CC BY
23
УДК 517.95
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
© 2013 Т.К. Юлдашев1
В данной работе предлагается методика изучения обратной задачи для нелинейного уравнения в частных производных третьего порядка. Доказывается теорема о существовании и единственности решения данной обратной задачи.
Ключевые слова: обратная задача, нелинейное интегродифференциальное уравнение, суперпозиция дифференциальных операторов, нелинейный метод характеристик, существование и единственность решения.
Введение
Выражение уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволяет применять методы решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Локальная теория дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, основанная на понятиях производной по направлению и характеристик, началась формироваться еще в XVIII веке. Характеристики замечательны тем, что выражения в левой части уравнений в частных производных первого порядка представляют собой производную неизвестной функции вдоль характеристики. Это позволяет, перейдя к новой переменной, представить уравнение в частных производных как обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее изменение неизвестной функции вдоль линии характеристик.
В области б = Бт х К рассматривается нелинейное уравнение вида
X Ь, X,
! J К2(в,у)и(з,у)йуйз
0 -то
Т
р(Ь)и(Ь, х) + ](Ь, х, и(Ь, х))
(1)
хЮлдашев Турсун Камалдинович ([email protected]), кафедра высшей математики Сибирского государственного аэрокосмического университета, 660014, Российская Федерация, г. Красноярск, пр. им. газеты "Красноярский рабочий", 31.
с начальными условиями
д1
7-, I Т* 1 -
dtк
д кu(t, х)
u(t, x)\t=o = ф\(х), —--к— = <fk+i(x), х €К,к = 1, 2 (2)
t=0
и дополнительным условием
u(t,x)\x=x0 = ф(t), (3)
где f (t,x,u) € C(D x К), ф,(х) € C(К), i = 1,3, ф(t) e C3(DT), ф(0) = 0, p(t),
( T + с \
u(t,x) — неизвестные функции, a = a t,x,f J K2(s,y)u(s,y)dyds € C'2''2(D x
у о -с у
T + сс
x К), 0 < f f К, (s, y) dyds < то, i = 1, 2, DT = [0, T], 0 <T < то.
0 -с
Определение 1. Решением обратной задачи (1)-(3) называется пара функций {u(t,x) € C3'3(D), p(t) e C(D)}, удовлетворяющая уравнению (1) и условиям (2)
и (3).
Следует отметить, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящены много работ, и при этом применены разные методы [1-6]. Изучению разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество работ. Библиографию многих публикаций, посвященных теории линейных обратных задач, можно найти в [7-9]. В настоящей работе воспользуемся методом характеристик интегрирования нелинейных уравнений в частных производных [10; 11].
1. Задача Коши (1), (2)
Левую часть уравнения (1) запишем в виде суперпозиции трех дифференциальных операторов первого порядка
( 2 / т +то \ 2 2
- (/ / К1(з,У)и(з,У)^\ 1 х
\ \0 -то /
(т то \ д
11 К^'У^и^'У)^^1 I и(г,х)
0 -то
т +то \ / т +то
— - I ! К1 {8,у)и{з,у)йуй8— I х \ ~о1 + / / К1(8,У)и(8,У)ЛУ^дХ 1 х
0 -то 0 -то
х + а ! ! К2(s,y)u(s,y)dyds| д^Х1 и(Ь,х)= А[В^[и]]],
Т + то
где А[В[Ь[и]]] = (В[Ь[и]]\-/ / К1(8,у)и(8,у^8(В[Ь[и]])х, В[Ь[и]] = (Ь[и])г +
0 -то
Т + то
+ / / Kl(s,y)u(s,y)dyds(L[u])x, Ь[и] = щ + / К2(
0 -то
( t + с \
[t,x,J / K2(s,y)ud,yd,s\
0 -с
Тогда уравнение (1) приобретает вид:
А[Б[ь[и]]] = р(г)и(г,х) + / (г,х,и(г,х)).
