Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

раздел МАТЕМАТИКА

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ

СИСТЕМЫ

© М. Н. Кузнецова

Уфимский государственный авиационный технический университет Россия, Республика Башкортостан, 450000 г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.

Тел./факс: +7 (347) 234 13 95.

E-mail: [email protected]

Исследованы пары нелинейных гиперболических уравнений, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа n-го порядка, n>2. Проведена полная классификация нелинейных гиперболических систем специального вида на основе преобразований Лапласа первого порядка для линеаризованных систем. Для полученных нелинейных систем построены преобразования Беклунда.

Ключевые слова: нелинейные гиперболические системы, преобразование Лапласа, преобразование Беклунда.

Введение

Настоящая работа посвящена задачам классификации нелинейных гиперболических уравнений и систем, основанной на применении техники преобразований Лапласа к линеаризованным уравнениям и системам.

Прежде, чем дать точную формулировку поставленной задачи, определим преобразование Лапласа для линейного гиперболического уравнения

д2 д д ^

т—+ a(x, у) —+ Ь(х, у)— + с(х, у) V = 0. (1) дxдy дx ду )

Уравнение (1) можно представить в виде эквивалентной системы

£+b іv=v-

d

------+ a

dy

v-1 = k0v.

(2)

Здесь к0 = Ь + иЬ - с - главный инвариант Лапласа уравнения (1) [1]. Нетрудно заметить, что при к0 = 0 уравнение (1), согласно формулам (2), интегрируется в квадратурах. Первое соотношение (2) задает, так называемое, х-преобразование Лапласа, которое состоит в переходе от неизвестной v к неизвестной у-1. Если к0 Ф 0, то исключая из системы (2) функцию v, получаем, что ^1 удовлетворя-того же вида, что и исходное, а

ет уравнению именно

f ^2

Э 2 / л Э

---------+ a ,(x, y)-------+

dxdy -1 dx

+ b-l (x, y)^ + c-l( x, y)

dy

v-1 = 0.

(E-1)

Если главный инвариант Лапласа уравнения (Е-1) не равен нулю, то к этому уравнению, в свою очередь, можно применить х-преобразование и т.д. Таким образом, можно построить целую последовательность уравнений

3 2 г лд --------+ a . (x, y)------+

dxdy dx

+ b

(x, y) — + c_ dy

(x, y)

= 0, i = 1,2,

(E-i)

коэффициенты и инварианты между собой соотношениями:

a ,• = a ,.+,,

которых, связаны

b-i = b-i+l - (ln k c-i = a-ib-i + (a-i+l

+1 ) x ,

) x - k-

k-i = 2k-i+1 - k-i+2 - (ln k-i+1 ) xy ,

k0 = by + ab - c,

(3)

(4)

k1 = йх + йЬ - c.

Дарбу [2] предложил для исследования нелинейных уравнений вида

иХу = / (х, у, и, ых, ыу) (5)

использовать технику инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения. Более подробное современное изложение каскадного метода интегрирования Лапласа линейных уравнений (в основе которого лежит применение х- и у-преобразований Лапласа к исходному уравнению), а также обзор результатов, касающихся использования этой техники для исследования интегрируемости нелинейных уравнений и систем, можно найти, например, в [3].

Теперь введем некоторые правила и обозначения, которыми будем пользоваться на протяжении всей статьи. Поскольку буквой и мы обозначаем произвольное решение уравнения вида (5), все смешанные производные от и во всех выкладках выражаются из уравнения (5) и его дифференциальных следствий через динамические переменные

и ы1 = их , ы1 = иу , Ы2 = их , и2 = иуу , ...

Нетрудно видеть, что эти переменные нельзя связать между собой посредствам уравнения (5) и его дифференциальных следствий, поэтому всюду мы будем пользоваться их независимостью.

v

Преобразования Лапласа п-го порядка, п>2.

