CC BY
7<Тешетневс^ие чтения. 2016
УДК 517. 95
О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ, ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ СУПЕРПОЗИЦИЕЙ ДВУХ ОПЕРАТОРОВ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев, Н. В. Багрова
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: tursunbay@rambler.ru, nastyabagrova96@gmail.com
Предлагается методика изучения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, являющегося суперпозицией двух операторов в частных производных первого порядка. Доказывается теорема о существовании и единственности решения данной начальной задачи.
Ключевые слова: задача Коши, нелинейное уравнение, суперпозиция дифференциальных операторов, метод характеристик, существование и единственность решения.
ON THE CAUCHY PROBLEM FOR A NONLINEAR EQUATION, WHICH IS A SUPERPOSITION OF TWO PARTIAL DIFFERENTIAL OPERATORS OF THE FIRST ORDER
Т. К. Yuldashev, N. V. Bagrova
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: tursunbay@rambler.ru, nastyabagrova96@gmail.com
This paper proposes a method of studying an initial value problem for a nonlinear differential equation of the second order, which is a superposition of two partial differential operators of the first order. It proves a theorem on the existence and uniqueness of the solution of this problem.
Keywords: Cauchy problem, nonlinear equation, superposition of differential operators, the method of characteristics, the existence and uniqueness of the solution.
Выражение уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволяет применять методы решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Левая часть уравнений в частных производных первого порядка представляет собой производную неизвестной функции по направлению вдоль характеристики. Это позволяет, перейдя к новой переменной, представить уравнение в частных производных как обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее изменение неизвестной функции вдоль линии характеристик [1-3]. Такая методика использована и в случае разностных уравнений первого порядка в работе [4].
В области D = DT х R рассматривается нелинейное уравнение вида
A[B [u (t, x)]] = f (t, x, u (t, x) ) (1)
с начальными условиями
. . / ч 0 u (t, x)
u (t, x)|t=0 =Ф1 (x), -- 11=0 = ф 2 (x), x eR , (2)
где f (t,x,u) e С(DхR), фi (x) e C(R), i = 1,2; Dt0,T ]; 0 < T <», A[B [u]] = (B [u])t - u(u]);
B [u ] = ut + u • u x .
Нетрудно убедиться, что левая часть уравнения (1) имеет вид
,гог пГ<3 5 V 5 5 А [В [и ]] = 1--и — II — + и — |,
151 д х Па t д х у
012
0 u 0 u 0 t 0 x
_0_
0 x
02
0 x
u .
Рассмотрим параметрическое задание характеристик как решение уравнений
^ ^ ^ ^ ^ х . . ,„.
-= - и ^, х) , -= и ^, х) . (3)
d т d т
Изменение переменной т перемещает точку с координатами t, х по характеристикам. Интегрируя уравнения (3) по т, получаем х = р (т, t, х, 9) на первой характеристике и х = q (т, t, х, 9) на второй характеристике, где р (т, t, х, 9) и q (т, t, х, 9) определяются из следующих уравнений
t
р (т, t, х, 9) = х + | и (^, р, 9) d s,
q (т, t, x, 9) = x -J u (s, q, 9) ds,
т
9(т,t,x) = 9(т,t,p(т,t,x,9),q(т,t,x,9)) .
¡Прикладная математика
Отсюда очевидно, что 9 (t, t, x) = u (t, x). Положим
f(t, x, u)
= f (t , t, p, q, 9).
x=p ( t, t, x, 9) x=q ( t, t, x, 9)
Тогда имеем
d 9 d d u d t 2 d t d t
x=p (t , t, x, 9) x=q (t ,t, x ,9)
д dt + д dx | ( д dt + д dx д t d t д x d t J l д t d t д x d t
x=p ( t, t, x, 9) x=q ( t, t, x, 9)
( д д I ( д д
= 1--U (t, x) - II--+ U (t, x) -
i д t д x JI д t д x
= f (t , t, p, q, 9), т. е. получаем уравнение
x=p (T,t, x, 9) x=q (t , t, x, 9)
d2 9 d t 2
= f (t , t, p (t , t, x, 9), q (t , t, x, 9), 9) (4)
с начальными условиями
„ . . . . д9 (t , t, x)
9(t,t,x),T=t=o =Фi (xb -^-1
1 дт
= ф 2 ( x), x e R .
(5)
Интегрируя (4) по т два раза и используя начальные условия (5), получаем нелинейное интегральное уравнение
9(т, t,х) = ф 1 (д (0, t,х, 9)) + ф2 (р (0, t,х, 9))т + т ( s,t, р(5,t,х,9), ^
+ Г (т-5)/I 'ИК ' " I ds. (6) 0 ^ д (5, t, х, 9), 9 (5, t, х) I
При т = t из (6) получаем следующее нелинейное интегральное уравнение:
А
+Ф 2
( t
u (t, x) = ©(t, x; u) = ф1 x-Ju (s, x) ds
x + Ju (s, x)ds 11+ J(t - s)f (s,x,u (s,x))ds . (7)
V о J 0
Интегральное уравнение (7) и задача Коши (1), (2) являются эквивалентными.
Теорема. Пусть выполняются следующие условия:
1 ||ф1(х)|| + ||ф2(х)|| Т +
+ max
teDj
J (t - s)|| f (s, x ,0)|| ds <A<».
u (t, x) =
2. Фг (x) e Lip
0 < Lt = const, i = 1,2,
f (t, x, u) e Lip |L3 (t)|
t
0 < JL3 (s)ds < <x>. о
t
3. p = (L1 +L2T)T + max f(t-s)L3 (s)ds <1.
teDJ 0
Тогда существует единственное решение задачи (1), (2) в области D.
Библиографические ссылки
1. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. А. Уравнения с частными производными первого порядка. М. : Мехмат МГУ, 1999. 95 с.
2. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник ТомскГУ. Сер. «Математика и Механика». 2012. № 2. С. 56-62.
3. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Сер. «Математика. Механика. Физика». 2012. № 6. С. 35-41.
4. Yuldashev T. K. On a first order quasilinear partial difference equation // Advanced studies in contemporary mathematics. 2013. Vol. 23, no 4. Рр. 677-680.
References
1. Goritskiy A. Yu., Kruzhkov S. H., Chechkin G. A. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka (Partial differential equations of first order). Moscow: Lomonosov Moscow State University, 1999. (In Russ.)
2. Yuldashev T. K. Ob obratnoy zadache dlya kvazilineynogo uravneniya v chastnyx proizvodnyx pervogo poryadka (On inverse problem for a quasilinear partial differential equation of first order) // Vestnik of Tomsk State University. Series: Mathematics and Mechanics. 2012. No 2, рp. 56-62. (In Russ.)
3. Yuldashev T. K. Ob obratnoy zadache dlya systemy kvazilineynyx uravneniy v chastnyx proizvodnyx pervogo poryadka (On inverse problem for a system of quasilinear partial differential equations of first order) \\ Vestnik of South-Ural State University. Series: Mathematics and Mechanics. 2012. No 6, рp. 35-41. (In Russ.)
4. Yuldashev T. K. On a first order quasilinear partial difference equation // Advanced studies in contemporary mathematics. 2013. Vol. 23, No 4, рp. 677-680.
© Юлдашев Т. К., Багрова Н. В., 2016
