О новом варианте решения уравнения Риккати Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-1/2016 ISSN 2410-700Х_

УДК 517 926

Чочиев Тимофей Захарович

Кандидат физико - математических наук, старший научный сотрудник ЮМИ ВНЦ РАН и РСО - А.

г. Владикавказ, РФ E - mail: [email protected]

О НОВОМ ВАРИАНТЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ

Аннотация

В работе [1] дается два варианта решения уравнения Риккати, причем, оба они зависят от решения такого же класса нелинейного уравнения, что и уравнение Риккати. В настоящей работе отпадает эта необходимость и нелинейное уравнение решается в более упрощенной форме. Результат решения применяется к линейному уравнению второго порядка для построения общего решения.

Ключевые слова

Решение, уравнение, Класс Риккати, нелинейность, выполнимость, тождественность.

П. 1. О нелинейном уравнении Риккати.

Упомянутое уравнение в общей форме дается

I' + А(х)12 + В(х)1 + С(х) = 0, где А(х), В(х), и С(х) - заданные функции; причем А(х) непрерывно - дифференцируема, а В(х), и С(х) непрерывны в указанной области. С целью удобства уравнение (1.1) зададим в форме

I' + А(1 - Лг)(1 - Л2) = 0,

где

-В + л1В2 - 4АС ,

Л =-=-; В2 - 4АС > 0.

2 А ;

Решение (1.2) будем искать:

,-f0X(AÄ1 + h0)dX f Ci(x) - J (AÄi + ho)ÄieS^(AX1+h0)dxdx\i

l(x) = <

когда Л = Ä1,

J0X(AÄ2+h0)dX f Cz(x) - J (AÄ2 + h0)A2efo(A^+h°)dxdx\,

когда Л = Л2,

где Сг(х) и С2(х) - неизвестные функции, к0- постоянная. Из (1.3) имеем:

-(АЛ1 + к0)(1 - Лг) + С{(х)е%(А^+но)ах когда Л = Лг,

-(АЛ2 + к0)(1 - Л2) + С^(х)е£(АЪ+Но)а* когда Л = Л2.

1'(х) =

Или

= ^ + ho) + когда Л = Л1,

1(х) - Лг 1(х) - Лг

1'(х) = -(АЛ2 + h0) + efo(A^+h°)d\ когда Л = Л2.

¿(х)-Л2 1(х) - Х2

Уравнение (1.2) допускает следующее представление

II' - II' + (Лг - Л2)1' = -А(Лг - Л2)(1 - Лг)(1 - Л2), или, после очевидной группировки левой части,

(1.1) (1.2)

(1.3)

(1.3)i

(1.4)

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-1/2016 ISSN 2410-700Х l'(l - А2) - l'(l - Аг) = -A(At - A2)(l - At)(l - A2). Следовательно, (1.2) переходит к виду

т-тгт-тг-^-*21

Подставим вместо левых частей их соответственные значения из (1.4); будем иметь

С^(х) - (g(AÄ-i +hn)dx = С2(х) _ f0X(AÄ.,+hn)dx

(1.5)

(1.6)

1(х) — А1 1(х) — Л2

Итак, для того чтобы (1.2), или (1.5), удовлетворяло, то есть (1.3) служило его решением, необходимо чтобы (1.6) выполнялось тождественно. Поскольку Сг(х) и С2(х) неизвестны, то (1.6) будет тождеством, если

1(х) - А1

или, приняв во внимание (1.3), когда А = А1,

Ci(x) = eI0xAÄ2dX. С2(х) = е10хАЯгах

1(х) - Л2

(1.7)

х

и когда А = Л2,

х

С[(х) = efoAX*dx х rfo(A^+h°)dx ^Ci(x) - jf (ААг + h0)A1eIo(AÄl+h°'>dxdx^ - A1

C2(x) = eÜ^* х I^(AX2+h0)dx I C2(x) - I(AÄ2 + h0)A2eI^(AÄ2+ho)dxdx J - A2

Отсюда относительно Сг (х) и С2 (х) придем к дифференциальным уравнениям

{С[(х) — е-^М^-Ы+ИоЫхс^) = Н1(х) ,

( С^(х) — еХ^-^-ь^С^х) = Н2(х) ,

где

Н1(х) = — е-^М^-^+ИоЫх ¡Х(М1 + н^е^^о^ах — Н2(х) = —е^М^-Ы-ИоЫх^^ + н0)Л2е1^(лл2+н0)ахах — ^А^ах^ Из которых соответственно для неизвестных функций Сг (х) и С2 (х) следует:

С1(х) = е}ое и dxx

x[y0 + lH1(x)e-i:^-I°XlA(^-"2)+ho]dXdxdx\,

,(х) = efoeu dxx

Л

I

(1.8)

(1.9)

х \Yo + I Н2(х)е

Они обеспечивают тождественную выполнимость (1.7), являющиеся всегда гарантом тождественного выполнения (1.6), а формулы (1.3) доказательством удовлетворения уравнения (1.5) или (1.2) (см. (1.4) и (1.6)); причем у0 - произвольная постоянная.

Таким образом, более коротким путем (см. [1,2,4]) доказано, что функция I, определенная через (1.3), удовлетворяет уравнению (1.2), или (1.5), где Сг(х) и С2(х) определяются соответственно из (1.9) и удовлетворяют уравнениям (1.8).