В данном параграфе наряду с уравнением (5) рассмотрим уравнение

Чху = Р(х> у. ?. . Чу )' (6)

Предположим, что решения и( х, у,т),

,(х, у,т) уравнений (5) и (6) зависят от некоторого параметра Т и определим функции V = ит, р = ,Т •

Функции V и р удовлетворяют линейным уравнениям

(ОО-/,Р -1,0-1)V = 0, (ОО - Е'Р - /-„О - Е) р = °-

(7)

(8)

Здесь введенні обозначения О и О для операторов полного дифференцирования по переменным х и у соответственно. В силу того, что операторы О и О коммутируют, а определения преобразований и инвариантов Лапласа используют лишь факт коммутирования операторов частных производных и являются чисто алгебраическими, можно определить преобразования и инварианты Лапласа для уравнений (7), (8) и применить к ним все приведенные выше формулы.

Допустим, что уравнение (8) получено в результате п-кратного, п>2, применения х-преобразования Лапласа к уравнению (7). Требуется описать соответствующие нелинейные уравнения (6) и (5), другими словами определить функции ? и /. Отметим, что пары нелинейных уравнений вида (5), (6), линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого и второго порядков описаны в работе [4].

Согласно определению х-преобразования Лапласа (см. ф.-лы (2)) функции V и р должны удовлетворять соотношениям

(О - 4 - О 1п(к 0 к-1 ••• к-(п-2) ) )

X

X

(О - 4 - О 1п(ко к-1 • ” к-(п-3) ) ) Х • • •

- х(О - /и, - О1п(ко))(О - /и,)V = p, (9)

(О - /щ )Р = к-(п-1) Х

х(о - 4 - О 1п(к0к-1 к-(п-3)))х Х(0 - /и1 - 0 1п(к0к-1 •" к-(п-4) ))* * *

••• (° - /и1 - 01п(к0))(о - /и>, а0>

V = -Г (о - /иІ Ь- (о - /„, )■■■

к 0 к-1

••• (о - д).

к-(п-1)

(11)

р.

Используя равенства (3) получаем, что коэффициенты уравнений (7), (8) связаны соотношениями

ЕЧі = /и1 .

= /ш + о(1п к 0 к-1 ••• к-(п-1) І (12)

Еа = 0(Е ) - Еа Е- + к

а ^ Оі ' О\ д\

-(п-1) •

Здесь в силу формул (4)

к0 =- 0 (/и1) + Д /и1 + /и, к-І = к-(і-1) - 0(/и1 ) + 0(Д ) -

— 00(1п к0 ■ ■ ■ к-(;-1)), і = 1, к, п -1

(13)

Одним из основных результатов является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть линеаризованное уравнение (8) получено в результате применения п-кратного, п>2, преобразования Лапласа к уравнению (7). Тогда уравнения (5) и (6) являются линейными.

Схема доказательства. Применим к первому равенству (12) дифференцирование по параметру Т

РтР + ^ Р1 + Р,1,1 Р1 =

= ( V + ( V, + ^ -VI.

ы,ы ^ ы1ы/1 ^ и1 и1

Согласно формуле (9) р = vn +-----, где мно-

готочием обозначены слагаемые, содержащие переменные, а

(14)

младшие

ясно,

именно

что

V!, К-2’--., v . Тогда,

Р1 = Vn+1 +----, где многоточием вновь обозначены

слагаемые содержащие младшие переменные. Поскольку переменные V,Vl,V2,...,Vn,Vn+l и Vl являются независимыми, а все функции, фигурирующие в соотношении (14) не зависят от Vn+l и

Vl , то коэффициенты при ^+1 и Vl должны быть равны нулю, а именно Р = 0, ^ - = 0 • Исполь-

„ ^ и, и1

зуя последние уравнения уточняем вид функций Р и /'■ _ _

Р = а( х, у, Ч, ч,),! + в( х, у,,, ,,), (15)

/ = ф(х, у, и, и,) + у(х, у, и, ы0. (16)

Подставляя функции Р и /, заданные соответственно формулами (15) и (16) в первое равенство (12), получаем

а( х, у,,,,,) = ^( х, у, и, и,). (17)

