CC BY
24
4. Чирков А. Ю. Применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов к решению задач о собственных колебаниях упругих тел // Проблемы прочности. 2008. № 2. С. 121 - 140.
5. Гуреева, Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Расчет оболочки вращения при произвольном нагружении с использованием МКЭ на основе функционала Рейсснера // Вычислит. технологии. 2008. Т. 13. № 4. С. 51 - 59.
6. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Расчет осесимметрично нагруженной оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности на основе смешанного МКЭ // Изв. вузов. Авиационная техника. 2014. № 4. С.14-19.
7. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам М.: Стройиздат, 1977. 128 с.
8. Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 349 с.
© Станкевич И.В., 2017
УДК 517 923
Чочиев Тимофей Захарович
кандидат физ. мат. наук, профессор, старший научный сотрудник Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО - А.
ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ, ОБОБЩАЮЩЕГО УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
Аннотация
Изучается нелинейное уравнение, обобщающее уравнение Риккати [1,2]. Метод рассмотрения аналогичен методу рассмотрения уравнения Риккати [3,4,5]. Решение строим в явной форме.
Ключевые слова
Дифференциальное уравнение, нелинейность, решение, удовлетворение, выполнимость,
тождественность, класс Риккати.
П. 1. Обобщенное нелинейное уравнение.
Известно, что решение линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами тесно связано с решением уравнения Риккати [6]. С аналогичным случаем сталкиваемся при изучении уравнения в частных производных второго порядка гиперболического класса, где всплывает нелинейное уравнение,
д1 _
— + А(х, t)l2 + В(х, t)l + С(х, t) = 0, (1.1)
обойти решение которого невозможно, ибо искомая функция упомянутого уравнения непосредственно зависит от l(x, t). Если допустить в (1.1) х = 0, то оно есть уравнение Риккати. В связи с этим, естественно, (1.1) можно назвать обобщенным случаем уравнения Риккати.
Исследование (1.1) проведем согласно [3,5]. Доказывается теорема
Теорема 1. Если h(x, t) решение нелинейного уравнения dh(x, t)
dt
где
■ - h2(x, t) + A*(x, t)h(x, t) + B*(x, t) = 0, (1.2)
Д. = 1 (A. ± ^A*2 + 4B*).
SA(x,t) dt
A*(x, t) = A(x, t)(At + Л2) B*(x, t) = -X1X2A2(x, t) - d(Alg+th) A(x, t); 1
■ = -B±VBJ-4AC B2-4AC>0 2A '
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х то l(x. t), определенная формулой
I = e-ti(A*-Wt (l0 + j(AA — h)AeJ>*-h)^dt\ =
, JqU^1 h)dt (i0(x) + J (AXx — h)Ate
rC^Lv + jM-^.^-»"*).*-*,,
=
(1.3)
удовлетворяет уравнению (1.1), причем, lg(x) неизвестная функция. Действительно, равенство (1.1) можно еще записать в форме
д1
- + А(1 — Л1)(1 — Л2) = 0. Умножив его на (Al — А,) и представив в виде
(1.4)
д д д
_-i — _i + (Ai—A2)-=—A(l — Ai)(l — A,)(Ai — А,).
после группировки левой части оно переходит:
д1 д1
(1 —A2)Yt — (l — = —A(*l — A,)(l — Al)(l — A,).
Или
m dt
31
dt
= —A(Ai—A,).
I — Ai I — A, С другой стороны, из (1.3) замечаем, что
31 - { — (AAl — h)l + (AAl — h)Al = —(AAl — h)(l — Al). А = Al. dt = {■
(15)
(15)i
I — i
(AA2 — h)l + (AA2 — h)A2 = —(AA2 — h)(l — A2). A = A2
Или
di dt
l — Al
= —(AAi — h);
m dt
l —A?
= —(.AA2 — h).
С учетом этих значений равенство (1.5)l переходит в тождество:
—A(Ai—A,) = —A(Ai—A,).
