Необходимые условия интегрируемости по Дарбу для дифференциально-разностных уравнений специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 1 (2011). С. 80-84.

УДК 517.929

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ПО ДАРБУ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

С.Я. СТАРЦЕВ

Аннотация. В работе рассматриваются цепочки дифференциальных уравнений вида

<f(x,Ui+1, (Ui+1 )x) = ф(х,Щ, (Ui)x), где и зависит от дискретной переменной i и непрерывной переменной х, a функции tp(x,y,z), ф(х,у,г) и х являются функциональнонезависимыми. Показано, что из уже известных результатов нетрудно получить необходимые условия интегрируемости по Дарбу для цепочек указанного вида. Эти условия не являются достаточными, но могут оказаться полезными при проведении классификации дифференциально-разностных уравнений, интегрируемых по Дарбу. В качестве вспомогательного результата доказано также утверждение о структуре симметрий для дифференциально-разностных уравнений более общего вида.

Ключевые слова: интегрируемость по Дарбу, дифференциально-разностные уравнения

Один из классов интегрируемых уравнений вида

uxy F (x,y,u,ux,uy) (1)

образован уравнениями, для каждого из которых существуют как дифференциальная подстановка вида v = X(х, y, u, ux, uxx,...), так и подстановка вида w = Y(x, y, u, uy, uyy,...), переводящие решения (1) в решения уравнений vy = 0 и wx = 0 соответственно. Такие уравнения называются интегрируемыми по Дарбу или уравнениями лиувиллевского типа. Полная классификация интегрируемых по Дарбу уравнений вида (1) была выполнена в работе [1].

Цепочку дифференциальных уравнений вида

(ui+1)x F(x,ui,ui+1, (ui)x'),>

где неизвестная функция u зависит от целого числа i и вещественной переменной х, можно рассматривать как дифференциально-разностный аналог уравнения (1). Среди таких цепочек также имеются интегрируемые по Дарбу. Однако, в отличие от уравнений вида (1), полная классификация вышеуказанных “полудискретных” уравнений, интегрируемых по Дарбу, в настоящий момент пока отсутствует — известны лишь отдельные примеры (см., например, [2]), а также результаты классификации для цепочек специального вида [3].

Для того чтобы дать строгое определение интегрируемости по Дарбу, нам потребуется ввести некоторые обозначения. В дальнейшем во всех формулах мы для краткости будем опускать индекс i и, в частности, будем записывать вышеуказанную цепочку в виде

(u1)x = F (x,u,u1,ux). (2)

S.Ya. Startsev, Necessary conditions of Darboux integrability for differential-difference equations of a special kind.

© Старцев С.Я. 2011.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00440-а).

Поступила 25 октября 2010 г.

Мы будем предполагать, что Еих = 0 и, следовательно, уравнение (2) можно записать в виде

(и-і)х = ^(х, и, и-1, Их). (3)

Производные и^ := дгаиі+т/дхга от сдвигов и для любых ненулевых т Є ^ и п Є N мы можем поэтому выразить в силу уравнений (2)-(3) через х и так называемые динамические переменные и := иі+1, и(к) := дки*/дхки*. Запись д[и] будет обозначать, что функция д зависит от х и конечного числа динамических переменных.

Через Т мы обозначим оператор сдвига по і в силу уравнения (2). Этот оператор задается следующими правилами: Т(/(а,Ь,...)) = / (Т(а),Т(Ь),...) для любой функции /; Т(ит) = ит+і; Т(и(п)) = Яп-1(^) ( то есть “смешанные” переменные и1п) выражаются через динамические переменные в силу уравнения (2)). Здесь

я = дх +и(1) ди + £ (и№+1) + Т “-1) ^ + Т <1-‘,(^ д^'

то есть через Я обозначен оператор полной производной по х в силу уравнений (2)-(3). Оператор обратного сдвига Т-1 задается похожим образом.

Определение 1. Уравнение (2) называется интегрируемым по Дарбу, если для него найдутся функции I[и] и X[и], каждая из которых зависит хотя бы от одной из динамических переменных, такие что выполнены соотношения Я(1) = 0 и Т(X) = X. Функции I[и] и X[и] в этом случае называются соответственно і-интегралом и х-интегралом уравнения (2).

В настоящей заметке мы будем рассматривать специальный подкласс уравнений (2), а именно - уравнения вида

<^(х,иі, (иі)х) = ф(х,и,иж), (4)

где функции ^(х,у,г) и ф(х,у,г) удовлетворяют условиям ^уфх — іргфу = 0 и іргфх = 0. Этот подкласс уравнений интересен, например, тем, что такие уравнения допускают обратимое преобразование V = <^(х,и,их) (подробнее см. [4]), переводящее (4) в уравнения вида

^і)х = р(х^^1 ^х + ?(х, V, VI). (5)

Таким образом, изучая подкласс уравнений (4), мы тем самым заодно изучаем и уравнения вида (5). Кроме того, часть из условий интегрируемости по Дарбу для уравнений вида (4) фактически уже получена в ранее выполненных работах и чтобы это увидеть, достаточно сопоставить между собой результаты работ [2], [4]-[6]. Изложению этого наблюдения и посвящена настоящая заметка.