(4)
Из (4) видно, что уравнение (1) имеет три характеристики: 1) х +
т + то т + то
+ / К1 (з,у)и(з,у)йуйз = С-1; 2) х - / К!(з,у)и(з,у)йуйз = С2; 3) х -
0 -то
0 -то
г / т + то \
/ а з, х, / / К2(0,у)и(в,у)йуйв ¿з = С3, где С,
0 0 -то
произвольные постоянные,
г = 1, 3.
Тогда, интегрируя уравнения (4) вдоль линии первой характеристики, получаем
Б[Ь[и(г,х)]\ = Ф1 (х + ^ ! Kl(з,y)u(з,y)dydз | +
0
г
+ ! р(з)и(з,х) + /(з,х,и(з,х)) ¿з,
(5)
где Ф1(х) — произвольная непрерывная функция. Из (5), в силу (2), имеем Ф1(х) = фз(х).
Тогда интегродифференциальное уравнение (5) приобретает вид:
Т +то
Б[Ь[и(г,х)]] = фз (х + J Kl(з,y)u(з,y)dydз 1 +
0 -то
+
р(з)и(з, х) + /(з,х,и(з,х))
¿з.
(6)
Интегрируя интегродифференциальное уравнение (6) вдоль линии второй характеристики, получаем
Т +то
Ь[и(г,х)] = Ф2 (х - ¿У У Kl(з,y)u(з,y)dydз 1 +
0 -то Т +то
+ У фз (х + з ! J К1 (в,y)u(в,y)dydв| ¿з+
0 -то
+ (г — з) р(з)и(з,х) + /(з,х,и(з,х))
dз,
(7)
где Ф2(х) — произвольная непрерывная функция. Из (7), в силу (2), следует Ф2(х) = ф2(х). Тогда интегродифференциальное уравнение (7) приобретает вид:
Т +то
Ь[и(г,х)] = ф2 ( х - г ! J Kl(з,y)u(з,y)dydз 1 +
0 -то
г
Т +оо
+ У фз (х + з ! J Kl(в,y)u(в,y)dydв| ¿з+
0 -то
+ (г - з) р(з)и(з,х)+ /(з,х,и(з,х))
¿з.
(8)
Интегрируя интегродифференциальное уравнение (8) вдоль линии третьей характеристики, получаем
Т +оо
и(г, х) = Фз ( х - J а ( з,х, ^ J ^ (в, у)и(в, y)dydв | ¿з | +
\ 0 \ 0 -то )
г / Т +то \
+ ^ ф2 (х - з ! J Kl(в,y)u(в,y)dydв| ¿з+
0 0 -то
г / Т +то \
+ ! (г - з)фз (х + з! J Kl(в, у)и(в, y)dydв | ¿з+
0 -то
+
(г - з)2
р(з)и(з, х) + /(з,х,и(з,х))
¿з,
(9)
где Фз(х) — произвольная непрерывная функция. Из (9), в силу (2), следует Ф3 (х) = ф1(х). Тогда интегральное уравнение (9) приобретает вид:
1(г,х) = ф1 (х - J а(^з,х^ J K2(в,y)u(в,y)dydв^Jdз
0 0 -то
г / Т +то \
+ У ф2 (х - з ! J Kl(в,y)u(в,y)dydв| ¿з+
0 0 -то
г / Т +то \
+ ! (г - з)фз (х + з! J Kl(в,y)u(в,y)dydв| ¿з+
+
0 -то
+
(г - з)2
р(з)и(з, х) + /(з,х,и(з,х))
¿з.
(10)
Интегральное уравнение (10) и задача Коши (1), (2) являются эквивалентны-
( Т + то \
ми. Действительно, так как функция фз х + г/ / Kl(з,y)u(з,y)dydз является
0
8В\Ь
первым интегралом уравнения -д~г——I I Kl(з,y)u(з,y)dydз
[¿м]
8В\Ь
[Ь[ь
0, то
0 -то
она постоянно вдоль линии первой характеристики, и ее производные равны нулю.
( Т + то \
Так как функция ф2 х - г § / Kl(з,y)u(з,y)dydз является первым интегралом
0 -то
г
г
г
г
х
Т + то
уравнения д +/ / К1 (s,y)u(s,y)dyds д] =0, то она постоянно вдоль линии
0 -то
второй характеристики, и ее производные равны нулю.