То есть, формула (1.3) есть решение (1.4), или что одно и тоже, уравнение (1.1). Содержащуюся в (1.1) произвольную функцию I о(х) будем допускать равной
10(*,0) = 1. (1.5),
Вторую часть теоремы 1 докажем, если построим функцию h(x.t), удовлетворяющую (1.2). Его решение будем задавать в форме
f0(A1+ho(x))at ( Ci(x. 0—f (r* + h0(x))A*le-J0(A1+ho(^))^ dt ).
о
когда А* = Al.
ffa+Ho^dtl c,(x.t) — j (A*2 + h0(x))A*2e-J0(A2+ho(^))^dt
h(x. t) = <
когда A* = A*2.
где Cl (x. t) и C2 (x. t) - искомые функции, ho (x) - неизвестна, Из (1.6) замечаем:
(1.6)
о
о
v
о
dh(x, t) dt
(я; + h0(x))(h(x, о - л\) + еШ+^м)^
при Л* = Л\, (Л*2 + h0(x))(h(x, t) — Л*2) + е/о(я2+лоМ)л при Л* = Л*2.
dC1(x,t) dt '
dC2(x,t) dt '
(1.6)!
Или
dh(x, t) dt
h(x, t) — Л\
dh(x, t) _dt
= 11 + h0(x) +
dC1(x,t) dt
0(Л) + h(x, t) — X1 когда Л* = Л!
dC2(x,t) dt
X(Xl+ho(x))dt
(1.7)
h(x, t) — Л*2 =Л*2 + ho(x) + h(x, tj— Л*2 6 когда Л* = Л*2. Уравнение (1.2) допускает представление
dh(x, t)
■ — (h(x, 0 — Л*1) (h(x, t) —Л*2) = 0,
f*(A*2+ho(x))dt
где Л\ и Л*2 (см. (1.2)1). Отсюда легко заметить, что
dt
dh(x, t) dh(x, t)
dt___dt
h(x, t) — Л1 h(x, t) — Л*
(17)i
1
Или,
приняв
во внимание dC1(x,t) dt
(1.7),
2
соотношение dC2(x,t)
ej
(1.8)
переидет
S0(Al+ho(x))dt = dt c0(X2+ho(x))dt
h(x, t) — X1 h(x, t) — Л]
Чтобы удовлетворялось равенство (1.7)1, или (1.8), соотношение (1.9) должно быть тождеством. Поскольку C1 (х, t) и C2 (х, t) неизвестны, то условившись, что
dC1(x, t) dC2(x,t)
dt . = eti^dt. dt = ef0Aldt
(1.8)
виду
(1.9)
h(x,t) — X1 " ' h(x,t) — X2 " , (1.10)
(1.9) будет удовлетворять тождественно. Но, чтобы сами (1.10) выполнялись тождественно C1(x, t) и C2(x, t), с учетом (1.6), соответственно должны быть решениями следующих дифференциальных равенств:
'dC^ 0 ei0(Al+A2+ho(x))dtC1(x, t) = Н1(Х) t), Л* =
dt
>dC2(x, t) dt
l0(A*1+A2+ho(x))dtC2(x, t) = н2(х, t), Л* = Л*2,
(1.11)
где
н (x, t) = —efA2dt (я* + /0£(Я1 + h0(х))Л* e-b(A1+ho(x))atdt), Я* = Я*,
1 Н2
То есть
(х, t) = — e£ridt (л2 + $*(Г2 + h0(x))X2 e-ti(A2+ho(x))dtdt), Л* = X*
r f ^ rtjfcl+^+ho^dt
C1(x,t) = eJoe dt x
t
f H1(x,t)e-^1+X2+h0(X))dtdt
x( Yo(x) + J H
rf ^ f telfcl+^+^M
C2(x,t) = eJoK dt x
■ t,
dt ), Л* = Л\,
(1.12)
x ( Yo(x) + J H2(
0
t \ fH2(x,t)e-lOtef0(Al+A2+ho(x))d^dt
Л* = Л**.
