О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 2 (2010). С. 20-26.

УДК 517.9

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С НУЛЕВЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ

ИНВАРИАНТАМИ ЛАПЛАСА

Ю.Г. ВОРОНОВА

Аннотация. В работе показано, что решение обобщенной задачи Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа сводится к решению задачи Гурса для системы такого же вида. Построено точное решение задачи Коши для одной двухкомпонентной системы уравнений.

Ключевые слова: преобразования Лапласа, функция Римана, обобщенные инварианты Лапласа, задача Гурсa.

1. Введение

В работах [1], [2] изучены задачи Коши и Гурса для систем уравнений вида

дПг(х)

^ агз- (х)пу (х) + Аг(х), г = 1, 2,...,п,

г 3 = 1

где х = (х1 ,х2,... , хп), и приведена редукция данных задач к интегральным уравнениям. В частных случаях в работе [2] функция Римана построена в явном виде.

В настоящей статье рассматривается обобщенная задача Коши для системы линейных гиперболических уравнений

дЩ! + 5 (“гз (х,У) + Ьг3 (х,У) + °г3 ^У^ = fг(x,У), (1.1)

г = 1, 2,... ,п.

Введем понятие обобщенных инвариантов, предложенное в [3]-[8].

Определение 1. Обобщенными х-инвариантами Лапласа системы (1.1) называются матрицы Хг, заданные рекуррентными формулами

д

Х1 = Н1 = 7— а + Ьа — с, Хг+1 = Нг+1Хг, дх

д д д Нг+1 = дхх (аг) — дУуЬ + [Ь, аг] + Hг, ~ду (Хг) + агХг — Хга = 0

Аналогично, обобщенными у-инвариантами Лапласа системы (1.1) называются матрицы Уг, заданные рекуррентными формулами

д

У1 = К1 = тг- а + аЬ — c, уг+1 = кг+1у,

дУ

Yu.G. Voronova, About problem of Koshi for linear hyperbolic system of the equations with zero generalized Laplace invariants.

© Воронова Ю.Г. 2010.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00440-а).

Поступила 1 апреля 2010 г.

д д д кг+1 = ~^у (Ьг) — ~^ха + [a, Ьг] + Kг, (У) + Ьгуг — угЬ = 0,

здесь а0 = а, Ь0 = Ь.

В статьях [9], [10] приведен алгоритм построения решения задачи Гурса для линейной гиперболической системы уравнений (1.1) с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа, который является обобщением ’’метода спуска”, предложенного в работе [11].

В настоящей работе показано, что решение обобщенной задачи Коши для таких систем уравнений сводится к решению задачи Гурса для системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа. Построено точное решение задачи Коши для линеаризованной цепочки Тоды серии А2.

2. Метод Римана для линейных гиперболических систем уравнений

В этом параграфе кратко опишем метод Римана для линейных гиперболических систем уравнений. Рассмотрим систему линейных гиперболических уравнений (1.1), записанную в виде

Ь(п) =

д2 д д

+ а(х У)^т + ь(x, у)^ + c{x, у)

дхду ’ дх ’ ду

и = / (x,У), (2.1)

где и = (и1,и2,... ,ип)т — неизвестная вектор-функция, а(х,у) = ||агз-1 |, Ь(х,у) = ||Ьгз-1 |,

с(х,у) = ||сгз| | — заданные матрицы порядка п, а / = (f1, /2, . . . , /п)т — вектор-функция. Пусть на плоскости задана кривая АБ, на которой определены функции ^(х, у) и ф(х, у). Требуется найти решение системы уравнений (2.1), для которой выполнены условия:

= Ф(x,У), (2.2)

АБ

здесь п — нормаль к кривой АБ.

Будем предполагать, что прямые, параллельные осям координат, пересекают кривую АБ не более чем в одной точке. Если это условие нарушено, то решение может не существовать. Сопряженная система уравнений для однородной системы Ь(и) = 0 имеет вид:

!» = ^ — д¥) — ддт)+ «с =0, (2.3)

дхду дх ду

где V = (у1,у2 ... , уп) — вектор-функция.

Непосредственным дифференцированием можно проверить, что выполняется следующее тождество:

1 д 1 д

уЬ(и) — Ь*(у)и = - — \упу — уу и + 2уап] +— — \упх — ухп + 2уЬп)]. (2.4)

2дх 2ду

Возьмем произвольную точку М0(х0,у0) и проведем через нее характеристики х = Хо, у = у0, пересекающие кривую АВ соответственно в точках Р и Q. Обозначим через П область, ограниченную этими прямыми и дугой PQ, и через Г границу П.

