш '2 = 4ш 3 + к,

где с к = 0. Нетрудно проверить, что следующие простейшие преобразования

а — ш ш = а---, к

1

ш

а + 2ш

Ш + ^, ш 2

С=2а

ш =

С + л/С Ш'

2 Ш2

с =-27 к:

(П1.1) (П1.2)

(Т,) (Т 2)

(т з)

отображают решение (П1.2) в решение (П1.1).

Преобразование Т, обратимо, причем Ш выражается через ш той же самой формулой. Обращение преобразования Т2 также возможно, но задача сводится к решению кубического уравнения. Для обращения преобразования Тз требуется решить уравнение Риккати. Отметим, что формула (Т2) помогла найти параметризацию кубики (3.66).

Композиции элементарных преобразований Т^ приводят к новым преобразованиям, сохраняющим форму уравнения (3.18). Например,

Т1 * Т 2 Т 2 * Т 2 Т з * Т1 Т з * Т 2

3

ш = — а +

27 а2 Ш 2

2 2(2Ш + а)(Ш — а)2 к 27 к Ш4

к = у, с

27 з

та3;

Ш = Ш + — —

Ш =

Ш

Ш2 (Ш2 + к)2 ' а(2Ш + а)2 — 3^2лзш'

4(Ш — а)2 сШ4 + л/сШ(Ш3 — 2 к) 2(Ш3 + к)2 ,

с = 729 к;

аз

' С=У;

с =-27 к.

Кроме того, Т, * Т, — тождественное преобразование, а Тз * Тз отличается от Тз лишь знаком корня у/с. Таким образом, уравнения (3.13) - (3.16) можно записать бесконечным числом внешне разных способов.

з

Приложение 2. Явное интегрирование функций, зависящих от и, и /

Для проверки условий интегрируемости уравнений (3.13) - (3.16) необходима таблица интегралов от рациональных выражений К(и,, /), где функция / определена уравнением (3.17). Эти интегралы находятся с помощью рациональной параметризации

, и, = (П2.1)

кривой (3.17). Параметризация позволяет преобразовать интеграл от иррациональной функции К(и3, /) переменной и3 в интеграл от рациональной функции переменной и:

¡к(и3,1)ли3=/Ч ^ '^й1)

Ответ можно записать в исходных переменных и3 и / с помощью формулы и = / + и3, вытекающей из (П2.1).

Для проверки условий интегрируемости нам понадобились интегралы вида

Ju,¡fmduз, п = 0,1, 2; -5 ^т ^ 11.

Например:

У fduз = 1и2 - I2, У u23fduз = 1 (8/3 + 14/3из + /2и2 -из), У из/^хз = 9 (2/3 + /2из + 2/и3 - 21п(/ + из)),

I ^ = 21п(/ + из), I ^ = 2/ + и3, I ^ = 21п(/ + из) + 21п /.

Для вычисления повторных интегралов необходимо добавить к таблице также и интегралы от логарифмов, например:

У 1п(/ + из) duз = из 1п(/ + из) - щ - /.

При доказательстве теоремы 2 использовано около двух десятков подобных формул. Для проверки любой из приведенных формул достаточно продифференцировать ее, ис-

и3 -

ключить / =--— и понизить степени и3, если это нужно, с помощью тождеств

2

и33 = 1 + 3из/2 + 2/3, и3 = из(1 + 3из/2 + 2/3),... , вытекающих из (3.17).

Приложение 3. О рекуррентных формулах для канонических плотностей

Здесь мы обсуждаем способ получения рекуррентных формул типа (2.2) и (3.26). Исходная идея этого метода содержится в работе [55], где был предложен простой метод вывода рекуррентных формул для законов сохранения уравнений Лакса. В работе [10] этот подход был применен к линеаризации эволюционных уравнений и систем.

Для полноты изложения мы вначале кратко изложим суть метода Захарова — Шабата. Предположим, что уравнение (0.1) имеет представление Лакса:

= [А, Ц ^^ иг = ип + Р(х,и,из,... , ип-з),

dt

где квадратными скобками обозначен коммутатор линейных операторов. Для простоты предположим, что А = А(дх,^,и) и Ц = Ь(дх,^,и) — скалярные дифференциальные операторы, не зависящие от дг, х — спектральный параметр, и — решение уравнения (0.1).