Дифференцируем соотношение (17) по параметру Т

а р + а- р, =ф V + а> V,. (18)

,1 и,и ' и,и, 1

В силу формул (9) и (10) р = vn +------------и

р =Ф v +—, где многоточием обозначены сла-

Г 1 Ты1 П

гаемые, содержащие младшие переменные, а имен-

но V ,, Vn-2, к, V,, V . Поэтому коэффициент при Vn в соотношении (18) равен нулю:

а + ф а = 0. (19)

„ Ти1

Далее, для удобства записи обозначим коэффициент при переменной V , в формуле (9) через А, то есть представим формулу (9) в виде

р = Vn + А^-1 + ^ .

Здесь многоточием обозначены слагаемые, содержащие младшие переменные. Тогда формулу (10) можно представить в виде

р, = Фи, V + Фы, Avn-1 + k-(n-1)Vn-1 + ■ " .

Теперь мы можем выписать коэффициент при

переменной Vn-l в равенстве (18)■

а „А + а-фиА + а- к ,п 1) = 0 -

„ ы1 „1 -(п-1)

Необходимо отметить, что последнее равенство верно при условии п>2, поскольку уже при п=2

’п-1 = V, и ясно, что в правой части

мы имеем v

последнего соотношения, в силу (18), должно стоять выражение фии . Таким образом, дальнейшие

рассуждения проводятся с учетом того факта, что п>2.

Далее на некотором шаге доказательства мы определяем, что

/ = а( х, у)и, + у( х, у, и, и,),

Р = а(х, у)„ 1 +

+ 8{х, у, ст(х, у)я - ) +.

+ яу(х, у,а(х, у)„ - я,)

Подставляя последние функции во второе соотношение (12) и используя формулы (13), можно показать, что

•-(л-1)

= Y-^x,

k-(n-i) = ї- iax +

+ D^ i) + L + о(Ф i-i),

i = 2, к, n.

(20)

Здесь

Y= y( x, y,o( x, y)q - q,) = y( x, y, t)

8=8( х, у, г),

Ф, = -8г - - Б 1п(у-ах) (21)

Фг =Ф г-1 - Б 1пх

х(у- гах + БФ, + + БФг-1), (22)

г = 2,..., п -1.

В частности,

к0 = 7-ПЯх + Б(Ф1) + - + Б(Ф п-1) . При помощи формул (21), (22), (11) и первой формулы (13), можно показать, что левая часть со-

отношения, полученного после дифференцирования последнего равенства по параметру Т, не содержит переменные рп+1 и рп+2, а правая часть

содержит рп+, и рп+2 в следующих слагаемых (к0)и,vl = (к0)и, к к 1 к----------рп+1 + •",

к 0 к-1 к-(п-1)

(k0)u2 V2 = (k0)U2

1

k0 k-1 L k-(k-1)

p n+2 +•

откуда следует, что (£ V = 0, (кп)- = 0. Анало-

4 0'и, ’ 4 0 Ы2

гично можно показать, что (к ,) = 0, (к ,)- = 0.

4 ы 4 -,/ и1

Из последних четырех равенств, учитывая формулы (13) и приведенное выше представление для функции /, непосредственно доказывается, что уравнения (5), (6) являются линейными. Нелинейные системы, линеаризации которых связаны преобразованием Лапласа В настоящем параграфе рассматриваются нелинейные гиперболические системы вида

иху = f(и)

(и‘ху = fl , г = 1,2>---> п)

Чху = Р Оя „х • Чу X

= р1 , г = 1,2,к,п)

Прежде всего, определим преобразование Лапласа для линейной гиперболической системы

(23)

(24)

э2 , ч э

—— + с( x, у) — + dxdy dx

+ b( x, y)^ + c( x, y)

эу

v = 0/

(25)

Здесь V - п-мерный вектор, а, Ь и с - квадратные матрицы-функции соответствующего размера. Систему (25) можно представить в следующем виде:

-Э + b I v - kv = 0, dx

где к = Ь + йЬ - с - главный инвариант Лапласа

системы (25). Теперь легко видеть, что система (25) эквивалентна системе

dx+b 1 v=v-

Э ^ I , (26)

----+ й IV., =

Эу )

Первые п уравнений (26) задают так называемое х-преобразование Лапласа для системы (25), которое состоит в переходе от неизвестной V к неизвестной V-l. Если ёе! к Ф 0 , тогда из второй формулы (26) определяем, что

э

Эу

- + с

Подставим последнюю функцию в исходную систему (25)

л

v

_Э_

дх

_д_

ду

+ а Iv—1 -^1 = 0.

