CC BY
41
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 4. № 3 (2012). С. 161-176.
УДК 517.929
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПО ДАРБУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С.Я. СТАРЦЕВ
Аннотация. Произведена классификация дифференциально-разностных уравнений лиувиллевского типа, допускающих интеграл первого порядка по одной из характеристик. Показано, что тем самым получено полное описание разностных подстановок первого порядка, применимых к широким классам эволюционных дифференциально-разностных уравнений. Также указанная классификация позволяет получить полный список интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных уравнений, обладающих интегралом второго порядка по одной из характеристик и допускающих обратимое неточечное преобразование по соответствующей характеристике.
Ключевые слова: интегрируемость по Дарбу, дифференциально-разностные уравнения, разностные подстановки.
1. Введение и основные определения
Настоящая статья посвящена изучению некоторых специальных подклассов цепочек дифференциальных уравнений вида
(Ui+l)x = F(x,Ui,Ui+1, (Ui)x),
где неизвестная функция и зависит от целого числа г и вещественной переменной x. В дальнейшем во всех формулах мы для краткости будем опускать индекс г и, в частности, будем записывать вышеуказанную цепочку в виде
(Ui)x = F (x,U,Ui,Ux). (1.1)
Мы будем предполагать, что FUx = 0, и, следовательно, уравнение (1.1) можно записать в виде
(U-i)x = F(x, U, U-i,Ux). (1.2)
Производные Um := дпUi+m/dxn от сдвигов U для любых ненулевых m g Z и п g N мы можем поэтому выразить в силу уравнений (1.1) - (1.2) через x и так называемые динамические переменные щ := Ui+i, Ufc) := dkUi/dxk. Запись g[n\ будет обозначать, что функция зависит от x и конечного числа динамических переменных.
Обозначим через Т оператор сдвига по г в силу уравнения (1.1). Этот оператор задается следующими правилами: Т (f(a,b,... )) = f(T (а),Т (b),... ) для любой функции f; Т(Um) = Um+1; Т(Un)) = Dn-1(F) ( то есть "смешанные" переменные Uin) выражаются через динамические переменные в силу уравнения (1.1)). Здесь
я = I + " £ + g («<- ¿у + ^ с) ¿ + Г" й
S.Ya. Startsev, Darboüx integrable differential-difference equations admitting a firts-order integral.
© Старцев С.Я. 2012.
Работа поддержана РФФИ (грант 10-01-00088-а). Поступила 21 мая 2012 г.
т.е. через И обозначен оператор полной производной по х в силу уравнений (1.1) - (1-2). Оператор обратного сдвига Т-1 задается похожим образом.
Определение 1. Уравнение (1.1) называется интегрируемым по Дарбу, если для него найдутся функции I[и] и X[и], каждая из которых зависит хотя бы от одной из динамических переменных, такие что выполнены соотношения И(1) = 0 и Т(X) = X. Функции I[и] и X[и] в этом случае называются соответственно г-интегралом и х-интегралом уравнения (1.1).
Нетрудно проверить (см., например, [1]), что г-интеграл не может зависеть от производных и, а ж-интеграл — от сдвигов и. Таким образом, г- и ж-интеграл должны иметь вид I(х, ии, ии+1,... , ит) и X(х, и, и(1\ ... , и(га)) соответственно. Числа т — к и п называются порядком соответствующего интеграла. Заметим, что в настоящей статье (в отличие от, например, [2]) мы не рассматриваем случай интегралов, явно зависящих от дискретной переменной г.
Уравнение (1.1) можно рассматривать как дифференциально-разностный аналог уравнения в частных производных
иХу = Р (х,у,и,их ,иу). (1.3)
Определение интегрируемости по Дарбу первоначально было введено именно для уравнений в частных производных, и в работе [3] была выполнена полная классификация интегрируемых по Дарбу уравнений вида (1.3). Для уравнений же (1.1) такая классификация в настоящий момент пока отсутствует — известны лишь отдельные примеры (см., например, [4]), а также результаты классификации для цепочек специального вида [5]. Поэтому обоснованной представляется постановка задачи о классификации тех или иных частных случаев уравнения (1.1), которые впоследствии достаточно естественным образом могут войти в будущую полную классификацию как составная ее часть.
В качестве таких частных случаев в статье рассматриваются уравнение
(щ)х = а(и,щ)их, (1.4)
а также уравнения вида
ф(х, щ, (и1)х) = ф(х, и, их). (1.5)
Нетрудно видеть, что уравнение (1.4) при любом а допускает г-интеграл первого порядка: им будет любая функция I(и,и\), удовлетворяющая уравнению 1и + а1и1 = 0. Верно и обратное — уравнение (1.1) допускает г-интеграл вида I(и,и1) только тогда, когда оно имеет вид (1.4). Также очевидно, что уравнение (1.1) допускает ж-интеграл ф(х, и,их) тогда и только тогда, когда оно может быть записано в виде (1.5).
Поскольку уравнения (1.4) и (1.5) всегда обладают интегралом по одной из характеристик, задача классификации интегрируемых по Дарбу уравнений указанных видов сводится к получению необходимых и достаточных условий наличия у них интеграла по другой характеристике. Такие условия и получены в настоящей статье. Заметим, что этот результат не претендует на исчерпывающее описание всех уравнений вида (1.1), допускающих интегралы первого порядка, поскольку уравнения допускающие г-интеграл первого порядка не исчерпываются уравнениями (1.4) (в случае явной зависимости этого интеграла от х) и, что менее очевидно, уравнение (1.1) может допускать ж-интеграл первого порядка, явно зависящий от г (несмотря на отсутствие такой зависимости у (1.1)), и потому соответствующее такому интегралу уравнение не обязательно имеет вид (1.5) (для чисто дискретных аналогов уравнения (1.3) примеры такого сорта содержатся в работе [6] и нетрудно видеть, что они применимы и к случаю уравнений (1.1)).
