Эволюционное интегральное уравнение Вольтерра с интегральными отклонениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.91

Т. К. ЮЛДАШЕВ, Ж. А. АРТЫКОВА

ЭВОЛЮЦИОННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ

Изучается разрешимость общего функционально-интегрального уравнения Вольтерра. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, метод последовательных рубежей.

Рассматривается интегральное уравнение вида

/?(0

| К, (Г, .5) и

-00

.V

г0

сЬ =

=/

/

Г, и(0,и

\

I

5, м0))£&

'о

\

. іеТ, (1)

/

с начальным

(2)

и конечным

м(0 = ^2(0» ^[Т;00) (3)

условиями, где К^,$) е С ((—оо;

О й Щ) = К№),

К2(М)еС(Г02), Т02 з70хГ0, 71-[г,;Г],

О<?0 <Г <со, 7; =[/,;Г], /„<?,,

/(Г,«(/),»9(О)еС(Г0 х ХхХ), X - ограниченное замкнутое множество в

й = К3(1,*,и)еС(Т„2хХ),

(0ес(-оо;*0], |/2(/)еС[Г;оо),

/?'(/)>о, /<,</?(/)< =О.

Отметим, что общие интегральные уравнения Вольтерра рассматривались нами в работах [1-4].

Изучается нелинейное эволюционное уравнение Вольтера с верхним переменным пределом интегрирования и интегральными отклонениями. С помощью метода последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений доказывается теорема о существовании и единственности решения уравнения (1) при начальном (2) и конечном (3) условий. Уравнения (1) запишем в виде

1 Г

м(5)- и

5

|А',(5,г)м(г)с/г

<к-

'о 03

- (/, *)у/{ 0)<& - (/, 5)^2 (5)£&

+

-00

/

т

+/

Г, «(/), и

\

I

(/,5, м(5-)) ¿/5

‘О

\

✓

, гє7;

или

+

(4)

где

3

|/:2(5,г)м(г)^г

¿у-

-у(0+/

ии(і\и

ч

/

1^3 (/,5, !/($))<&

Л

/

-00

Г

Используя резольвенту ядра [— АГ, (^)], из (4)

имеем

і

и{0 = - ]}£/ (/,5) - К, + /0 (Г, и)

+

<7

(5)

+

I

|£,0)ехр{-<р(М)}х

X

- /0 (5, и) + |[£, (5, Г) - Я, (г)]м(г)Лг [¿/5, / Є Г,,

'О

I

где (рО,Б)= ^(гУг, р(Г,/0) = р(0.

А'

«>(/,) *0.

Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова, 2006

Применяя к (5) формулу Дирихле, получаем

I

u(t) = |Н(/, s)u(s)ds + f0 (/, и) exp{— (p{t)}

+

'a

+

J^7(5)exp{-^(/,5)}x

'0

x[/o(^w)-/0(5,w)]i/j:, /e7],

H (t,s) = ~[K{ (t, s) - Kx (J)]exp{- (pit, s)} -/

- Ja:, (r) exp{- <p(t, t)} • [к} (Г, 5) - (r, Jf)]if г.

5

Задача (l)-(3) эквивалентна уравнению (6). Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

1. iK^r.s)-K^T],t)\<L^{s)(p(j,-q), 0 < L,(5);

2. /(/, W, ,9) e JW(M) П ; ¿40 ),

0 < M,L3, Li - постоянные;

3. \<p(t, i*)| - Ц t ~ s , 0 < L5 = const;

4 .K2(t9s,u)eLip(L6(t,s\);

5. /? < 1,

r

P = JllACOlH* + [\ + Ц+Ь4 +A2(2 + L2LiAy) + A]L2L4Li\x

f

exp{- <p{tj\ + 21| a:, (i II exp{- (p{t, s)}di

\

4

'0

I I

A, = J||l6(/,j)||ife, A2 = j|Kx(f, 5)||л,

rt>

*0

+

I

A3 = j||JC2 (/, s)jds, 0 <L2= const.

*0

Тогда уравнение (1) при условиях (2) и (3) имеет единственное решение в классе С(Т0;Х).

Доказательство. Итерационный процесс Пикара для уравнения (6) определим следующим образом:

«о (О = /(г,0,0)ехр{-¥>(()}+

t

fe(i)exp{-^i)H/ft0,0)-/(5,0,(ф, re7; (7)

I

uM(t) = \u(t,s)uk(s)ds+f0(t,uk(t))exp{-<p(t)}

+

‘0

+

I

JX Cs)exp{- (p{t,s)\• [fo(t,Uk (0) ~ f0(S9Uk (s))]&,

'0

k = 0,1,2,..., t eT,

(8)

В силу второго условия теоремы для нулевого приближения и0(/) из (7) получим

К(0||^Мехр {-<?(/)}

+

+

(

А0 j£^s)exp{-^(/,s)}<&, / е г/

(9)

о

(6) где А0 = sup||/(f,0,0)-/(s,0,0)|:(/,s)e7;2}.