= 0'

Дифференцируя равенство кк 1 = Е по переменной х, получаем, что кк.-1 + к (к_1) х = 0, откуда (к_1)х =-к_1кхк_1- Используя последнюю формулу, преобразуем систему (25) к виду

ґ (V-1) ху + a(V-1) х + "

+ (кЬк -1 - кхк ~1)^-1) у + у+(ах + (кЬк- - кхк-1)а - к)у-1 у Таким образом, в результате применения х-преобразования Лапласа к системе (25) получаем систему того же вида, что и исходная

ад ху+a-l(v-l) х+у+с-^-1=°

где

а-1 = а,

Ь-1 = (кЬ - кх )к \ с = ах + Ь-1а-1 - к.

(27)

Предположим, что решения и(х, у,Т),

„(х, у,Т) систем (23), (24) зависят от некоторого

параметра Т и определим функции V = Ыт ,

р = . Функции V и р удовлетворяют линейным

системам

БЕК = С>, (28)

(29)

(ОО - А-10 - В 1О - С д Р~-

Здесь введены обозначения

ҐГ1 Ї1 /■1

и1 4 ■■■ ■/ип

С = /и2 /и2 ■■■ /ип

V /п /п ••• /п

С Ох Е\ ... Ох Е 1 ^ аі

А-1 = е2 Ох е2 ... Ох Е2 аОх

, п Еп2 ... Ох Еп а? у

( Оу Е\ ... Оу Е1 ^ ь

В-1 = Е2 а.1 Е22 ... а; Е2 О

Е\ V Оу Еп2 ... у Еп а у

О1 Е\ ... а Е1 ^ ап

С-1 = е2 О Е 2 к Ч Е2 ап

еп V о1 еп ... а Еп ап у

Предположим, что система (29) получена из системы (28) в результате однократного применения х-преобразования Лапласа. Требуется описать соответствующие нелинейные системы (24) и (23).

Согласно определению х-преобразования Лапласа (см. ф.-лы (26)), решения систем (28) и (29) связаны формулами

Dv = р, Ер = ку, (30)

а коэффициенты систем уравнений (28) и (29), в силу формул (27), удовлетворяют соотношениям

А-1 = 0,

Б_х = Б(к )к -1, (31)

С-1 = к,

где к = С - главный инвариант Лапласа системы

(28), а матрицы-функции А-1, Б-1, С-1 и С определены выше.

Справедливо следующее утверждение. Теорема. Пусть линеаризованная система

(29) является результатом однократного применения х-преобразования Лапласа к системе (28). Тогда системы (23) и (24) имеют следующий вид:

Ыху = f (ы) Яху = С ( f ~1(Яу )) • (32)

где матрица С определена выше и ёе! С Ф 0.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

(30). Заметим, что если их = Ч , то первая формула

(30) верна. Учитывая, что ы удовлетворяет системе (23), применим к левой и правой части последнего

равенства дифференцирование Б ■ f (ы) = „ . Или,

более подробно

Г (и\и2,...,ип) = Ягу, г = 1,2, к п. (33)

Отметим, что дифференцирование равенства

(31) по параметру Т приводит ко второй формуле (30). Далее, применяя к левой и правой части соотношения (33) оператор Е получаем, что

г г г 1 , г г 2 , , г г п

„ху = Гы1Ых + Гы2 Ых + к + ^х ,

г = 1,2, к, п.