Представление Лакса обеспечивает совместность линейной системы

Цф = 0, фг = Аф. (П3.1)

Введем обозначения для логарифмических производных функции ф:

(1пф)х = К, (1пф)г = Т.

Очевидно, функции К и Т связаны соотношением

Кь = ТХ, (П3.2)

и КСх + Т <Л = С\пф. Поэтому с точностью до постоянного множителя имеем

* =ехр {¡КСх + ТС>), (ш.з)

где интеграл в аргументе экспоненты — это криволинейный интеграл с переменным верхним пределом (х, ¿).

Так как фх = фК, фt = фТ, то справедливы следующие операторные формулы:

Ш'ф = Ц + К)' Ц)'ф = (С + т)" >' = 0 1 2 ...

В силу этих формул имеем

ф-1Ь(дх, р, и)ф = Ь(дх + К, р, и), ф~1А(дх,р, и)ф = А(дх + К, р, и).

Поэтому уравнения (П3.1) можно переписать в терминах функций К и Т:

Ь(дх + К,р,и)(1) = 0, (П3.4)

Т = А(дх + К,р,и)(1). (П3.5)

Эти два уравнения нелинейны по К. Их решения ищут в виде рядов Лорана по параметру р. Коэффициенты этих рядов в силу (П3.2) являются плотностями законов сохранения.

Пример 4. Для уравнения КдФ щ = иххх — 6иих ассоциированную линейную систему можно записать в следующем виде:

фхх — иф — р2ф = 0, (П3.6)

фг = 4фххх — 6ифх — 3ихф. (П3.7)

Формулы (П3.4),(П3.5) приводят к следующим уравнениям для К и Т:

Кх + К2 — и — р2 = 0, (П3.8)

Т = 4(дх + К)2(К) — 6и К — 3их. (П3.9) Уравнение (П3.9) можно упростить при помощи (П3.8), это дает

Т = (4р2 — 2и)К + их. (П3.10) Если подставить в уравнение (П3.8) следующий ряд

те

К = р + ^ (П3.11)

п=0

и приравнять к нулю коэффициенты при одинаковых степенях р, то получаем следующую рекуррентную формулу:

1 ( п~1 С \

Рп+1 = 2 Ги$п0 — У] РгРп-г — Сх Рп\ , П = 0, 1, 2,..., (П3.12)

где 8п0 — символ Кронекера. Заметим, что масштабное преобразование рп ^ рп(—2)~п приводит формулу к виду, указанному в монографии [19]. Приведем первые элементы последовательности рп:

1 1 1 2ч Ро = 0, рг = 2й, Р2 = — -иг, рз = 8(щ — и).

Далее, подставив ряд (П3.11) в уравнение (П3.10), получаем разложение

те

Т = 4Х3 + ^ ОпХ~п, (П3.13)

п=3

где

Оп = 4рп+2 - 2ирп, п> 0. (П3.14)

Ввиду произвольности параметра формула (П3.2) определяет бесконечную последовательность законов сохранения

d d

!грп = ¿XX &п, п =1, 2,..., (П3.15)

Для получения канонических плотностей рп, достаточно (П3.2) и одного из уравнений (П3.8) или (П3.9).

Если использовать уравнение (П3.8), то вновь придем к рекуррентной формуле (П3.12), а формула (П3.14) теряется. Токи вп, соответствующие плотностям рп, можно найти из

X

(П3.15), обращая оператор полной производной — (алгоритм обсуждался в замечании 4,

¿х

на стр. 113).