Используем первые два условия теоремы. Тогда для произвольного натурального к из (8) получаем

I

иы (О - И1 (Oil ^ ||H(r, i)|| • II«,- (5) - икА (s)||cfe

+

'о

+

/

«1 (0 - и« (0|| +

'О

/

\

У

ds+

+ (Z,3 + Д, )||мА (Г) - М*_, (Г )||

+

+ L2L4(p

\

l I

\К3 (/, 5, uk (s))ds; ^К3 (/, 5, w*_y 0))<&

V*

‘о

/

> х

I

хехр{-<?(/)}+2] Щ(/)-иы(0|| + ||^2(м)

X

'о

2|К(-5)-«мИ|+^^

Л J

j A%(j, r)wt.(r)i/r;J r)M*.,(r)rfr

У

+ (I3 + ¿4 ) |m4 (/) - Uk_\ (t)||

+

“Ь

/

\

I I

jX (*’s»uk (s))ds; (t, s, w*_, (5))Л

ч'о

>X

/

X

AT, (i)|| exp{- ^>(r, 5)}^, / e 7^

'0

или, используя третье условие теоремы, получаем

/

«4*1 (0 - uk (0! ^ J||H(M)|<fc • IK (о - «И (О

+

'о

+

I

(0 - “и (0|| + ||^2(r,i)||ifex

(0

г

2|К (0 - "ы (Oil+hk Л1^2 (г, i)[- IK (*) ■- »*-, (ф

+

+ (Z/3 + Z4 )||ик (0 (i)||

+

+ Z2I4I5 J||^3 (/, J,щ (s)) - K3(r, 5, MA._, (5)) ||ife I X

r0

х|ехр{-$£>(/)}+ 2/11^1 (¿)||ехр{-р(/,*)}<&|, /еГ, (10)

После применения четвертого условия теоремы к (10) мы придём к следующей оценке

К«| )_ “* М1 2 р||ы, (г) - (/)||, г е г; (11)

В силу последнего условия теоремы из (9) и (11) следует, что оператор в правой части (6) являются сжимающим. Следовательно, существует единственное решение уравнения (1) при начальном (2) и конечном (3) условиях на отрезке. .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юлдашев, Т. К. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Сложш системи I процеси. - 2005. - №1. - Запорожье : Зигмунд, 2005 - С. 3-5.

2. Юлдашев, Т. К. Случайные интегральные уравнения Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Материалы У-й междунар. Ферганской конф. «Предельные теоремы теории вероятностей и их

УДК 548.0

приложения» (Фергана, 10-12 мая 2005 г.). -Ташкент : ИМ АН РУзб., 2005. - С. 204-206.

3. Юлдашев, Т. К. Интегральные уравнение Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью и сложным отклонением / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Тезисы междунар. семинара «Геометрия в Одессе - 2005. Дифференц. геометрия и ее приложения» (23-29 мая 2005 г.). -Одесса, 2005.-С. 112-113.

4. Юлдашев, Т. К. Нелинейное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра с нелинейными запаздываниями / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Тезисы докл. науч. конф. «Актуальные проблемы дифференц. уравнений и мат. физики». - Алматы : КазНУ, 2005. (10-11 ноября 2005 г.) -С. 221.

Юлдашев Турсун Камалдинович, кандидат физико-математических наук, доцент Кыргызской государственной юридической академии. Артыкова Жылдыз Абдисаламовна, преподаватель кафедры информатики физико-математического факультета ОшГУ.

О. В. МАКЕЕВ

СТРУКТУРА ПОДГРУПП ГРУППОВОЙ СИММЕТРИИ КЛАССА В3 РОМБОЭДРИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ

Рассмотрено построение и исследование систем разветвления (уравнение разветвления = УР) с симметриями подгрупп кристаллографических групп. Здесь осуществляется первый шаг - построение структуры подгрупп кристаллографической группы на возможно более простом примере группы £>3 (по Шёнфлису) ромбоэдрической сингонии [1-4].

Ключевые слова: ромбоэдрическая сингония.

Опишем установку соответствующей кристаллической решётки в плоскости хОу. Указанной группе соответствует решётка с единичными смещениями йг, =/х и а2 = tv вдоль поворотных осей второго порядка Ох и Оу, образующих угол раствора 2/г/З . По теореме Эйлера [3] на плоскости хОу существует третья ось и второго порядка, образующая углы 2;г/3 с осями Ох и Оу. Единичное смещение аг, вообще

© О. В. Макеев, 2006

говоря, другого масштаба, согласующееся с базисными смещениями «! и а2 соотношением [2]

я3 - — (а, -й2)1в11в2> определяет смещение 3

/2 =Зв3 -(а, -я2), принадлежащее решётке (в

[21 опечатка: вместо — поставлена —). Отметим,

3 2

что вектор не принадлежит решётке. В международной символике [5] этой кристаллографической группе отвечает группа вращений -