Для дальнейшего изложения нам потребуется следующее
Определение 2. Уравнение вида иг = f [и] называется симметрией уравнения (1.1), если выполнено соотношение Ь(/) = 0, где
Ь = ТВ - рихв - ри1 Т - Ии. (1.6)
Следует заметить, что интегрируемые по Дарбу уравнения обладают богатым набором симметрий: если у уравнения (1.1) имеются г-интеграл I и ж-интеграл X, то, согласно [4], найдутся операторы Я = ^гк=0 Хк[и]Тк и 5 = ^2к=о [и\^к, такие что
щ = Я(£(1,Т (I ),Т=(1),...)), (1.7)
иг = Б (ф,Х,Б(Х ),И2(Х),...)) являются симметриями этого уравнения для любых функций £ и г/, зависящих от конечного числа аргументов. В разделе 3 показано, что, как и в случае уравнений (1.3), для любой симметрии иг = / [и] уравнения (1.1) интеграл минимального порядка П[и] задает подстановку V = П^], переводящую решения этой симметрии в решения некоторого уравнения вида Ьг = д[и]. Это позволяет воспользоваться при классификации уравнений (1.5) результатами ранее проведенной классификации дифференциальных подстановок [7], а также показать, что классификация уравнений (1.4) дает нам полное описание постановок вида V = I(и,и\), допускаемых зависящими от произвольной функции семействами уравнений вида (1.7).
В статье также рассматриваются уравнения, заданные соотношениями вида
Т(р(х,и,их))= ф(х,и,их), Фифих - Фи<Рих =0, (1.8)
и
Б(р(и,и1)) = д(и,щ), РиЧи! - ЯьРщ = 0. (1.9)
С помощью результатов классификации уравнений (1.4) и (1.5) в разделе 5 получены полный список интегрируемых по Дарбу уравнений (1.8), допускающих ж-интеграл второго порядка, а также список Дарбу-интегрируемых уравнений (1.9), допускающих г-интеграл второго порядка, не зависящий явно от ж. Заметим, что уравнения (1.8) и (1.9) можно рассматривать как дифференциально-разностные аналоги линейных по одной из производных уравнений (1.3), т.е. уравнений
Ву (р(х,и,их)) = ф{х,и,их) и Бх{р{и,иу)) = д(и,иу), (1.10)
где через Их и Иу обозначены полные производные по х и у соответственно. Т.е. найденные в разделе 5 уравнения можно рассматривать как ближайшие дифференциально-разностные аналоги уравнения Лиувилля иху = еи, поскольку данное уравнение имеет вид (1.10) и допускает интегралы второго порядка.
2. Вспомогательные утверждения: инварианты Лапласа,
симметрии и интегралы
При анализе уравнений (1.1), допускающих интегралы, нередко оказываются полезными инварианты Лапласа этих уравнений. Напомним, что К0 = + ЯихЯи1 - И(Рих) и Н0 = Ри + РихТ-1(Ри1) называются главными инвариантами Лапласа уравнения (1.1). Эти инварианты являются остатками от деления оператора (1.6) на Т - Рих и И - Т-1(Ри1) соответственно:
Ь = (Б - ^)(Т - Рих) - Ко = (Т - Рих)(Б - Т)) - Но. Нетрудно проверить, что если Н0 = 0, то верна формула
(В - Ь1)Ь = ¿1 (В - Т-1(^1)),
где
Ь1 = (Б - Ь1)(Т - Рих) - Но, &1 = Т-1(^1) + Б(Но)/Но.
Вышеописанная процедура перехода от оператора Ь0 = Ь к оператору Ь1 называется ^-преобразованием Лапласа. Ясно, что она может быть применена к произвольному оператору вида ТВ — а[и]В — Ь[и]Т — с[п\ (для этого достаточно в вышеприведенных формулах заменить Рих, Ри1 и Ри на а, Ь и с соответственно). В частности, мы можем записать Ь1 в виде
Ьг = (Т — ^)(В — Т-1(Ь1)) — Ни Н\ = Но + ^ (Т-1(Ъ1) — Ь) + В(Рих)
и применить ж-преобразование Лапласа уже к Ь1 и т.д. Многократное применение х-преобразования Лапласа дает нам последовательность операторов
ц = (т — Кх)(В — Т-\Ь3)) — Щ, з> 0,
где Ь,, Н, определяются рекуррентными формулами
Ь, = Т-1(Ъ-1) + В(Щ-г)/Щ-1, Ьо = Ри
и1 >
Н, = Н-1 + ^ (Т-1(Ъ3) — Ь,) + В(Рих). При этом для всех ] > 0 верна формула
(В — Ь, )^-1 =Ь, (В — Т-1(^-1)). (2.1)
Подобным образом определяется и г-преобразование Лапласа. Итерации ¿-преобразования порождают последовательность операторов
ь,_. = (В — Tj(^1 ))(Т — ъ) — Kj, 3> 0, где а,, К, определяются рекуррентными формулами
а, = aj_lT(К,_1 )/К,_1, ао = Рих,
К = Т (К_1) — В(а,) + ъ (Tj (^1) — Т,-1(Ри1)). Аналогом формулы (2.1) здесь является соотношение
(Т — а, )Ь_ = ЬЧ (Т — а_1). (2.2)
Функции Hj и Kj называются соответственно х- и г-инвариантами Лапласа уравнения (1.1). В работе [4] было доказано, что выполнения условия Hj = 0 (К, = 0) при некотором ] < т является необходимым для наличия у уравнения (1.1) ж-интеграла (г-интеграла) т-того порядка. В случае уравнения в частных производных (1.3) в работах [8], [9] доказано, что завершение нулем последовательности инвариантов Лапласа этого уравнения не только необходимо, но и достаточно для наличия у него интегралов. Для дифференциально-разностного уравнения (1.1) подобное утверждение отсутствует. Однако нетрудно доказать следующей формальный аналог этого утверждения.
Лемма 1. Пусть х-инвариант Лапласа Нт уравнения (1.1) равен нулю при некотором т > 0 и найдется отличная от нуля функция в[и], такая что Т(в) = Р_х0. Тогда дифференциальный оператор вВт, где Bj задаются рекуррентной формулой
Во = В — Т-1(Ри1), В, = (В — Т-1(Ь,))В_1, 3> 0, (2.3)
переводит ядро оператора (1.6) в ядро оператора Т — 1.
Другими словами, оператор вВт переводит в кег(Т — 1) правую часть любой симметрии уравнения (1.1).
Доказательство. Прямым следствием формулы (2.1) является соотношение
ЬтВт_1 = (В — Ьт) ... (В — Ь^Ь. Учитывая, что Нт = 0, получаем
(Т — ^ )Вт = (В — Ьт) ... (В — Ь1)Ь. (2.4)
Поскольку Т(в) = F—9, имеем (Т — 1)9 = 6(F—T — 1) = 6FU^(T — FUx). Поэтому, домножив обе части (2.4) на OF-^, приходим к соотношению
(Т — 1)9Вт = dF-(D — Ьт)... (D — b1)L, которое и доказывает лемму. □
Аналогичным образом доказывается и
Лемма 2. Пусть г-инвариант Лапласа Кт уравнения (1.1) равен нулю при некотором т > 0 и найдется отличная от нуля функция г [и], такая что D(r) + FU1 г = 0. Тогда разностный оператор Тт(т)Ат, где Aj задаются рекуррентной формулой
Ас = Т — FUx, Aj = (Т — aj) Aj-!, j > 0, переводит ядро оператора (1.6) в ядро оператора D.