/ г ( т + то
Также отметим, что функция ф1 х — / / К2 (В,у)щ(В,у)!у!В ds
00
)
я I т + то ,
является первым интегралом уравнения +а Ь, х, / / K2(s,y)u(s,y)dyds -^х =
\ 0 -то . = 0, она постоянно вдоль линии третьей характеристики, и ее производные равны
нулю. Поэтому, дифференцируя уравнения (10) три раза вдоль линии соответствующих характеристик, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
d 3и
= I (ь,х,и), (11)
где х играет роль параметра.
Если учтем, что вдоль линии характеристик уравнения (1) справедливо соотношение
d3 и г1 г1 г1и ( д д dx\/ д д dx\/ д д dx \
dt3 ААА \ — Ь + — хаУ^Ь + дxdt)\дt + дх АГ
т +то \ / т +то
— ! Kl(s,y)u(s,y)dydsддx I х \ — + ^ У Kl(s,У)u(s,У)dУdsддХ 1 х
0 -то 0 -то
(т +то \ д
Ь,Х^ ! K2(s,y)u(s,y)dyds \ — 1 Щ(Ь,Х)
0 -то
( / т +то \ 2
д2 ( Г Г .......\ д2
— (у У КМ^УМ* I дх 2
0 -то
— / т +то \ —
х ( — + а ! K2(s,y)u(s,y)dyds\ — \ щ(Ь,х),
0 -то
то из (11) следует, что интегральное уравнение (10) удовлетворяет уравнению в частных производных (1).
2. Восстановление функции р(1)
Используя условие (3), из (10) получаем
г т +то
Ф(Ь) = ф1 \ х0 — J а^,х0,у J К2 (B,y)u(B,y)dydBjds\ +
0 0 -то
г / т +то \
+ ^ Ф2 (х0 — ^ J Kl(в,y)u(в,y)dydв\ ds+
0 0 -то
г / т +то \
+ !(Ь — s)фз ( х0 + ^ J К 1(6, У)и(в, у)!У!В I ds+
+
(г - з)2
р(з)'Ф(з) + / (з,х0,гф(з))
¿з
(г - з)
Ф(з)р(з^з = д(г),
(12)
где
г
д(г) = ф(г) - ф1 ( х0а(з,х0, ! J ^^^^^^^¿^¿з
-а
0
г / Т
0
ф2 ( х0 - з/ ! Kl(в,y)u(в,y)dydв| ¿з-
0 -то Т
(г - з)фз (х0 + ^ J Kl(в, у)и(в, y)dydв | ¿з-
00
(г - з)
/(з, х0, фф(з))с!з.
Уравнение (12) является интегральным уравнением Вольтерра первого рода относительно восстанавливаемой функции р(г). Дифференцируя обе части этого уравнения три раза по г, получаем ф(г)р(г) = д'''(г) или
р(г) =
д'' '(г) Ф(г) ,
(13)
где д'' '(г) = ф'' '(г) - / (г,х0,ф(г)). Подставляя (13) в (10), окончательно имеем нелинейное интегральное уравнение относительно неизвестной функции и(г, х):
=ф1 (х - /а М / ¿з)+
0 0 -то
г / Т +то \
+ У ф2 (х - з ! J ^(в ,у)и(в,y)dydв) ¿з+
0 0 -то
г / Т +то \
+ ! (г - з)фз (х + з! J Kl(в ,у)и(в ,y)dydв) ¿з+
0 0 -то
г
+
(г - з)
0
д'' '(з)
_ ф(з)
и(з,х) + / (з,х,и(з,х))
dз,
(14)
где х играет роль параметра.
г
или
г
г
3. Теорема существования и единственности решения
Для произвольной функции h(t,x) норму вводим следующим образом:
||h(t,x)|| = max \h(t,x)\.
