Обратная задача для квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 3 (32). С. 46—55

УДК 517.956.47

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Т. К. Юлдашев, А. И. Середкина

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М. Ф. Решетнева, Россия, 660014, Красноярск, пр. газеты имени «Красноярский рабочий», 31.

E-mails: [email protected], [email protected]

Предлагается методика изучения обратной задачи для некоторых классов квазилинейных уравнений в частных производных высокого порядка. Доказывается теорема о существовании и единственности решения данной обратной задачи.

Ключевые слова: обратная задача, квазилинейное уравнение в частных производных, суперпозиция дифференциальных операторов, метод характеристик, существование и единственность решения.

1. Постановка задачи. С точки зрения физических приложений представляют большой интерес дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков.

Локальная теория дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, основанная на понятиях производной по направлению и характеристик, начала формироваться еще в XVIII веке. Характеристики замечательны тем, что выражения в левой части уравнений в частных производных первого порядка представляют собой производную неизвестной функции по направлению вдоль характеристики. Это позволяет, перейдя к новой переменной, представить уравнение в частных производных первого порядка как обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее изменение неизвестной функции вдоль линии характеристики.

Основная идея, на которой основан развиваемый в статье подход, состоит в том, что выражение уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволяет применять методы решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

В области В = Вт х М рассматривается нелинейное уравнение вида

n

с начальными

(Jt> - дХ) Lo[u(t, x)] = f (t, x, 0(t)) (1)

diu(t, x)

dti

u(t,x)\t=o = ¥i(x), ——i— = <£i+i(x), x e R, i = 1,2n, (2)

t=o

Турсун Камалдинович Юлдашев (к.ф.-м.н., доц.), докторант, доцент, каф. высшей математики. Анна Игоревна Середкина, магистрант, инженер, каф. высшей математики.

и дополнительными

Р(Ь,8)и(8,х)б,8 = 0(Ь), Ь € БТ,

х=хо

$(£)|4=0 = Що = const

(3)

(4)

условиями, где

То[и(Ь,х)] = щ + аих, а = а(^Ь,х, J ^ К (8,у)и(8,у)йуй^;

■0(0) = 0; и(Ь, х) и §(Ь) — неизвестные функции; /(Ь, х, §) € С(БхБТ); Р(Ь, 8) € С (БТ); а(Ь,х,и) € С2п> 2п(Б х М); К(Ь,х) € С (Б); щ (х) € С 2п+2(м), г = = 1, 2п + 1; 0(Ь) € С (Бт); Бт = [0, Т], 0 <Т < те; п — произвольное натуральное число.

Изучению разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество работ. Библиографию многих публикаций, посвященных теории линейных обратных задач, можно найти в [1—3]. В настоящей работе изучается обратная задача, где восстанавливаемая функция §(Ь) нелинейно входит в уравнение. При решении обратной задачи (1)—(4) относительно восстанавливаемой функции получается нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое с помощью неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению второго рода. Задание условия (4) при преобразовании обеспечивает единственность решения нелинейного интегрального уравнения первого рода и определяет значение неизвестной функции в начальной точке Ь = 0, т. е. §(0) = що. Обратные задачи для квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка ранее рассматривались в работах [4,5].

Определение. Решением обратной задачи (1)-(4) называется пара непрерывных функций {и(Ь,х) € С2п+1'2п+1 (Б), §(Ь) € С(Бт)}, удовлетворяющая уравнению (1) и условиям (2)-(4).

2. Задача Коши (1), (2). Левую часть уравнения (1) запишем в виде

\оь2

т- г 1 ( д д \п/ д д \

дх/

п / д д \п т г 1

д + дх) £о[и] =

тп Т2

тп [То [и]]

где

т2

тп[тс[и]] = (тп[тс[и]])4- (тп[тс[и]^х , Т1[То[и]] = (То[и])4 + (Т[и])3

Тогда уравнение (1) приобретает вид

Тп [То [и]] = /(Ь,х,§(Ь)).