Если у уравнения (1.1) имеется симметрия щ = f [и], то выполнение условий вышеприведенных лемм вообще говоря не гарантирует, что у этого уравнения обязательно будут иметься интегралы, поскольку выражения 9Bm(f) и Тт(т)Am(f) теоретически могут оказаться не зависящими от динамических переменных или вообще равными нулю. Но при добавлении некоторых дополнительный условий эти леммы все же можно использовать для доказательства существования интегралов.
Следствие 1. Пусть щ = f [и] является симметрией уравнения (1.1), такой что fu(n) = 0, п > 0 и fu(j) = 0 для всех j > п. Тогда если для этого уравнения выполнено условие Нт = 0 и найдется отличная от нуля функция в[и], такая что Т(в) = F~x9 и 9U(i) = 0 для всех I > (т + п), то 6Bm(f) является х-интегралом уравнения (1.1).
Доказательство. Индукцией по j нетрудно убедиться, что bj и Hj не могут зависеть от и(г) для любого г > (j + 1). Поэтому (9Bm(f))U(m+„+i) = dfu(n) = 0, то есть 6Bm(f) зависит от и(т+п+1) и, в силу леммы 1, лежит в ker(T — 1). Следовательно, 6Bm(f) является х-интегралом. □
Таким же образом доказывается и аналогичное утверждение для г-интегралов.
Следствие 2. Пусть ut = f [и] является симметрией уравнения (1.1), такой что fUn = 0, п > 0 и fUj = 0 для всех j > п. Тогда если для этого уравнения выполнено условие Кт = 0 и найдется отличная от нуля функция г [и], такая что D(r) + FU1 г = 0 и тщ =0 для всех I > п, то Тт(т)Am(f) является i-интегралом уравнения (1.1).
Нетрудно заметить, что у уравнения (1.4) при любом а имеется симметрия ut = их и Т(и-1) = а~1и-1. Учитывая, что а = FUx, в силу следствия 1 получаем следующее
Предложение 1. Пусть для уравнения (1.4) выполнено условие Нт — 0 при некотором т > 0. Тогда у этого уравнения имеется х-интеграл.
Теорема 1. Пусть для уравнения (1.1) найдется оператор R = Y1к=с ^к[и]Тк, Хг = 0, такой что ut = R(I) является симметрией уравнения (1.1) для любого I Е ker D. Тогда Нт = 0 для некоторого неотрицательного т < г.
Доказательство. Собирая в соотношении L(R(I)) = 0 коэффициенты при одинаковых степенях Т, получаем, что необходимым условием для его выполнения при любых I Е ker D является выполнение цепочки соотношений
Т (Вс(К)) = 0, Т (Bc(Xj-i)) — FuxВс(Х3) — ЩХ3 = 0, j = FUx Вс(Хс) + НсХс = 0,
где через В0 обозначен оператор Б — Т 1(Ри1). Для дальнейших рассуждений удобно переписать эту цепочку в виде
Во{К) = о, (2.5)
Т (Во(\— — X,)) + Ь(Х,) = 0, з = (2.6)
Т (Во(Хо)) — Ц\о) = 0. (2.7)
Подействовав оператором (И — Ьг-^+1)(В — Ъг-^)... (И — Ь\) на второе соотношение этой цепочки и учитывая (2.1), получаем
Т (Вг-у+1(\у-г — )) + Ьг-у+1 (В-(\у)) = 0, ] = l,r,
где В^ заданы формулой (2.3). Из последнего соотношения видно, что если Вг-^(Х^) = 0, то равно нулю и Вг-^+1(Х^-1). Поскольку В0(ХГ) = 0 в силу (2.5), мы таким образом получаем, что Br-j ) = 0 для всех ] от г до 0.
Применим теперь оператор (И — Ьг)... (И — Ь\) к соотношению (2.7), а оператор (И — Ъг-^)... (И — Ь\) — к соотношению (2.6) при ] < г (при ] = п просто перепишем (2.6) с учетом (2.5)). Поскольку из Br-j) = 0 следует
^г-з (Вг-]-1 )) = (Т — Гих) (Вг-э(Ху)) — Ег-уВг-у-^Ху) = —НГ—Вг-^-1(Х^),
после введения обозначений Л^ = Вг-^-1(Х^) при ] < г и Лг = Хг приходим в результате к цепочке соотношений
Нг—Л3 = Т (Л—), з = 1^, Нг Л0 = 0.
Она может выполняться только тогда, когда Нт = 0 при некотором т < г (поскольку в противном случае Лj = 0 для всех ] = 0,г, что противоречит условию теоремы Хг = 0). □
Из только что доказанной теоремы и предложения 1 вытекает следующее
Следствие 3. Пусть для уравнения (1.4) найдется оператор Я = ^ [и]Тк,
Хг = 0, такой что иг = Я(1) является симметрией уравнения (1.4) для любого I Е кегИ. Тогда у этого уравнения имеется х-интеграл, и оно является интегрируемым по Дарбу.
Заметим, что рассуждения, использованные для построения ж-интеграла при доказательстве леммы 1, следствия 1 и предложения 1, дают нам ж-интеграл без явной зависимости от дискретной переменной г. Поэтому наше предположение о независимости интегралов от переменной г при выполнении условий следствия 3 не является ограничительным.
3. Подстановки и интегралы
В этом разделе рассмотрим эволюционное уравнение в частных производных
щ = ! (х,и,и(1),...,и(п)), (3.1)
а также цепочку дифференциально-разностных уравнений
щ = д(х,ик,ик+1,... ,ип). (3.2)
Заметим, что уравнение вида иг = ц[и] задает на функциях от динамических переменных дифференцирование дд в силу этого уравнения, которое задается формулой дд(к[и]) = И*(д), где через к* обозначен оператор линеаризации
= £ Л г'+£ ^
Определение 3. Будем говорить, что уравнение (3.1) допускает дифференциальную подстановку
v = ф(х,и,и(1),...,и{т)) (3.3)
в уравнение vt = f (x,v,v(1\ ... ,v(a">), если фи(т) = 0, т > 1 и выполняется соотношение1
д, (ф) = f (х,ф,0(ф),...,0п(ф)).