Если говорить более конкретно, то основным её результатом является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Если уравнение (4) является интегрируемым по Дарбу, то, разрешая его относительно (и1)х, мы получим уравнение вида

£х(х,иі) + (х,иі)(иі)х = а(х,ф)(£(х,иі))2 + / (х,ф)£(х,иі) + 7 (х,ф),

а, разрешая (4) относительно их, придем к уравнению вида

Пх(х, и) + Пи(х,и)их = й(х,^)(п(х,и))2 + /(х, ^)п(х,и) + 7(х,<^).

Другими словами, для любого интегрируемого по Дарбу уравнения (4) найдутся точечные замены переменных и = £(х,и) и и = п(х,и), приводящие это уравнение как к виду

(иі)х = а(х, фи)и1 + / (х, ф)иі + 7 (х, ф),

так и к виду

их = а(х, <и)и2 + /3(х, <й)и + -у(х, <и),

то есть при записи в виде (2) и (3) правая часть уравнения (4) после подходящей замены переменных оказывается квадратичной по иі и и-і соответственно.

Перед тем как приступить к доказательству Теоремы 1, нам потребуется дать одно определение и доказать два вспомогательных утверждения.

Определение 2. Уравнение вида щ = 5[и] называется симметрией уравнения (2), если выполнено соотношение Ь(й) = 0, где

Ь = ТЯ — ^Щх Я — ^«1 Т — ^«.

Лемма 1. Пусть X[и] Є кег(Т — 1) для некоторого уравнения вида (2). Тогда X[и] не зависит сдвигов и (динамических переменных вида иг, I = 0).

Доказательство. Предположим противное и обозначим через и г соответственно наибольшее положительное и наименьшее отрицательное числа, для которых X[и] зависит от щ и иг. Дифференцирование соотношения Т(X) = X по щ+1 и иг дает нам Т) = 0 и Xur = 0 соответственно. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое и доказывает лемму. □

Лемма 2. Любая симметрия щ = 5[и] уравнения (2) имеет вид

щ = з(х,иг,иг+1,... ,и-1,и,и1,...,ик) + и(х,и,и(1),... ,и(п)), (6)

то есть 5 [и] распадается на сумму двух слагаемых, одно из которых зависит только от сдвигов, а другое — только от производных и.

Доказательство. Пусть симметрия имеет вид

и* = з(х,иг,иг+1,... ,и-1,и,и1,... ,ик,и(1),... ,и(п)).

Дифференцируя определяющее соотношение для симметрии по и(га+1), получим

(Ь(в))«(" + 1) = ^х (Т (5«(") ) — 5«(п) ) = °.

Применяя лемму 1, мы видим, что 5Щ(п) не зависит от сдвигов и и, следовательно, может зависеть только от переменных х, и, и(1), ... , и(п). Поэтому правая часть 5[и] симметрии представляется в виде

з[и] = д(х,иг, иг+1,..., ик,и(1),... ,и(п-1)) + ^(х,и,и(1),... ,и(п)).

Предположим теперь, что

з[и] = д(х,иг,иг+1,...,ик,и(1),... ,и(т)) + Л,(х,и,и(1),... ,и(п)), (7)

где т — некоторое натуральное число, меньшее п. Тогда, дифференцируя определяющее соотношение Ь(з) = 0 по и(т+1), мы получим

(Ь(^))«(т+1) + ^х (Т(д«(т) ) — д«(т) ) = 0. (8)

Заметим, что Ь(Л,) может зависеть только от х, и, и1 и производных и. Это позволяет нам применить к (8) рассуждения из доказательства леммы 1 и показать, что д«(т) не зависит от сдвигов и. В силу этого, правая часть симметрии записывается в виде

з[и] = д(х,иг,иг+1,...,ик,и(1),...,и(т-1)) + Л,(х,и,и(1),...,и(п)).

То есть из (7) следует выполнение этого же соотношения с т на единицу меньшим и, в силу принципа математической индукции, мы получаем, что верно представление (6). □

Доказательство Теоремы 1. В работе [2] было доказано, что для любого интегрируемого по Дарбу уравнения вида (2) существует дифференциальный оператор К = ^к=0 с& [и]Ок, такой, что щ = К(ш) является симметрией этого уравнения для любого ш Е кег(Т — 1). Покажем, что коэффициенты оператора К могут зависеть только от ж, и и производных и. Предположим противное: пусть коэффициенты К зависят от щ для некоторого = 0. Через I обозначим наибольшее число, для которого (с)«. = 0. В качестве ш возьмем ж-интеграл, такой, чтобы порядок т старшей из производных и, от которых этот интеграл зависит, был выше порядков производных и, содержащихся в коэффициентах оператора К. (Поскольку оператор О переводит ж-интегралы снова в ж-интегралы, мы всегда можем построить ж-интеграл, зависящий от производных достаточно высокого порядка.) Тогда (К(ш))« «(т + 1) (с1)и. Ши( т) = 0, что противоречит лемме 2. Таким образом, симметрия

