Общее функционально-интегральное уравнение Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2007. - № 2(15). - С. 37-40. - ISSN 1991-8615

УДК 517.91

Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова

ОБЩЕЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА

Изучается однозначная разрешимость интегрального уравнения Вольтерра общего вида при заданном начальном условии. Доказывается теорема о существовании и единственности непрерывного решения уравнения, удовлетворяющего условию Липшица на рассматриваемом отрезке. При этом применяется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

В настоящей работе рассматривается нелинейное интегральное уравнение вида

P(t)

K(t, s)u (s) ds = f[t, u[u(t)]j, t e Ti, (1)

/

a(t )

с начальным условием

u(f) = g(t), t e Eb = [tD; ti], (*)

где K(t, s) e C(Tb2), b ^ K(t) = K(t, t), f(t, u[u(t)]) e C(Ti x X), Tb2 = To x To, Ti = [ti; T], To = [to; T], b < tb < T <ж, tb < ti, X — ограниченное в R, tb ^ a(t) < p(t) ^ T, a(t) и p(t) e C(Tb), a'(t) > b, (i'(t) > b, g(t) e C(Eb).

Для дальнейшего изложения сути данной работы примем следующие обозначения: C(D) — пространство непрерывных функций по всем аргументам в области D с R; Bnd(M — класс функций, ограниченных по норме числом M; Lip(L|u,v J — класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменным u, v, ... с коэффициентом L, а для функции одной переменной индекс будем опускать. В качестве нормы для произвольной непрерывной функции x(t) e X берём евклидову норму на числовой оси:

||х || =max{ |х (t)|: t e Ti}.

Изучаются существование и единственность решения уравнения (1) при начальном условии (*) на отрезке Ti. При этом применяется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. Здесь следует подчеркнуть, что решение u(t) e Xi уравнения (1) рассматривается в классе непрерывных функций, удовлетворяющих условию Липшица на отрезке Ti с коэффициентом L2, т. е.

| u(t) - u(s) | ^ L2|^(t, s)|.

Здесь Xi — ограниченное замкнутое множество.

Отметим, что общее интегральное уравнения Вольтерра впервые рассматривалось в работах [1-3]. Настоящая работа является дальнейшим развитием этих работ. Уравнение (1) запишем в виде

tt u(t) + J K(s)u(s) ds = -J [K(t, s) - K (s)] u(s) ds+fb(t, u), t e Ti, t0t0

где

f0(t, u) = J K(t, s)u(s)ds + J K(t, s)u(s)ds + u(t) + f|t, u[u(t)]j.

a(t) t

;+ J K (t, s )u (s ) ds + u (t ) + t m

Отсюда, используя резольвенту ядра [- K (s )], имеем t

u(t) = -J [K(t, s) -K(s)]u(s) ds+f0(t, u(t))+

to

t t + J K (s ) exp ( - y(t, s)) - f0(s, u (s)) +J [K (s, t) - K(r)]u(r) d t

ds, t e T1, (2)

t

f

где <(t, s) = I K(т) dт, <(t, t0) = <(t), <(ti) > 0.

Применяя к (2) формулу Дирихле, получаем

t

u(t) = JH(t, s)u(s)ds+f0[t, u(t))exp[-<p(t))+

to

t

+ JK(s)exp [-<(t, s)) fo[t, u(t)) - fo[s, u(s))

ds, t e Ti, (3)

где

t

H (t, s) = -[K (t, s) - K (s)] exp [ - <p(t, s)) -J K (т) exp [ - <(t, т))[К (t, s) - K (т, s)]d т.

Уравнения (1)-(3) являются эквивалентными.

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1) s) - K(n, t)| ^ Ь1Шр(т, п), т & п, 0 ^ Li(s);

2) f (т, u)e Bnd(M) n Lip{L3lu), 0 < M, L3 = const;

3) |<(t, s)\ s: L4|t - s0 s: L4 = const;

4) для всех te Ti справедлива оценка p(t) < i, т.е.

tt p = ^ IIL^s)!! ds + [i + Д1 + L3 + L2L3L4) exp [-<p(t)) +2 J ||K(s)|| exp [-<p(t, s))ds

t0 V t0

< i,

а(г) г

где А1= ^ \К(г, s)\\ds \\К{г, 0 ^ Ь2 = сопяг.

го т

Тогда уравнение (1) при начальном условии О) имеет единственное непрерывное решение и (г) е Х1г удовлетворяющее условию Липшица на отрезке Т1.

Доказательство. Используем метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. При этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом:

u0(t)= g(t) t e E0,

t

u0(t)= f(t,0)exp [ - <(t)) + J K(s)exp [ - <(t, s))[f(t,0) - f(s,0)]ds, t e Ti,

(4)

uk+i(t) = g(t), t e E0,

uk+i(t) = j H(t, s)uk (s)ds+f0 [t, uk (t)) exp [ - <(t))x

t0

t

xjK(s)exp [-<(t, s)) f)[t, uk(t)) - f)[s, uk(s))

С учётом второго условия теоремы из (4) получаем

(5)

ds, k = 0,i,2,..., t e Ti,

IIu0(t)| ^ Mexp [-<(t)) + Д0/ IIK(s)II exp [-<(t, s))ds,

t e Ti,

(6)

где Д0 = sup{|f (t,0) - f (s, 0)|: (t, s) e T.