Если найдутся дифференциальные операторы
а а+т
S = ^ ß3 (x,u,u(1),...,u{l))Dj, S = ^ ß3 (x,v,vw,...,v{i))Dj, j=o j=0
такие что ца = 0, и для любой зависящей от конечного числа аргументов функции г] уравнение ut = S(гц(х,ф,Б(ф),...)) допускает подстановку (3.3) в уравнение vt = S(rq(x,v,v(1\ ...)), то будем называть (3.3) подстановкой типа Миуры.
Определение 4. Будем говорить, что уравнение (3.2) допускает разностную подстановку
V = ф(х,Щ,и1+1, . . . ,Um) (3.4)
в уравнение vt = g(x,Vk,vk+1,...,vn), если функция ф зависит не менее чем от двух динамических переменных, и выполняется соотношение
дд(ф) = д(х,Тк(ф),Тк+1 (ф),... ,Тп(ф)).
Будем называть (3.4) подстановкой типа Миуры, если найдутся операторы
г г+т
R (х,ив,ив+1,... ,us )Tj, R (x,Vg,Vg+1,... ,Vs)Tj, (3.5)
j=0 j=l
такие что Xr = 0, и для любой зависящей от конечного числа аргументов функции г] и любого целого числа 6 уравнение ut = R(rq(T5(ф),Т5+1(ф),...)) допускает подстановку (3.4) в уравнение vt = R(r](vs, v$+1,...)).
Примеры использования разностных подстановок, некоторые их свойства и способы построения можно найти например в [10-12].
Заметим, что в определениях 3 и 4 оператор D применяется к функциям, не зависящим от сдвигов и и v, а оператор Т — к функциям, не зависящим от производных и иь. Поэтому в этих определениях никак не используется уравнение (1.1), задающее операторы D иТ на полном наборе динамических переменных. Однако, как будет показано далее, интегралы уравнений вида (1.1) можно интерпретировать как подстановки для уравнений вида (3.1) и (3.2) — соответствующие рассуждения для уравнений вида (1.3) из работы [3] практически без изменений переносятся на случай дифференциально-разностных уравнений.
Действительно, непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что дифференцирование д, коммутирует с операторами D и Т, если ut = f[u] является симметрией уравнения (1.1). Поэтому дифференцирование д, переводит любой х- и г-интеграл уравнения (1.1) снова в некоторый х- и г-интеграл соответственно. С другой стороны, в работе [2] доказано, что для уравнения (1.1) с г-интегралом I минимального порядка (ж-интегралом X минимального порядка) любой другой г-интеграл (ж-интеграл) этого уравнения является
1 Данное соотношение означает, что V = ф(х, и, ..., м(т)) является решением уравнения = / для любого решения уравнения (3.1).
функцией от I и конечного числа аргументов вида Т3 (I), ] Е Z (функцией от переменной х, минимального интеграла X и конечного числа аргументов вида Б (X), ] Е М)1. Применяя это утверждение к интегралам дf (X) и дf (I), получаем, что для них найдутся функции и , такие что
д1 (X) = ¡(х, X, Б(Х),.. .,Бп(Х)), д1 (I) = д(Тк (1),Тк+1(1),.. .,Тп(1)). Таким образом доказана следующая
Теорема 2. Пусть у уравнения (1.1) имеется симметрия вида (3.1) (вида (3.2)) и х-инт,егралы (1-интегралы). Обозначим х-инт,еграл (г-интеграл) минимального порядка через X (через I). Тогда уравнение (3.1) (уравнение (3.2)) связано подстановкой V = X(х,и,и(1\ ... ,и(т">) (ь = 1(х,щ,щ+1,... ,ит)) с некоторым уравнением вида VI = ¡(х,ь, ь(1\..., и(п)) = д(ьк, ьк+1,..., ип)).
Следствие 4. Пусть уравнение (1.1) является интегрируемым по Дарбу, а X и I являются соответственно его х- и 1-интегралами минимальных порядков. Тогда v = X (х,и,и(1\ ... ,и(т">) ит = 1(х,щ ,щ+1 ,...,ит) являются постановками типа Ми-уры.
Доказательство. Согласно [4], у любого интегрируемого по Дарбу уравнения вида (1.1) существуют операторы Б = [и]И3 и К = [и]Т3, такие что щ = Б(П) и
щ = К(в) являются симметриями этого уравнения для любого х-интеграла П и любого г-интеграла в. В доказательстве теоремы 1 из работы [1] показано, что коэффициенты не могут зависеть от сдвигов и, а коэффициенты ^ — от производных и. Учитывая, что любая функция вида г/(х, X, ),...) является х-интегралом, а любая функция вида ^(Т^ (1),Т5+1 (/),...) — г-интегралом, в силу теоремы 2 получаем, что любые уравнения вида
иг = в (ф, X, ),...)), иг = П(£(Т6 (1),Т6+1(1),...))
допускают подстановки V = X(х,и,и(1\ ... ,и(т"1) и т = 1(х,и1,и1+1,... ,ит) соответственно. □
Теорема 3. Уравнение (3.2) допускает подстановку V = 1(х,и,и1) в уравнение вида Щ = д(Vк, Vк+1,..., Vп) тогда и только тогда, когда (3.2) является симметрией уравнения
(щ)х = -~~~ их - -р-. (3.6)
1 «1 * «1
Доказательство. Нетрудно видеть, что I является г-интегралом минимального порядка для уравнения (3.6). Поэтому если (3.2) является симметрией этого уравнения, то = ( х, и, и1) является подстановкой в силу теоремы 2. Обратно, если V = 1(х,и,и1) является подстановкой, то
1и1Т (д) + 1ид = д(Тк (1),Тк+1(1),..., Тп(1))
по определению подстановки. Как нетрудно убедиться прямым вычислением, в случае уравнения (3.6) для заданного формулой (1.6) оператора Ь верна формула Ь = 1-11Б( 1и1Т + 1и),и потому Ь(д) = 1-^0(д) = 0. □
Аналогичным образом можно доказать, что (3.1) допускает подстановку V = ф(х,и,их) тогда и только тогда, когда (3.1) является симметрией уравнения (1.5). Ранее в работе [13] также было доказано, что (3.1) допускает подстановку V = ф(х, и, их) тогда и только тогда, когда (3.1) является симметрией уравнения иху = -фиих/фих. Теорему 3 можно считать
1В работе [2] данное утверждение сформулировано для интегралов с явной зависимостью от дискретной переменной Однако нетрудно проверить, что его доказательство без труда переносится на случай интегралов без явной зависимости от г при условии, что интеграл минимального порядка выбирается также среди интегралов без явной зависимости от 1,.