(5)

Из (5) видно, что уравнение (1) имеет одну однократную характеристику:

х — а(,в,х, / К (6,у)и(в,у)йуйв\й8 = С1; ./о V ^о У-оо )

г

о

две п-кратные характеристики:

х — £ = С2, х + £ = С3,

где Сг — произвольные постоянные, г = 1, 2, 3.

Тогда, интегрируя уравнения (5) п раз вдоль линии третьей характеристики, получаем

¿2

. г

п— 1

¿2

¿П [¿сМ] =Ф1(х + *)+/ /(8,х,$(8))й8, (6)

-1 ./с

г

п-2

¿п[£сМ] =Ф2(х + £) + Ф1(х + + / (£ — 8)/(в,х,0(в))йв, (7)

с

п 4-п-г /-г (£ _ ч)п-1

¿П [¿с[и]] =ЕФг(х + *)(—^ + / ((п —)1)! / (8)

где Фг(х), г = 1,п — произвольные непрерывные функции, которые подлежат дальнейшему определению.

Из (6) в силу начального условия (2) имеем Ф1(х) = ^>2п+1. Так как вдоль третьей характеристики (х + £ = Сз)

«= +ЭД | = (¿п^си), — («Пси),

^ [¿с И ( д д )п [Т ] —Жп— = 1 д£ — дх/ , (9)

в силу условия (2) из (7) и (8) имеем

Ф2(х) = ^2п(х), . . . , Фп(х) = ^п+2(х).

Тогда уравнение (8) приобретает следующий вид интегро-дифференци-ального уравнения:

п +г—1 г г (£ _ е)п-1

^сМ] = £ ^п+г+1 (х + + ^ ((п—)1)! / (10)

Аналогично, интегрируя уравнения (10) п раз вдоль второй характеристики, получаем

А С г ^-1

¿п 1 [¿сМ] = фп+2(х — + Уо ^п+^-+1(х + ^ (^ — 1)! ^ +

+ /г /(11) с п!

VI-2 [ТсМ] = Фга+э(ж - ¿) + Фп+2(х - *)*+

+ - + ^ + / +>1+ f (8,х,<&(8))с1з, (12)

Юо[и] = ^+£ I (уг — Г)! ^+1(х+8) (Т^^8+

/• * а _ о)2™-1

+ У ((2П-Г! f (8,х,$(8))ё8, (13)

где Ф%(х), г = п + Г, 2п — произвольные непрерывные функции, которые подлежат дальнейшему определению.

Из (11) в силу начального условия (2) имеем Фп+1(х) = ^п+1(х). Вдоль третьей характеристики справедливо (9). А вдоль второй характеристики имеем

йЬ0[и] дЬо[п] дЬо[п] дх ( г л (

~лт = + ~-хтдх = Ни0* + И' /х

^п- + -хх) Ыи]- (14)

Тогда в силу (2) из (12) и (13) получаем

Фп+2 (х) = ^п(х), ..., Ф2п(х) = ^2 (х).

Отсюда имеем следующее квазилинейное интегро-дифференциальное уравнение:

ЬаЫ = ^ <рг+1(х - ^ + ^ ^ (п^Г)! ^п+^-+1(х + 8)(—1у^а8+

Г * (£ _ 8) 2п 1

+ 1 ( (2п — Г! f (8,х,0(8))Л8. (15)

Интегрируя (15) один раз вдоль линии первой характеристики, с учётом начального условия (2) получаем нелинейное интегральное уравнение Воль-терра (см. [4,5]):

и(£, х) = ©1(£, х; и, $) = ^ ^х — J а(в,х, J ^ К(в,у)и(в,у)йуйв^й^ +

^ ^ ^ (£ - 8)п-1 \ -1 ,

+ ^ <^+1(х - - + ^ (п - Г)! ^п+-+1(х + 8)(Т-¿8 +

%—1 ^—1

rt (t _ „)2п

+ Уо ^^урf(s,x,V(s))ds, (16)

где x играет роль параметра. Функция

^ (x ~J a{s,x,j j K(e,y)u(d,y)dydf^jds

является первым интегралом уравнения ut + aux = 0 и она постоянна вдоль решения этого уравнения. Производные этой функции вдоль первой характеристики равны нулю и сама функция удовлетворяет данному уравнению.