Для дальнейшего важнее понять, как получить канонические плотности из уравнений (П3.9) и (П3.2). Так как уравнение (П3.9) не содержит параметра, то параметр вводится априорно, и мы можем выбрать вид разложения для К по своему усмотрению. Если, например, считать, что К — это ряд Тейлора

К = ^ РпХп

п=0

где х — параметр, то

Т = ^2 впХп,

п

п=0

где коэффициенты вп определяются из уравнения (П3.9). Нетрудно проверить, что

п ¿2 X п

вп = 4 РгРзРк - 3 из5по - 6 ир,п + 4-р2Рп + 6Р^э, 0 0

где использованы обозначения для сумм, введенные на странице 128. Поскольку в левой и правой частях этой формулы одновременно появляются неизвестные функции вп и рп, она никак не помогает при вычислении законов сохранения.

Ситуация меняется, если постулировать разложение функции К в ряд Лорана

К = Х-3 + ^РпХп. (П3.16)

п=0

В этом случае из уравнения (П3.9) получаем вид разложения для Т

те

Т = 4ц-3 + в-2Х~2 + в-з^-3 + ^ 0пХп, (П3.17)

п=0

и рекуррентную формулу

11 п+3 11 п 1 Рп+2 = 2 иРп + 4"з5п,0 РгРз + 12&п - 3 ^ РгРзРк + 12&-2<*>п,-2-

0 0

1 п \ 1

~Х ( Рп+3 + 1^12 РгРз + 1 ¿X рп) + 12(6и + в-3) ^^ (П3.18)

где п = -2,-1, 0,... Рассмотрим соответствующую серию законов сохранения (П3.15), где п = -2, -1, 0,1, 2,.... Если законы сохранения с номерами г ^ п + 1 уже известны, то мы находим рп+2 из (П3.18), а затем вп+2 из (П3.15) и т.д. При нахождении вп+2 нам

приходится обращать оператор —. При предположении, что плотности и токи законов

¿х

сохранения (П3.15) не зависят явно от Ь, эта процедура абсолютно алгоритмична (см. стр. 113). При этом функция вп+2 определена однозначно с точностью до постоянной интегрирования.

Начало этой рекурренции выглядит следующим образом. Согласно (П3.16), имеем р-2 = р-з = 0, поэтому из (П3.15) получаем, что соответствующие токи постоянны: В-3 = 12с-3, д -2 = 12с-2. Далее находим р0 = с-2. Следующие две плотности имеют вид

1 1 -2 1 3 2 Рз = + с-з, Р2 = —У0--2~и - 4"з--3--2с-зс-2.

Для определения 90 необходимо снова прибегнуть к уравнению (П3.15) при п = 0, что

дает 0 = 0.

Важно отметить, что постоянные сг, возникающие при нахождении токов 9г, не являются существенными, поскольку могут быть устранены заменой параметра р следующего вида:

те

р ^ р + ^ кгрг. (П3.20)

=2

Рассмотрим теперь произвольное эволюционное уравнение с одной пространственной переменной

щ = К(х,и,их,... ,ип), п> 1. (П3.20)

В случае (0.1) имеем К = ип + Р(х,и,их,... ,ип-3). Обозначим через К* производную Фреше функции К:

п К К* = 1^

диг ¿хг =0

Формальный ряд

3

ь = ^^

хк к=

коэффициенты которого зависят от х, и, их, . . . , удовлетворяющий уравнению

и =[К*,Ь] , (П3.21)

называется формальной симметрией (формальным рекурсионным оператором) уравнения (П3.20). Известно, что уравнение, имеющее высшие симметрии или законы сохранения, обладает формальной симметрией [4,7,9].

Уравнение (П3.21) обеспечивает совместность следующей пары линейных уравнений

Ьф = Хф, фг = К*ф, (П3.23)

где Х — спектральный параметр. К этой системе можно применить процедуру получения канонических плотностей, изложенную выше. Так как оператор ь заранее неизвестен, то используем уравнение (П3.5):

Т = Ц + *)' Ы (П3.25)

=0

Пусть

те

Я = р-1р-1 + ^ рк рк, (П3.27)

к=0

тогда

п—1 те

Т = р-п + ^ в-гр-г + ^ вкрк. (П3.28)

г=1 к=0

Действительно, минимальная степень р в правой части равенства (П3.25) содержится в слагаемом

Ж ^ + яУ (1)= ^ + • = ^ (Р-^Г' + .,

дип \йх ) дип дип

поэтому ряд для Т должен начинаться с члена в-пр-п. Так как п > 1, то р-п = 0 и в-п=ооп8Ь= 0. Растяжением параметра р обращаем в-п в единицу, и получаем (П3.28).