разностным аналогом этого утверждения. Заметим, что отсутствие явной зависимости от х в уравнении ^ = д(, ,... , ьп) является существенным для этой теоремы.
Следствия 3 и 4 вместе с теоремой 3 дают нам
Следствие 5. Формула V = 1(и,и1) задает постановку типа Миуры, у которой коэффициенты соответствующего оператора И из формулы (3.5) не зависят от х, тогда и только тогда, когда уравнение (и1)х = — является интегрируемым по Дарбу.
Таким образом, классификация интегрируемых по Дарбу уравнений вида (1.4) заодно дает нам полное описание разностных подстановок V = 1(и,и1) типа Миуры для уравнений (3.2) с независящей от х правой частью, а для классификации интегрируемых по Дарбу уравнений (1.5) можно воспользоваться ранее полученными результатами классификации дифференциальных подстановок типа Миуры.
4. Интегрируемые по Дарбу уравнения с интегралами первого порядка
Теорема 4. Уравнение (1.5) является интегрируемым по Дарбу тогда и только тогда, когда заменой переменных и = с(х, и) оно связано с уравнением
ф(х, щ, (щ)х) = ф(х, и, йх), (4.1)
где ф(х,й,йх) удовлетворяет соотношению
йх = а(х, ф)и2 + [(х, ф)и + 7(х, ф). (4.2)
При любых функциях а, [ и 77
1 = (Щ — й)(й3 — 111) (щ — й)(ь,2 — щ) является г-интегралом уравнения (4.1).
Доказательство. Если уравнение (1.5) является интегрируемым по Дарбу, то V = ф(х, и, их) в силу следствия 4 является подстановкой типа Миуры. Но в [7] было доказано, что любая подстановка типа Миуры указанного вида является композицией точечного преобразования и = с(х,и) и подстановки V = ф(х,й,йх), где ф находится из соотношения (4.2). Применяя Т:1 к обеим частям этого соотношения и учитывая (4.1), получаем
(и,)х = а(х, ф)й2 + [(х, ф)щ + 7(х, ф).
Поэтому для любых целых кип верна формула
— ип) = а(и2к — й2п) + [(щ — ип) = (а(йк + ип) + [) (йк — ип).
Пользуясь этой формулой, получаем
И(1) = (а (и + гц +112 + щ) + 2[ )1 — (а (и + щ +112 + 113) + 2[ )1 = 0.
Таким образом, условие (4.2) не только необходимо, но и достаточно для интегрируемости по Дарбу уравнения (4.1). □
Классификация уравнений вида (1.4) также опирается на работу [7] — нижеприведенные рассуждения почти дословно повторяют рассуждения из указанной работы.
Лемма 3. Уравнение (1.4) является интегрируемым по Дарбу тогда и только тогда, когда найдется функция С (и), такая что
и(3) 3 (ч(2) \2 _ , , ,т2
Л 3) 3 /А 2)\2 2
х=^—К У ^ (4-3)
является х-интегралом этого уравнения.
Доказательство. Обозначим ж-интеграл минимального порядка уравнения (1.4) через Я, а его порядок — через п. Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что щ = Пих является симметрией уравнения (1.4) для любого ж-интеграла П. Поэтому дифференцирование дf, где / = Пих, коммутирует с оператором Т, и дf(Я) = ) тоже является ж-интегралом. Таким образом получаем, что оператор Я* о их = Zj, где
п
Ъ = Е ^^и[к+1-^ (4.4)
к=
переводит любой ж-интеграл снова в ж-интеграл. А это возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты Zj этого оператора лежат в ядре оператора Т — 1.
Пусть п > 1. Тогда согласно [2] мы можем выбрать интеграл Я так, что он зависит линейно от и(п. С учетом формулы (4.4), это означает, что порядок гп меньше п и, следовательно, гп не может быть интегралом и является функцией, зависящей лишь от ж. Так как мы можем умножать Q на произвольные ненулевые функции от ж, без нарушения общности можно считать хп = ихЯи(„) = 1. Отсюда следует, что Яи(к) не зависит от и(п при к = 2, п, и, в силу формулы (4.4), Zj также не зависит от и(п при ] = 2, п. Последнее означает, что Zj = ^ (х) при ] > 1. Выражая теперь Яио) из (4.4), получаем
Ям = (б(х) — £ С1 Яи(к)и(к+1-А и-1 , 1 <з<п. (4.5)
Учитывая п) = и-1 и последовательно выражая „—1), п—2), ... с помощью формулы (4.5), получаем что я не зависит от и^ для всех I > п — ] + 1 и ] > 1.
Докажем теперь, что п < 3. Для этого предположим противное и рассмотрим отдельно случаи четного и нечетного п > 3.
Пусть п = 2т и т > 1. В этом случае формула (4.5) дает нам
Яи( т+1) = — С™+1и(т) и-2 + д(х,и,их,...,и(т-1)), ^^и(т) — ^^п )^х ++ к(х, и, их, . . . , и^ ,
Яи(гп)и(т+1) — Сп + их — Сп их .
Но нетрудно проверить, что равенство С™+1 = С™ может выполняться лишь при нечетных п.
Аналогично, при п = 2т — 1 и т > 2 имеем
ди(т+1) = — С™+1и(т-1)и-2 + д(х,и,их,...,и(т-2)),
ди(т-1) = — С™-1и(т+1)и-2 + к(х,и,их,...,и(т)),
гл _ _-2 _ _-2
и(т — 1)ит + 1) - ^п ^ х - ^п ^ х ,
чт— 1
в то время как С™+1 = С™-1 верно лишь при четных п.
Таким образом п < 3, и для завершения доказательства нам осталось рассмотреть по отдельности случаи п = 1, 2 и 3.
При п = 3, как показано выше, Я = ^ + д(х, и, и(1) ,и(2)). С учетом этого формулы для коэффициентов г^ оператора Я* о и(1 приобретают вид
¿о = — дх,
и(3)
г1 = 2—77. + 2и{2)ди(2) + и{1)ди( 1), и(1)
и
(2)
22 = ^^тгг + и(1)9и(. 2). и(
1.(1) ' Уиу-
3 /и(2)\2 и(2)
д = -- —т-т -jrr + h(x,u,ii(1').