В (16) также отметим, что функции p2(x — t),p^(x — t),..., pn+i(x — t) являются первыми интегралами уравнения (Jt + JX) u(t,x) = 0 и они постоянны вдоль решения этого уравнения. Производные этих функций вдоль второй характеристики равны нулю и сами эти функции удовлетворяют данному уравнению.

А функции pn+2(x + t), pn+3(x + t),..., p2n+1(x + t) являются первыми интегралами уравнения

d d yn . . ai— Ш u(t,x) = 0

и они постоянны вдоль решения этого уравнения. Вдоль третьей характеристики эти функции удовлетворяют данному уравнению.

Исходя из этих соображений покажем, что интегральное уравнение (16) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (1). Путём (2n + 1)-кратного дифференцирования из (16) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

d2n^x) = f (t,x,m), (17)

где x играет роль параметра.

Так как вдоль третьей характеристики справедливо (9), а вдоль второй характеристики — (14), имеем

ч^иш = , а — a у, а + a ynLo[u] = (* — £Г(

22

o[ul = тгттт — -гт-* Ы + au

dt2n+1 \dt dx) \dt dx) \dt2 dx2)

x

Отсюда заключаем, что из обыкновенного дифференциального уравнения (17) следует диффференциальное уравнение в частных производных (1).

3. Уравнение для восстанавливаемой функции. Используя условие (4), из (16) получаем

ф(£) = a(t)p1^x0 — J a(s,x0, j J K(0,y)u(0,y)dyd0^ds^ +

ft I v^ si v^ sn+j \

+ P(t,s) IX/ Pi+i(xo — t) Tf^X Pn+j+1 (x0 + t) (n + j), I ds+

/o \ 7=1 i! j=i (n +j)!

г* (. „)2п+1 г*

+ ]0 Р(£,8)((2п^Г)! f(8,хо,#(8)№, а(*)= I Р(£,8)^

(2п + Г)!

или

/ Л,(£,8,$(8))^8 = д(£)-./0

Г* , /-Т /-оо

- а(£)^^х0 — J а(^з,х0, ^ J К(в,у)и(в,у)йуйв^й^ , (18)

/о х ■J0 .1-

где

(£ _ „)2п+1

Н(1, 8, в(8)) = Р(I, 8) ((2п + Г)! f (8, х0, #(8)),

¡' * /х^ 8% 8п+^ Ч

д(£) = 0СО - у Р& 8) ^%+1(х0 - ^ + 2-/ ^п+]+1(х0 + (п + Т)!у) ^

Относительно восстанавливаемой функции #(£) уравнение (18) является нелинейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода. Его с помощью классических методов невозможно свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, к которому мы могли бы применять метод последовательных приближений. Уравнение (18) запишем в виде [6]

#(£)+ / С(8)#(8)й8 = #(£)+ д(г)-

Jо

- х0 — J а(в,х0, ^ J К(в,у)и(в,у)йуйв^й^ +

+ / [с(8)#(8) - Н(г,8,#(8))\й8, (19) 0

где 0 < С(Ь) — произвольная функция такая, что

ехр{-^ С(8)^} < Г.

Применяя к (19) метод резольвенты ядра [-С(8)], получаем

г* , гт гоо Л \

+

/0 х J0 ^ — с

\ Г*

+

#(£) = #(£)+ д(£) - а(%1 ^ - ^ а(8,х0, ^ ^ К(0,у)и(е,у)йуйе^й8^ С(8)#(8) - Ь(£,8,#(8)) ^8 - ^ С(8)ехр|-^(£,8)}{#(8) + д(8)-- а(8)^^х0 - J а(о,х0, J ^ К(^,у)и(^,у)йуй^й(^ +

С(вЩв) - Ь(8,в,#(в))} (Ю\(18, (20)

где

p(t,s)= í G(9)d9, ¡j,(t, 0) = ¡j,(t).