(t,x)eD
Аналогично определяется норма для функции одной переменной. Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:
1) Цф^х)! + Цф2(х)ЦТ + ||фз(х)|| T2 + m&XtenTJ ^ f (s,x, 0)||ds < Д < те;
о
2) ф1 (х) £ Lip{Li\x}, 0 < Li = const, i = 1, 3;
t
3) a(t,x,u) £ Lip{L^(t)iu}, 0 < J L^(s)ds < те;
о t
4) f (t,x,u) £ Lip{Lz(t)\u}, 0 < / L5(s)ds < те;
о
t T + ж
5) p< 1, p = Li maxteoT f L4(s) j j K2(9,y)dyd9ds +
0 0 -ж
+ (l2T2 + L3T3) T 7Ki(s, y)dyds + maxteDT f ^ + L5(s)) ds.
V ' 0-ж 0 V '
Тогда существует единственное решение {u(t,x) £ C3'3(D), p(t) £ C(D)} обратной задачи (1)-(3).
Доказательство. Существование и единственность восстанавливаемой функции p(t) следует из (13). Для нелинейного интегрального уравнения (14) рассмотрим следующий итерационный процесс:
{ u0 (t,x) = 0, (t, x) £ D, uk+i(t, x) = &(t, x; uk), к = 0,1, 2, ... .
(15)
Тогда, в силу условий теоремы 1, из (15) справедливы следующие оценки:
Hui(t,x) — u0(t,x)H <
ф1 ix — j a(s,x, 0)ds
+
V'2(x)
T+
+
¥3(x)
T2 Г (t- s)2
— + max —f (s,x, 0)||ds < Д;
2 tEDT I 2
t T
Huk+i(t,x) — uk(t,x)H < Li max J L4(s) J J K2(e,y)Huk(d,y) — uk-i(e,y)Hdydeds+
0 0 -ж
3 T +ж
+ [b2T2 + L3^^ J J Ki(s,y)Huk(s,x) — uk-i(s,x)Hdyds+
0 -ж
+ max
(t—s2( У '(s)
£ZTJ 2 V |Ws)l
)
+ L5(s)) Huk(s,y) — uk-i(s,y)Hds <
< p Huu(t,x) — uk-i(t,x)H
Из этих оценок в силу последнего условия теоремы следует, что оператор в
правой части (14) является сжимающим и имеет единственную неподвижную точку. Следовательно, существует единственное решение {u(t,x) G C3'3(D), p(t) G
G C(D)} обратной задачи (1)-(3).
Литература
[1] Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.
[2] Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.
[3] Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференциальные уравннения 1982. Т. 18. № 1. С. 72-81.
[4] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник. Нелинейные уравнения математической физики. М.: Наука, 2002. 432 с.
[5] Похожаев С.И. Об априорных оценках и градиентных катастрофах гладких решений гиперболических систем законов сохранения // Труды МИ РАН. 2003. Т. 243. С. 257-288.
[6] Пулькина Л.С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Математические заметки. 2003. Т. 74. № 3. С. 435-445.
[7] Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ. 1994. 285 с.
[8] Романов В.Г. Обратные задачи для математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.
[9] Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1999. 330 с.
[10] Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник ТомГУ. Сер.: Математика и Механика. 2012. Т. 14. № 2. С. 56-62.
[11] Юлдашев Т.К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Сер.: Математика. Механика. Физика. 2012. Вып. 6. № 11(270). С. 35-41.
Поступила в редакцию 10/XI7/2012;
в окончательном варианте — 21/XZ7/2012.
66
Т.К. IOAdaw.ee
INVERSE PROBLEM FOR A NONLINEAR INTEGRAL AND DIFFERENTIAL EQUATION OF THE THIRD
ORDER
© 2013 T.K. Yuldashev2
In this paper a method of study of inverse problem for a nonlinear partial integral and differential equation of the third order is proposed. A theorem on the existence and uniqueness of solution of this inverse problem is proved.
Key words: inverse problem, nonlinear integral and differential equation, superposition of differential operators, nonlinear method of characteristics, existence and uniqueness of solution.
Paper received 10/XII/2012. Paper accepted 21/XII/2012.
2Yuldashev Tursun Kamaldinovich ([email protected]), the Dept. of Higher Mathematics, Siberian State Aerospace University, Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation.