Соотношение г2 = £,(%) дает нам
Д й^) + ^
Подставляя найденное в выражение для 1 и о, получаем
г1 = 2Ц - 2к + и(1)ки(1) - ^ ^ (Т - 1)Ы -и(1)ки(1) + =0 ^
^ £ = 0, 2к -и(1^ки(1) = Г](х); го = О(0) - кх ^ (Т - 1)(кх) = 0 ^ кх = £(х) ^ к = ((х) + к(и,и{1)). В итоге приходим к уравнению и^к^) = 2к + 2((х) + г](х), из которого следует 2((х) + г](х) = с, к = С(и) (и(1)) - с/2. Таким образом, при п = 3 уравнение (1.4) должно допускать интеграл вида (4.3).
При п = 2 аналогичные рассуждения дают нам, что среди интегралов минимального порядка должен иметься интеграл Ц = + С(и)и(1\ Но тогда О(Ц) - Ц2/2 имеет вид
(4.3). "
Если же ж-интеграл имеет первый порядок, то согласно [4] инвариант Лапласа Н0 = аиих + аТ-1(аи1их) уравнения (1.4) должен равняться нулю. Применяя Т-1 к обе-
им частям (1.4), получаем Т-1(их) = их/Т-1(а). С учетом этого
— 1/аи i
Но = их аи + аТ-1 = 0.
Дифференцируя последнее соотношение по и-х, получаем (ln(a))uiu = 0 и, следовательно, а = ^(ui)î](u). Подставляя это в выражение для Н0, получаем
( и)
г]'(и)С(и) + V(u) £(и) = 0 ^ î(u) = , а = с
'П(и) Г1(щ)
Таким образом, для любого уравнения (1.4), допускающего x-интеграл первого порядка, выполняется соотношение D(((ux) — с ((и)) = 0, где С (и) = г](и). Но в этом случае (1.4) допускает интеграл
х = D3(Ç(u)) 3 (D2(Ç(u))\2 D(((u)) 2\D(((u))J ,
который, как нетрудно проверить, имеет вид (4.3). □
Теорема 5. Уравнение (щ) х = а(и,щ)их интегрируемо по Дарбу тогда и только тогда, когда оно получается заменой переменных и = £(и) из уравнения вида
Iu(u,ui)
(их) х = —^-г их,
х lui (и, их)
где для I найдутся функции а, 3 и j, такие что
их = а(1)+ ,3((1) , 3 = 0. (4.6)
iW — и
Доказательство. В силу леммы 3, уравнение (щ)х = а(й,их)их интегрируемо по Дарбу тогда и только тогда, когда оно допускает x-интеграл вида
Я з /а(2) 42
*=W)—H m) +G(u) (и(1))
При замене переменных й = £(и), этот интеграл переходит в интеграл
„ и(3) 3 /и'2)\2 (i'"tu) 3 ii"(u) V „„„ „Л , (1)V-
х = их - 3 Ы +{ш — 2 {Ш) + ("(1)1
а
и мы можем выбрать £ так, чтобы коэффициент при (и(1))2 был равен нулю. Получающееся при замене переменных и = £(и) уравнение (и1 )х = а(и,и1) их при таком выборе £ будет допускать ж-интеграл
х=^ - К У • (4.7>
Обозначим г-интеграл этого уравнения через I(и,и1). Поскольку I, и и и1 функционально зависимы, мы можем выразить и1 как и1 = в(и,1). Последовательно дифференцируя это выражение, получаем
О(щ) = вии(1), В2(щ) = вии (и(1))2 + вии П3(щ) = виии (и(1)* + 3виии(1)и(2) + вии(3).
Из этих формул и формулы (4.7) следует, что
Т(А.,=х+^- 2 (£)2)Ю2 ^ =2 ^у.
Решение последнего уравнения дает нам формулу (4.6). □
5. Уравнения с интегралами второго порядка, допускающие неточечные
обратимые преобразования
Пусть уравнение (1.1) может быть записано в виде
х,щ, (иф)х) = ф(х,и,их), (5.1)
где функции р(х, у, г), ф(х, у, г) удовлетворяют условию <руфг — фу = 0. Тогда мы можем переписать (5.1) в виде системы
V = <р(х,и,их), У1 = ф(х,и,их), (5.2)
выразить из этой системы и, их через V, у1 и получить
и = р(х,ь,ь1), их = д(х,у,у1). (5.3)
Система (5.3) эквивалентна уравнению
В('р(х,у,ьф) = д(х,ь,ьф, Ри0_ь,1 — ЯиРщ = 0. (5.4)
Таким образом, подстановка V = <^>(х,и,их) отображает решения уравнения (5.1) в решения (5.4), а преобразование и = р(х,у,у1) отображает решения уравнения (5.4) обратно в решения (5.1). Вышеописанные преобразования были предложены в работе [10], а в работе [14] было показано, что уравнения (1.1), допускающие обратимые неточечные преобразования, исчерпываются уравнениями вида (5.1) и (5.4).
Лемма 4. Интегрируемое по Дарбу уравнение вида (5.1), допускающее х-интеграл второго порядка, композицией преобразования V = р(х,и,их) и точечной замены переменных с = с(х, V) приводится к интегрируемому по Дарбу уравнению вида
(щ)х + д(х,щ) = ьх + д(х,ь). (5.5)
Доказательство. Обозначим ж-интеграл уравнения (5.1) через X(х,и,и(1),и(2)). Перепишем этот интеграл в виде X = ф(х,и,^(х,и,их),В(^(х,и,их))). Поскольку Т(ф(х,и,^,В(^)) = ф(х,и1,ф,В(ф)), соотношение Т(ф) = ф может выполняться лишь тогда, когда ф не зависит от своего второго аргумента (фи = 0). Выразив (у1)х (то есть В(ф)) из (5.4), получим выражение
(уфх = а(х, V, ьфьх + Ъ(х, ь,У1). (5.6)
С его учетом формула Т(ф) = ф приобретает вид
ф(x, ф, a(x, <р, ф)В(р) + b(x, <р, ф)) = ф(x, <р, В(^)).
Поскольку функции х, р, ф, О(р) являются функционально независимыми, последнее соотношение выполняется только тогда, когда
ф(х, у1, а(х, V, У\)ух + Ь(х, V, = ф(х, у, ух) (5.7)
выполняется тождественно для произвольных х, V, ь1, ух, то есть когда ф(х,у, ух) является х-интегралом уравнения (5.4).