J s

После несложных преобразований из (20) имеем

§(t) = @2(t; u,#) = {$(t) + g(t)-

rt , r T roo

+

— a(t)pi(^x0 — J a(s,xo, j J K(9,y)u(9,y)dyd9^jd^j +

+ jí G(s)&(s) — h(t,s,tf(s)) ds| ^(t)} + + jít G(s) exp{—»(t, s)} {g(t) — g(s) + Щ) — $(s) —

— a(t)p>i(^xx0 — J a(s,x0, J j K(9,y)u(9,y)dyd9jd^j + + a(s)pi(^xo — J a(o,xo, J j K(£,y)u(£,y)dyd£jd9^ + G(s)d(s) — h(t,s,d(s))]ds — í \g(9)$(9) — h(s,9,d(9))]d9\ds. (21)

/0

Уравнение (18) при начальном условии (4) эквивалентно уравнению (21). 4. Разрешимость обратной задачи (1)-(4). Итак, мы получаем, что разрешимость обратной задачи (1)—(4) эквивалентна разрешимости следующей системы нелинейных интегральных уравнений:

(и(г,х) = &1(г,х; п,-&),

= @2(1; и,<&), ( )

где х играет роль параметра.

Для произвольной непрерывной в области В функции Ь(Ь, х) норму вводим следующим образом:

||Ш,х)|| = тах |Ш,х)|, (г,х)ео

где х играет роль параметра. Аналогично вводится норма для функции одной переменной.

Теорема. Пусть выполняются следующие условия:

2п+1 т г

1) Ых)| < Мг, 0 < X мг~Г < До < ТО

г=1 г-

2) f (1,х,-д) е Ви<1(Мо(г)) П

гТ (т _ 8)2п

3) 0 < у 1 \ Мо(зУ1з < Д1 < то;

t

0

[Т (Т_ 8)2п

4) 0 < у 1 (2п)! Ьо(в)с1в < Д2 < те;

5) ф\(х) € Ыр^^}, 0 < Ь1 < те;

6) а(г,х,г) € Ыр^^},

/•Т /-Т /*оо

Ь1

/о

7) р < 1, где р = тах{/?1; ^2}, ^2 = шах{Дз; ||а(г)||АзМо},

ГТ

^и+у + нр(г,в)н2П+21

гъ

ТТ

0 < ^ Ь2(г) / К(в,у)йуй8<И ^ А3 < те;

./о ./о У-оо

р < 1, где р = тах{/31; в2}, в2 = тах{А3; ||а(г)ПА.

А = та^А2^1^ ПОДП^ + ||Р(г,в)||Мо

Мо = тах<ехр{ — ^(г)} + 2 С(в)ехр{ —^(Ь,в )} < 1. ¿е-От [ 7о J

/о

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет единственное 'решение в области Б.

Доказательство. Воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс:

|«о(г,х) = 0, и+^х) = ©1(г,х;ик,§к), (23)

\^о(г) = о, #к+1(г) = ©2(г;ик,#к), к = 0,1,2,..., ( )

где х играет роль параметра. Тогда в силу условий теоремы из (23) получаем, что справедливы следующие оценки:

2п+1 +г ГЪ и с\2п

2п 11 гг л (г — в)2п

Ци1(1,х) — ио(г,х)| < V Мг- + / — Мо(в)йв < Ао + А1; (24)

г=1 г! Jо (2п)!

||ик+1(г,х) — ик (г, х) | ^

Л гТ /*оо

гъ Г1 гоо

< Ь1 Ь2(з) / К(д,у)Цик (в,у) — ик-1(в,у)Цйуйвйз+

¿о Jо ¿-оо

гъ (г - *)2п

+ 1 Ьо (в) — Як-1(8)Ц<18 <

< Аз|ик(г,х) — ик-1(г,х)| +А2|^к(г) — #к-1(г)||; (25)

|01(г) — 0о(г)|| < (||д(г)|| + ||а(г)||М1 + ^* ||Ь(г, в, 0,0)||<^ |ехр{—^(г)}+ + 2^ с(в)ехр{—||д(г)|| + ||а(г)||М1 + ^ ||Ь(г,в,0,0)||<^<в| <