2
к
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
Установленные для С1(х, t) и C2(x,t) формулы (1.12) обеспечивают тождественную выполнимость равенств (1.11); то есть, соотношения (1.10) выполняются тождественно. Установлена тождественность равенств (1.9) и этим доказано удовлетворение (1.8) или (1.7)1. Но (1.7)1 есть уравнение (1.2). Этим теорема 1 доказана полностью.
Остается уточнить неизвестные Y0(x),h0(x), чтобы С1(х, 0), С2(х, 0) и h(x, 0) стали вполне определенными функциями.
Из (1.11) и (1.12) при t = 0 следует: dC1(x,t)
dt
dC2(x,t)
= С1(х, 0) - Я1(х, 0) = у0(х) - Я1(х, 0),
t=о
dt
Из (1.6)1 в точке t = 0 имеем (см. также (1.13)):
(1.13)
С1(х,0) = С2(х,0) = Го(х). (1.14)
= С2(х, 0) - Л*2(х, 0) = 70(х) - Г2(х, 0)
t=о
dh dt
= {[
; [Я* (х, 0) - h0 (х)] [h(x, 0) - Я1(х,0)] + у0 (х) - (х,), Я* = х, 0) - h0(x)][h(x, 0) - М2(х, 0)] + у0(х) - Г2(х,), Я* = Г2. Предполагается, что эти два значения совпадают при t = 0:
U1(x, 0) - h0(x)][h(x, 0) - Л{(х, 0)] + Y0(x) - Л{(х, 0) = = [Я2(х, 0) - ho(x)][h(x, 0) - Я^(х, 0)] + 7о(х) - Я$(я, 0). Или раскрывая скобки, после группировки записываем:
[Я1(х, 0) - Я2(х, 0)]h(x, 0) - [Я12(х, 0) - Я2(х, 0)] --[Я1(х, 0) - Я2(х, 0)]h0(x) - [Я1(х, 0) - Я2(х, 0)] = 0. Приняв, что ho(x) = -h(x, 0), для h(x, 0) получаем вполне определенное значение
Я1(х,0) +Я2(х,0) + 1 h(x,0) = ^-' 2 '-. (1.15)
В силу произвольности 7о(х) допускается, что Уо(х) = h(x, 0). Следовательно, из (1.14) находим
Я1(х, 0) + Я*2(х,0) + 1 q(x, 0) = С2(х, 0) = Го(х) = 1 22 -. (1.16)
На основании формулы (1.3) и условия (1.5)2 Z(x, 0) = /0(х) = 1.
Таким образом, для обобщенного уравнения Риккати (1.1) построено точное решение и оно дается формулой (1.3), где h(x, t) вполне определенная функция (см. (1.6)), удовлетворяющая (1.2), или уравнению (1.8), C1(x,t) и С2(х, t) определяются соответственно формулами (1.12) и удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1.11), y0(x),h0(x) выражаются через (1.15) и (1.16). Z0(x) = 1.
Таким образом, известно, что [5,6], решение любого линейного дифференциального уравнения порядка второго и выше, непосредственно зависит от решения нелинейного уравнения класса Риккати, так и здесь; решение любого дифференциального уравнения в частных производных второго порядка зависит от решения нелинейного дифференциального уравнения первого порядка класса (1.1) [7 с. 209; 8 с. 215; 9 с. 313]. Список использованной литературы:
1. Матвеев Н. М. методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Л., 1955. с. 656.
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Госиздат тех. литературы. 1953. с. 468.
3. Чочиев Т. З. Об одном варианте исследования уравнения Риккати // East European Scientific Journal Wschodnioeuropeiskie Czasopismo Naukowe volume 32(2), Warszawa, с. 61-66.
4. Чочиев Т. З. Решение специального уравнения Риккати. Европейский фонд инновационного развития. Научное периодическое издание IN SITU, ISSN 2411-7151 №3 (3)/ 2015, с. 8-13.