Аналогично, воспользовавшись формулой (5.3) и подставив р(х,р,Т(р)) вместо и в г-интеграл 1(х,и,и1,... ,ит) уравнения (5.1), получим 1(х,р,... ,рт), где Рз = р(х,Т3(р),Т3+1 (р)). В силу (5.4) будет верна формула
т
Б(1) = 1х + ^ 1Р] д(х,Т3(р),Т3+1(р)) = 0. (5.8)
з=0
Мы можем записать ф в виде г/(х,и,р), причем г/ обязательно должна зависеть своего второго аргумента в силу функциональной независимости х, р и ф. Поэтому Т2(р) = Т(ф) = г](х,щ,ф) зависит от и1, а Т3(р) при ] > 1 — от и3-1. Таким образом, х, р, Т(р), ... , Тт+1(р) являются функционально независимыми, и (5.8) может выполняться только тогда, когда соотношение
1х(х,р(х,Ь, Ь1), р(х, Ь1, У2), . . . ,р(х, Ют, Ут+1)) +
т
+ У~] (х, р(х,Ь, ы), . . . , р(х, Ьт, Ьт+1)) я(х, У^ , У^) = 0
3=0
выполняется тождественно для любых х, V, у1, ... , Ут+1. А это означает, что 1(х, р(х,у, V]),..., р(х, ут, ьт+1)) является г-интегралом уравнения (5.4). Таким образом, уравнение (5.4) является интегрируемым по Дарбу.
Нетрудно видеть, что а = 0, так как в случае а = 0 соотношение (5.7) не может быть выполнено. Дифференцируя (5.7) по у1, получаем
Т (фь) + (а^ь х + ЬЬ1 )Т (фЬх) = 0.
Применяя к обеим частям последней формулы Т-1, приходим к соотношению
ф" + (т-1 (^) Ух + Т-1 (к1 - а^^ ф.х = 0.
Поскольку ф не зависит от у-1 и у-\,, то коэффициент при фих в последнем уравнении может зависеть только от х, V, ух, и решение этого уравнения имеет вид ф = в(х, £(х, у)ух+ц(х, у)). Таким образом, в качестве х-интеграла уравнения (5.4) можно выбрать £(х, у)ух + ^(х, у), и, следовательно, само уравнение имеет вид
£(х, У1)(У 1)х + р(х, щ) = €(х, у)Ух + М(х, у).
Заменой переменных у = с(х, у), где с,(х, у) = £(х, у), последнее уравнение приводится к виду (5.5). □
В силу следствия 4 уравнение (5.5) является интегрируемым по Дарбу только тогда, когда т = ух + д(х, у) является подстановкой типа Миуры. Но в работе [7] доказано, что любую такую подстановку можно представить в виде композиции точечной замены переменных вида у = Х(х)у + г](х), х = т(х) и одной из следующих подстановок т = щ + у2, т = ух + е", т = Ух + е"+е-" или т = ух. Таким образом, интегрируемое по Дарбу уравнение вида (5.1), допускающее х-интеграл второго порядка, композицией преобразования = р( х, и, их) и точечной замены переменных У = с(х, у), У = т(х) приводится к одному из следующих уравнений
(У1)х + У\ = Ух + У2, (5.9)
(Ъ1) х + е"1 = Ух + е", (5.10)
(у 1)х + е"1 + е-"1 = щ + е" + е-" (5.11)
(случай уравнения (Ъ\)х = дх не реализуется, так как при преобразовании (5.2) невозможно получить уравнение вида (5.4) с q = 0). Поэтому выполнив обратное преобразование и = щ — д вышеприведенных уравнений (все они имеют вид И(р(х, г!, г!\)) = (¡(х,!,;^ с р = г!\—д), мы можем "восстановить" из уравнений (5.9) - (5.11) полный список интегрируемых по Дарбу уравнений (5.1) с х-интегралами второго порядка1. Остается лишь показать, что при выполнении использованной нами последовательности преобразований (композиции преобразования V = <(х,и,их) для (5.1), точечной замены д = с(х, д), X = т(х) для (5.4) и обратного преобразования и = р(х,д,д1)), мы получим уравнение, связанное с (5.1) точечной заменой переменных.
Очевидно, что композиция точечной замены переменных д = с(х, д), переводящий уравнение (5.4) в уравнение В(р(х,у,'и1)) = д(х,;и,;и1), и обратимого преобразования и = р(х,;и,;и1) является обратимым преобразованием. Но в [14] доказано, что любое обратимое преобразование вида и = ¡(х,д, уравнения (5.4) является композицией преобразования и = р(х,д, д1) (переводящего (5.4) в (5.1)) и точечной замены и = ((х,и) в уравнении (5.1). Также непосредственной проверкой можно убедиться, что если в обоих связанных преобразованиями (5.2) - (5.3) уравнениях (5.1) и (5.4) одновременно сделать одну и ту же замену хг = ( х) , то получившаяся в результате пара уравнений тоже будет связана соответствующими им преобразованиями (5.2) - (5.3). Таким образом, использованная нами последовательность преобразований эквивалентна точечной замене переменных и = ((х,и), х = т(х) в уравнении (5.1). "Подправив" результат этой последовательности преобразований подходящей точечной заменой (то есть используя вместо иг = дг 1 — дг преобразование и = — г) для уравнения (5.9), и = 1п(е'1-' — 1) — для (5.10) и и = е'1-' — для (5.11)), приходим к следующему утверждению:
Теорема 6. С точностью до замен переменных вида и = ((х,и), хг = т(х) интегрируемые по Дарбу уравнения (5.1), допускающие х-интеграл второго порядка, исчерпываются следующими уравнениями (они перечислены вместе с их х- и ъ-интегралами):
(т — и)х = еи1 + еи, X = 2ихх — и2х — е2и, I = (1 + еи1-и2 )(1 + еи1-и);
ЬХХ и>х
и
(щ)х = (еи1 + 1)их, X = — — их, 1 = еи + е
их
Т (<<) =щр Х = 1 + И(<^) + < 1= (и1и — 1)(и2 и1 — ^ ' << ' (и1 — 1)(и2и1и — 1) '
где << является решением уравнения
иф2 +—— 1 = 0. и — 1
Первое из перечисленных в теореме уравнений было получено в работе [4], второе — является частным случаем найденного в работе [14] уравнения
(г»1)х = т1тх\ г 2 ,-— (5.12)
и от2 + £т + д
(при е = — 25 связано с (5.12) точечной заменой и = 1п(т — 1)). Третье из уравнений вероятно является новым.