< (шП + ||а(г)|М1 + £ Щт,з, 0,0)||<^Мо, (2б)

Мо = так ехр{ —р,(г)} + 2 С(в)ехр{ —р,(г,в ^ <4 < 1; У Уо )

||0fc+i(i) - (t)ll <

ft rT roo

< Ha(t)HM0Li L2(s) / K(0,y)Huk(9,y) - uk-i(9,y)ldyd9ds+ J 0 J 0 J-oo

( ft fT (T - s)2n+1 1

+ {l + Jo IIG(s)llds + ^ llP(t,s)ll( + Lo(s)dsjMo UMt) - #k-i(t)U <

^ lla(t)lДэ^ик(t,x) - uk-i(t,x)ll + + {-! + £ llG(t)lldt + HP(t, s)l^Др}Moltfk(t) - #k-i(t)ll. (27) Примем следующие обозначения:

ei = + £ llG(t)lldt + Hp(t,s)l Mo

= тах{Дэ; lla(t)l^Mo}, p = m-ax{ ft; ft}.

Тогда из (25) и (27) имеем

llUk+i(t,x) - Uk(t,x)ll < pHUk(t,x) - Uk-i(t,x)ll, (28)

где HUk(t,x) - Uk-i(t,x)ll = lU(t,x) - uk-i(t,x)l + ll#k(t) - •&k-i(t)ll.

Из оценок (24), (26) и (28) следует, что операторы в правой части системы (22) являются сжимающими. Следовательно, обратная задача (1)—(4) имеет единственное решение в области D. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 285 с. [A. M. Denisov, Introduction to the theory of inverse problem. Moscow: Lomonosov Moscow State University, 1994. 285 pp.]

2. В. Г. Романов, Обратные задачи для математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с. [V. G. Romanov, Inverse problem for mathematical physics. Moscow: Nauka, 1984. 264 pp.]

3. М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев, Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1999. 330 с. [M. M. Lavrent'ev, L. Ya. Savel'ev, Linear operators and ill-posed problems. Moscow: Naukaa, 1999. 330 pp.]

4. Т. К. Юлдашев, "Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка"// Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2012. №2. С. 56-62. [T. K. Yuldashev, "On the inverse problem for the quasilinear partial differential equation of the first order" // Vestn. Tomsk. Gos. Univ. Mat. Mekh., 2012. no. 2. Pp. 56-62].

5. Т. К. Юлдашев, "Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка" // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика, 2012. Т. 6, №11(270). С. 35-41. [T. K. Yuldashev, "On the inverse problem for a system of quasi-linear partial differential equations of the first order" // Vestn. YuUrGU. Ser. Matematika. Mekhanika. Fizika, 2012. Vol.6, no. 11(270). Pp. 35-41].

6. Т. К. Юлдашев, "Неявное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейным интегральным отклонением" // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. №2(19). С. 38-44. [T. K. Yuldashev, "Nonexplicit evolution Volterra integral equation of the first kind with nonlinear integral delay" // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2009. no. 2(19). Pp. 38-44].

Поступила в редакцию 06/XI/2012; в окончательном варианте — 14/III/2013.

MSC: 35K70, 35R30

INVERSE PROBLEM FOR QUAZILINEAR PARTIAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF HIGHER ORDER

T. K. Yuldashev, A. I. Seredkina

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University,

31, pr. "Krasnoyarski Rabochiy", Krasnoyarsk, 660014, Russia.

E-mails: [email protected], [email protected]

A method of studying an inverse problem for the some classes of quasilinear partial integro-differential equation of the higher order is proposed. A theorem on the existence and uniqueness of the solution of this problem is proved..

Key words: inverse problem, quasilinear equation, superposition of differential operator, characteristics method, existence and uniqueness of the solution.

Original article submitted 06/XI/2012; revision submitted 14/III/2013.

Tursun K. Yuldashev (Ph.D. Phys. & Math.), Doctoral Candidate, Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics. Ann I. Seredkina,, Graduate Student, Ingineer, Dept. of Higher Mathematics.