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-1/2016 ISSN 2410-700Х_

Согласно (1.9) Сх(0) = С2(0) = у0, а согласно (1.3) Сх(0) = С2(0) = Z(0). h0 ищем из допущения [Л(0)Я1(0) + ho][/(0) - ^(0)] = [Л(0)Я2(0) + ho][i(0) - Я2(0)], в результате чего находим:

= iAi(0) + Я2(0) - ¿(0), если А(х) = -1, ho = U(0)[Z(0) -Ai(0) -Я2(0)],если А(х) * -1. П.2. линейное уравнение второго порядка В работе [1,3] неоднократно упоминали, что решение уравнения

у" + а(х)у' + Ъ(х)у = f(x) (2.1)

зависит от решения нелинейного уравнения класса Риккати. В связи с этим, считается целесообразным, коротко еще раз продемонстрировать зависимость решения (2.1) от решения уравнения (1.1).

В (2.1) приняв, что

а(х) = 11 + 12, Ъ(х) = l[ + l1l2- (2.1)i

Относительно получим уравнение класса Риккати,

1[-11 + а1г-Ь = 0, (2.2)

являющегося частным случаем (1.1): А = -1; В = а(х); С = -Ь(х) и допускающего представление

1[-(11-А1)(11-А2) = 0,

где

причем,

л =

а(х) ± ^а(х)2 - 4Ь(х)

11(х) = <

/ Г

J^(Ä1-h0)dx | Ci(x) + I (Al -h0)Alg-io^i-bo^dx

(x \

C2(x) + J(h- h0)Ä2e-i^(Ä2~ho)dxdx

x|7o +

>(x) = eJo e u dx x

x|7o + J H2(x)e Jo e dxdx I,

H1(x) = j-*^ - h^e-Ü^-^^dx - Aie-foA*2dx,

H2(x) = e-Jo^i-^+hold* j*(Az - h0)!2eJ'oX(A2-fto)rf^dx - Ä2e-i^AX1dx^ Согласно (2.1)x уравнение (2.1) переходит к виду

(У'+ liy)' + l2(y' + hy) = f(x),

где

l2 = а(х) -

Следовательно,

у' + iiy = е" j 7i + I f(x)eJol2dxdx I = F(x).

И окончательно имеем:

y(x) = е"^* L+J F(x)eJo lldxdx J,

(2.3)

(2.4)

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-1/2016 ISSN 2410-700Х

где Ух и у2 - постоянные. (2.4) дает общее решение уравнения (2.1). Список использованной литературы:

1. Чочиев Т. З. Обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, LAP LAMBERT Academic Rubliching. Германия 2015, 157 с.

2. Чочиев. Т. З. О втором варианте исследования уравнения Риккати. XVII МНПК. Научные перспективы XXI века. Достижения и перспективы нового столетия. Россия г. Новосибирск, №II(18)/ 2015

3. Чочиев Т. З. Решение уравнения Риккати и его применение к линейным уравнениям второго порядка. // XII МНК, ЕНО Итоги науки в теории и практике 2015, ISSN 2411 - 1899. Москва с. 13-18

4. Чочиев. Т. З. О другом варианте исследования уравнения Риккати. ISSN 3385-8879 XVI МНПК. «Отечественная наука в эпоху изменении» // постулаты прошлого и теория нового времени. 7(12)/ 2015. Часть 3. с. 18-24. Екатеринбург.

© Чочиев Т. З., 2016

УДК 621.18

Шутов Владимир Сергеевич

аспирант, ИжГТУ им. М.Т. Калашникова, г. Ижевск

E-mail: [email protected] Варфоломеева Ольга Ивановна к.т.н, доцент, ИжГТУ им. М.Т. Калашникова, г. Ижевск

E-mail: [email protected]

К РАСЧЕТУ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТОПЛИВА В МАЗУТНЫХ ФОРСУНКАХ

Аннотация

В работе рассматриваются вопросы моделирования распыления и последующего горения топлива в мазутных форсунках.

Ключевые слова

Форсунка. Мазут. Энергосбережение. Энергоэффективность. Математическое моделирование.

В настоящее время одной из основных проблем, решаемых в России, является эффективность и рациональность использования энергетических ресурсов[1]. Энергетическая эффективность теплоисточников в первую очередь зависит от потерь, которые возникают при генерации теплоты. Объектом исследования данной работы является Конструкция форсунки и ее влияние на качество распыление мазута.

Целью данной работы является - разработать методику моделирования течения топлива в объеме форсунки, распылению струй в окружающей среде и последующему горению капель жидкости.

Течение топлива в проточных частях распылителей, последующего развития струй вне объема форсунки, их распад на капли, дальнейшее испарение капель являются сложными физическими процессами, включающими в себя множество различных физических эффектов. Исследование данных процессов экспериментальными методами представляет собой сложную техническую задачу. В этих условиях более предпочтительными представляются расчетные методы исследования. В связи с этим возникает проблема разработки целого комплекса математических моделей, описывающих указанные процессы.

Задачи исследования:

Первая. Провести анализ по данной проблематике и определить перспективные направления методов моделирования распыления и горения жидкого топлива.