Подставляя в (П3.25) разложения (П3.27), (П3.28) и приравнивая в уравнении (П3.25) члены при р-п, получаем первую каноническую плотность

-1/п

Р-1 ' ^

(—V

\дип)

Формулы для нескольких следующих канонических плотностей можно найти в [9].

Рассмотри теперь уравнения вида (0.2) и приведем вывод рекуррентной формулы (2.2) для канонических плотностей, следуя описанной выше схеме. 1-й шаг. Записываем линеаризацию уравнения (0.2):

(АЛ3 2 ЁЛА А

\йх) ди2\йх) ди1 йх ди М

ф = 0.

2-й шаг. При помощи подстановки

ф = ехр ( / Яйх + Т (И) , где Яг = ТХ,

получаем уравнение с «удлиненными производными»:

V дЛ (А V дЛ (А л дЛ (А \

и+Я) + ^и+Я) + дт{тх+Я)+ни-и+Т)

(1) = 0,

которое равносильно соотношению

Т = (£ + и + Ят + Я2) (Я) + Iй (4- + я) (Я) + ТТ-Я + тт- (П3.29)

х2 х х и2 х и1 и

3-й шаг. Выбираем подходящее разложение для Я. Простейший выбор состоит в том, чтобы положить

те

Я = р-1 + ^ р™рп. (П3.30)

п=0

Замечание 12. Несколько попыток искать разложения с полюсами высших порядков

не дали ничего нового. Если, например, принять для уравнения (0.2) Я = р 2 + У ^ рпрп,

п=-1

то после проверки нескольких условий (П3.15) получаем р2п+1 = 0, Уп. Это равносильно тому, что Я разлагается по параметру ^ = р2. Аналогичные результаты были получены и для некоторых других уравнений и систем (см. [11]).

Выбрав разложение (П3.30), мы должны принять

<х

Т = р-3 + в-2/J.-2 + Q-xiT1 + ^ впрп, (П3.31)

п=0

чтобы в уравнении (П3.29) уничтожились слагаемые с р-3.

Для разложения (П3.30) имеем p-x = 1, р-2 = 0 откуда следует, что в-2 и 9-\ — постоянные. Поскольку аддитивные постоянные интегрирования в токах устраняются преобразованием параметра (П3.20), положим 0-2 = в-\ = 0.

Теперь, как нетрудно проверить, подстановка разложений (П3.30) и (П3.31) в уравнение (П3.29) приводит к формуле (2.2) с указанными там р0 и px.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. What is Integrability? Ed. V.E. Zakharov. Springer series in Nonlinear Dynamics. 1991.

2. Integrability. Ed. A.V. Mikhailov. Lecture Notes in Physics. Springer. 2009. V. 767.

3. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. Москва. Мир. 1989. 323 с.

4. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. О бесконечных алгебрах Ли-Беклунда//Функц. анализ и его прилож.. 1980. Т. 14. №4. С. 79-80.

5. Свинолупов С. И., Соколов В. В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения//Функц. анализ и его прилож. 1982. T. 16. №4. C. 86-87.

6. Свинолупов С.И., Соколов В.В. О законах сохранения для уравнений, обладающих нетривиальной алгеброй Ли-Беклунда // Интегрируемые системы: сб. статей. Ред. А.Б. Шабат. БФ АН СССР. Уфа. 1982. C. 53-67.

7. V.V. Sokolov and A.B. Shabat Classification of Integrable Evolution Equations//Soviet Scientific Reviews, Section C. 1984. V. 4. P. 221-280.

8. Михайлов А.В., Шабат А. Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи матем. наук. 1987. Т. 42. №4. 3-53.