Интегрируя обе части тождества (2.4) по области П и пользуясь формулой Грина, получим

// \уЬ(и) — Ь* (у)п]^х^у =

п _ 1

2 У \упу — ууи + 2уаи]в,у — \уих — ухи + 2уЬи))в>х. г

Откуда нетрудно получить следующую формулу

(vu)p+(vu)q

QMq MqP

(vu) Mo = J+VU>Q + J (vx — vb)udx — f (vy — va)udy+

+1 / [«иу — (Vу — 2«а)и]в,у — [«их — («х — 2«Ь)и^х— (2 5)

РЯ

—// [иЬ(и) — Ь*(«)и]в1хв1у. п

Далее возьмем V = «(г), г = 1, 2,...,п, как решение сопряженного уравнения (2.3), для которого выполняются условия:

1) «ХХг — «(г)Ь = 0 на характеристике (^М0,

2) — «(г)а = 0 на характеристике М0Р,

3) у®(хо,уо) = { = I

(?) ( (і) (і) (і)\

здесь у(і) = (у1 ,у2 ,... ,уП ).

Теперь равенство (2.5) с учетом (2.6) можно переписать в виде:

иі(хо,уо) = (^ )и)р+(^ )и)я + 1 / \у(і)пу — (уУг) — 2у(і)а)п]^у—

РЯ

— \у(і)их — (уХі) — 2у(і)Ь)и}в1х — // у(і) /в.хв.у, і = 1, 2,... ,п.

п

Используя условия (2.2), можно определить значение их, иу на АВ, а именно:

ди дх

(2.6)

(2.7)

—ф , ч , , ч du

= ^— cos(s,x) + wcosyn. x),

AB —s дУ

дф

= — cos(s, y) + фсов(п,у),

AB —s

где ds — производная по направлению касательной к кривой AB.

Решение v(t')(x,y) сопряженного уравнения (2.3), удовлетворяющего условиям (2.6), называется функцией Римана. Таким образом, решение задачи (2.1), (2.2) находится по формуле (2.7), где v(i) — решение краевых задач (2.3), (2.6), i = 1, 2,... ,n.

Пусть теперь существуют r, s > 0 такие, что обобщенные инварианты Лапласа системы уравнений (2.1) Xr = Ys = 0. Тогда решение задачи (2.1), (2.2) сводится к следующей задаче

д2(v(i)T) d(v(i)a)T д(v(i)Ъ)т + ( {i) т

дхду дх ду , .

dV QXV°0 = ЪТ (x,yo)v(i)T ^, Уо),

дУ д)УХ°,У') = аТ (хо, y)v(i)T (хо,у), (2.9)

vfT (хо, Уо) = | 0’i = j i = 1, 2,...,n

здесь v(i)T(х, y) — столбец неизвестных функций. Система уравнений (2.8) является сопряженной к исходной системе уравнений (2.1), и из [4] следует, что обобщенные инварианты Лапласа системы (2.8)

Xs = YJ = 0, yr = XTr = 0.

В работе [10] для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа приведен алгоритм построения решения задачи Гурса. Таким образом, считая известным решение задачи (2.8), (2.9), мы получаем решение исходной задачи (2.1), (2.2).

3. Задача Коши для линеаризованной цепочки Тоды серии А2

В этом параграфе мы приведем пример реализации алгоритма решения обобщенной задачи Коши для системы уравнений вида

(С1)ху + 2би$1 — ё102 = 0, (д2)ху — еи91 + 2е° С/2 = О

дд

с\аб = ^P(x,y), дП 1аб = Ф(x,У),

(3.1)

(3.2)

где д = (д1,д2)т, и, V — заданные функции, удовлетворяющие системе

иху + 2еи — еи = 0, Vху — еи + 2е^ = 0.

Из выражения (2.7) следует, что решение задачи (3.1), (3.2) определяется по формуле

дг(хо,уо) = {ь(г)д)р +2{(,(г)д)я + 1 / [и(г)ду — ^ — 2v(г')a)g]dy-

і —

РЯ

— \у(і)дх — (уХі) — 2у(і')Ь)д)в,х, і = 1, 2,

(3.3)

где у

(і), і = 1, 2

являются решениями следующих краевых задач:

2еи -еи

2еи еи

у(1)Т = 0, у(1)Т(х,уо) = у(1')т(хо,у) = у(2)т = 0, у(2)т(х,уо) = у(2)т(хо,у) =

(3.4)

(3.5)

Рассмотрим более подробно задачу (3.4). Система уравнений (3.4) является сопряженной к исходной системе (3.1), и согласно [5] обобщенные инварианты

хз = уэт = 0, Уз = хзт = °.