Общее функционально-интегральное уравнение Вольтерра

В силу условий теоремы для произвольного неотрицательного целого числа к из (5) имеем

г

\ик+1(г) - ик(г)\\ Н(г, 5)|\\икМ - щ-^ц ds+

(1 + Д1) \\ик(г) - ик-1(г)\\ + Ьз\щ[ик(г)] - щ-1 [ик-1(г)\|| ехр(-р(г)

1 | а(5) 5

1\\Ш\\exp(-<<(г, (1+Д1) \\ик(г) - ик-1(г)\\ + \\К(5, т)Ыт + | \\К(5, т)Ыт

га У \ г0 рю

\ик(5) - Щ-1(5)\\ +

+Ьз

ик[щ(г)] - ик-1 [ик-1(г)\11 + \ик[ик(5)\-ик-1 [и^М]11 \ds, к = 0,1,2,..., г е Ть (7)

Так как в силу первого условия теоремы справедлива оценка

|Н(г, Ь 1(5) то из (7) получаем

г

р(г, 5) ехр (- р(г, 5)) К(т)<р(г, т)ехр (- р(г, т))dт

^ Ь1(г), г е Т1,

г

I ик+1(г) - ик (г) \\ ^ \\Ь 1(5) \\ ■ \\ ик (5) - Щ-1М \\ ds+

(1 + Д1+Ьз) \\ик (г) - щ-1(г)\\ + Ь 2Ьз<р{ ик (г), щ-1(г)) ехр( - р(г)

г

+21 \\К(5)\\ ехр (- р(г, 5))

г0

+Ь2Ьзр{ ик (г), ик-1(г)

В силу третьего условия теоремы из (8) имеем

(1 + Д1+ Ьз) \\ик(г) - ик-1(г)\\ +

ds, 0 ^ Ь2 = соп$г, к = 0,1,2,

\ик+1(г) - ик(г)\\ ^ р \\ик(г) - ик-1 (г)\, ге Т1.

., г е Т1. (8) (9)

Из четвёртого условия теоремы и оценок (6) и (9) следует, что оператор в правой части (3) является сжимающим. Следовательно, согласно принципу Шаудера о неподвижной точке существует единственное решение уравнения (1) с начальным условием (*) на отрезке Тъ □

Приведём два примера, где выполняются условия теоремы. В качестве первого примера рассмотрим уравнение

г /

1

п - а + 1 (г - г1)а п + 1 (5 - г1)а

и(5) ds =

(г1 - г0)2 п - а + 1 (г0 - г1)

+-—(г- г1)а

2а

п+1

2а

[1 - (г - г1)п + и(г)], г е Т1, 0 < а < 1, п ^ Т - г1 (10)

с начальным условием

и(г) = г - г1, г е Е0. Решение уравнения (10) при начальном условии (11) выглядит так:

(11)

и (г) = (г - г1)п.

Второй пример. Рассмотрим уравнение

г

^ г5и(5) ds = г|1 + ^/г4 - и[и(г)]|Ыг, ге [1, Т], Т <

,

+

+

+

+

х

х

которое при начальном условии

имеет следующее решение:

Это решение ограничено:

1

и(г) = г4, г е Е0 =

1

Т2;1

и(г) = ^, г е [1; Г].

-2 ^ и(г) ^ 1, г е [1, Г] и 1 ^ и(г) ^ Г4, г е Е0.

Г 2

Отсюда имеем, что

^ и(г) ^ Г4, г е Е0 и [1; Г].

Г 2

Следовательно, X = [Г,; Г4], а правая часть уравнения непрерывно по г и ограничено на отрезке [1; Г]:

о ^ г + г4 - и [ и (г )]| ^ Г.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Юлдашев, Т. К. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью [Текст] / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Сложш системи 1 процеси. — 2005. — № 1(7). — С. 3-5.

2. Юлдашев, Т. К. Случайные интегральные уравнения Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью [Текст] / Т.К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова / Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения: Материалы У-й международ. Ферган. конф. (Фергана, 10-12 мая 2005 г.). — Ташкент: ИМ АН РУзб, 2005. — С. 204-206.

3. Юлдашев, Т. К. Интегральные уравнение Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью и сложным отклонением [Текст] / Т.К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова / Геометрия в 0дессе—2005. Дифференц. геометрия и её приложения: Тез. международ. семинара (23-29 мая 2005 г.). —Одесса, 2005.—С. 112-113.

Кыргызская государственная юридическая академия, Ошский государственный университет г. Ош ^гзипЬау@гашЬ1ег. ги

Поступила 26.03.2007