9. A.V. Mikhailov, V.V. Sokolov, A.B. Shabat The symmetry approach to classification of integrable equations // What is Integrability? Ed. V.E. Zakharov. Springer series in Nonlinear Dynamics. 1991. P. 115-184. Перевод на рус. в кн. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Ред. В.Г. Бахтарьяр и В.Е. Захаров. Киев. Наукова думка. 1990. 472 с.

10. H.H. Chen, Y.C. Lee and C.S. Liu Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method // Phys. Scr. 1979. V. 20. №3-4. P. 490-492.

11. A.G. Meshkov Necessary conditions of the integrability//Inverse Problems. 1994. V.10. 635-653.

12. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега — де Фриза//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Москва. ВИНИТИ. 1984. Т. 24. С. 81-180.

13. Свинолупов С.И. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметрия-ми//Успехи матем. наук. 1985. Т. 40. №5. C. 263-264.

14. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Слабые нелокальности в эволюционных уравнениях//Матем. заметки. 1990. №6. C. 91-97.

15. A.S. Fokas A symmetry approach to exactly solvable evolution equations//J. Math. Phys. 1980. V. 21. №6. P. 1318-1325.

16. R.H. Heredero, V.V. Sokolov, and S.I. Svinolupov Toward the classification of third order integrable evolution equations//J. Phys. A: Mathematical and General. 1994. V. 13. P. 4557-4568.

17. R.H. Heredero Classification of fully nonlinear integrable evolution equations of third order//J. Nonlin. Math. Phys. 2005. V. 12. №4. P. 567-585.

18. Дринфельд В.Г., Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечной серией законов сохранения // Докл. АН УССР. 1985. Т. А10. С. 7-10.

19. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. Москва. Наука. 1980. 320 с.

20. Соколов В.В. О симметриях эволюционных уравнений///Успехи матем. наук. 1988. Т. 43. №5. С. 165-204.

21. Sanders Jan and Jing Ping Wang On the Integrability of homogeneous scalar evolution equations //J. Differential Equations. 1998. V. 147. P. 410-434.

22. P. Olver, Jing Ping Wang Classification of integrable one-component systems on associative algebras//Proc. London Math. Soc. 2000. V. 81. №3. P. 566-586.

23. M. Gurses, A. Karasu and V.V. Sokolov On construction of recursion operator from Lax representation// JMPh. 1999. V. 40, №12. P. 6473-6490.

24. V.V. Sokolov and T. Wolf A symmetry test for quasilinear coupled systems//Inverse Problems. 1999. V. 15. P. L5-L11.

25. Мешков А. Г., Михаляев Б. Б. Уравнения газовой динамики, допускающие бесконечное число симметрий//Теор. и мат. физ. 1987. Т. 72. №2. С.163-171.

26. S.I. Svinolupov On the analogues of the Burgers equation//Phys. Lett. A. 1989. V. 135. №1. P. 32-36.

27. S.I. Svinolupov Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs//Commun. Math. Phys. 1992. V. 143. №1. P. 559-575.

28. Свинолупов С.И. Йордановы алгебры и обобщенные уравнения Кортевега — де Фриза//Теор. и мат. физ. 1991. Т. 87. №3. С. 391-403.

29. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Векторно-матричные обобщения классических интегрируемых уравнений//Теор. и мат. физ. 1994. Т. 100. №2. С. 214-218.

30. V.V. Sokolov and S.I. Svinolupov Deformation of nonassociative algebras and integrable differential equations//Acta Applicandae Mathematica.1995. V. 41. №1-2. P. 323-339.

31. I.T. Habibullin, V.V. Sokolov, R.I. Yamilov Multi-component integrable systems and non-associative structures//Nonlinear Physics: theory and experiment. Eds: E. Alfinito, M. Boiti, L. Martina, F. Pempinelli. World Scientific Publisher. Singapore. 1996. P. 139-168.

32. P.J. Olver and V.V. Sokolov Integrable evolution equations on associative algebras//Commun. Math. Phys. 1998. V. 193. №2. P. 245-268.

33. V.V. Sokolov, T. Wolf Classification of integrable polynomial vector evolution equations//J. Phys. A: Mathematical and General 2001. V. 34. P. 11139-11148.

