Структура подгрупп групповой симметрии класса d ромбоэдрической сингонии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ехр{-)}+2(^)||ехр{— 1еТ} (10)

После применения четвертого условия теоремы к (10) мы придём к следующей оценке

К+1 (0 - щ (0|| < р\\щ (0 - и*., (4 'ет; (] ])

В силу последнего условия теоремы из (9) и (11) следует, что оператор в правой части (6) являются сжимающим. Следовательно, существует единственное решение уравнения (1) при начальном (2) и конечном (3) условиях на отрезке. Тх.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Юлдашев, Т. К. Интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Сложш системи 1 процеси. - 2005. - №1. - Запорожье : Зигмунд, 2005 - С. 3-5.

2. Юлдашев, Т. К. Случайные интегральные уравнения Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Материалы У-й междунар. Ферганской конф. «Предельные теоремы теории вероятностей и их

УДК 548.0

приложения» (Фергана, 10-12 мая 2005 г.). -Ташкент : ИМ АН РУзб., 2005. - С. 204-206.

3. Юлдашев, Т. К. Интегральные уравнение Вольтерра первого рода с нелинейной правой частью и сложным отклонением / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Тезисы междунар. семинара «Геометрия в Одессе - 2005. Дифференц. геометрия и ее приложения» (23-29 мая 2005 г.). -Одесса, 2005.-С. 112-113.

4. Юлдашев, Т. К. Нелинейное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра с нелинейными запаздываниями / Т. К. Юлдашев, Ж. А. Артыкова // Тезисы докл. науч. конф. «Актуальные проблемы дифференц. уравнений и мат. физики». - Алматы : КазНУ, 2005. (10-11 ноября 2005 г.) -С. 221.

Юлдашев Турсун Камалдинович, кандидат физико-математических наук, доцент Кыргызской государственной юридической академии. Артыкова Жылдыз Абдисаламовна, преподаватель кафедры информатики физико-математического факультета ОшГУ.

О. В. МАКЕЕВ

СТРУКТУРА ПОДГРУПП ГРУППОВОЙ СИММЕТРИИ КЛАССА О РОМБОЭДРИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ

Рассмотрено построение и исследование систем разветвления (уравнение разветвления = УР) с симметриями подгрупп кристаллографических групп. Здесь осуществляется первый шаг - построение структуры подгрупп кристаллографической группы на возможно более простом примере группы А, (по Шёнфлису) ромбоэдрической сингонии [1-4].

Ключевые слова: ромбоэдрическая сингония.

Опишем установку соответствующей кристаллической решётки в плоскости хОу. Указанной группе соответствует решётка с единичными смещениями я, и а2 = /у вдоль поворотных осей второго порядка Ох и Оу, образующих угол раствора 2/г/З . По теореме Эйлера [3] на плоскости хОу существует третья ось и второго порядка, образующая углы 2;т/3 с осями Ох и Оу . Единичное смещение а3, вообще

© О. В. Макеев, 2006

говоря, другого масштаба, согласующееся с базисными смещениями и а2 соотношением [2]

я3 -—(а, - а2) А. ах, а2, определяет смещение 3

/т =3аъ -(а, -а2), принадлежащее решётке (в

[2] опечатка: вместо — поставлена —). Отметим,

3 2

что вектор —не принадлежит решётке. В международной символике [5] этой кристаллографической группе отвечает группа вращений -

с-1г,о>

«ш»

алоэ

(24,0)

<2£Д)

кристаллический класс К=32, которая содержит одну двустороннюю неполярную ось третьего порядка и три полярные оси второго порядка.

Решетка, соответствующая кристаллографической группе С, являющейся полупрямым произведением [3, 4] Т>\ К группы дискретных

сдвигов Т = [а = /и, а, + т2а2 + тъаъ,т1 (=1} и группы вращений 32, изображена на рис. 1.

и

Сплошные линии соответствуют решётке в плоскости хОу, а штриховые - второму слою -

решётке, смещённой на вектор я3. Очевидно,

что следующий третий слой - плоская решётка смещённая на вектор 2аъ, и четвёртый - плоская

решётка, смещённая на вектор 5я3, совпадает с исходной в проекции на плоскость хОу.

Рис. 1

Приведём матричное представление в базисе точечной группы К и таблицу умножения, П°1.