Тогда одно из представлений решения системы уравнений (3.4) имеет следующий вид [9]:

;(1)т (х,у) = X- 1 дхХ1

+Х-1 д-х1

1 ду 1

д

е-и-1—еи+1 т(х)е1 + Ш (х)е2 дх

д

+

е-и-1 дуеи+1 ю(у)е1 + Ш (у)е2

(3.6)

_2еи еи

у ) , векторы е1 = (Д) , е2 = (1) , /ш(х),Ш (х),'ш(у),Ш (у) — произ-

где Х 1 е1 — 2е

вольные функции.

Положим в решение (3.6) у = уо

1д ° ) = х-1(х,Уо)дхХ1(х,Уо)

д

е-и-1—еи+1 т(х)е1 + Ш (х)е2 дх

+

+ (т"(уо) + и;1 (уо)С1(х,уо) + и(уо)С2(х, уо)) б1 + (^'(уо) + W(уо)С3(х,уо)) в2, здесь С1 (х,уо), С2(х,уо), С3(х,уо) — известные функции.

Введем обозначение г(х,уо):

г(х,уо) =Щ — (и"(уо)+ и'(уо)С1(х,уо) + и(уо)С2(х,уо)) е1 —

— '(уо) + ^ЫС3(х,уо)) е2,

тогда получим следующую систему уравнений

(3.7)

д

х-1(х,Уо) дхх1(х,Уо)

д

е-и-1—еи+1 т(х)е1 + Ш (х)е2 дх

г(х,Уо).

1

1

Умножим обе части последнего уравнения на Х1(х,уо) слева и далее проинтегрируем в пределах от хо до х:

Х1(х,Уо)

д

е-и(х,у0)-ъ(х,у0) и(х,у0)+ъ(х,у0)и(х)е1 + ш (х)б2

дх

= Xl(t,yо)r(t,yо)dt + Х1(хо,уо)и'(хо)е1 +

хо

+Х1(хо, уо)(их(хо,уо) + Vx(xо,yо ))и(хо)е1 + Х1(хо, уо)^ (хо )е2.

Положим

рр^ = Х-1(х,уо) ( / Xl(t,yо)r(t,yо)dt + Х1(хо,уо)и'(хо)е1 +

+Х1(хо,уо)(и1(хо,уо) + Vl(xо,yо))w(xо)el + Х1(хо, уо) ^ (хо)е2) (3.8)

и тогда получим следующую систему уравнений

д

e-u{x,yо)-v{x,yо) eu(x,yо)+v(x,yо)w(x) + W (х) = р(х,уо),

дхд

—e-u(x,yо)-v(x,yо) u(x’Уо)+v(x’Уо)w(x) + W (х) = д(х,уо).

дх

Складывая первое и второе уравнение, определим W(х):

W (х) = 2>(Р(х,уо) + Q(x,Уо)), (3.9)

а вычитая из первого уравнение второе, получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, из которого найдем функцию и(х):

х

и(х) = 1 е-и(х’уо)-<хуо) I еи(*’уо)+^’уо)(р^,уо) — ^,уо)^+

хо

+еи(хо’уо)+^(хо’уо)и(хо)е-и(х’уо)-^(х’уо). (3.10)

Функции и(х) и W(х) зависят от произвольных постоянных и''(уо), и'(уо), и(уо), IV'(уо),

!У(уо), и'(хо), и(хо), W(хо).

Аналогично, полагая в решение (3.6) х = хо, определим функции и(у) и ^К(у):

^;(у) = 2>(Р(хо,у) + V(Xо,У)), (3.11)

у

и (у) = 1 е-и(хо’у)^(хо ’у) У е^^+^’^хо,^ — д(хо^)^+

уо

еи(хо,уо)+^(хо,Уо) и(у )е-и(хо,у)-у(хо,у)

+еи(хо’уо)+'«(хо ’Уо) и0(уо)е-и(хо’у)-'и(хо’у) (з 12)

где

у

= Х-1(хо,у) I / Xl(xо,t)r(xо,t)dt + Х1(хо,уо)го'(уо)е1 +

уо

+Х1(хо,у0)(иу(хо,Уо) + Vy(хо,уо))и(уо)е1 + Xl(xо,yо)W(уо)е^ , г(хо,у)= — (и''(хо) + и'(хо)С4(хо,у) + и(хо)Сб(хо, у)) е1 —

— (W'(xо) + W(хо)Сб(хо, у)) е2.

х

Далее воспользуемся условием согласования, для этого в решение (3.6) положим х = хо, У = Уо:

(и)"(хо) + и)'(хо)(І1 + Цхо)^2 + и}”(уо) + ^'(уо)^4 + Цуо)(б) е1 +

+ (W'(xо) + W(xо)d3 + W'(Уо) + W(Уо)d^ е2, где dг, г = 1,..., 6 — известные постоянные.