3 3 щ = К(ш) для любого ш Е кег(Т — 1) имеет вид

щ = в(ж, и, и(1),..., и(п)). (9)

В работе [4] было доказано1, что любая симметрия вида (9) уравнения (4) переводится как дифференциальной подстановкой V = <^(ж,и,их), так и подстановкой V = ^(ж,и,их) в некоторое уравнение такого же вида (9). С другой стороны, согласно [5], уравнение (9) переводится дифференциальной подстановкой V = f (ж, и, их) снова в уравнение такого же вида тогда и только тогда, когда (9) является симметрией уравнения иху = — /„иу//„х. Напомним, что (9) называется симметрией уравнения (1), если в лежит в ядре оператора

М = ОхОу — ^ Ох — Оу — ,

где через Ох и Оу обозначены полные производные в силу уравнения (1) по ж и у соответственно. Заметим, что операторы Ох и О совпадают между собой на множестве функций, зависящих только от ж, и и производных и по ж.

Таким образом, если уравнение (4) является интегрируемым по Дарбу, то найдется оператор К = ^2к=0 с& [и]ОХ, такой, что и* = К(ш) является симметрией одновременно для двух уравнений

^„(ж,и,их) '0щ(ж,и,их) /1П%

иху 7 Г иу и иху 7 Г иу (10)

(ж, и, их) (ж, и, их)

при любом ш Е кег(Т — 1). В частности, в качестве ш можно взять любую функцию д(ж). Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых порядках производных функции д в соотношении М(К(д)) = 0, мы получим, что и* = К(д(ж)) является симметрией уравнения (1) для любой функции д тогда и только тогда, когда выполнена цепочка соотношений

(ОУ — ХСГ) = 0

М (ск) + (Оу — )(ск-1) = 0, к =1,г,

М (со) = 0.

Нетрудно проверить, что при выполнении этой цепочки соотношений и* = К(ш) будет являться симметрией уравнения (1) для любого ш не только из кег(Т — 1), но и из кегОу. Уравнения вида

У«(ж,и,их)

иху 7 7 \ иУ,

/«х (ж, и, их)

для которых найдется дифференциальный оператор оператор К, такой, что щ = К(ш) для любого ш Е кег Оу является симметрией этого уравнения, описаны в работе [6]. В ней было доказано, что любое такое уравнение точечной заменой переменных и = А(ж,и)

1 Строго говоря, в работе [4] рассматривались уравнения (4), не зависящие явным образом от х. Однако нетрудно проверить, что рассуждения из этой работы без особых изменений переносятся и на случай явной зависимости уравнения (4) от х.

можно привести к уравнению такого же вида uxy = —/й//йхuy, где / = / (x, A,Dx(A)) удовлетворяет соотношению ux = а(х, / )u2 + в(x, / )u + 7(x, / ). Применение этого результата к уравнениям (10) доказывает теорему. □

В заключение заметим, что условия, полученные в теореме, являются необходимыми, но не достаточными для интегрируемости уравнения (4) по Дарбу. Для того чтобы проиллюстрировать это, положим ^ равным (ui)x, а ф - равным ux + c2u2 + ciu + c0, где Cj — некоторые константы, и рассмотрим уравнение

(ui)x = Ux + C2U2 + CiU + Co. (11)

Нетрудно видеть, что условия интегрируемости по Дарбу выполнены при любых значениях констант Cj (в обозначениях Теоремы 1 имеем £ = u1, а = в = 0, Y = Ф и п = и,

<5 = — c2, в = — c1, 7 = ^ — c0). Однако (11) является интегрируемым по Дарбу лишь в случае c2 = c1 = 0, поскольку в полученном в [3] списке интегрируемых по Дарбу уравнений вида (u1)x = ux + d(u,u1) не имеется ни одного уравнения с d, не зависящим от и1, и при этом отличным от константы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. Т. 56. № 1(337). C. 63-106.

2. Адлер В.Е., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувилля // ТМФ. 1999. Т. 121, № 2, С. 271-285.

3. I.T. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Pekcan Complete list of Darboux integrable chains of the form t1x = tx + d(t,t1) // J. Math. Phys. 2009. V. 50. № 10. Paper 102710, 23 pages.

4. Ямилов Р.И. Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклунда // ТМФ. 1990. Т. 85. № 3. С. 368-375.

5. Соколов В.В. О симметриях эволюционных уравнений // УМН. 1988. Т. 43, № 5, С. 133-163.

6. Старцев С.Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры // ТМФ. 1998. Т. 116. № 3. С. 336-348.

Сергей Яковлевич Старцев,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия E-mail: startsev@anrb.ru