Лемма 5. Интегрируемое по Дарбу уравнение (1.9), допускающее г-интеграл 0.(и,и1 ,и2), композицией преобразования д = р(и,щ) и точечной замены переменных д = с(д) приводится к уравнению вида
(д^ = , 1 + ^ ;х, (5.13)
1 1>х д(д — X) х' 1 '
1Кроме того, в работе [5] для уравнений (5.9) - (5.11) указаны г-интегралы. Это позволяет при преобразовании этих уравнений пересчитать интегралы в новых переменных и сразу же найти их для преобразованных уравнений.
где А и / — константы, удовлетворяющие условию |А| + I/ = 0.
Заметим, что уравнение (5.13) является просто другой формой записи уравнения (5.12), так как (5.12) при 8 = А2 и £ = 2А2 + 4/ связано с (5.13) заменой переменных w = (Xv + /)/(v2 — Xv).
Доказательство. Повторяя рассуждения, аналогичные использованным в доказательстве леммы 4, получаем, что уравнение (1.9) переводится преобразованием v = p(u,u1) в интегрируемое по Дарбу уравнение, допускающее i-интеграл первого порядка I(v,v\). Поэтому преобразованное уравнение имеет вид (v1)х = a(v, v1)vx и, по теореме 5, связано точечной заменой v = c(v) с уравнением (v1)х = — -j— vx, где I(v, v1) находится из соотношения (4.6).
Но, с другой стороны, результат преобразования v = c(p(u,u1)) должен иметь вид '•p(v1, (v1)х) = ф(и, vx), и при записи этого уравнения в виде (1.1) его правая часть F(v, v1, vx) должна удовлетворять условию (Fv/FVx = 0. Для интересующего нас уравнения это условие записывается как (ln(Iv/IV1)) = 0. Перепишем это условие в терминах функции 9(v, z), связанной с интегралом I соотношением v1 = 9(v, I). Дифференцирование последнего соотношения по к и v1 дает нам Iv = — 6V/9Z и IV1 = 9соответственно. Поэтому
(ь (£)),,=(ln(" • »-i=(^ l=(°t—тЬ=°-
Таким образом в должна удовлетворять соотношению ^l^ ^= 0. Подставляя в него правую часть формулы (4.6) вместо , получаем
(а"р' — а'р ")(-у — v)2 + 2p(a'i' — а''у')(у — v) + 3 (р'-у" — 3''i — 2а' (i)2) = 0. Это равенство может выполняться в одном следующих трех случаев:
1) а = 0,3' = Аа', i = 0;
2) а = 0,3' = 0, i = Ар';
3) а = 0, 3 = 0.
Найдя I из соотношения (4.6) в каждом их этих случаев, мы можем выписать соответствующие им уравнения (v 1)х = — -j^-vx. Подходящими сдвигами и растяжениями переменной мы уберем в них лишние константы и получим следующий список уравнений:
i 1 /п í \ (Xv 1 — Х) V1 г \ 2
—-— vx, |А| + I/ =0; (v 1)х =-;— vx; (v 1)х = vx.
v(v — А) v — /
Первое уравнение при А = 0, д = 1 заменой переменных V ^ V 1 переводится в третье уравнение, а при А = 0 — во второе уравнение с А = —д/А и Д = А-1. Поэтому третье уравнение мы можем исключить из дальнейшего рассмотрения, а для второго рассматривать лишь случай Д = 0. Подставив А-1 + (ь — А)-1 во второе уравнение вместо V, мы при Д = 0 и А = 0 придем к уравнению (5.13) с д = 0 и А = А (случай же Д = А = 0 не реализуется, так как соответствующее уравнение не допускает преобразований (5.2) - (5.3)). □
Используя такие же рассуждения, как и при доказательстве теоремы 6, из леммы 5 получаем следующее утверждение.
Теорема 7. Любое интегрируемое по Дарбу уравнение (1.9), допускающее I-интеграл вида 0.(и,и1 ,и2), точечной заменой переменных и = ((и) связано с уравнением
(щ — и)х = ±^8е2й1 + £ ей1 +й + 8е2й, (5.14)
где константы 8 и £ удовлетворяют условию |$| + |е| = 0.
Уравнение (5.14) ранее было получено в работе [5], в которой было показано, что оно является интегрируемым по Дарбу при любых значениях констант 8 и е.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Старцев С.Я. Необходимые условия интегрируемости по Дарбу для дифференциально-разностных уравнений специального вида // Уфимск. матем. журн. 2011, Т. 3. № 1. С. 80—84.
2. Habibullin I.T., Zheltukhina N., Sakieva A. On Darboux-integrable semi-discrete chains //J. Phys. A: Math. Theor. 2010. V. 43. 434017(14pp).
3. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. Т. 56. № 1(337). С. 63-106.
4. Адлер В.Е., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // ТМФ. 1999. Т. 121, № 2, С. 271-285.
5. Habibullin I.T., Zheltukhina N., Pekcan A. Complete list of Darboux integrable chains of the form tix = tx + d(t,ti) // J. Math. Phys. 2009. V. 50. № 10. Paper 102710, 23 pages.
6. Garifullin R.N., Yamilov R.I. Generalized symmetry classification of discrete equations of a class depending on twelve parameters //J. Phys. A: Math. Theor. 2012. V. 45. 345205(23pp).
7. Старцев С.Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры // ТМФ. 1998. Т. 116. № 3. С. 336-348.
8. Sokolov V. V., Zhiber A. V. On the Darboux integrable hyperbolic equations // Physic Letters A. 1995. V. 208. P. 303-308.
9. I.M. Anderson, M. Juras. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. 1997. V. 89. № 2. P. 351-375.
10. Ямилов Р.И. Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклунда // ТМФ. 1990. Т. 85. № 3. С. 368-375.
11. Yamilov R.I., Construction scheme for discrete Miura transformation //J. Phys. A: Math. Gen. 1994. V. 27. P. 6839-6851.
12. Yamilov R.I., Symmetries as integrability criteria for differential-difference equations //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39. P. R541-R623.
13. Соколов В.В. О симметриях эволюционных уравнений // УМН. 1988. Т. 43, № 5, С. 133-163.
14. Startsev S. Ya. On non-point invertible transformations of difference and differential-difference equations // SIGMA. 2010. V. 6. Paper 092 (14 pages).
Сергей Яковлевич Старцев, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: startsev@anrb.ru