Выразим отсюда

и''(уо) = 1 — и''(хо) — dlw'(xо) — d2w(xо) — d4W' (уо) — d5w'(yо),

W' (уо) = 2 — W '(хо) — dзW (хо) — d6W'(yо).

С помощью данных формул выражение для г(х,уо) (3.7) перепишется в виде

г(х,уо) = (w''(xо) + w'(xо)dl + w(xо)d2 + w'(yо)(d4 — С1(х,уо)) + W(yо)(d5 —

— C2(x, Уо))) е1 + (W'(x0) + W(хо^3 + W(Уо)(d6 — C3(x, Уо))) е2. (3.13)

С учетом условия согласования, искомые функции W(х) и w(x) определяются из формул

(3.9) и (3.10), где функции р(х,уо) и д(х,уо) находятся из выражения (3.8), а функция

г(х,уо) из формулы (3.13). Функции W(у) и W(y) определяются из формул (3.11) и (3.12). В итоге решение задачи (3.4) можно представить в виде

д

;(1)т (х,у) = X-1 —X

1 ду

■_д_

дУ

-,-и(хо,у)-і(хо,у)

18

(2е1(х°,г)а(хо,г) +

уо

+еи(х°,г)0(хо,і)) (Щ е1 — - (2е-и(хо,у)а(хо,у) — е-1(х°,у)в(хо,у)) е2

+

+ (С^у^^о) + G2(x,y)w'(xо) + 03^^^^) + G4(x,y)w'(yо) + (х,у)х

XW(yо)) е1 + (0б(х, y)W'(xо) + G^(x,y)W(хо) + G8(x,y)W(уо)) е2, здесь 0г(х, у), г = 1,..., 8 — известные функции, а

а(хо,у) = 2их(хо,у) + Vx(xо,y) — 2их(хо,уо) — Vx (хо,Уо),

в(хо,у) = 2vx(xо,y) + их (хо, у) — 2Vx(xо,Уо) — их(хо,уо).

В силу единственности решения задачи Гурса все функции 0г(х,у) = 0, г = 1, . . . , 8 и решение задачи (3.4) примет вид

д

>(1)т(х,у) = X-1 д X

1 ду

д

е-и-1 ___ еУ'+і

ду

е-и(хо,у)-і(хо,у) 18

(2еі(хо,г)а(хо,і) +

уо

+еи(хо,г)в(хо,і)) (і} е1 — - (2е-и(хо,у)а(хо,у) — е-і(хо,у) в(хо,у)) е2

6

Аналогично находится решение задачи (3.5):

(3.14)

у(2)т (х,У) = ^ 1 д--Xl

д

е-и-1__ еУ'+1

дУ

е-и(хо,у)-і(хо,у)

18

(еі(хо,г)а(хо,і) +

уо

1

+2е“(Х0,‘)іЗ(хо,і)) (і) е1 + - (е~‘(Х0,у)а(хо, у) — 2е-1(Х0,у)в(хо, у)) е2

(3.15)

Тогда решение обобщенной задачи Коши (3.1), (3.2) находится из выражения (3.3), где v(1), v(2) определяются из формул (3.14), (3.15).

у

е

у

у

Автор выражает благодарность Жиберу А.В. за постановку задачи и многочисленные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, вып 9. С. 1614-1622.

2. Жегалов В.И., Миронова Л.Б. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными // Изв. вузов. Матем. 2007. Т. 3. С. 12-21.

3. Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. Т. 56, вып 1. С. 63-106.

4. Жибер А.В., Старцев С.Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений // Математ. заметки. 2003. Т. 74, вып 6. С. 848-857.

5. Гурьева А.М., Жибер А.В.Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды // ТМФ. 2004. Т. 138, вып 3. С. 401-421.

6. J.M. Anderson, N. Kamran The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane // Duke. Math. J. 1997. V.87, №2. P.265-319.

7. Старцев С.Я. О построении симметрий систем уравнений лиувиллевского типа // Труды международной конференции. Орел: ОГУ, 2006. Т. 1. С. 117-122.

8. Жибер А.В., Соколов В.В., Старцев С.Я. Нелинейные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа // Международная конференция "Тихонов и современная математика": тезисы докладов. М.: МГУ, 2006. С. 305-306.

9. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. О задаче Гурса для гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, вып 3(21). С. 136-144.

10. Жибер А.В., Михайлова Ю.Г. Алгоритм построения общего решения п-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа и краевые задачи // Уфимский математ. журнал. 2009. Т. 1, вып 3. С. 28-45.

11. Лезнов А.Н., Шабат А.Б. Условия обрыва рядов теории возмущений // Интегрируемые системы. БФАН СССР. 1982. С. 34-44.

Юлия Геннадьевна Воронова,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]