5. Чочиев Т. З. О другом варианте исследования уравнения Риккати. «Отечественная наука в эпоху изменений: постулаты прошлого и нового времени», часть 3, 7(12), 2015, с.18-24.
6. Чочиев Т. З. Обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. LAP LAMBERT Academic Publishing. Bahnhofstrabe 28, 66III Saarbrucken, Deutschland\ Германия\ 2016, с. 155.
7. Чочиев Т. З. Температурные напряжения в однородном упругом полупространстве и соответствующее характеристическое уравнение. Труды института прикладной математики и механики. Т. 9. Донецк, 2004.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
8. Чочиев Т. З. о нелинейных уравнениях в частных производных второго порядка; Вестник Харьковского Национального Университета им. В. Н. Каразина. №890. Вып. 13, Харьков 2010.
9. Чочиев Т. З. распространение тепла в ограниченном стержне. Ученые записки ЮОГУ. Выпуск 4, часть 2. Цхинвал, 2014.
© Чочиев Т. З., 2017
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 62-65
Э.Р.Аглиуллина
магистр 2 курса Факультета трубопроводного транспорта ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет»
г.Уфа, Российская Федерация
ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ ПРИ ОБОГРЕВЕ ПЛЕНОЧНО-ЛУЧИСТЫМ НАГРЕВАТЕЛЕМ
Аннотация
В современных условиях роста цен на энергоносители энергосбережение становится одним из важнейших направлений в использовании инновационных технологий. В статье рассматривается методы оптимизации работы пленочно-лучистого нагревателя.
Ключевые слова Инфракрасный обогрев, энергетическая эффективность, ПЛЭН
В связи с ростом цен и ограничением лимитов на энергоносители экономичный обогрев становится все более актуальным. Инфракрасное отопление является одним из наиболее перспективных типов [1, с.15].
По способу передачи энергии системы отопления подразделяются на 3 подвида:
• конвекционный, то есть цикличный круговорот (конвекторы, обычные радиаторы);
• направленный, предполагающий прямую термопередачу (тепловентиляторы, кондиционеры);
• инфракрасный - передача энергии посредством электромагнитного длинноволнового излучения. Яркий пример - ПЛЭН.
Расшифровывается эта аббревиатура как пленочно-лучистый электронагреватель. Он состоит из двух слоев гибкого пластика, между которыми расположены карбоновые резисторы.
Помимо самих нагревателей ПЛЭН для их установки обязательно приобретаются фольгированные утеплительные материалы (типа изофол или изолон толщиной порядка 3 мм) - чтобы весь тепловой поток направлялся в нужную сторону и не расходовался на ненужный прогрев перекрытия.
Изолон крепят любым удобным и доступным способом. Главное, чтобы он очень прочно удерживался на поверхности, так как он станет затем основой для монтажа обогревательных пленочных элементов. Некоторые производители ПЛЭН предлагают в комплект к обогревателям специальные универсальные крепежные элементы, которые подходят для любой поверхности потолка или стен и обеспечат надёжную фиксацию и утеплителя, и самой нагревательной пленки.
Кроме того, обязательным элементом системы такого отопления станет терморегулятор. Он будет отслеживать температуру в помещении, сравнивать ее с заданными установками и включать по мере необходимости электропитание на ПЛЭНы, чтобы всегда поддерживать необходимый комфортный микроклимат. Подключение ИК-нагревателя через терморегулятор позволяет снизить потребление электроэнергии в доме до 25%. Терморегуляторы подразделяются на:
• механические - работа данного устройства полностью механическая, то есть ему не нужно питаться от стационарной сети 220 В;
• электронные - отличаются не только наличием жидкокристаллического дисплея и наглядностью работы, но и возможностью программировать работу обогревателя на день, неделю или месяц вперед. То, что на механических устройствах необходимо делать вручную, здесь осуществляется автоматически.
Одной из технических характеристик терморегулятора является значение силы тока, т.е. максимальная подключаемая нагрузка. Значение силы тока терморегулятора должно быть на 15-20% больше значения силы тока инфракрасного обогревателя.