Здесь вектор (ы1, Ы2, к ып)Т надо понимать, как решение алгебраической системы (33). Учитывая введенное выше обозначение для матрицы С, последнюю формулу представим в виде Я = С(г_!(я )). Непосредственно проверяется,

что линеаризации систем (32) связаны х-преобразованием Лапласа, то есть проверяется, что решения линеаризованных систем связаны формулами (30), а их коэффициенты, в силу формул (30), удовлетворяют соотношениям (31). Теорема доказана.

В процессе доказательства теоремы было найдено преобразование Беклунда

Я = их, Яу = Г (ы), (34)

связывающее решения систем (32). Последнее означает, что соотношения (34) гарантируют следующий факт: если ы есть решение первой системы

(32), то я является решением второй системы (32). И, наоборот, если „ решение второй системы (32), то ы решение первой системы (32).

Далее приведем примеры нелинейных систем, линеаризации которых связаны преобразованием Лапласа первого порядка, и преобразования Бек-лунда для каждой такой нелинейной пары. Так,

цепочка Тоды серии A

uxy = -2exp u + exp v,

vxy = exp u - 2exp v

и система

2, 1, qxy = з( py + 2qy )q - + 2 py) p>

1

2

Pxy =-Py + 2^y )? + + 2 Py ) p

связаны преобразованием Беклунда

q = ux, p = vx,

qy = 2 exp u + exp v, py = exp u - 2 exp v.

Напомним одну из эквивалентных записей открытых цепочек Тоды, связанных с матрицами Картана простых алгебр Ли [5]

(35)

(ui)xy = Z Ai exp

uj

где А! - элементы матрицы Картана соответствующей простой алгебры Ли. Как известно, эти системы обладают у- и х-интегралами [3]. Нетрудно видеть, что, используя формулы (34), для любой цепочки Тоды (35) можно построить преобразование Беклунда, связывающее ее с некоторой квазилинейной системой.

Далее в качестве примера, приведем интегрируемую в квадратурах систему [6]

uyy = exp(2u1 - 2u2), uly = exp(-u1 + 2u2), '

u3 = 2u3 exp(-w1 + 2u2)

Мы получаем, что последняя система связана с системой

qXy = 2q\(q1 - q2),

Ly 'I у

= 4y2(242 -

3 r\ 3 2 . 3 2 1\

qxy = 2q qy + qy (2q - q )

преобразованием Беклунда

qy = exp(2uy - 2u2), qj = exp(-uy + 2u2), q3 = 2u3 exp(-uy + 2u2)

В заключение приведем систему, обладающую солитонным решением [6]

ы1 = ехр(ыУ - ы2),

ы^^у = ехр(-2ыу + 2ы2), ы1у = 3ы3 ехр(ыу - ы2).

Преобразование Беклунда, связывающее последнюю систему с системой

Я1- = „у (Я1 - Я 2)>

„2 = Яу2(-2Я1 + 2„2),

„I = 3„ Уу+„3(Я1 - Я2)

задается соотношениями

1 1 2 2 3 3

q = ux, q = ux, q = ux,

x

qУ = exp(uy -u2), q2 = exp(-2uy + 2u2), q3 = 3u3 exp(uy -u2).

1 1 2 2 3 3

q = ux, q = ux, q = ^

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 11-01-97005-р_поволжье_а, 12-0131208 мол_а) и ФЦП «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (соглашение №8499).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю А. В. Жиберу за постановку задачи и внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Goursat E. Lefons sur l'integration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables independantes. V. II. Paris: Hermann, 1896.

2. Darboux G. Lefons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. V. II. Paris: Gauthier-Villars, 1915.

3. Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи математических наук. 2001. Т.56. №1. С. 63-106.

4. Кузнецова М. Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // Уфимский математический журнал. 2009. Т. 1. №3. С. 87-96.

5. Shabat A. B. Higher symmetries of two-dimensional lattices // Physics Letters A. 1995. V. 200. P. 121-133.

6. Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51. №1. С. 10-21.

Поступила в редакцию 01.11.2012 г. После доработки - 24.11.2012 г.