Го -1 0^ Г1 -1

Г = 1 -1 0 , 5,= 0 -1 0

0 ь / ч0 0 -1 /

Г

*у =

\

-10 0 1 1 о 0 0-1

\

, =

/

'О 1

1 о чо о

о ^ о -1

II I Г г2 8У

Г г2 е я» *У

г1 е г К

*У е Г г2

"у г2 г г

БУ Г г1 е

В рассматриваемой кристаллографической группе Гх) К присутствуют винтовые оси (оси

винтовых поворотов) 3,, 32 и 2, в международных обозначениях. Действительно, записывая произвольный элемент С в виде

£ е Т, М еК, определим [4] умножение в С :

= где М&

определяет гомоморфизм группы К в группу автоморфизмов группы Т. Таблица умножения в С имеет вид

ах,г)°(1х,г)=(1х+пх,г2)={1х+1уУ),

(1у,гН*у,г) = «у+Пу>г2) = Пх-(у +1у,Г~) =

= Нх*г2)>

(/„г)я=(и/г,г

п-3

>1 3

Отсюда следует существование винтовой оси 3, {..., (-4г,, г2), (-3/,, е\ (-2/,, г), (-*.,г2\ (е, е), (/х, г), (2/,, г2), (3/г, г),...}

ВИНТОВОЙ ОСИ 3-,

{., (-4/., г),(-Згг,е\ (-2/., г2), (-/г, г), (в, е), (/г, г2), (2/. ? г), (3/г , г2),...}

и трёх подобных друг другу (г - преобразование подобия) винтовых осей 2}

{...,(-2(/х +/у),в),(-(/, + /,),.*„),

(С* + (2(1 х + 1у\е\...}

Опишем теперь структуру подгрупп С, не выписывая тривиальных: Т - нормального делителя С и К. Нетрудно проверить, что группа К является полупрямым произведением 3 ^ 2 циклической

группы третьего порядка 3 = {е,г,г2} на циклическую группу 2 = {е,^} второго порядка, 3 - нормальный делитель в К. Поэтому в К имеется одна подгруппа третьего порядка и три подобные под-

г г2

группы второго порядка

Винтовые оси 31 и 32 порождают два счётных множества подобных подгрупп, соответственно кратности сдвига . В структуру подгрупп группы

С также входят полупрямые произведения группы дискретных сдвигов Т и её подгруппы сдвигов в плоскости хОу на одну из подгрупп К . Соответственно Гх) 3 по-прежнему принадлежит ромбоэдрической сингонии, а ТЦ 2 - моноклинной.

Нелинейные уравнения стационарного и динамического ветвления записываются в операторной форме в подходящим образом выбранных банаховых функциональных пространствах. Асимптотический метод Ляпунова-Шмидта сводит их решения к построению и исследованию конечномерных систем нелинейных алгебраических уравнений. При его реализации в подпространстве нулей линеаризованного в точке ветвления оператора выбирается базис в виде блоховских функций

-м

<Pj = и, (я)е

j

(1)

где j = 1, и , q- ха1 + уа2 + za3, u} (q) периодична

с периодом решётки, 1] =/«1/7(1) + т2]1{2) + /и3у/(3)

- вектор обратной решётки: (1(к), а^ = 8к]. Для

построения обратной решётки запишем векторы а. в прямоугольной системе координат ах = /,

j

а2 =--i+—-j, а3 =-/-—-J + —к •

1 . S . 1 . л/3 . л/3 -/ +— / , в,

2 2

г^ гп #(1) [a2>tfl] л/з . л/з

Согласно [3] Ги = —-—— = / + — /--

а

1 J

к.

(2) _ [<*3»Я1 ] 2V3 . л/3

=

Q

У+ —А »

/(3) = = 7зАг, где а = (в,,[в2,д3]).

Пусть 1се К, тогда = и

=(/г')-1, что позволяет найти действие группы К на обратную решётку, гя, = а2, га2 = -я, - я2.

гя3 =

2

V5

л/3

2 2

О

— О

О

о

1

\

( - 4 2 -Уз ( \

0 ш

6 3

JI 3 J к з J

га, =

7з . л/з,

-У+-Л =а\а\ + а2я2 + азЛз» находим

3 3 •

а2= 1, а3=1. Аналогично =а]5 5хя2 = -я, - я2, 5Ля3 = я, - я3. Таким образом, в

базисе {/(1),/(2),/(3)} матричное представление точечной группы 32 порождается

f-1 -1 1 Г 1 0 0>

• Г = 1 0 0 , = -1 -1 0

0 1J 1 1 \ 0 -1

и группа

симметрии прямой решётки совпадает с группой обратной.

В базисе (1) векторы выбираются из условия

одинаковости их длин. Это приводит к исследованию диофантова уравнения

ТО ")

5тх + 2тхт2 + 5т; - 6тхтъ + 6т2т3 + 9тъ - const.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Делоне, Б. Н. Математические основы структурного анализа кристаллов / Б. Н. Делоне, А. Д. Александров, Н. Н Падуров. - М.-Л.: ОНТИ, ГИТТД 1934. - 328 с.

2. Любарский, Г. Я. Теория групп и её применение в физике / Г. Я. Любарский. - М.: ГИТТЛ, 1958. -356 с.

3. Вайнштейн, Б. К. Современная кристаллография. Т. 1. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии / Б. К. Вайнштейн. -М.? 1979.-384 с.

4. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер. - М. : Мир, 1984. -Т. 2.-380 с.

5. International tables of X-ray crystallography, v. 1. Symmetry groups (Henry N.F.M., Lonsdale K. - eds). Birmingham Kynoch. Press. 1952. - 554 p.

Макеев Олег Владимирович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.