34. A.G. Meshkov and V.V. Sokolov Integrable evolution equations on the N-dimensional sphere//Commun. Math. Phys. 2002. V. 232. №1. P. 1-18.

35. Мешков А.Г., Соколов В.В. Классификация интегрируемых дивергентных N-компонентных эволюционных систем//Теор. и мат. физ. 2004. Т. 139. №2. С. 192-208.

36. M.Ju. Balakhnev, A.G. Meshkov Integrable anisotropic evolution equations on a sphere//SIGMA. 2005, V. 1. Paper 027. 11 p.

37. Балахнев М.Ю. Об одном классе интегрируемых эволюционных векторных уравнений//Теор. и мат. физ. 2005. Т. 142. №1. С. 13-20.

38. Мешков А.Г. К симметрийной классификации эволюционных систем третьего порядка дивергентного вида//Фундам. и прикл. математика. 2006. Т. 12. №7. С.141-161.

39. M.Ju. Balakhnev, A.G. Meshkov Two-field integrable evolutionary systems of the third order and their differential substitutions//SIGMA. 2008, V. 4. Paper 018. 29 p.

40. M.Ju. Balakhnev, A.G. Meshkov On a classification of integrable vectorial evolutionary equations//J. Nonlin. Math. Phys. 2008. V. 15. №2. P. 212-226.

41. A.V. Mikhailov, V.V. Sokolov Symmetries of differential equations and the problem of integrability ^//Integrability. Ed. A.V. Mikhailov. Lecture Notes in Physics. Springer. 2009. V. 767. P. 19-88. ISBN: 978-3-540-88110-0

42. Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнение Клейна-Гордона с нетривиальной группой//Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. №5. С. 1103-1107.

43. Жибер А.В., Шабат А.Б. Системы уравнений их = p(u,v), vy = q(u,v), обладающие сим-метриями//Докл. АН СССР. 1984. Т. 277. №1. С. 29-33.

44. Мешков А.Г. Симметрии скалярных полей. 3. Двумерные интегрируемые модели//Теор. и мат. физ. 1985. Т. 63. №3. С. 323-332.

45. A.G. Meshkov Hamiltonian and recursion operators for two-dimensional scalar fields//Phys. Lett. A. 1992. V. 170. №6. P. 405-408.

46. Жибер А.В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симмет-рий//Изв. РАН, сер. матем. 1994. Т. 58. №4. С. 33-54.

47. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа//Успехи матем. наук. 2001. Т. 56. №1. C. 63-106.

48. Мешков А.Г. Нелокальные симметрии 2-полевых дивергентных эволюционных систем,//Теор. и мат. физ. 2008. Т. 156. №3. С. 351-363.

49. Мешков А.Г. Векторные гиперболические уравнения, обладающие высшими симметрия-ми//Теор. и мат. физ. 2009. Т. 161. №2. C. 176-190.

50. Мешков А.Г., Соколов В.В. Гиперболические уравнения с симметриями третьего порядка//Теор. и мат. физ. 2011. Т. 166. №1. C. 51-67.

51. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва. Мир. 1989. 639 с.

52. Свинолупов С.И., Соколов В.В., Ямилов Р.И. Преобразования Бэклунда для интегрируемых эволюционных уравнений///Докл. АН СССР. 1983. Т. 271. №4. C. 802-805.

53. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Об уравнениях, родственных уравнению Кортевега-де Фри-за//Докл. АН СССР. 1985. Т. 284. №1. C. 29-33.

54. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, сер. СМБ. Москва. Наука. 1967. 300 с.

55. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде//ЖЭТФ. 1971. Т. 61. С. 118-134.

Анатолий Георгиевич Мешков, Государственный университет - УНПК, Наугорское шоссе, 29, 302020, г. Орел, Россия E-mail: [email protected]

Владимир Вячеславович Соколов, ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН, просп. Академика Семенова, 1-а,

г. Черноголовка, Московская обл., Ногинский р-н, Россия E-mail: [email protected]